Zadania z wieńcami

Paweł Soboń
Zadania z wieńcami
W poprzednim numerze pisałem o figurach, które nazwaliśmy wieńcami. Przypomnijmy, że wieniec to figura ułożona
z przystających trójkątów w taki sposób,
że jest ograniczona z zewnątrz i od wewnątrz dwoma wielokątami foremnymi
podobnymi do siebie. W tym numerze
przedstawiam Państwu kilka przykładów
zadań z wykorzystaniem wieńców.
problemu z jego rozwiązaniem. Jedyną
trudnością są tylko zbyt uciążliwe
rachunki.
Rozwiązanie 2
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
równanie a2 + 3a − 8 = 0, zatem
a2 + 3a = a · (a + 3) = 8.
Ponieważ pole trójkąta wyraża się wzorem S = 21 · a · (a + 3), więc S = 12 · 8 = 4.
Zadanie z trzema rozwiązaniami
To rozwiązanie będzie już dostępne dla
ucznia gimnazjum, nie oznacza to jednak, że będzie łatwiejsze. Rozwiązujący
musi zauważyć, że wartość wyrażenia
a2 +3a występującego we wzorze na pole
trójkąta można wyliczyć, przekształcając
równanie a2 + 3a − 8 = 0.
Zadanie 1
W trójkącie prostokątnym
długość jednej z przyprostokątnych jest o 3 cm
dłuższa od drugiej. Wiedząc, że przeciwprostokątna ma długość 5 cm,
obliczyć pole tego trójkąta.
Rozwiązanie 3
Jeżeli przez S oznaczymy pole trójkąta,
wtedy
Rozwiązanie 1
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
a2 + (a + 3)2 = 52 , stąd kolejno
a2 + a2 + 6a + 9 = 25,
2a2 + 6a − 16 = 0,
a2 + 3a − 8 = 0.
Jedynym dodatnim rozwiązaniem
ostat√
niego równania jest a = 41−3
.
2
Ponieważ pole trójkąta S = 12 a · (a + 3),
więc
√
√
41−3
41−3
+
3
=
·
S = 12
2
2
√
√
41−3
41+3
2
= 12
= 12 · 32
2
2
4 = 4 [cm ].
Rozwiązanie to jest schematyczne i nie
wymaga od ucznia większego wysiłku
intelektualnego. Jeśli zna twierdzenie
Pitagorasa i algorytm rozwiązywania
równań kwadratowych, nie będzie miał
4S + 32 = 52 (zob. rysunek)
4S = 16,
S = 4.
W tym rozwiązaniu wykorzystaliśmy
jedynie wzór na pole kwadratu.
Porównując powyższe rozwiązania, nie
będziemy mieć wątpliwości, że to trzecie jest najbardziej zaskakujące i ciekawe. Myślę, że przygotowując zada-
NAUCZANIE MATEMATYKI
CYAN BLACK
ML18 str. 29
29
nia na lekcję, powinniśmy pamiętać
o takich, które mają wiele rozwiązań. Rozwiązywanie tego samego problemu różnymi metodami jest bardzo
ważne z dwóch powodów. Po pierwsze,
uczniowie uświadamiają sobie, że wiele
problemów można rozwiązać, stosując
różne narzędzia matematyczne. Po drugie, takie zadania z ciekawymi rozwiązaniami bardziej zachęcają uczniów do
nauki matematyki.
proste prostopadłe i od punktu przecięcia
odmierzyć odcinki długości a.
Konstrukcje i pola wielokątów
Budując z tych trójkątów wieniec,
skonstruujemy jednocześnie ośmiokąt
foremny o boku a. Oczywiście nie
musimy rysować wszystkich ośmiu trójkątów, wystarczy, że poprzestaniemy na
wyznaczaniu ich wierzchołków.
W wypadku niektórych wielokątów
foremnych wieńce ułatwiają zarówno
konstrukcję, jak i obliczanie ich pól. Aby
się o tym przekonać, rozwiążemy następujące zadanie.
Zadanie 2
Dany jest odcinek długości a. Skonstruuj
ośmiokąt foremny o boku a i wyprowadź wzór na jego pole w zależności od
boku a.
Powyższe zadanie, które można spotkać prawie w każdym podręczniku do
gimnazjum, zazwyczaj oznaczane jest
gwiazdką. Skąd ta gwiazdka? Otóż konstruując ośmiokąt w tradycyjny sposób,
uczeń musi zbudować trójkąt równoramienny o podstawie a i kącie 45◦ między
ramionami. Konstrukcja takiego trójkąta
jest pracochłonna i wymaga wielu dodatkowych czynności. Obliczenie pola jest
jeszcze trudniejsze, chociażby z uwagi
na fakt, że uczniowie nie mogą korzystać z funkcji trygonometrycznych.
W naszej konstrukcji ośmiokąta foremnego o boku a możemy wykorzystać
dowolny trójkąt, w którym jeden z kątów
wewnętrznych ma miarę 45◦ , a przeciwległy bok jest równy a. Najlepiej jednak,
z uwagi na łatwość konstrukcji, posłużyć
się trójkątem będącym połową kwadratu.
Konstrukcja takiego trójkąta jest bardzo
prosta – wystarczy skonstruować dwie
30
Możemy również postąpić inaczej. Zauważmy, że dwa trójkąty naszego wieńca
wyznaczają już trzy wierzchołki ośmiokąta. Wystarczy zatem budowę wieńca
zakończyć na konstrukcji dwóch trójkątów, następnie na trójkącie wyznaczonym przez punkty A, B i C (zob. rysunek poniżej), opisać okrąg i za pomocą
cyrkla wyznaczyć pozostałe wierzchołki
ośmiokąta (okrąg opisany na trójkącie
ABC jest jednocześnie okręgiem opisanym na naszym ośmiokącie).
Wyprowadzimy teraz wzór na pole
ośmiokąta foremnego o boku a. Pomoże
nam w tym wieniec zbudowany z trójkątów będących połówkami kwadratów
(patrz rysunek u góry kolumny).
NAUCZANIE MATEMATYKI
CYAN BLACK
ML18 str. 30
Przyjmijmy oznaczenia: S – pole ośmiokąta foremnego o boku a, S 1 – pole
ośmiokąta foremnego ograniczającego
wieniec od środka.
Bok mniejszego
z ośmiokątów ma dłu√
gość a 2 − a, co oznacza to, że jest on
podobny do większego w skali
√
√
k = a a2−a = 2 − 1.
Ponieważ stosunek pól figur podobnych
jest równy kwadratowi skali podobieństwa, więc
√
2
2 − 1 · S.
S1 =
Łączna suma pól ośmiu trójkątów jest
równa różnicy pól ośmiokątów forem2
nych, a zatem 8· a2 = S −S 1 , stąd kolejno
otrzymujemy
√
2
2−1 ·S
4 · a2 = S −
2 √
= 4 · a2
2−1
S 1−
√ S 1 − 2 − 1 + 2 2 = 4 · a2
√
S · 2 2 − 2 = 4 · a2
√
2
S = √2a = 2 2 + 1 a2 .
2−1
Analogicznie możemy skonstruować
i obliczyć pole dwunastokąta foremnego
o boku a. W tym wypadku wieniec
będziemy budować z trójkątów, które
są połówkami trójkąta równobocznego
o boku 2a.
Ciąg geometryczny a pole wielokąta foremnego
Pola niektórych wielokątów foremnych
możemy również obliczyć, korzystając
ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu
geometrycznego. Dla przykładu obliczymy w ten sposób pole dwunastokąta
foremnego.
Z dwunastu trójkątów będących połówkami trójkąta równobocznego o boku 2a
budujemy wieniec. W niego wpisujemy
następny itd.
Czynność tę powtarzamy nieskończenie wiele razy. Oczywiście suma pól
wszystkich wieńców będzie równa polu
naszego dwunastokąta.
Niech (a1 , a2 , a3 , . . .) będzie ciągiem
pól kolejnych wieńców, wtedy
√
= 6 3a2 ,
a1 = 12 ·
√
a2 3
2
a2 = 12 ·
√ √ 2
a2 3 2− 3
2
√ √ 2
= 6 3 2 − 3 a2 ,
a3 = 12 ·
√ √ 4
a2 3 2− 3
2
√ 4
√ = 6 3 2 − 3 a2 ,
...
Widzimy, że ciąg ten jest ciągiem geometrycznym o wyrazie pierwszym
√
a1 = 6 3a2 i ilorazie
√
√ 2
q = 2 − 3 = 7 − 4 3 < 1, zatem
S = a1 + a2 + a3 + . . . =
√ √
6√ 3a2
= 3 2 + 3 a2 .
√ 2
3a √
1− 7−4 3
6
=
4 3−6
NAUCZANIE MATEMATYKI
CYAN BLACK
ML18 str. 31
31