Metody inwersyjne w geofizyce (3)

Metody inwersyjne w geofizyce
(3)
Przypomnienie
F Dwa rodzaje problemów
H Zagadnienia modelowania
H Zagadnienia odwrotne
F Zagadnienia odwrotne - różne spojrzenia
H inwersja jako estymacja parametrów
H inwersja czyli metoda wnioskowania
H pomiary bezpośrednie i pośrednie
[email protected]: W3- 1
WNZ US, 18.03.2009
Dwa typy zagadnień
Zrozumienie zachodzacego
procesu fizycznego,
,
chemicznego, geologicznego, itp. umożliwiajace
,
1.
przewidywanie zachowania sie, systemu, a wiec
,
jego jakościowe modelowanie.
Ilościowy opis obiektu fizycznego, chemicznego,
i ilościowe wyznaczenie wielkości fizycznych
2.
opisujacy
obiekt pozwalajace
na realistyczne
,
,
(ilościowe) wyznaczanie jego zachowania.
[email protected]: W3- 2
WNZ US, 18.03.2009
Zagadnienie odwrotne - pomiar pośredni
[email protected]: W3- 3
WNZ US, 18.03.2009
Zagadnienie odwrotne (najcześciej)
,
zagadnienie odwrotne
m
pomiar pośredni
(estymacja parametrów)
[email protected]: W3- 4
WNZ US, 18.03.2009
Zagadnienia odwrotne - estymacja parametrów
th
d = G(m)
Inwersja:
obs
d
[email protected]: W3- 5
−→ m
est
WNZ US, 18.03.2009
Zagadnienie odwrotne (ogólnie)
zagadnienie odwrotne
m
proces wnioskowania
[email protected]: W3- 6
WNZ US, 18.03.2009
Inwersja - łaczenie
informacji
,
(Wnioskowanie)
[email protected]: W3- 7
WNZ US, 18.03.2009
Estymacja parametrów
[email protected]: W3- 8
WNZ US, 18.03.2009
Parametry i wielkości mierzalne
System fizyczny:
p1, p2, · · · pK
Parametery układu:
m = (m1, m2, · · · mM )
Przewidywane mierzalne wielkości:
d = (d1, d2, · · · dN )
Parametry “ustalone” (znane a priori ):
must = (u1, u2, · · ·)
Modelowanie:
dth = f (m, must)
[email protected]: W3- 9
WNZ US, 18.03.2009
Przykład - propagacja fal sejsmicznych
System fizyczny:
F rs, rr , t, v
Zagadnienie lokalizacji:
F m = rs = (rx, ry , rz )
F d=t
F must = v, rr
Tomografia predkościowa:
,
F m = v = (v1, v2, · · · vM )
F d = t, rr , rs
[email protected]: W3- 10
WNZ US, 18.03.2009
Lokalizacja wstrzasów
,
[email protected]: W3- 11
WNZ US, 18.03.2009
Tomografia sejsmiczna
[email protected]: W3- 12
WNZ US, 18.03.2009
Liniowy problem odwrotny
Podejście algebraiczne
d=G·m
Podejście naiwne:
mest = G−1 · d
Metoda algebraiczna:
GT · d = GT G · m
GT G =⇒ GT G + λI
mest = (GT G + λI)−1 · d
[email protected]: W3- 13
WNZ US, 18.03.2009
data
Inwersja - technika Back projection
d
d=f(m)
m
[email protected]: W3- 14
model parameter
WNZ US, 18.03.2009
Back projection
Projection
"BackProjection"
SOURCE -1
SOURCE-2
SOURCE-3
DATA
[email protected]: W3- 15
WNZ US, 18.03.2009
Inwersja - podejście optymalizacyjne
Przeszukiwanie przestrzeni modeli w
celu znalezienia modelu “najlepiej odtwarzajacego”
dane pomiarowe
,
S(m) = ||dobs − d(m)|| = min
[email protected]: W3- 16
WNZ US, 18.03.2009
Optymalizacja
[email protected]: W3- 17
WNZ US, 18.03.2009
Optymalizacja
Metoda najmniejszych kwadratów:
(dobs − f (m))T (dobs − f (m)) = min
Metoda najmniejszych wartości absolutnych
X
|dobs
i − f (m)i)| = min
i
[email protected]: W3- 18
WNZ US, 18.03.2009
Podejście optymalizacyjne
Podejście optymalizacyjne (klasyczne)
obs
a
kG(m) − d k + λkm − m k = min
F metoda nieliniowa
F fizyczny sens regularyzacji
F poszukujemy jednego (optymalnego) rozwiazania
,
F zaniedbane wszystkie błedy
i niedokładności
,
[email protected]: W3- 19
WNZ US, 18.03.2009
Normy ...
kG(m) − dobskD + λkm − mapr kM = min
σ(m) = f (m) exp(−kG(m) − dobskD )
[email protected]: W3- 20
WNZ US, 18.03.2009
“krzepkość” norm (ang. robustnes)
1 zaburzenie
20
l1
lC
16
16
l2
12
12
8
8
4
4
0
0
−4
[email protected]: W3- 21
20
−2
0
2
4
6
8
10
WNZ US, 18.03.2009
“krzepkość” norm (ang. robustnes)
2 zaburzenia
20
LC
L1
16
16
L2
12
12
8
8
4
4
0
0
−4
[email protected]: W3- 22
20
−2
0
2
4
6
8
10
WNZ US, 18.03.2009
Optymalizacja gradientowa i Monte Carlo
[email protected]: W3- 23
WNZ US, 18.03.2009
Metoda: preconditioned sttepest descent
1. m0 - dowolny,
−1
Ŝ0 ≈ (I + CM GtC−1
G)
D
obs
apr
2. γn = CM GtC−1
(Gm
−
d
)
+
(m
−
m
)
n
n
D
3. φn = Ŝ0γn
4. bn = Gφn
5. µn =
t C−1φ
γn
M n
tC b
φtnC−1
φ
+b
n
n D n
M
6. mn+1 = mn − µnφn
[email protected]: W3- 24
WNZ US, 18.03.2009
Optymalizacja gradientowa - ograniczenia
[email protected]: W3- 25
WNZ US, 18.03.2009
Model najbardziej prawdopodobny - optymalizacja
F szukanie modelu najbardziej prawdopodobnego
mml :
σ(mml ) = max
H metody gradientowe
H metody Monte Carlo
á Symulowane wyżarzanie
á Algorytm Genetyczny
[email protected]: W3- 26
WNZ US, 18.03.2009