Czterej geniusze i deska

Danuta Buniecka
Czterej geniusze i deska
Jak zrobić rozkład Gaussa? Potrzebna jest deska, gwoździe i młotek...
To nie żart! Miałam to szcz˛eście, że bez
konieczności osobistego wbijania kilkuset gwoździ mogłam zobaczyć efekt
końcowy. „Deska Galtona” to przyrzad
˛
przedstawiony na poniższym rysunku.
Kuleczka śrutu spada na pierwszy gwoździk. Spadnie z niego w prawo lub
w lewo. Jeśli gwoździk wbity jest równo
pod lejkiem, prawdopodobieństwo spadni˛ecia w każda˛ stron˛e wynosi 12 . Teraz
kulka spada na drugi gwoździk, gdzie
sytuacja si˛e powtarza. I tak dalej, aż
do najniższego rz˛edu, gdzie nie ma już
gwoździków, ale przegródki.
Deska i Pascal
Do danej przegródki można dojść wieloma sposobami.
nie sa˛ równie prawdopodobne. Do środkowego można dojść na dwa sposoby, do
każdego ze skrajnych – tylko na jeden
sposób. Po nast˛epnym rz˛edzie sytuacja
b˛edzie analogiczna, do kolejnych położeń prowadzi odpowiednio 1, 3, 3, 1
droga. I tak dalej.
Jak już Państwo zauważyli, powstaje
trójkat
˛ Pascala. Jeśli wi˛ec nasza deska
ma sześć rz˛edów gwoździ, aby obliczyć prawdopodobieństwo trafienia kulki
do kolejnych przegródek, znajdujemy
szósty wiersz (nie liczac
˛ pojedynczej
jedynki na górze) w tym trójkacie:
˛
1
6
15
20
15
6
1
Tyle dróg prowadzi do każdej z przegródek. Wszystkich dróg jest 64, wi˛ec
prawdopodobieństwo trafienia do kolejnych przegródek wynosi:
1
64
6
64
15
64
20
64
15
64
6
64
1
64
Deska i Bernoulli
Iloma? Policzmy. Po
pierwszym gwoździku
mamy dwie możliwości: w lewo lub w prawo. Po drugim rz˛edzie gwoździków
mamy trzy możliwe położenia kulki, ale
10
Ale przecież trójkat
˛ Pascala to liczby
istotne w schemacie Bernoulliego. Oczywiście! Bo „deska Galtona” to także
przyrzad
˛ do sprawdzania na duża˛ skal˛e
tego schematu.
Wrzucenie kulki powoduje seri˛e zdarzeń
losowych. Te zdarzenia to odbicia od
kolejnych gwoździ. W każdym z nich sa˛
możliwe dwa wyniki. Załóżmy, że spa-
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
ML13 str. 10
dek w lewo to porażka, a spadek w prawo
to sukces. Kulka, która poniosła same
porażki, trafia do skrajnie lewej przegródki (oznaczmy ja˛ numerem 0); jeśli
tylko raz odniosła sukces, trafia do przegródki sasiedniej
˛
– nr 1 itd.
Jak łatwo (nam, nie uczniom) obliczyć,
w wypadku sześciu rzadków
˛
gwoździ
prawdopodobieństwo otrzymania 0, 1,
2, ..., 6 sukcesów jest takie, jak obliczyliśmy „na piechot˛e” wyżej.
cze dużo, dużo wi˛ecej) tworza˛ gotowy
wykres znanej krzywej dzwonowej.
Deska, czyli wszystko
Deska i wykresy
Zilustrujmy na wykresie powyższe prawdopodobieństwa.
Coś to Państwu przypomina? Pewnie
rozkład Gaussa? Nie b˛edzie watpliwości,
˛
jeśli zamiast sześciu weźmiemy choćby
dwanaście rz˛edów gwoździ.
Nie jest to przypadek. Z rozkładu Bernoulliego w granicy powstaje właśnie rozkład Gaussa. Dlatego właśnie przy bardzo dużej liczbie rz˛edów gwoździków
upuszczone kuleczki (których jest jesz-
Łatwo zgadnać,
˛ że gdyby rozkład Gaussa
i rozkład Bernoulliego stosowały si˛e
tylko do opisu jednego może interesuja˛
cego, ale mało pożytecznego urzadzenia,
˛
nie byłyby tak ważne w matematyce i jej
zastosowaniach.
Okazuje si˛e jednak, że każde doświadczenie przebiega w pewnym sensie
podobnie do upadku kulek po desce. Gdy
chcemy np. zważyć jajko, może ono być
nieco zabrudzone, co zawyża jego mas˛e,
ale zabrudzony może też być odważnik,
co powoduje zaniżenie wyniku. Magnes
w sasiednim
˛
pokoju może oddziaływać
na wag˛e, co znowu może w różny sposób
wpłynać
˛ na przebieg doświadczenia.
Tego typu zakłóceń nie da si˛e do końca
wyeliminować, tym bardziej, że cz˛esto nie zdajemy sobie z nich sprawy.
Zakładamy jednak, że może wystapić
˛
tyle samo zjawisk troch˛e zawyżajacych
˛
wynik, jak i zaniżajacych
˛
go. Gdybyśmy poprzestali na jednym pomiarze,
może si˛e okazać, że akurat mieliśmy
pecha, ale gdy pomiarów jest wiele,
ich wyniki powinny tworzyć rozkład
Gaussa: najwi˛ecej wokół wartości średniej, troch˛e po bokach. Deska Galtona
pozwala nam zrozumieć, dlaczego tak
si˛e dzieje, i wnioskować, że prawdziwa
wartość mierzonej wielkości jest gdzieś
w pobliżu średniej. A jak blisko może
si˛e znaleźć – też można wyliczyć z rozkładu Gaussa, ale to już zupełnie inna
historia.
TEMAT NUMERU
CYAN BLACK
ML13 str. 11
11