Matematyka Dyskretna 5/2009 1. Obliczyć a4,a5 i a6 jeżeli a0 = α, a

Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Matematyka Dyskretna 5/2009
n−1
dla n > 2. Podać jawny
1. Obliczyć a4 , a5 i a6 jeżeli a0 = α, a1 = β oraz an = 1+a
an−2
wzór na an . Jakie warunki muszą spełniać α i β, jeżeli ten ciąg jest nieskończony?
2. (a) Definiujemy rekurencyjnie s0 = 1 i sn+1 = s2n dla n > 0. Obliczyć piąty,
dziesiąty i piętnasty wyraz tego ciągu. Jaki jest zbiór wartości ciągu {sn }?
(b) Definiujemy rekurencyjnie a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2 oraz an = an−1 − an−2 + an−3
dla n > 3. Jaki jest zbiór wartości ciągu {an }?
3. Wariant problemu wież z Hanoi. Podwójna wieża z Hanoi składa się z 2n krążków n różnych rozmiarów, po 2 krążki każdego rozmiaru. Podobnie, jak w oryginalnym
problemie, przenosimy w jednym ruchu jeden krążek i nie możemy kłaść większego na
mniejszy. Ile ruchów trzeba co najmniej wykonać, aby przenieść wieżę z jednego pręta na
drugi (z wykorzystaniem trzeciego), jeśli krążki różnej wielkości są nierozróżnialne?
4. W problemie Józefa Flawiusza mamy liczby naturalne od 1 do n zapisane kolejno na
okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Poruszając się po okręgu w takim kierunku
eliminujemy co drugą liczbę (liczenie zaczynamy od liczby 1, czyli pierwszą usuniętą liczbą
jest 2, o ile oczywiście n > 2). Przy kolejnych przejściach okręgu liczb wyeliminowanych
już nie bierzemy pod uwagę. Przez J(n) oznaczamy liczę, która zostanie jako ostatnia, a
I(n) – przedostatnia. Podać zależności rekurencyjne na J(n) (patrz wykład) oraz I(n).
Obliczyć I(43), I(100) oraz I(1000).
5. Niech α, β i γ będą ustalonymi liczbami rzeczywistmi. Definiujemy ciąg rekurencyjny następującymi wzorami:
f (1) = α;
f (2n) = 2f (n) + β, dla n > 1
f (2n + 1) = 2f (n) + γ, dla n > 1
Obliczyć f (55), f (2n ), f (2n − 1). Wyprowadzić jawny wzór na f (n).
P
P
6. Niech
= {a, b, c} i niech sn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie , w
których nie występuje ciąg aa. Obliczyć piąty, sódmy i dziesiąty wyraz ciąg sn i znaleźć
dla niego wzór rekurencyjny.
P
7. Niech
= {a, b}.
P
(a) Niech sn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie , nie zawierających ciągu ab.
Obliczyć piąty szósty i siódmy wyraz ciągu sn , znaleźć jawny wzór na sn i go udowodnić.
P
(b) Niech tn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie , w których jest parzysta
liczba liter a. Obliczyć piąty szósty i siódmy wyraz ciągu tn , znaleźć jawny wzór na tn i
go udowodnić.
8. Jaka jest największa liczba Ln rozłącznych obszarów, na jakie n prostych dzieli
płaszczyznę. Ułóż wzór rekurencyjny na Ln i podaj jawną postać n-tego wyrazu ciągu.
1
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
9. Jaka jest największa liczba P5 rozłącznych brył, na jakie 5 płaszczyzn może podzielić sześcian. Znajdź wzór rekurencyjny dla Pn , maksymalnej liczby 3-wymiarowych
obszarów, na jakie sześcian może być podzielnony n płaszczyznami.
10. W każdym z następujących przypadków podaj jawny wzór na s2n i udowodnij
indukcyjnie jego poprawność:
(a) s1 = 1, s2n = 2sn + 3; (b) s1 = 0, s2n = 2sn + 5n;
(c) s1 = 1, s2n = 2sn − 7; (d) s1 = 0, s2n = 2sn + 5 − 7n.
Opracował: Cz. Bagiński
2