o rozkładzie prawopodobieństwa filtrowanych binarnych sekwencji

www.pwt.et.put.poznan.pl
Łukasz Śliwczyński, Przemysław Krehlik,
Marcin Lipiński, Andrzej Wolczko
Akademia Górniczo – Hutnicza, Katedra Elektroniki
al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków
e-mail: [email protected]
[email protected]
2005
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne
Poznań 8 - 9 grudnia 2005
O ROZKŁADZIE PRAWOPODOBIEŃSTWA FILTROWANYCH
BINARNYCH SEKWENCJI PSEUDOLOSOWYCH
Streszczenie: W artykule tym omawiamy rozkład prawdopodobieństwa wartości sygnału otrzymywanego na wyjściu
filtru dolnoprzepustowego pobudzanego binarną sekwencja pseudolosową. Okazuje się, że dla najczęściej wykorzystywanych generatorów sekwencji pseudolosowych o
dwóch odczepach otrzymywany rozkład prawdopodobieństwa wykazuje znaczną asymetrię względem wartości
średniej. Natomiast generatory o większej liczbie odczepów nie wykazują takiej cechy i ich rozkłady są znacznie
bardziej symetryczne. W artykule przedstawiamy wyniki
symulacji oraz histogramy zmierzone dla wybranych
wielomianów generujących sekwencje pseudolosowe.
1. WPROWADZENIE
Binarne sekwencje pseudolosowe (ang. PseudoRandom Binary Sequence - PRBS) są szeroko wykorzystywane w elektronice (np. jako źródła sygnałów testowych w systemach cyfrowych [1] do wyznaczania tzw.
wzoru oka czy pomiaru bitowej stopy błędów w łączu
[2]) i telekomunikacji (np. do kodowania informacji [3],
[5]). Powszechnie wykorzystywana w wielu systemach
transmisyjnych metoda tzw. skramblingu danych [4],
[5] również bazuje na ciągach PRBS.
Od strony teoretycznej sekwencje PRBS są opisywane jako wielomiany pewnej zmiennej X (jest też
używane oznaczenie Z lub D ), zdefiniowane w grupie
Galois (ang. Galois field), oznaczanej jako GF(2) [4].
Liczba 2 występująca w tym zapisie oznacza, że
wszystkie operacje na wielomianach są przeprowadzane
w arytmetyce „modulo-2”, a współczynniki przy
zmiennej X mogą przyjmować tylko wartości 0 lub 1.
Sekwencje takie można bardzo łatwo wytwarzać w
układach cyfrowych, zbudowanych z rejestru przesuwnego ze sprzężeniem zwrotnym w postaci bramki Exclusive-Or (EXOR). Ogólna struktura takiego układu jest
przedstawiona na Rys. 1. Bity na wyjściu układu pojawiają się w takt sygnału zegarowego CLK, sterującego
wyjście
yn
c2
c1
D
yn-1
D
yn-2
c3
D
yn-3
cN-1
D
yn-N+1
D
CLK
Rys. 1. Schemat generatora PRBS
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
yn-N
pracą rejestru przesuwnego.
Struktura generatora PRBS N -tego stopnia jest
opisana za pomocą zestawu N − 1 współczynników ci ,
mogących przybierać wartości 0 lub 1. Współczynnik
N jest tutaj zawsze równy 1. Jeśli współczynnik ci = 1
to oznacza to, że sygnał z i -tego stopnia rejestru przesuwnego jest podawany poprzez obwód sprzężenia
zwrotnego na wejście pierwszego z przerzutników. Jeśli
ci = 0 to sygnał z danego stopnia rejestru nie uczestniczy w sprzężeniu zwrotnym.
Sekwencja bitów wytwarzana w układzie z Rys. 1
jest jednoznacznie określona poprzez współczynniki ci
oraz stan początkowy przerzutników D tworzących
rejestr przesuwny. Jeśli współczynniki zostaną odpowiednio dobrane, to sekwencja wytwarzana przez układ
będzie tak zwaną sekwencją o maksymalnej długości, to
znaczy będzie okresowa z okresem M = 2 N − 1 . Początkowy stan rejestru jest w zasadzie dowolny z wyjątkiem stanu zerowego. Ustawienie takiego stanu w
rejestrze spowoduje, że układ go już nie opuści, co
wynika z własności sumy „modulo-2”.
Aby sekwencja PRBS generowana w układzie z
rejestrem przesuwnym o długości N posiadała najdłuższy możliwy okres potrzeba, aby wielomian:
XN +
N −1
¦c X
i
i
+1 ,
(1)
i =1
opisujący strukturę układu, był tzw. wielomianem pierwotnym (ang. primitive) [4], [5]. Oznacza to, że nie jest
możliwa jego faktoryzacja w grupie GF(2) oraz że jest
on podzielnikiem wielomianu X l + 1 dla l = 2 N − 1 a
nie jest dla mniejszych wartości l .
Tablice wielomianów pierwotnych można znaleźć
w wielu miejscach, np. [6]. Bardzo obszerne zestawienia wielomianów pierwotnych są też dostępne w Internecie, np. [7]. Również Communication Toolbox programu Matlab oferuje gotowe funkcje, którymi można
generować takie wielomiany.
Z praktycznego punktu widzenia najwygodniejsze
zdają się być wielomiany o tylko jednym niezerowym
współczynniku ci , czyli postaci X N + X i + 1 . Gene-
1/6
www.pwt.et.put.poznan.pl
rator PRBS pracujący wedle takiego wielomianu ma
obwód sprzężenia zwrotnego zrealizowany przy użyciu
jedynie dwuwejściowej bramki EXOR. Jest to istotne
zwłaszcza w szybkich systemach transmisyjnych, gdyż
wielowejściowa bramka EXOR musi być zrealizowana
jako kaskadowe połączenie bramek dwuwejściowych,
co zwiększa czas propagacji przez taką bramkę, ograniczając tym samym maksymalną częstotliwość pracy
całego układu. Standardowo do testowania cyfrowych
systemów transmisyjnych wykorzystuje się generatory
oparte o wielomiany 7 rzędu (np. X 7 + X 4 + 1 ) i 23
rzędu (np. X 23 + X 5 + 1 ). Okresy sekwencji generowanych przez takie wielomiany wynoszą odpowiednio 127
i 8388607.
Cechy charakterystyczne wielomianów pierwotnych to m.in. symetria oraz nieparzysta liczba niezerowych współczynników ci . Symetria oznacza, że jeśli
wielomian (1) jest pierwotny, to również wielomian:
1+
N −1
¦c X
i
N −i
+XN
(2)
i =1
jest pierwotny. Tak więc, np. wielomiany symetryczne
do podanych powyżej wielomianów 7 i 23 rzędu to
odpowiednio wielomiany X 7 + X 3 + 1 X 23 + X 18 + 1 .
Sekwencje bitów generowane przez wielomiany symetryczne są względem siebie odwrócone w czasie (przy
założeniu, że stan początkowy rejestru będzie również
dobrany symetrycznie).
Wśród wielomianów pierwotnych wyróżnia się też
grupę trójmianów, opartych na liczbach pierwszych
Mersenne’a [7]. Dla trójmianów takich M = 2 N − 1 jest
liczba pierwszą, w związku z czym wszystkie takie
nieredukowalne wielomiany są jednocześnie wielomianami pierwotnymi.
2. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI SEKWENCJI
PRBS
Sekwencje PRBS posiadają wiele interesujących
właściwości, które są omawiane w praktycznie każdej
pozycji literaturowej, zajmującej się zagadnieniami
transmisji cyfrowej, np. [3]. Tutaj jedynie wymienimy
podstawowe z tych właściwości i krótko je skomentujemy.
i. Rejestr przesuwny w generatorze PRBS w ciągu
okresu sekwencji przechodzi przez wszystkie stany
binarne z wyjątkiem stanu zerowego. Wynika stąd,
że liczba „1” w sekwencji wynosi 2 N −1 , a liczba
„0” 2 N −1 − 1 . Można więc uważać, że sekwencja
PRBS jest praktycznie zrównoważona pod względem liczby nadawanych komplementarnych symboli
i że prawdopodobieństwo symbolowe są praktycznie
jednakowe i równe 0.5.
ii. Serie jednakowych symboli występujących obok
siebie („0” lub „1”) w sekwencji PRBS maja tą właściwość, że połowa z nich ma długość 1, jedna
czwarta długość 2, jedna ósma długość 3 itd., tak
długo, jak długo mają sens powyższe ułamki dla danej długości sekwencji PRBS. Całkowita liczba serii
jednakowych symboli w sekwencji wynosi 2 N −1 .
Właściwość tę można rozumieć w ten sposób, że se-
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
rie jednakowych symboli w sekwencji PRBS mają
praktycznie takie prawdopodobieństwa, jak by to
było w całkowicie losowej sekwencji bitów.
iii. Funkcja autokorelacji sekwencji PRBS jest okresowa z okresem M Tb , gdzie czas Tb jest czasem
trwania bitu i jest równy odwrotności częstotliwości
przebiegu zegarowego f CLK . Można ją wyrazić
wzorem:
­1 − τ (M + 1) (MT )b
Rc (τ ) = ®
−1 M
¯
τ ≤ Tb
.
gdzie indziej
(3)
Okresowość funkcji autokorelacji oznacza, że
widmo sekwencji PRBS jest prążkowe, przy czym
prążki są od siebie odległe o częstotliwość f CLK M . Z
prostokątnego kształtu bitów wynika obwiednia widma
zgodna z funkcją sinc 2 ( f f CLK ) . Dla dużych wartości
M można przyjąć, że właściwości widmowokorelacyjne sekwencji PRBS są bardzo podobne do
właściwości sekwencji całkowicie losowych. Dla przebiegu całkowicie losowego widmo byłoby ciągłe a
funkcja autokorelacji miała by postać delty Dirac’a dla
τ =0.
Przytoczone powyżej właściwości pozwalają wyciągnąć wniosek, że sekwencje PRBS są bardzo podobne do binarnych sekwencji losowych a różnice, zwłaszcza dla dużych wartości M , są dosyć subtelne.
Z tego też powodu i ze względu na łatwość wytwarzania sekwencje takie są powszechnie używane do
testowania bitowej stopy błędów w różnego rodzaju
cyfrowych łączach transmisyjnych. W wielu przypadkach łącza takie nie przenoszą składowych sygnału o
małych częstotliwościach wraz ze składowa stałą. Prowadzi to do powstawania szczególnego rodzaju interferencji międzysymbolowych, określanych mianem błądzenia progu komparacji (ang. baseline wander), co
skutkuje zwiększeniem wartości BER ponad wartość
wynikającą jedynie z obecności szumu addytywnego
[8]. Istotnym czynnikiem jest w takim przypadku postać
rozkładu prawdopodobieństwa jaką wykazuje sygnał na
wyjściu filtru dolnoprzepustowego. Wynika to stąd, że
układ z odciętą składową stałą (Rys. 2a) można przedstawić w równoważnej postaci (Rys. 2b), w której odbierany sygnał jest porównywany z progiem komparacji, wytworzonym z tegoż sygnału na drodze filtracji
dolnoprzepustowej. Jeśli pomiar stopy błędów ma być
rzetelny byłoby pożądane, aby sekwencja testowa używana w pomiarach w żaden sposób nie obciążała uzyskanego wyniku.
W dalszej części artykułu skupimy się właśnie na
kwestii rozkładu prawdopodobieństwa jaką posiada
sygnał, powstający przez dolnoprzepustową filtrację
sekwencji PRBS. Na początku zostanie krótko omókomparator
a).
komparator
b).
Rys. 2. Równoważność układu z odcięta składową stałą
i układu z filtrem dolnoprzepustowym
2/6
www.pwt.et.put.poznan.pl
1
[C]
CLK
2
Mux
[L]
1
st_out
L
[C]
[L]
CLK
D
Q
nL
[C]
CLK
D
Q
nL
[L]
In1
[C]
[L]
In1
F1
CLK
D
Q
nL
In1
F2
F3
[C]
[L]
CLK
D
Q
nL
In1
F4
[C]
[L]
[C]
CLK
D
Q
nL
[L]
In1
CLK
D
Q
nL
[C]
[L]
In1
F5
CLK
D
Q
nL
[C]
CLK
D
Q
nL
[L]
In1
F6
[C]
CLK
D
Q
nL
[L]
In1
F7
In1
F8
F9
XOR
2
Out
3
Demux
st_in
Rys. 3. Model bloku “Generator PRBS” dla wielomianu X 9 + X 5 + 1
mianu 23 rzędu) postanowiono podzielić go na części,
last_state
aby możliwe było na bieżąco monitorowanie przebiePulse
gów i wyznaczanych parametrów. W jednym kroku
To Workspace
Generator
CLK
wyznaczana była odpowiedź układu dla 1024 taktów
st_out
L
zegara. Podstawowe parametry statystyczne sygnału na
Out
simout
st_in
wyjściu
filtru, takie jak wartość średnia, wariancja,
LOAD
To Workspace
skośność oraz kurtozis [9], były wyznaczane w prograGenerator
PRBS
mie Matlab i uaktualniane po każdym kroku symulacji.
1
last_state
W podobny sposób wyznaczano histogram sygnału na
200s+1
Scope
From
wyjściu filtru. Po każdym kroku symulacji stan końcoTransfer Fcn
Workspace
(with initial outputs)
wy rejestru przesuwnego generatora sekwencji PRBS
Rys. 4. Model symulacyjny sporządzony w programie
był zapamiętywany i ponownie ustawiany na początku
Simulink
kolejnego kroku (za pomocą impulsu LOAD). Podobnie
zapamiętywany i odtwarzany był stan filtru wyjściowewiony model symulacyjny, który posłużył do zbadania
go.
takich rozkładów.
4. UZYSKANE WYNIKI
3. MODEL SYMULACYJNY
Przeprowadzone
zostały symulacje generatorów
Badania symulacyjne rozkładów prawdopodobieńopartych
na
kilkudziesięciu
różnych wielomianach.
stwa filtrowanych sekwencji PRBS zostały przeprowaJako
filtr
dolnoprzepustowy
wykorzystywano
układ I
dzone z wykorzystaniem oprogramowania Marzędu o stałej czasowej równej τ F = 100Tb lub
tlab/Simulink. Na Rys. 3 jest przedstawiony przykładowo model generatora PRBS dla wielomianu
τ F = 200Tb . Otrzymane wyniki były sporym zaskoczeX 9 + X 5 + 1 , natomiast Rys. 4 jest pokazany cały syniem dla autorów gdyż okazało się, że wszystkie przemulowany układ.
badane generatory o jednym odczepie cechują się
znaczną (i dla różnych wielomianów bardo podobną)
Ponieważ pełny cykl symulacyjny dla jednego
asymetrią histogramu. Przykładowe histogramy dla
wielomianu trwał dosyć długo (ok. 6 godzin dla wieloX
22
9
+X
5
+1
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
23
+X
5
+1
20
gęstość prawdopodobieństwa
gęstość prawdopodobieństwa
20
a).0.2
X
22
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
wartość sygnału
0.8
0
b).0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
wartość sygnału
Rys. 5. Histogramy sygnału na wyjściu filtru dolnoprzepustowego dla przykładowych generatorów PRBS z jednym odczepem. Stała czasowa filtru τ F = 200Tb
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
3/6
www.pwt.et.put.poznan.pl
Tab. 1 Wartości parametrów statystycznych dla generatorów PRBS z jednym odczepem
y − min ( y )
max ( y ) − y
l. bitów
2.07
0.033
0.033
215
-1.4
7.97
0.219
0.069
217
0.5000 6.28⋅10-4
-1.28
7.2
0.273
0.087
220
0.4996 6.26⋅10-4
-0.99
5.32
0.195
0.075
223
23
0.5000 6.28⋅10-4
-0.85
4.8
0.243
0.099
223
1 + X 3 + X 31
0.4996 6.55⋅10-4
-1.04
5.45
0.237
0.099
223
7
1+ X 5 + X 9
0.5011 0.77⋅10-3
-0.55
2.49
0.75
0.057
215
8
1 + X 5 + X 23
1.3⋅10-3
-0.99
5.14
0.297
0.135
223
y
σ y2
1+ X 5 + X 9
0.5009
2.5⋅10-4
-0.22
1 + X 3 + X 17
0.5000 6.23⋅10-4
3
1 + X 3 + X 20
4
1 + X 5 + X 23
τF
wielomian
1
2
5
1+ X
6
18
+X
200*Tb
100*Tb
0.5000
skośność kurtozis
wielomianów 9 i 23 rzędu z filtrem o τ F = 200Tb są
przedstawione na Rys. 5 (linia schodkowa). Na każdym
z wykresów linią przerywaną zaznaczono również
kształt funkcji rozkładu prawdopodobieństwa wyznaczoną przy sterowaniu filtru całkowicie losową sekwencją binarną. Widać, że rozkład teoretyczny nie
pokrywa się z rozkładem wyznaczonym dla sekwencji
PRBS.
W Tab. 1 zebrano wartości podstawowych parametrów statystycznych dla wybranych wielomianów,
otrzymane drogą symulacji. Ponieważ histogramy dla
pozostałych wielomianów z Tab. 1 wyglądają w zasadzie tak samo jak histogram pokazany na Rys. 4b, więc
nie będą tu prezentowane.
Analizując Tab. 1 można zauważyć, że za wyjątkiem wielomianów niskiego rzędu (poz. 1 i 7) wartości
średnie filtrowanych sekwencji PRBS są z dużą dokładnością równe 0.5, co odpowiada średniej sygnału na
wyjściu filtru dolnoprzepustowego pobudzanego całkowicie losową sekwencją binarną. Wariancja również
dobrze się zgadza z wartością teoretyczną wyznaczoną
dla sekwencji losowych. Odpowiednią wartość można
obliczyć ze wzoru [8]:
σ y2 = t gh (Tb 2τ F ) 4 ≈ 0.125 Tb τ F ,
X
20
(4)
+ X 17 + X 9 + X 7 + 1
X
wielomian
Mersenne’a
23
+ X 15 + X
4
+ X +1
16
gęstość prawdopodobieństwa
gęstość prawdopodobieństwa
wielomiany
symetryczne
Z kolei centralny unormowany moment trzeciego
rzędu, nazywany skośnością, znacząco odbiega dla tych
sekwencji PRBS od wartości teoretycznej. W przypadku pobudzania filtru dolnoprzepustowego losową sekwencją bitów otrzymywany rozkład jest symetryczny
względem wartości średniej, co skutkuje skośnością
równą 0. Natomiast wszystkie zbadane generatory
PRBS charakteryzowały się rozkładem o znacznej
ujemnej wartości skośności. Ponadto minimalne i maksymalne wartości sygnału na wyjściu filtru nie są symetrycznie rozłożone wokół średniej, lecz odległość od
średniej do minimum jest ok. 2-3 razy większa niż odległość od maksimum do średniej.
Otrzymane histogramy stanowią dla autorów sporą
zagadkę, tym bardziej, że nie udało się natrafić na żaden
generator z jednym odczepem, który dawał by histogram o dodatniej wartości skośności. Na kształt histogramu nie miało wpływu ani to, który z dwóch wielomianów symetrycznych został wybrany, ani to, czy rząd
generatora był liczbą parzystą czy nieparzystą. Również
wielomiany oparte na liczbach pierwszych Mersenne’a
charakteryzowały się asymetrycznym histogramem.
14
12
10
8
6
4
14
12
10
8
6
4
2
2
0
0.2
wielomian
Mersenne’a
z którego wynikają wartości 6.25⋅10-4 oraz 1.25⋅10-3,
odpowiednio dla filtru o τ F = 200Tb i τ F = 100Tb .
16
a).
uwagi
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
wartość sygnału
0.8
b).
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
wartość sygnału
Rys. 6. Histogramy sygnału na wyjściu filtru dolnoprzepustowego dla przykładowych generatorów PRBS z większą
liczbą odczepów: a). stała czasowa τ F = 200Tb , b). stała czasowa τ F = 100Tb
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
4/6
www.pwt.et.put.poznan.pl
Tab. 2 Wartości parametrów statystycznych dla generatorów PRBS z większa liczbą odczepów
y − min ( y )
max ( y ) − y
l. bitów
2.97
0.045
0.039
215
0.007
3.02
0.12
0.105
220
200*Tb 0.5000 6.28⋅10-4
0.008
2.93
0.105
0.099
220
3
0.5000 6.28⋅10-4
0.001
3.01
0.159
0.111
223
23
17
0.5000 6.24⋅10-4
-0.03
2.97
0.105
0.105
223
1F4
9
5
0.5011
7.8⋅10-4
-0.18
3.06
0.075
0.069
215
7
480300
23
3
0.5000 1.25⋅10-3
0.002
2.98
223
8
600880
23
3
0.5002 1.24⋅10-3
0.011
2.99
2⋅106
9
4008C0
23
3
0.4998 1.24⋅10-3
0.007
2.98
10
6000F0
23
5
0.5002 1.25⋅10-3
0.009
2.98
3⋅106
11
400079
23
5
0.5000 1.26⋅10-3
0.007
2.96
106
y
σ y2
5
0.5009
2.4⋅10-4
-0.27
20
3
0.5000 6.27⋅10-4
CCAB2
20
9
4
404009
23
5
73FF75
6
wielomian
rząd
odczepy
1
1F4
9
2
90140
3
τF
100*Tb
W związku z tym postanowiono również zbadać
histogramy, które powstają z sekwencji PRBS wytwarzanych przez generatory z większą liczbą odczepów.
W tym przypadku wynik był również nieco zaskakujący
gdyż okazało się, że histogramy w tych przypadkach są
prawie idealnie symetryczne. Przykłady otrzymanych
histogramów są przedstawione na Rys. 6a (wielomian
X 20 + X 17 + X 9 + X 7 + 1 z filtrem o τ F = 200Tb ) oraz
Rys. 6b (wielomian X 23 + X 15 + X 4 + X + 1 z filtrem o
τ F = 100Tb ). Podobnie jak poprzednio, linią przerywaną zaznaczono kształt funkcji rozkładu przy sterowaniu
filtru całkowicie losową sekwencją binarną. W tym
przypadku jednakże rozkład teoretyczny bardzo dobrze
zgadza się z histogramem wyznaczonym dla sekwencji
PRBS.
Parametry statystyczne otrzymane drogą symulacji
dla przebadanych wielomianów zebrane są w Tab. 2.
Do oznaczania wielomianów wykorzystano zapis szesnastkowy współczynników, w którym współczynnikowi
przy najwyższej potędze X przypisuje się najwyższą
wartość (MSB). Przykładowo, w zapisie tym wielomian
X 23 + X 15 + X 4 + X + 1 jest oznaczony jako 404009.
X
gęstość prawdopodobieństwa
30
9
+X8+X
7
+X
6
+X
5
+ X 3 +1
25
20
15
10
5
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
wartość sygnału
Rys. 7. Histogram dla generatora PRBS 9 rzędu z pięcioma
odczepami. Stała czasowa filtru τ F = 200Tb
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
skośność kurtozis
nie wyznaczano
3⋅106
Dla wszystkich wielomianów z Tab. 2 można zauważyć, że skośność histogramu jest praktycznie równa
zero. Także odległości pomiędzy minimalnymi i maksymalnymi wartościami a średnią są porównywalne.
Podobnie jak w Tab. 1 wartość średnia oraz wariancja
dosyć dokładnie zgadzają się z wartościami teoretycznymi. Odstępstwo od ogólnej reguły występuje tylko w
przypadku wielomianu 9 rzędu (pozycja 1), dla którego
skośność ma znaczną wartość. Niemniej jednak także i
w tym wypadku histogram jest znacznie bardziej zwarty
i symetryczny w porównaniu z histogramem sporządzonym dla generatora PRBS 9 rzędu z jednym odczepem. Dla porównania histogram ten pokazano na
Rys. 7.
Sekwencje PRBS generowane przez wszystkie
wielomiany zebrane w Tab. 2 charakteryzowały się
wartością kurtozisu bardzo zbliżoną do 3. Jest to spora
różnica w stosunku do danych zawartych w Tab. 1,
gdzie parametr ten zmieniał się w dosyć dużych granicach. Chociaż często wartość kurtozisu równą 3 przyjmuje się za pewien wyznacznik rozkładu normalnego
[9], niemniej jednak w rozpatrywanych tutaj przypadkach otrzymywane histogramy na pewno nie mają takiego charakteru. Wynika to stąd, że sygnał na wyjściu
filtru dolnoprzepustowego dla wszelkich sekwencji
binarnych (czy to pseudolosowych, czy też całkowicie
losowych) jest z konieczności ograniczony, natomiast
zmienna losowa opisywana rozkładem normalnym
może przybierać wartości nieskończone. Na podstawie
wyznaczonych wartości skośności i kurtozisu można
skonstruować stosowne aproksymacje rozkładów filtrowanych sekwencji PRBS, na przykład posługując się
metodami przedstawionymi w [9].
5. WYNIKI POMIARÓW
W celu praktycznego sprawdzenia przedstawionych powyżej wyników symulacji zostały przeprowadzone pomiary histogramów filtrowanych sekwencji
PRBS. Schemat wykorzystywanego układu pomiarowego jest przedstawiony na Rys. 8. W jego skład wchodził generator PRBS zbudowany w oparciu o programowalny układ CPLD XC9536XV firmy Xilinx. Generator wytwarzał strumień danych pseudolosowych z
5/6
www.pwt.et.put.poznan.pl
generator
PRBS
100 Mb/s
XC9536XV
filtr RC
1.3 kΩ
oscyloskop
HP Infinium
1.5 nF
Rys. 8. Schemat układu pomiarowego
szybkością 100 Mb/s, który następnie był filtrowany w
filtrze RC o stałej czasowej τ F ≈ 2 µs (co daje
τ F ≈ 200Tb ). Wartości sygnału na wejściu filtru dla
„zera” i „jedynki” wynosiły odpowiednio 0 V i ok.
2.2 V. Przebieg napięcia na wyjściu filtru następnie
rejestrowany za pomocą oscyloskopu cyfrowego
HP54825A, który służył też do wyznaczania histogramem.
Przykładowo, na Rys. 9 są przedstawiono wyniki
pomiarów dla sekwencji PRBS generowanej według
wielomianu X 23 + X 5 + 1 . Można zauważyć, otrzymany histogram jest niesymetryczny i że w filtrowanym
sygnale częściej występują wartości poniżej średniej niż
wartości powyżej średniej. Jest to też wyraźnie widoczne na „wykresie gęstości” pokazanym z lewej strony
histogramu.
Na Rys. 10 są przedstawione wyniki pomiarów
przeprowadzonych dla sekwencji PRBS generowanej
według wielomianu X 23 + X 15 + X 4 + X + 1 . W tym
przypadku zarówno histogram jak i „wykres gęstości”
są symetryczne.
Można stwierdzić, że zaprezentowane wyniki pomiarów są zgodne z wynikami symulacji, które zostały
przedstawione w poprzednim rozdziale. Odchylenie
standardowe sygnału filtrowanego, wyznaczone na
podstawie histogramu, w obydwu przypadkach jest też
zgodne z wartością wyliczoną na podstawie równania
(4), która wynosi ok. 55.7 mV.
Rys. 9. Histogram oraz „wykres gęstości” sygnału na
wyjściu filtru dla generatora PRBS z jednym odczepem
Rys. 10. Histogram oraz „wykres gęstości” sygnału na
wyjściu filtru dla generatora PRBS z trzema odczepami
PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005
6. PODSUMOWANIE
Z przeprowadzonych symulacji i pomiarów wynika, że charakterystyczną cechą sekwencji PRBS generowanych na podstawie trójmianów pierwotnych (czyli
dla generatorów z jednym odczepem) jest niesymetryczny kształt histogramu sygnału na wyjściu filtru
dolnoprzepustowego. Charakteryzuje się on skośnością
ok. –1 oraz kurtozisem ok. 5 a wartość minimalna jest
ponad dwa razy bardziej odległa od średniej niż wartość
maksymalna. Na wartości tych parametrów słabo
wpływa konkretna postać wielomianu, bez większego
znaczenia jest też to, czy rząd wielomianu jest parzysty
lub czy jest liczbą pierwszą.
Można stąd wyciągnąć wniosek, że wykorzystywanie takich wielomianów, na przykład w miernikach
stopy błędów, będzie wnosiło pewne zafałszowanie
wyniku jeśli w badanym łączu transmisyjnym występują sprzężenia zmiennoprądowe (pojemnościowe,
transformatorowe lub w postaci typowego układu sterującego lasera półprzewodnikowego). Także parametry
wyznaczane na podstawie wzoru oka (współczynnik Q,
jitter itp.) będą obarczone błędem. Oszacowanie tego
błędu jest możliwe jeśli znana jest postać transmitancji
łącza w zakresie małych częstotliwości.
Wydaje się natomiast, że znacznie lepiej do generacji sekwencji testowych nadają się wielomiany o
większej liczbie współczynników niezerowych. Otrzymywane dla takich wielomianów histogramy są symetryczne i cecha ta słabo zależy od konkretnej postaci
użytego wielomianu. Z praktycznego punktu widzenia
istotne jest to, że wystarczające jest wykorzystanie
wielomianu o trzech niezerowych współczynnikach, co
wymaga użycia czterowejściowej bramki EXOR w
generatorze PRBS.
7. PODZIĘKOWANIE
Praca była finansowana z grantu KBN nr
3T11B02926.
8. LITERATURA
[1]. C.F. Coombs: „Electronic Instrument Handbook”,
McGraw-Hill, New York 1995
[2]. A. Liwak, Ł. Śliwczyński: „Laboratoryjny miernik
bitowej stopy błędu”, PWT’2004
[3]. S. Haykin: Systemy telekomunikacyjne”, tom 2,
WKiŁ, Warszawa, 1998
[4]. R.D. Gitlin, J.F. Hayes: „Timing recovery and
scramblers in data transmission”, Bell System
Technical Journal, Vol. 54, No. 3, 1975,
pp. 569-593
[5]. R.D. Gitlin, J.F. Hayes, S.B. Weinstein: „Data
communications principles”, Plennum Press, 1992
[6]. J.G. Proakis: „Digital communications”, McGrawHill, New York, 1983
[7]. http://www.fchabaud.free.fr
[8]. Ł. Śliwczyński: „Analysis of baseline wander and
BER performance in transmission links with lowfrequency removal”, Kwartalnik Elektroniki i
Telekomunikacji, artykuł przyjęty do druku
[9]. J.G. Hahn, S.S. Shapiro: “Statistical models in
engineering”, Wiley, 1994
6/6