Ciągi Matematyka szkoła śr. Z ilu wyrazów powinien składać się

Ciągi
Matematyka szkoła śr.
Z ilu wyrazów powinien składać się ciąg arytmetyczny
5, 9, 13, 17 . . .
aby suma tych wyrazów była równa 10877?
Rozwiązanie:
Z warunków zadnia wynika, że:
a1 = 5
d = a2 − a1 = 9 − 5 = 4
Wzór na sumę n-wyrazów ciągu arytmetycznego:
Sn =
[2a1 + d(n − 1)]n
2
przekształcimy tak, by otrzymać wzór na liczbę wyrazów:
Sn =
[2a1 + d(n − 1)]n
2
2Sn = [2a1 + d(n − 1)]n
/·2
/·2
2Sn = (2a1 + dn − d)n
2Sn = 2a1 n + dn2 − dn
dn2 − dn + 2a1 n − 2Sn = 0
dn2 + n(2a1 − d) − 2Sn = 0
Podstawiając dane otrzymujemy:
4n2 − 6n − 21754 = 0 / : 2
Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:
2n2 − 3n − 10877 = 0
∆ = 32 − 4 · 2 · (−10877)
∆ = 9 + 87016
∆ = 87025
√
∆ = 295
√
−3 − 295
−298
−b − ∆
=
=
= −74, 5
2a
2·2
4
√
−b + ∆
−3 + 295
292
n2 =
=
=
= 73
2a
2·2
4
Z wyliczonych wartości n tylko n = 73 spełnia warunki zadania (n musi być liczbą całkowitą i dodatnią) i jest jego rozwiązaniem.
n1 =
Zadanie pochodzi z portalu z zadaniami z matematyki i fizyki
1