nowe kierunki w analizie odporności oraz modelowaniu preferencji

Transkrypt

nowe kierunki w analizie odporności oraz modelowaniu preferencji

Politechnika Poznańska
Wydział Informatyki
Instytut Informatyki
Streszczenie rozprawy doktorskiej
NOWE KIERUNKI
W ANALIZIE ODPORNOŚCI ORAZ MODELOWANIU PREFERENCJI
W WIELOKRYTERIALNYM WSPOMAGANIU DECYZJI
Miłosz Kadziński
Promotor
prof. dr hab. inż. Roman Słowiński
Poznań, 2012
Spis treści
1 Wprowadzenie
1
1.1
Kontekst tematu badawczego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Cel i zakres pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Notacja i podstawowe pojęcia
7
3 Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania
3.1
11
ELECTRE
GKMS
: zasada odpornej regresji porządkowej
dla metod z rodziny ELECTRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GKS
3.2
PROMETHEE
3.3
Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod wielokryterialnego sortowania opar-
: zasada odpornej regresji porządkowej
dla metod z rodziny PROMETHEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tych na relacji przewyższania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Zasada odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych
4.1
GMS
UTA
GMS
UTADIS
19
25
27
-GROUP: zasada odpornej regresji porządkowej dla grupowych prob-
lemów sortowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
16
-GROUP: zasada odpornej regresji porządkowej dla grupowych problemów
porządkowania i wyboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
12
30
Zasada odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych w przypadku łącznego
rozważenia informacji preferencyjnej decydentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5 Analiza wyników skrajnych dla problemów porządkowania
35
6 Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanego rankingu wariantów
39
7 Wybór reprezentatywnej instancji modelu preferencji
43
8 Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanych liczności klas decyzyjnych
49
9 Podsumowanie
53
9.1
Realizacja celów rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
9.2
Perspektywy dalszych badań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Literatura
59
I
Rozdział 1
Wprowadzenie
1.1
Kontekst tematu badawczego
Wielokryterialne wspomaganie decyzji. Wielokryterialne wspomaganie decyzji (WWD) jest
specjalnością naukową wywodzącą się z teorii decyzji i badań operacyjnych. Dyscyplina ta wyposaża
decydentów w narzędzia umożliwiające rozwiązywanie złożonych problemów decyzyjnych, w których
zbiór potencjalnych wariantów ocenia się z wielu, często konfliktowych punktów widzenia [5, 23,
58, 76]. Mnogość i różnorodność punktów widzenia na jakość alternatywnych wariantów dojścia
do celu decyzyjnego, powodują, że najczęściej nie jest możliwe wskazanie jednego wariantu, który
byłby najlepszy z wszystkich punktów widzenia. Punkty widzenia na jakość wariantów decyzyjnych
są sformalizowane przez kryteria oceny, stąd klasę problemów decyzyjnych, w których uwzględnia
się wiele punktów widzenia nazywa się wielokryterialnymi problemami decyzyjnymi. Celem wspomagania decyzji w obecności wielu kryteriów jest rekomendacja decyzji najbardziej spójnych z systemem wartości uczestników procesu decyzyjnego oraz pomoc w uzyskaniu odpowiedzi na pytania
stawiane przez te podmioty [62].
Uczestnicy procesu decyzyjnego. Głównymi uczestnikami procesu decyzyjnego są decydent
oraz analityk. Decydent to podmiot (pojedynczy lub zbiorowy), w imieniu którego lub dla którego
realizowane jest wspomaganie decyzji. Określa on cele procesu, wyraża preferencje i ocenia rekomendowane rozwiązanie. Analityk pełni funkcję pomocniczą wobec decydenta, będąc odpowiedzialnym
za postęp procesu decyzyjnego. Dokonuje on wyboru narzędzi i procedur analizy wielokryterialnej,
a następnie współpracuje z decydentem, wyjaśniając konsekwencje określonych działań i wspomagając go w wyborze rozwiązania kompromisowego.
Zbiór wariantów decyzyjnych. Zbiór wariantów A, które mają być poddane ocenie w ramach
analizy wielokryterialnej, definiuje rozwiązania lub czynności, wobec których osoby zaangażowane
w proces przejawiają zainteresowanie i które potencjalnie można zrealizować. Zbiór wariantów
może być zdefiniowany z góry lub podlegać zmianom wraz z postępem procesu decyzyjnego.
W przykładowych problemach decyzyjnych wariantami są wnioski kredytowe, kandydaci na
określoną pozycję, pacjenci w oczekiwaniu na leczenie lub projekty prac badawczo-rozwojowych.
Rodzina kryteriów. W procesie decyzyjnym czynniki niezależne od decydenta są zazwyczaj
warunkami ograniczającymi decyzję. Mają one wpływ na określenie zbioru wariantów dopuszczalnych. Z drugiej strony, czynniki, które są zależne od decydenta i pozwalają na miarodajne porównywanie wariantów decyzyjnych nazywamy kryteriami. Każde kryterium jest funkcją rzeczywistą gj
1
2
Wprowadzenie
zdefiniowaną na zbiorze A, która nadaje ocenę każdemu wariantowi z określonego punktu widzenia
w ten sposób, że aby porównać parę wariantów a, b ∈ A z tego punktu widzenia, wystarczy
porównać oceny gj (a) i gj (b). Oznacza to, że zbiory możliwych ocen na poszczególnych kryteriach są uporządkowane zgodnie z rosnącym lub malejącym porządkiem preferencji. Zbiór kryteriów rozważanych w kontekście konkretnego problemu decyzyjnego tworzy spójną rodzinę kryteriów, o ile jest kompletna (tj. uwzględnia wszystkie możliwe punkty widzenia), nienadmiarowa,
a poszczególne kryteria są monotoniczne.
Kategorie problemów wielokryterialnych. W zależności od celu procesu decyzyjnego wyróżnia się cztery podstawowe kategorie wielokryterialnych problemów decyzyjnych: opis, porządkowanie, wybór oraz sortowanie [62]. Pierwsza z nich ma na celu uzyskanie opisu danych analizowanych w ramach procesu decyzyjnego. Istotą problemów porządkowania jest narzucenie na
zbiór wariantów porządku, tj. uszeregowanie ich od najlepszego do najgorszego [79]. Uzyskany
w ten sposób ranking może być zupełny lub częściowy. W tym drugim przypadku dopuszczalna
jest nieporównywalność niektórych par wariantów. Problemy porządkowania są często rozważane
w dziedzinie zarządzania, edukacji, ekonomii, czy inżynierii [75]. Czasopisma specjalistyczne regularnie publikują rankingi uniwersytetów, szpitali lub miast. Państwa porównuje się pod względem
jakości życia, konkurencyjności lub innowacyjności. Coraz większą popularność zyskują też rankingi
różnorodnych instytucji, w których kryteria oceny dotyczą stopnia ich obecności w sieci Internet.
W problemach wyboru zadanie polega na wskazaniu podzbioru najlepszych wariantów. Relacja
pomiędzy problemami porządkowania i wyboru jest bardzo bliska, ponieważ bardzo często jako
najlepsze wskazywane są warianty, które znajdują się na szczycie porządku zupełnego wszystkich
wariantów. Sytuacja taka ma miejsce podczas konkursów muzycznych, które wymagają wskazania
ostatecznego zwycięzcy, rekrutacji kandydatów na określone stanowisko lub przydziału ograniczonej liczby stypendiów. W niektórych problemach decyzyjnych wykorzystuje się jednak procedury ściśle dedykowane dla wyboru najlepszego wariantu. Przykładami takich problemów mogą
być wybór lokalizacji elektrowni lub wskazanie wariantu budowy drogi.
W problemach sortowania zadanie polega na przydziale wariantów do predefiniowanych klas decyzyjnych. Klasy te są uporządkowane pod względem preferencji. Problemy wielokryterialnego sortowania należą do najczęściej spotykanych w medycynie, marketingu, finansach, ochronie środowiska
oraz turystyce [21, 30, 82]. Instrumenty finansowe są przydzielane do kategorii ryzyka finansowego.
Firmy przyznają swoim pracownikom premie o różnej wysokości, biorąc pod uwagę efekty ich
pracy, zaangażowanie, doświadczenie i kwalifikacje. W turystyce kategorie gwiazdkowe pozwalają
na ocenę hoteli i restauracji. Wreszcie w medycynie pacjenci są przydzielani do klas odzwierciedlających stopień zaawansowania ich choroby.
Model preferencji. Wypracowanie ostatecznej rekomendacji wymaga agregacji wektora ocen
wariantów na poszczególnych kryteriach w sposób zgodny z preferencjami i systemem wartości
decydenta. W tym celu metody wspomagania decyzji wykorzystują modele agregacji, które ze względu na narzucenie na zbiór wariantów relacji preferencji - nazywane są również modelami preferencji. W WWD wyróżnia się trzy podstawowe rodziny modeli preferencji: funkcję
użyteczności [46], relację przewyższania [63] oraz zbiór reguł decyzyjnych [31, 69]. W tej rozprawie
rozpatrujemy jedynie dwa pierwsze modele.
Podstawy teoretyczne dla konstrukcji funkcji użyteczności daje wieloatrybutowa teoria
użyteczności. Jej celem jest agregacja wszystkich rozpatrywanych kryteriów do jednej funkcji
użyteczności [46]. Funkcja użyteczności nadaje każdemu wariantowi pojedynczą wartość liczbową
(tzw. globalną użyteczność), która reprezentuje jego jakość przy wzięciu pod uwagę wszystkich
1.1. Kontekst tematu badawczego
3
kryteriów. Użyteczność ta jest następnie wykorzystywana jako indeks, który determinuje pozycję
w rankingu, przynależność do podzbioru najlepszych wariantów lub przydział do określonej klasy.
Teoria użyteczności zakłada, że wszystkie pary wariantów są porównywalne, tzn. decydent zawsze
będzie preferował jeden z wariantów lub uzna dwa warianty za nierozróżnialne względem problemu
decyzyjnego. Najczęściej wykorzystywaną postacią funkcji użyteczności jest forma addytywna.
Model preferencji w postaci relacji przewyższania został zaproponowany przez Roy [62]. Model
ten umożliwia reprezentowanie czterech podstawowych sytuacji dla pary wariantów: nierozróżnialności, słabej preferencji, silnej preferencji oraz nieporównywalności. Relacja przewyższania S jest
sumą relacji nierozróżnialności, słabej i silnej preferencji. Stwierdzenie, że jeden wariant przewyższa
inny wariant jest równoważne powiedzeniu, że jest on “co najmniej tak samo dobry”. Weryfikacja
prawdziwości relacji przewyższania bazuje na analogii do procedur głosowania, tzn. aby uznać
jeden wariant za niegorszy od drugiego, większość kryteriów musi dostarczyć wystarczająco silnych argumentów wspierających hipotezę o przewyższaniu. Jednocześnie pozostałe kryteria nie
mogą wskazywać na znaczące powody za odrzuceniem tej hipotezy. Po weryfikacji prawdziwości
relacji S dla wszystkich par wariantów ze zbioru A, stosowana jest procedura eksploatacji relacji
przewyższania, która pozwala na wypracowanie ostatecznej rekomendacji w kategoriach problemu
porządkowania, wyboru lub sortowania.
Dwa podstawowe pola rozwoju metod wielokryterialnego wspomagania decyzji dotyczą modelowania preferencji oraz analizy odporności. Pierwsze z nich wymaga opracowania procedur pozwalających na wyrażenie preferencji decydenta w kategoriach parametrów modelu preferencji. Drugie
pole odnosi się do badania wpływu wyrażonych preferencji na zmienność zaproponowanej przez
metodę rekomendacji.
Informacja preferencyjna. Relacja dominacja, która jest jedynym obiektywnym wnioskiem
wynikającym z analizy ocen wariantów na spójnej rodzinie kryteriów, jest zwykle niewystarczająca
do wypracowania ostatecznej rekomendacji. W związku z tym, rekomendacja zależy w znacznym
stopniu od informacji preferencyjnej, którą dostarcza decydent. W przypadku wykorzystania wieloatrybutowej teorii użyteczności informacja preferencyjna dotyczy przebiegu oraz formy cząstkowych
funkcji użyteczności; natomiast w przypadku wykorzystania relacji przewyższania - wag kryteriów
oraz progów nierozróżnialności, preferencji i veta, które determinują strukturę preferencji. Informacja preferencyjna może być wyrażona przez decydenta w sposób bezpośredni lub pośredni. W tym
drugim przypadku, ma ona postać przykładów decyzji dla podzbioru wariantów AR ⊆ A, które są
nazywane wariantami referencyjnymi.
Dezagregacja preferencji. Doświadczenie w wykorzystaniu metod wielokryterialnego wspomagania decyzji wskazuje, że dostarczenie informacji preferencyjnej w formie bezpośredniej jest
zadaniem zbyt wymagającym dla większości decydentów. W związku z tym, coraz większą wagę
przykłada się do procedur wykorzystujących informację pośrednią, której postać jest spójna z intuicyjnym rozumowaniem decydentów [37]. Procedury te implementują tzw. paradygmat dezagregacji (regresji), którego istotą jest określenie instancji modelu preferencji, odtwarzających dostarczone przez decydenta przykłady decyzji. Instancje takie określa się mianem kompatybilnych
(spójnych) z preferencjami decydenta. Podejście to jest wykorzystywane od ponad pięćdziesięciu lat w dziedzinie analizy wielowymiarowej. W ramach WWD po raz pierwszy wykorzystano je
do określenia wag funkcji użyteczności cząstkowych o charakterze liniowym [71].
4
Wprowadzenie
Najczęściej wykorzystywaną formą informacji pośredniej dla problemów porządkowania i wyboru
są porównania parami wariantów referencyjnych, a dla problemów sortowania - przykładowe przydziały do klas. Pomimo że preferencje tego typu były już wykorzystywane w przeszłości w wielu
metodach WWD, indukcja wartości parametrów kompatybilnych z preferencjami decydenta dla
metod opartych na relacji przewyższania jest wciąż zagadnieniem otwartym. Co więcej, można
wskazać formy informacji preferencyjnej, które nie zyskały dotychczas należnej uwagi w WWD.
Przykładami takich preferencji są pożądane pozycje wariantów referencyjnych dla problemów
porządkowania oraz pożądane liczności klas decyzyjnych dla problemów sortowania. Wymagania
takie są często formułowane w stosunku do oczekiwanych wyników zastosowania procedury wielokryterialnej. Dodatkowa motywacja dla ich wykorzystania wypływa z gotowości decydentów do wykorzystywania tego typu preferencji oraz niepożądanych właściwości rekomendacji uzyskanych z wykorzystaniem istniejących metod WWD.
Analiza odporności. Przebieg procesów decyzyjnych często wymusza uwzględnienie niepewności,
skrzywień oraz obciążeń. Wiążą się one z identyfikacją zbioru wariantów i kryteriów, wyborem modelu preferencji i metody wspomagania decyzji, a także niepewnościami o charakterze wewnętrznym
i zewnętrznym. Ocena wpływu zmienności i braku precyzji w definicji danych wejściowych na zmienność wypracowanej rekomendacji ma ogromne znaczenie dla ostatecznego sukcesu wspomagania
decyzji. Konieczność uwzględnienia niepewności związanych ze specyfiką problemu decyzyjnego,
środowiskiem, w którym decyzja musi zostać podjętą, czy też systemem wartości decydenta oraz
jego preferencjami, doprowadziła do rozwoju metod pozwalających na przeprowadzenie tzw. analizy odporności [73]. Pomimo że pojęcie “odporności” jest powszechnie używane w WWD, nie
posiada ono jednoznacznej definicji. Jest to konsekwencją różnorodności kontekstów, w ramach
których występują odniesienia do odporności. Jak zauważył Vincke [78], odporność jest istotna
dla procesów decyzyjnych, rozwiązań, metod lub wniosków (zobacz np. [1, 35, 57]). Przykładowo,
konkluzja jest odporna jeżeli obowiązuje dla wszystkich lub większości dopuszczalnych parametrów
modelu. Z kolei odporna metoda pozwala na wypracowanie rekomendacji, która jest uzasadniona
przy wzięciu pod uwagę wszelkich niepewności odnośnie danych oraz parametrów modelu.
Niepewności oraz brak precyzji w określeniu zbioru parametrów modelu preferencji kompatybilnych (spójnych) z preferencjami decydenta są naturalną konsekwencją wykorzystania informacji
preferencyjnej w formie pośredniej. Zwykle istnieje bowiem więcej niż jedna kompatybilna instancja
modelu preferencji, która odtwarza preferencje decydenta w postaci przykładowych decyzji dla
wariantów referencyjnych. W wielu wypadkach ostateczna rekomendacja silnie zależy od tego, która
z kompatybilnych instancji jest przedmiotem analizy. Co więcej, wnioski płynące z wykorzystania
różnych instancji mogą się znacząco różnić. Tradycyjne metody wspomagania decyzji zakładały
wybór jednej kompatybilnej instancji. Jako przeciwwagę dla tych podejść zaproponowano zasadę
odpornej regresji porządkowej (ang. robust ordinal regression) [34, 68]. Postuluje ona uwzględnienie podczas wypracowania rekomendacji wszystkich instancji modelu preferencji kompatybilnych
z preferencjami decydenta. Zasada ta została wykorzystana w metodach wspomagania wielokryterialnego porządkowania oraz sortowania opartych na wieloatrybutowej teorii użyteczności. Zaproponowane dotychczas metody - UTAGMS [32], GRIP [25] oraz UTADISGMS [33] - dedykowane są
dla decydentów indywidualnych. Rekomendacja wypracowana przy użyciu tych metod ma podstać
koniecznych oraz możliwych relacji preferencji lub przydziałów do klas. Ich prawdziwość wymaga
potwierdzenia przez, odpowiednio, wszystkie lub co najmniej jedną funkcję użyteczności kompatybilną z preferencjami decydenta.
1.2. Cel i zakres pracy
5
Pożądana jest adaptacja zasady odpornej regresji porządkowej do metod opartych na relacji
przewyższania przeznaczonych do wspomagania problemów wielokryterialnego wyboru, porządkowania i sortowania. W związku z faktem, że większość rzeczywistych problemów angażuje wielu
decydentów [51], rozumowanie w kategoriach “konieczny” oraz “możliwy” powinno zostać rozszerzone także do przypadku decyzji grupowych. Umożliwi to wskazanie obszarów jednomyślności
oraz braku zgodności między decydentami.
W przypadku metod dedykowanych dla problemów porządkowania należy rozszerzyć charakterystykę każdego wariantu o jego najlepszą oraz najgorszą pozycję oraz globalną ocenę. Wyniki
takiej analizy, zakładającej zestawienie wariantu z wszystkimi pozostałymi wariantami, wzbogacają
rezultaty przeprowadzenia szeregu oddzielnych porównań parami. Wreszcie pożądane jest również
wyznaczenie reprezentatywnej kompatybilnej instancji modelu preferencji. Jej rolą powinno być
reprezentowanie wszystkich kompatybilnych instancji, ułatwienie decydentowi interpretacji wyników
koniecznych, możliwych i skrajnych oraz dostarczenie precyzyjnej, reprezentatywnej rekomendacji.
1.2
Cel i zakres pracy
Celem ogólnym niniejszej rozprawy jest opracowanie metod analizy wielokryterialnej, pozwalających na uwzględnienie informacji preferencyjnej nowego typu oraz analizę odporności rozwiązań
wypracowanych z wykorzystaniem modelu preferencji w postaci addytywnej funkcji użyteczności
lub relacji przewyższania. Realizacja następujących szczegółowych celów pracy opisana jest w oddzielnych rozdziałach rozprawy:
1. Opracowanie zasady odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji
przewyższania. Zaproponowanie modeli regresji, pozwalających na wykorzystanie przykładów
decyzji w postaci porównań parami lub przydziałów do klas do określenia wartości parametrów
wykorzystywanych w metodach ELECTRE [24] oraz PROMETHEE [4, 9]. Zdefiniowanie
oraz analiza własności koniecznych i możliwych relacji przewyższania oraz przydziałów do
klas. Uogólnienie definicji cząstkowych funkcji zgodności oraz cząstkowych funkcji preferencji
do przypadku specyfikacji przedziałów dozwolonych wartości dla progów nierozróżnialności
i preferencji.
2. Opracowanie zasady odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych.
Zdefiniowanie oraz analiza własności grupowych relacji preferencji oraz przydziałów do klas
dla przypadku indywidualnej lub łącznej analizy informacji preferencyjnej wyrażonej przez
wielu decydentów. Zaproponowanie procedur wykrywania niespójności w informacji preferencyjnej dostarczonej przez wielu decydentów.
3. Opracowanie schematu analizy skrajnych wyników dla problemów wielokryterialnego porządkowania. Zaproponowanie modeli matematycznych, pozwalających na
wyznaczenie dla każdego wariantu najlepszych i najgorszych pozycji oraz globalnych ocen
w zbiorze wszystkich instancji modelu preferencji kompatybilnych z informacją preferencyjną
decydenta. Wykorzystanie skrajnych wyników do wyznaczenia porządków przedziałowych,
wskazania podzbioru najlepszych wariantów oraz decyzji grupowych.
4. Opracowanie wielokryterialnej metody wspomagania problemów porządkowania,
w której informacja preferencyjna ma postać pożądanych pozycji w rankingu
dla wariantów referencyjnych. Zaproponowanie modeli regresji, pozwalających na wykorzystanie pożądanych pozycji wariantów do określenia wartości parametrów addytywnej
6
Wprowadzenie
funkcji użyteczności. Adaptacja istniejących metod analizy wielokryterialnej do wykorzystania nowego typu informacji preferencyjnej.
5. Opracowanie procedur wyboru reprezentatywnej funkcji użyteczności oraz
reprezentatywnego zbioru parametrów. Analiza własności wyników koniecznych, możliwych i skrajnych. Zdefiniowanie interaktywnych procedur wyboru reprezentatywnej instancji
modelu preferencji z uwzględnieniem specyfiki problemu wielokryterialnego (wybór, porządkowanie lub sortowanie), liczby decydentów (podmiot indywidualny lub grupowy) oraz charakterystyki wykorzystywanego modelu preferencji (addytywna funkcja użyteczności lub relacja
przewyższania). Porównanie z alternatywnymi procedurami wyboru pojedynczej instancji
modelu preferencji.
6. Opracowanie wielokryterialnej metody wspomagania problemów sortowania,
w której informacja preferencyjna ma postać pożądanych liczności klas
decyzyjnych. Zaproponowanie modeli regresji, pozwalających na wykorzystanie przykładowych przydziałów do klas oraz pożądanych liczności klas decyzyjnych do określenia wartości
parametrów modelu preferencji w postaci addytywnej funkcji użyteczności lub relacji
przewyższania. Zaproponowanie deterministycznych procedur wyboru pojedynczej instancji
modelu preferencji kompatybilnej z nowym typem informacji preferencyjnej.
7. Przeprowadzenie eksperymentów obliczeniowych, sprawdzających wyniki i ilustrujących sposób działania opracowanych metod na rzeczywistych zbiorach
danych.
Słowa kluczowe: wielokryterialne wspomaganie decyzji, zasada odpornej regresji porządkowej,
modelowanie preferencji decydentów, analiza odporności, relacja przewyższania, addytywna funkcja
użyteczności.
Rozdział 2
Notacja i podstawowe pojęcia
W tym rozdziale przedstawiono podstawowe pojęcia oraz wprowadzono notację wykorzystywaną
w rozprawie:
• A = {a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an } - skończony zbiór n wariantów. W rozprawie założono, że jest on
znany a priori.
• AR = {a∗ , b∗ , . . .} - skończony zbiór wariantów referencyjnych. dla których decydent jest
gotowy wyrazić swoje preferencje.
• G = {g1 , g2 , . . . , gj , . . . , gm } - rodzina m kryteriów oceny. W rozprawie założono, że gj : A →
R dla j ∈ J = {1, 2, . . . , j, . . . , m}.
• Xj = {gj (ai ), ai ∈ A} - zbiór różnych ocen wariantów na kryterium gj , j ∈ J. W rozprawie
założono rosnący kierunek preferencji wszystkich kryteriów, tzn. im większa ocena gj (ai ),
tym lepszy wariant ai na kryterium gj , dla j ∈ J.
• C1 , C2 , . . . , Cp - zbiór p predefiniowanych klas decyzyjnych, gdzie klasa Ch+1 jest preferowana
nad klasę Ch , h = 1, . . . , p − 1; co więcej, H = {1, . . . , p}.
Relacja dominacji. Jedynym obiektywnym wynikiem analizy ocen wariantów na wszystkich kryteriach jest relacja dominacji. Wariant a ∈ A dominuje w sensie słabym wariant b ∈ A (a∆b) wtedy
i tylko wtedy, gdy gj (a) ≥ gj (b) dla wszystkich j ∈ J. Z kolei a dominuje w sensie silnym b, jeżeli
co najmniej jedna z powyższych nierówności ma charakter ostry.
Relacje preferencji. Wzbogacenie relacji dominacji wymaga specyfikacji przez decydenta informacji preferencyjnej. Informacja ta jest następnie tłumaczona do parametrów modelu preferencji
wykorzystywanego w konkretnej metodzie WWD, co pozwala na narzucenie na zbiór wariantów A
relacji preferencji w sposób zgodny z przedstawionymi preferencjami. Relacja słabej preferencji %
dla pary wariantów a, b ∈ A jest interpretowana w następujący sposób:
a % b ⇔ “a jest co najmniej tak dobry jak b”.
Weryfikując prawdziwość relacji słabej preferencji a % b oraz b % a, można uzyskać relacje silnej
preferencji, nierozróżnialności i nieporównywalności:
a b ⇔ [a % b oraz not(b % a)] ⇔ “a jest silnie preferowany nad b”,
a ∼ b ⇔ [a % b oraz b % a] ⇔ “a jest nierozróżnialny z b”,
a?b ⇔ [not(a % b) oraz not(b % a)] ⇔ “a jest nieporównywalny z b”.
7
8
W metodach opartych na relacji przewyższania, relacja słabej preferencji jest tradycyjnie oznaczana
symbolem S, a jej negacja symbolem S c .
Funkcja użyteczności. Celem wieloatrybutowej teorii użyteczności [46] jest reprezentowanie preferencji decydenta na zbiorze A, za pomocą funkcji użyteczności U (g1 (·), . . . , gm (·)) : Rn → R,
takiej, że a b, jeżeli U (a) > U (b) oraz a ∼ b, jeżeli U (a) = U (b). Podstawowym modelem
wykorzystywanym w tym podejściu jest wieloatrybutowa addytywna funkcja użyteczności:
U (a) =
m
X
uj (a) = u1 (a) + u2 (a) + · · · + um (a), dla a ∈ A,
(2.1)
j=1
gdzie uj , j ∈ J, są cząstkowymi funkcjami użyteczności. Dla uproszczenia notacji wykorzystano
zapis U (a) zamiast U ((g1 (a), . . ., gm (a))) oraz uj (a), j ∈ J, zamiast uj (gj (a)).
Informacja preferencyjna wykorzystywana w metodach z rodziny ELECTRE. Konstrukcja relacji przewyższania w metodach z rodziny ELECTRE [26] wymaga przeprowadzenia
testów zgodności oraz niezgodności. Niech kj oznacza wagę kryterium gj , j ∈ J, a qj , pj oraz vj
reprezentują progi nierozróżnialności, preferencji i veta na tym kryterium. Intuicyjna interpretacja
tych progów zakłada, że definiują one różnicę w ocenach pary wariantów, która jest odpowiednio:
zaniedbywalna, istotna lub krytyczna dla porównania tych wariantów na kryterium gj , j ∈ J [66].
Test zgodności dla pary a, b ∈ A polega na obliczeniu całkowitego współczynnika zgodności
C(a, b). Reprezentuje on siłę koalicji kryteriów, które wspierają hipotezę o przewyższaniu aSb.
Współczynnik C(a, b) oblicza się jako średnią ważoną cząstkowych współczynników zgodności
ψj (a, b), z których każdy wskazuje stopień z jakim kryterium gj , j ∈ J, potwierdza, że a jest co
najmniej tak dobry jak b. Test zgodności ma wynik pozytywny, jeżeli C(a, b) ≥ λ, gdzie λ ∈ [0.5, 1]
jest tzw. progiem zgodności (odcięcia).
Test niezgodności dla pary wariantów (a, b) ∈ A × A ma wynik pozytywny, jeżeli nie istnieje
kryterium gj , j ∈ J, dla którego wariant a byłby krytycznie gorszy od b, tzn. gj (b) − gj (a) ≥ vj .
Informacja preferencyjna wykorzystywana w metodach z rodziny PROMETHEE.
Struktura preferencji w metodach z rodziny PROMETHEE [4, 9] opiera się na porównaniach wariantów parami. Na każdym kryterium gj , j ∈ J, rozważa się funkcję preferencji, która dla każdej
pary wariantów a, b ∈ A określa cząstkowy stopień preferencji. Jego wartość zależy od różnicy ocen
wariantów dj (a, b) = gj (a) − gj (b), tj.:
πj (a, b) = Fj (dj (a, b)) ∈ [0, 1].
(2.2)
W metodzie PROMETHEE predefiniowano sześć typów funkcji preferencji. Spełniają one następujące warunki: πj (a, b) = 0, jeżeli dj (a, b) ≤ qj , gdzie qj jest progiem nierozróżnialności, oraz
πj (a, b) = 1 jeżeli dj (a, b) > pj , gdzie pj jest progiem preferencji na kryterium gj . Aby obliczyć
całkowity stopień preferencji wariantu a nad wariantem b korzysta się z następującej formuły:
π(a, b) =
m
X
πj (a, b) · kj , dla (a, b) ∈ A × A,
(2.3)
j=1
gdzie kj jest wagą kryterium gj .
Przewaga lub słabość wariantu a w stosunku do wszystkich pozostałych wariantów jest wyrażona
za pomocą stopni przewyższania. Dodatni przepływ przewyższania Φ+ (a) odzwierciedla, w jakim
9
stopniu wariant a przewyższa pozostałe n − 1 wariantów:
Φ+ (a) = 1/(n − 1)
X
π(a, b).
(2.4)
b∈A
Ujemny przepływ przewyższania Φ− (a) wyraża stopień, w jakim wariant a jest przewyższany przez
pozostałe warianty:
Φ− (a) = 1/(n − 1)
X
π(b, a).
(2.5)
b∈A
Różnica dodatniego i ujemnego przepływu przewyższania definiuje całkowity przepływ przewyższania:
Φ(a) = Φ+ (a) − Φ− (a).
(2.6)
Im wyższa jest jego wartość, tym wyższa jakość wariantu, biorąc pod uwagę preferencje decydenta.
Rozdział 3
Zasada odpornej regresji porządkowej dla
metod opartych na relacji przewyższania
Dwa podstawowe pola rozwoju metod wielokryterialnego wspomagania decyzji opartych na relacji
przewyższania dotyczą modelowania preferencji oraz analizy odporności. Pierwsze z nich wymaga
opracowania procedur pozwalających na wyrażenie preferencji decydenta w kategoriach parametrów
modelu przewyższania. Bezpośrednie określenie wartości takich parametrów jest zadaniem zbyt
wymagającym dla większości decydentów. Stwierdzenie to dotyczy w szczególności tzw. parametrów
międzykryterialnych, tj. wag kryteriów oraz progów veta [16, 19]. W związku z tym, w przeszłości
zaproponowano procedury dezagregacji preferencji, które pozwalają na określenie wartości wag
oraz progów wymaganych do skonstruowania relacji przewyższania w sposób pośredni [18, 54, 65].
Analiza odporności dla metod opartych na relacji przewyższania dotyczy weryfikacji prawdziwości tej relacji dla zadanych par wariantów. Problem ten był dotychczas rozważany w kontekście
skrajnych wartości przypisanych do progów nierozróżnialności i preferencji oraz wag,
ignorując jednak efekt veta. Zasugerowano również analizę różnych kombinacji skrajnych wartości
parametrów [59, 63, 78] lub wszystkich możliwych kombinacji [16, 17, 19]. W tym rozdziale,
rozważono nowe możliwości rozwoju metod opartych na relacji przewyższania pod względem modelowania preferencji oraz analizy odporności.
Po pierwsze, wybór pojedynczej instancji modelu przewyższania, tj. precyzyjnych wartości
progów nierozróżnialności, preferencji i veta, wag oraz progu zgodności, jest w wielu sytuacjach
zbyt arbitralny. Zamiast bezpośredniego wskazania precyzyjnego modelu przewyższania przez decydenta, w tym rozdziale postulowane jest wzięcie pod uwagę wszystkich zbiorów parametrów kompatybilnych z informacją preferencyjną dostarczoną przez decydenta w sposób pośredni i nieprecyzyjny, a następnie analiza konsekwencji ich zastosowania na zbiorze wariantów A.
Dokładniej, rozważono zbiory kompatybilnych parametrów o charakterze wewnątrzkryterialnym oraz międzykryterialnym. Te pierwsze - jako łatwiejsze do określenie przez decydenta - mogą
być wyrażone w spośób bezpośredni, przy czym dopuszczono specyfikację przedziału zmienności dla
progów nierozróżnialności i preferencji zamiast precyzyjnych wartości. Alternatywnie, informacja
odnośnie różnicy w ocenach wariantów, która jest dla decydenta zaniedbywalna lub znacząca, może
być podana w sposób pośredni poprzez porównanie par wariantów referencyjnych na określonym
kryterium. Specyfikacja informacji preferencyjnej o charakterze międzykryterialnym, tj. wartości
wag, progów veta oraz zgodności, jest znacznie trudniejsza. W związku z tym, o dozwolonych
przedziałach zmienności tych parametrów wnioskuje się z przykładów decyzji dostarczonych przez
decydenta.
11
12
Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania
W przypadku problemów porządkowania i wyboru decydent proszony jest o przedstawienie
porównań parami wyrażających prawdę lub fałsz relacji przewyższania dla podzbioru wariantów
referencyjnych. Dla problemów sortowania, oczekuje się, że dostarczy on przykładowych (możliwie
nieprecyzyjnych) przydziałów do klas. W ten sposób odniesiono się również do trudności w analizie
relacji między modelem przewyższania oraz uzyskanymi wynikami, co jest wadą wielu istniejących metod opartych na relacji przewyższania. Dostarczenie informacji preferencyjnej w postaci
przykładowych decyzji jest naturalne i spójne z intuicyjnym rozumowaniem decydentów. Co więcej,
pozwala na zwiększenie interakcji z decydentem, który może przedstawiać swoje preferencje w sposób
przyrostowy i kontrolować wpływ tak wyrażonych przekonań na ostateczny wynik.
Klasa cząstkowych funkcji zgodności w metodach z rodziny ELECTRE jest ograniczona do
funkcji odcinkami liniowych. Niektóre metody oparte na relacji przewyższania, np. PROMETHEE,
rozszerzają zbiór rodzajów funkcji preferencji, z których decydent może wybierać, by zamodelować strukturę preferencji, o pewne predefiniowane przebiegi i kształty. W rozprawie zaproponowano wykorzystanie cząstkowych funkcji zgodności oraz cząstkowych funkcji preferencji, które
są monotoniczne w sensie nieścisłym. Propozycja ta jest konsekwencją dopuszczenia braku precyzji w określeniu wartości progów nierozróżnialności i preferencji. Funkcje cząstkowe są zdefiniowono w duchu tradycyjnych metod opartych na relacji przewyższania z wyraźnie wyróżnionymi
obszarami silnej preferencji, słabej preferencji oraz nierozróżnialności. Jednocześnie wykorzystanie takich funkcji cząstkowych zwiększa stopień swobody metod w określeniu instancji modelu
przewyższania kompatybilnych z preferencjami decydenta.
Każda kompatybilna instancja modelu preferencji narzuca na zbiór wariantów A relację
przewyższania. Odwołując się do zbioru wszystkich kompatybilnych instancji, zdefiniowano dwa
rodzaje wyników (relacji przewyższania lub przydziałów do klas): konieczne oraz możliwe. Wyniki
konieczne określają najbardziej pewną rekomendację wypracowaną na podstawie wszystkich kompatybilnych instancji modelu przewyższania rozważanych jednocześnie. Wyniki możliwe precyzują
wszystkie możliwe rekomendacje, tj. rezultaty potwierdzone przez co najmniej jedną kompatybilną instancję modelu przewyższania. Dostarczając koniecznych oraz możliwych rezultatów, proponowane metody odnoszą się do zagadnienia analizy odporności.
Metody zaprezentowane w tym rozdziale powinny być wykorzystywane interaktywnie poprzez
dostarczanie informacji preferencyjnej w sposób przyrostowy. Co więcej, wyposażono je w moduł
pozwalający na identyfikację podzbioru informacji preferencyjnej odpowiedzialnego za potencjalną
niespójność. Proponując nowe metody, które wpisują się w nurt podejść opartych na zasadzie
odpornej regresji porządkowej, pokazano, że zasada ta jest niezależna od rodzaju modelu preferencji. Poza tym uogólniono istniejące podejścia z rodziny ELECTRE oraz PROMETHEE pod
wieloma względami, istotnie rozwijając je zarówno w obszarze elicytacji informacji preferencyjnej,
jak i analizy odporności wypracowanej rekomendacji.
Wyniki badań przedstawione w tym rozdziale zostały opublikowane w [27] oraz [40].
3.1
ELECTREGKMS : zasada odpornej regresji porządkowej
dla metod z rodziny ELECTRE
W tym rozdziale zaprezentowano ogólny schemat metody ELECTREGKMS , która implementuje
zasadę odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny ELECTRE przeznaczonych do wspomagania problemów wielokryterialnego wyboru i porządkowania.
Informacja preferencyjna. Decydent jest proszony o porównanie wybranych par wariantów
3.1. ELECTREGKMS : zasada odpornej regresji porządkowej
13
(a, b) ∈ B R ze zbioru referencyjnego AR . Porównania takie wyrażają prawdę (aSDM b) lub fałsz
c
(aSDM
b) relacji przewyższania. W przypadku informacji wewnątrzkryterialnej decydent może po-
dać dozwolone przedziały zmienności progów nierozróżnialności [qj,∗ , qj∗ ] oraz preferencji [pj,∗ , p∗j ].
Alternatywnie możliwe jest porównanie par wariantów referencyjnych na określonym kryterium
gj , j ∈ J, które prowadzą do stwierdzenia, że różnica w ich ocenach jest zaniedbywalna (a ∼j b)
lub znacząca (a j b).
Model preferencji. W przypadku wykorzystania ELECTREGKMS kompatybilne modele przewyższania to zbiory współczynników zgodności C(a, b), progów zgodności λ, nierozróżnialności qj , preferencji pj oraz veta vj , dla wszystkich a, b ∈ A, j ∈ J, spełniające następujące warunki:
• Spójność z porównaniami parami, wyrażającymi prawdę lub fałsz relacji przewyższania dla
wariantów referencyjnych a, b ∈ AR . Dla porównania aSDM b należy zagwarantować spełniec
nie testu zgodności oraz brak veta na którymkolwiek kryterium. Aby wymusić aSDM
b,
konieczne jest spełnienie co najmniej jednego z dwóch warunków: niespełnienie testu zgodności lub veto na co najmniej jednym kryterium.
• Ograniczenia dotyczące wartości parametrów międzykryterialnych, tj. specyfikacja dozwolonego
przedziału zmienności dla progu odcięcia, normalizacja wag oraz definicja dozwolonych przedziałów wartości progów veta.
• Ograniczenia dotyczące wartości cząstkowych funkcji zgodności ψj (a, b), j ∈ J, odwołujące
się do sytuacji, w której przedział dozwolonych wartości dla progów nierozróżnialności i preferencji jest podany w sposób bezpośredni lub pośredni. Rozróżnia się przy tym cztery typy
sytuacji, w których wariant a na pewno jest (nie jest) co najmniej tak samo dobry jak (ściśle
gorszy od) b.
• Monotoniczność cząstkowych funkcji zgodności ψj (a, b), j ∈ J, odwołująca się do porównania
ocen pary wariantów w przypadku, gdy wartości progów nie są zależne od oceny lub do
porównania ocen dwóch par wariantów w przypadku, gdy wartości progów zależą od tych
ocen.
GKM S
Niech zbiór ograniczeń definiujących niepusty zbiór instancji modelu przewyższania SA
komR
patybilnych z informacją preferencyjną decydenta będzie oznaczony przez ESGKM S (szczegółowa
definicja tego zbioru ograniczeń znajduje się w rozprawie w języku angielskim w Rozdziale 2.2,
s. 29).
Konieczna i możliwa relacja przewyższania. W odniesieniu do zbioru kompatybilnych inGKM S
stancji modelu przewyższania SA
, zdefiniowano dwie relacje przewyższania na zbiorze wariR
antów A:
• a koniecznie przewyższa b (aS N b) jeżeli a przewyższa b dla wszystkich kompatybilnych inGKM S
stancji modelu przewyższania należących do SA
,
R
• a możliwie przewyższa b (aS P b) jeżeli a przewyższa b dla co najmniej jednej kompatybilnej
GKM S
instancji modelu przewyższania należącej do SA
.
R
W celu weryfikacji prawdziwości koniecznej relacji przewyższania, należy udowodnić, że ograniczenia
odpowiadające relacji nieprzewyższania aS c b są w sprzeczności ze zbiorem ograniczeń ESGKM S , tj.
rozwiązać następujący problem:
14
max ε
(3.1)
p.o.:




ESGKM S ,
Pm
GKM S
(a, b)
C(a, b) = j=1 ψj (a, b) + ε ≤ λ + M0 (a, b) oraz gj (b) − gj (a) ≥ vj (a) − δMj (a, b),  ES N

Pm

j=0 Mj (a, b) ≤ m, Mj (a, b) ∈ {0, 1}, j = 0, . . . , m.
gdzie δ jest duża dodatnią liczbą rzeczywistą, a Mj (a, b), j = 0, . . . , m, są zmiennymi binarnymi.
Niech εN (a, b) będzie maksymalną wartością ε otrzymaną dla powyższego problemu (tj., εN (a, b) =
S
S
max ε, p.o. ESGKM
(a, b)). Relacja aS N b jest prawdziwa, jeżeli zbiór ograniczeń ESGKM
(a, b) jest
N
N
sprzeczny lub εN (a, b) nie jest większe od 0.
W przypadku sprawdzenia, czy zachodzi relacja możliwa aS P b, do zbioru ograniczeń ESGKM S
dodaje się warunki odpowiadające relacji aSb, a następnie weryfikuje się, czy mogą one być
odtworzone, tj.:
max ε
(3.2)
p.o.:


ESGKM S ,
C(a, b) =
Pm

j=1 ψj (a, b) ≥ λ oraz gj (b) − gj (a) + ε ≤ vj (a), j ∈ J.
S
ESGKM
(a, b)
P
Niech εP (a, b) będzie maksymalną wartością ε otrzymaną dla powyższego problemu (tj., εP (a, b) =
S
S
max ε, p.o. ESGKM
(a, b)). Relacja aS P b jest prawdziwa, jeżeli zbiór ograniczeń ESGKM
(a, b) jest
P
P
niesprzeczny oraz εP (a, b) jest większe od 0.
Zdefiniowano również binarne relacje odzwierciedlające konieczność lub możliwość nieprzewyższania:
• a koniecznie nie przewyższa b (aS cN b) jeżeli a nie przewyższa b dla wszystkich kompatybilGKM S
nych instancji modelu przewyższania należących do SA
,
R
• a możliwie nie przewyższa b (aS cP b) jeżeli a nie przewyższa b dla co najmniej jednej komGKM S
patybilnej instancji modelu przewyższania należącej do SA
.
R
Własności koniecznych i możliwych relacji przewyższania. Binarne relacje S N oraz S P
posiadają następujące własności. Formalne dowody wszystkich twierdzeń przedstawionych
w niniejszym streszczeniu znajdują się w rozprawie w języku angielskim.
Twierdzenie 3.1.1. S P ⊇ S N .
Uwaga 3.1.1. S P oraz S N są zwrotne i w ogólności nie są ani przechodnie ani zupełne, gdyż
dziedziczą własności relacji przewyższania S.
Twierdzenie 3.1.2. Dla wszystkich a, b ∈ A, aS N b ⇔ not(aS cP b).
Twierdzenie 3.1.3. Dla wszystkich a, b ∈ A, aS P b ⇔ not(aS cN b).
W związku z tym, dla każdej pary wariantów (a, b) ∈ A × A, jedynie prawdziwość relacji aS N b
oraz aS P b musi być weryfikowana w sposób bezpośredni. Istnieją zatem dwa “źródła informacji”
o czterech relacjach w zbiorze A: S N , S cN , S P oraz S cP .
Twierdzenie 3.1.4. S cP ⊇ S cN .
3.1. ELECTREGKMS : zasada odpornej regresji porządkowej
15
Na podstawie relacji S N oraz S P , można otrzymać konieczne oraz możliwe relacje nierozróżnialności ∼, preferencji oraz nieporównywalności ?. W rozprawie rozważono także możliwość zajścia
tradycyjnie rozumianych relacji ∼, oraz ? w zależności od prawdy lub fałszu relacji S N oraz S P .
Analiza niespójności. Informacja preferencyjna podana przez decydenta jest niespójna, gdy nie
istnieje żadna instancja modelu przewyższania odtwarzająca dostarczone przez decydenta porównania parami wariantów referencyjnych przy zadanych ograniczeniach dotyczących parametrów
wewnątrzkryterialnych. W tym wypadku, należy zidentyfikować minimalne podzbiory przykładów
decyzji dostarczonych przez decydenta, które mogłyby zostać przedstawione mu jako potencjalne
przyczyny niespójności. Wykorzystując binarne zmienne va,b skojarzone z pojedynczym porówGKM S
naniem (a, b) ∈ B R , zbiór ESGKM S przepisywany jest do ES,v
, zastępując ograniczenia tłuc
maczące porównania aSDM b oraz aSDM
b ich odpowiednikami o następującej postaci:
m
X
aSDM b ⇔ C(a, b) =
ψj (a, b) + δva,b ≥ λ oraz gj (b) − gj (a) + ε ≤ vj (a) + δva,b , j ∈ J, (3.3)
j=1
c
aSDM
b ⇔ C(a, b) =
m
X
ψj (a, b)+ε ≤ λ+M0 (a, b)+δva,b oraz gj (b)−gj (a)+δva,b ≥ vj (a)−δMj (a, b),
j=1
(3.4)
gdzie Mj (a, b), j = 0, 1, . . . , m, są zmiennymi binarnymi, a δ jest dużą dodatnią liczbą rzeczywistą.
Następnie rozwiązywany jest problem:
min f =
X
GKM S
va,b , p.o. ES,v
.
(3.5)
(a,b)∈B R
Porównania parami odpowiadające zmiennym va,b = 1 tworzą podzbiór porównań parami Si
o liczności fi∗ , które decydent musi usunąć lub zmienić, aby wyeliminować niespójność. Pozostałe
takie podzbiory mogą być znalezione po dodaniu do zbioru ograniczeń następującej nierówności:
X
va,b ≤ fi∗ − 1.
(3.6)
(a,b)∈Si
Zapobiega ona znalezieniu podzbioru porównań zidentyfikowanego już jako przyczyna niespójności
w i-tej iteracji.
Przyrostowa
w ELECTRE
specyfikacja
GKMS
informacji
preferencyjnej.
Informacja
preferencyjna
powinna być podawana w sposób przyrostowy. Charakter prezentowanych
wyników wspomaga taką interakcję z metodą, ponieważ sugerowany sposób postępowania polega
na analizie relacji S N , S cN , S P oraz S cP , a następnie wymuszeniu przez decydenta w kolejnych
iteracjach zajścia relacji aSb lub aS c b dla par (a, b), dla których prawdziwa była relacja możliwa,
ale fałszywa była relacja konieczna.
Niech B1R ⊆ B2R ⊆ . . . ⊆ BsR będą zagnieżdżonymi zbiorami porównań parami podanymi
w iteracjach t = 1, . . . , s. Dla każdej iteracji t można określić konieczną StN oraz możliwą StP
relację przewyższania.
N
Twierdzenie 3.1.5. StN oraz StP , t = 1, . . . , s, stanowią zagnieżdżone relacje: St−1
⊆ StN oraz
P
St−1
⊇ StP , t = 2, . . . , s.
Oznacza to, że wraz z przyrostem informacji preferencyjnej konieczna relacja przewyższania staje
się coraz bogatsza, a możliwa relacja przewyższania coraz uboższa.
16
Wartościowane konieczne i możliwe relacje przewyższania. Niech θt będzie poziomem
pewności przypisanym porównaniom parami podanym w iteracji t = 1, . . . , s (założono, że 1 =
θ1 > θ2 > . . . > θs > 0). Na podstawie zagnieżdżonych porównań parami B1R ⊆ B2R ⊆ . . . ⊆ BsR
oraz odpowiadających im poziomów pewności θt , t = 1, . . . , s, można zdefiniować wartościowane
relacje przewyższania dla a, b ∈ A, w następujący sposób:
N
• wartościowana konieczna relacja przewyższania Sval
: A × A → {θ1 , θ2 , . . . , θs , 0}:
N
– jeżeli istnieje co najmniej jedno t takie, że aStN b, to Sval
(a, b) = max{θt : aStN b, t =
1, . . . , s},
N
– jeżeli nie istnieje t takie, że aStN b, to Sval
(a, b) = 0.
Jeżeli w określonej iteracji a koniecznie przewyższa b, to relacja ta będzie prawdziwa również
N
w kolejnych iteracjach. W związku z tym, wartość Sval
powinna być tym większa, im wcześniej
aStN b stanie się prawdziwe.
P
• wartościowana możliwa relacja przewyższania Sval
: A × A → {1 − θ1 , 1 − θ2 , . . . , 1 − θs , 1}:
P
– jeżeli istnieje co najmniej jedno t takie, że aStP b, to Sval
(a, b) = min{1−θt : not(aStP b), t =
1, . . . , s},
P
(a, b) = 1.
– jeżeli aStP b dla wszystkich t, to Sval
Jeżeli w określonej iteracji, a możliwie nie przewyższa b, to możliwa relacja przewyższania nie
P
będzie prawdziwa również w kolejnych iteracjach. W związku z tym, wartość Sval
powinna
P
być tym większa, im później aSt b stanie się fałszywe.
Podstawowe procedury eksploatacji koniecznych i możliwych wyników. Konieczne oraz
możliwe relacje przewyższania powinny być eksploatowane jak relacja przewyższania zdefiniowana
w tradycyjny sposób. Przykładowo, aby wypracować rekomendację dla problemu wyboru, sugerowane jest odwołanie się do wyników najbardziej stabilnych przez znalezienie jądra grafu relacji
koniecznej S N w duchu metody ELECTRE Is [64]. Możliwe jest również wskazanie wariantów
a ∈ A, takich, że dla wszystkich b ∈ A, b 6= a zachodzi not(bS P a). Jeżeli takie warianty istnieją,
to znalazłyby się one w jądrze grafu przewyższania niezależnie od tego, która z kompatybilnych
instancji byłaby podstawą analizy.
W przypadku wypracowania rekomendacji dla problemów porządkowania, sugerowane jest
wykorzystanie metody Net Flow Score [8]. Przypisuje ona każdemu wariantowi miarę jakości,
zdefiniowaną jako różnica jego siły oraz słabości. W kontekście ELECTREGKMS , dla każdego
wariantu a ∈ A istnieją dwa rodzaje argumentów wspierających jego siłę:
• liczba wariantów b ∈ A, b 6= a, takich, że aS N b lub not(bS P a) ⇔ bS cN a,
oraz dwa rodzaje argumentów wspierających jego słabość:
• liczba wariantów b ∈ A, b 6= a, takich, że bS N a lub not(aS P b) ⇔ aS cN b.
3.2
PROMETHEEGKS : zasada odpornej regresji porządkowej
dla metod z rodziny PROMETHEE
W tym rozdziale zaprezentowano ogólny schemat metody PROMETHEEGKS , która implementuje zasadę odpornej regresji porządkowej dla metod z rodziny PROMETHEE przeznaczonych do
3.2. PROMETHEEGKS : zasada odpornej regresji porządkowej
dla metod z rodziny PROMETHEE
17
wspomagania problemów wielokryterialnego wyboru i porządkowania.
Informacja preferencyjna. Decydent jest proszony o porównanie wybranych par wariantów
(a, b) ∈ B R ze zbioru referencyjnego AR . Porównania takie mogą wyrażać prawdziwość relacji
słabej preferencji (a % b), silnej preferencji (a b) lub nierozróżnialności (a ∼ b). Odwołując się
do założeń metody PROMETHEE, zdefiniowano relacje dwóch rodzajów:
• relacje na poziomie konstrukcji relacji przewyższania (oznaczone przez a %π b, a π b oraz
a ∼π b), które odwołują się do porównania ocen wariantów a oraz b i są tłumaczone do
ograniczeń na wartości stopni preferencji π(a, b) oraz π(b, a); w związku z tym, poziom konstrukcji relacji przewyższania zestawia siłę argumentów za wariantem a w porównaniu z b
i vice versa;
• relacje na poziomie eksploatacji relacji przewyższania (oznaczone przez a %Φ b, a Φ b oraz
a ∼Φ b), które odwołują się do porównania pozycji wariantów a oraz b w końcowym porządku
wariantów i są tłumaczone do ograniczeń na wartości przepływów przewyższania Φ(a) oraz
Φ(b).
Rozróżnienie pomiędzy poziomami konstrukcji i eksploatacji nie musi być widoczne dla decydenta
i jego preferencje mogą być domyślnie tłumaczone do ograniczeń reprezentujących dwa rodzaje
porównań. Jest to uzasadnione, gdyż przy stwierdzeniu “a jest co najmniej tak dobre jak b” decydent zazwyczaj odnosi się do bezpośredniego zestawienia siły argumentów za wariantem a oraz
b, a także do porównania ich ostatecznej pozycji w rankingu. W metodzie PROMETHEEGKS
powyższa interpretacja jest domyślna, ale by opisać wszystkie możliwości oferowane przez to podejście w kolejnych akapitach kontynuowane jest rozróżnienie pomiędzy poziomem konstrukcji oraz
eksploatacji.
W przypadku informacji wewnątrzkryterialnej - podobnie jak w metodzie ELECTREGKMS
- decydent może bezpośrednio podać dozwolone przedziały zmienności progów nierozróżnialności
[qj,∗ , qj∗ ] oraz preferencji [pj,∗ , p∗j ]. Alternatywnie możliwe jest porównanie wariantów referencyjnych
na określonym kryterium, prowadzące do stwierdzenia, że różnica w ich ocenach jest zaniedbywalna
(a ∼j b) lub znacząca (a j b).
Model preferencji. W przypadku wykorzystania PROMETHEEGKS kompatybilne modele
przewyższania to zbiory współczynników preferencji π(a, b), a, b ∈ A, cząstkowych współczynników preferencji πj (a, b), j ∈ J, przepływów przewyższania Φ(a), Φ+ (a) oraz Φ− (a), progów
nierozróżnialności qj i preferencji pj , j ∈ J, spełniające następujące warunki:
• Spójność z porównaniami parami, wyrażającymi słabą preferencję, silną preferencję lub
nierozróżnialność na poziomie konstrukcji lub eksplotacji relacji przewyższania dla par
wariantów referencyjnych (a, b) ∈ B R . Sposób tłumaczenia tych relacji do zbioru ograniczeń,
bierze pod uwagę specyfikę metody PROMETHEE I lub PROMETHEE II.
• Ograniczenia dotyczące wag kryteriów.
• Ograniczenia dotyczące wartości cząstkowych funkcji preferencji πj (a, b), j ∈ J, odwołujące
się do sytuacji, w której zakres zmienności progów nierozróżnialności i preferencji jest podany
w sposób bezpośredni lub pośredni. Rozróżnia się przy tym cztery typy sytuacji, w których
wariant a na pewno jest (nie jest) ściśle lepszy (nielepszy) od b.
18
• Monotoniczność cząstkowych funkcji preferencji πj (a, b), j ∈ J, odwołująca się do porównania
ocen pary wariantów.
GKS
Niech zbiór ograniczeń definiujących zbiór instancji modelu przewyższania SA
kompatybilnych
R
z informacją preferencyjną decydenta będzie oznaczony przez ESGKS (szczegółowa definicja tego
zbioru ograniczeń znajduje się w rozprawie w języku angielskim w Rozdziale 2.3, s. 41).
Konieczna i możliwa relacja przewyższania. W odniesieniu do zbioru kompatybilnych inGKS
stancji modelu przewyższania SA
, zdefiniowano dwie relacje przewyższania na zbiorze A:
R
• a koniecznie przewyższa b (aS N b) jeżeli a przewyższa b dla wszystkich kompatybilnych inGKS
stancji modelu przewyższania należących do SA
,
R
• a możliwie przewyższa b (aS P b) jeżeli a przewyższa b dla co najmniej jednej kompatybilnej
GKS
instancji modelu przewyższania należącej do SA
.
R
Implementacja tych relacji jest różna w zależności od poziomu (konstrukcji lub eksploatacji), na
którym są rozważane oraz metody (PROMETHEE I lub PROMETHEE II), której założenia są
przyjęte na potrzeby analizy wielokryterialnej. Pomysł sprawdzenia prawdziwości tych relacji jest
analogiczny jak dla metody ELECTREGKMS . W związku z tym, weryfikacja prawdziwości relacji
koniecznej wymaga rozwiązania następującego problemu:
max ε
(3.7)
p.o.:
ESGKS
jeżeli weryfikowana jest prawda relacji przewyższania na poziomie eksploatacji:
jeżeli przyjęto założenia metody PROMETHEE II:
Φ(a) + ε ≤ Φ(b)
jeżeli przyjęto założenia metody PROMETHEE I:






























Φ+ (a) ≤ Φ+ (b) oraz Φ− (a) ≥ Φ− (b) oraz Φ+ (a) − Φ− (a) + ε ≤ Φ+ (b) − Φ− (b) 







jeżeli weryfikowana jest prawda relacji przewyższania na poziomie konstrukcji:





π(a, b) + ε ≤ π(b, a).
GKS
E%
(a, b)
N
3.3. Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod wielokryterialnego sortowania opartych na relacji
przewyższania
19
Natomiast weryfikacja prawdziwości relacji możliwej wymaga rozwiązania następującego problemu:
max ε
(3.8)
p.p.:







jeżeli weryfikowana jest prawda relacji przewyższania na poziomie eksploatacji: 







jeżeli przyjęto założenia metody PROMETHEE II:







Φ(a) ≥ Φ(b)
ESGKS
jeżeli przyjęto założenia metody PROMETHEE I:
Φ+ (a) ≥ Φ+ (b) oraz Φ− (a) ≤ Φ− (b)
jeżeli weryfikowana jest prawda relacji przewyższania na poziomie konstrukcji:
π(a, b) ≥ π(b, a).
GKS
E%
(a, b)
P





















Odniesienie wyników rozwiązania powyższych problemów do prawdziwości koniecznej i możliwej
relacji przewyższania jest analogiczne jak w przypadku metody ELECTREGKMS .
P
N
Własności koniecznych i możliwych relacji przewyższania. Binarne relacje %N
Φ , %π , %Φ
oraz %P
π posiadają następujące własności.
N
P
N
Twierdzenie 3.2.1. %P
Φ ⊇ %Φ oraz %π ⊇ %π .
N
Twierdzenie 3.2.2. %N
Φ jest preporządkiem częściowym (tzn. %Φ jest relacją zwrotną i przechod-
nią).
Twierdzenie 3.2.3. Jeżeli przyjąć założenia metody PROMETHEE II, %P
Φ jest silnie zupełna,
P
P
tj., ∀a, b ∈ A, a %P
Φ b lub b %Φ a, oraz negatywnie przechodnia, tj. ∀a, b, c ∈ A, not(a %Φ b) oraz
P
not(b %P
Φ c) ⇒ not(a %Φ c).
Na podstawie relacji %N oraz %P na poziomie eksploatacji lub konstrukcji, można otrzymać
konieczne oraz możliwe relacje nierozróżnialności ∼, preferencji oraz nieporównywalności ?
w sposób analogiczny jak dla metody ELECTREGKMS .
N
Uwaga 3.2.1. %P
π oraz %π są zwrotne oraz w ogólności nie są ani przechodnie ani zupełne.
Rozszerzenia metody PROMETHEEGKS o moduł analizy niespójności oraz specyfikację informacje
preferencyjnej w sposób przyrostowy są analogiczne jak dla metody ELECTREGKMS . W związku
z tym, pominięto ich szczegółową prezentację w rozprawie.
3.3
Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod
wielokryterialnego sortowania opartych na relacji przewyższania
W tym rozdziale zaprezentowano ogólny schemat działania metod wielokryterialnego sortowania
opartych na relacji przewyższania. W szczególności opisano metody: ELECTRE-DISGKS ,
PROMETHEE-I-DISGKS oraz PROMETHEE-II-DISGKS , które opierają się na wspólnej regule
przydziału do klas oraz oczekują informacji preferencyjnej tego samego typu. Implementacja modelu przewyższania oraz sposób weryfikacji prawdziwości relacji przewyższania jest jednak unikalny
20
dla każdego z podejść i odwołuje się do założeń metod z rodziny ELECTRE lub PROMETHEE.
W istocie propozycja nowych metod opiera się na adaptacji ELECTREGKMS oraz PROMETHEEGKS
do problemów wielokryterialnego sortowania.
Informacja preferencyjna. Decydent jest proszony o podanie przykładowych przydziałów do
klas, składających się z wariantu referencyjnego a∗ ∈ AR ⊆ A oraz jego pożądanego przydziału:
a∗ → [CLDM (a∗ ) , CRDM (a∗ ) ],
(3.9)
gdzie [CLDM (a∗ ) , CRDM (a∗ ) ] jest przedziałem zawierającym klasy CLDM (a∗ ) , CLDM (a∗ )+1 , . . . , CRDM (a∗ ) .
Założono także, że decydent dostarcza informacji preferencyjnej dotyczącej parametrów wewnątrzkryterialnych w postaci bezpośredniej lub pośredniej (analogicznie jak dla ELECTREGKMS oraz
PROMETHEEGKS ).
Model preferencji. Wiedząc, czy relacja przewyższania S jest prawdziwa dla par wariantów
(a, b), (b, a) ∈ A × A, można reprezentować sytuację preferencji (), nierozróżnialności (∼) oraz
nieporównywalności (?) pomiędzy a oraz b. Z relacji tych można wyprowadzić następujące zależności:

aSb ⇒ a b lub a ∼ b, 
(3.10)
aS c b ⇒ a?b lub b a. 
W kontekście pożądanych przydziałów do klas dla wariantów a oraz b, analiza powyższych implikacji prowadzi do stwierdzenia, że jeżeli aSb, to klasa wariantu a powinna być co najmniej
tak dobra jak klasa wariantu b, natomiast jeżeli aS c b, to nie można powiedzieć nic o porównaniu
pożądanych klas tych wariantów.
W związku z tym, rozważona zostanie następująca reguła przydziału do klas:
”dla określonego modelu przewyższania S, zbiór przykładowych przydziałów do klas jest spójny
z S, jeżeli:
∀a∗ , b∗ ∈ AR ,
a∗ Sb∗ ⇒ RDM (a∗ ) ≥ LDM (b∗ ).”
(3.11)
Powyższy warunek może być przedstawiony w równoważnej ogólnej postaci:
∀a∗ , b∗ ∈ AR , LDM (a∗ ) > RDM (b∗ ) ⇒ b∗ S c a∗
(3.12)
oraz odpowiadającej jej formie, odnoszącej się do założeń konkretnej metody: dla wszystkich
a∗ , b∗ ∈ AR , LDM (a∗ ) > RDM (b∗ ):
• dla ELECTRE-DISGKS :
C(b∗ , a∗ ) =
m
X
ψj (b∗ , a∗ ) + ε ≤ λ + M0 (b∗ , a∗ ) oraz gj (a∗ ) − gj (b∗ ) ≥ vj − δMj (b∗ , a∗ ),
j=1
(3.13)
gdzie Mj (b∗ , a∗ ) ∈ {0, 1}, j = 0, . . . , m, oraz
m
X
Mj (b∗ , a∗ ) ≤ m,
j=0
gdzie δ oraz ε są odpowiednio dużą i małą liczbą rzeczywistą.
• dla PROMETHEE-II-DISGKS :
Φ(a∗ ) ≥ Φ(b∗ ) + ε.
(3.14)
przewyższania
21
• dla PROMETHEE-I-DISGKS :
Φ+ (a∗ ) + δM1 (a∗ , b∗ ) ≥ Φ+ (b∗ ) + ε oraz Φ− (a∗ ) + ε ≤ Φ− (b∗ ) + δM2 (a∗ , b∗ ),
(3.15)
gdzie Mj (b∗ , a∗ ) ∈ {0, 1}, j = 1, 2, oraz M1 (a∗ , b∗ ) + M2 (a∗ , b∗ ) ≤ 1.
GKS−DIS
Kompatybilne instancje modelu przewyższania SA
odtwarzają podane przez decydenta
R
przykładowe przydziały do klas. Pozostałe ograniczenia definiujące zbiór kompatybilnych instancji
dotyczą:
• wartości parametrów międzykryterialnych dla ELECTRE-DISGKS ;
• normalizacji cząstkowych współczynników zgodności dla ELECTRE-DISGKS lub cząstkowych
współczynników preferencji dla PROMETHEE-DISGKS ;
• wartości
cząstkowych
współczynników
zgodności
(preferencji)
ψj (a, b)
(πj (a, b))
dla wszystkich a, b ∈ A, j ∈ J, warunkowanych informacją preferencyjną dotyczącą parametrów
wewnątrzkryterialnych; warunki te identyfikują obszary silnej preferencji, słabej preferencji
i nierozróżnialności;
• monotoniczności funkcji cząstkowych współczynników zgodności (preferencji) ψj (a, b) (πj (a, b)),
dla wszystkich a, b ∈ A, j ∈ J.
Powyższe ograniczenia są formułowane w taki sam sposób jak dla metod ELECTREGKMS oraz
PROMETHEEGKS . Niech ich zbiór będzie oznaczony przez ESGKS−DIS .
Konieczne oraz możliwe przydziały do klas. Niech będzie dany zbiór przykładowych przydziGKS−DIS
ałów do klas oraz odpowiadający mu zbiór SA
kompatybilnych instancji modelu przewyższaR
nia. Dla każdego wariantu a ∈ A zdefiniowano:
• Możliwy przydział CP (a) jako zbiór indeksów klas Ch , do których a jest przydzielany przez
GKS−DIS
, tj.:
co najmniej jedną instancję modelu przewyższania S ∈ SA
R
GKS−DIS
CP (a) = {h ∈ H takich, że ∃S ∈ SA
dla którego h ∈ C S (a)},
R
(3.16)
gdzie C S (a) jest zbiorem klas, do których a został przydzielony przez instancję modelu
przewyższania S.
• Konieczny przydział CN (a) jako zbiór indeksów klas Ch , do których a jest przydzielany przez
GKS−DIS
wszystkie instancje modelu przewyższania S ∈ SA
, tj.:
R
GKS−DIS
CN (a) = {h ∈ H takich, że ∀S ∈ SA
zachodzi h ∈ C S (a)}.
R
(3.17)
W kontekście tych definicji, dla każdego wariantu a ∈ A zachodzi:
CP (a) =
S
S∈S GKS−DIS
R
C S (a),
A
CN (a) =
T
S∈S GKS−DIS
R
C S (a),
(3.18)
A
CN (a) ⊆ CP (a).
Określenie możliwego przydziału dla każdego wariantu a ∈ A wymaga rozważenia następującego
zbioru ograniczeń:
22

a∗ S c a, dla wszystkich a∗ ∈ AR , RDM (a∗ ) < Ch , 

a,h
EDIS
aS c a∗ , dla wszystkich a∗ ∈ AR , LDM (a∗ ) > Ch ,


ESGKS−DIS .
(3.19)
Zbiór ten zakłada, że wariant a nie jest przewyższany przez żaden wariant referencyjny, który
zgodnie z informacją preferencyjną podaną przez decydenta, jest przydzielony do klasy gorszej
niż Ch oraz że a nie przewyższa żadnego wariantu referencyjnego przydzielonego przez decydenta
do klasy lepszej niż Ch . W ten sposób, gwarantowane jest spełnienie warunków koniecznych dla
przydzielenia wariantu a do klasy Ch . Powyższy zbiór ograniczeń może być sformułowany w sposób
specyficzny dla każdej z rozważanych metod.
Weryfikacja, czy a jest przydzielony do Ch przez co najmniej jedną kompatybilną instancję
a,h
modelu przewyższania, wymaga maksymalizacji wartości ε przy zbiorze ograniczeń EDIS
. Niech
ε∗h oznacza optymalną wartość ε otrzymaną dla rozwiązania takiego problemu (ε∗h = max ε, p.o.
a,h
a,h
EDIS
). Jeżeli zbiór ograniczeń EDIS
jest niesprzeczny oraz ε∗h jest większe od 0, to istnieje co
najmniej jedna kompatybilna instancja modelu przewyższania, dla której a jest przydzielony do
klasy Ch . W rezultacie:
CP (a) = {h ∈ H, ε∗h > 0}.
(3.20)
Z drugiej strony, aby sprawdzić czy klasa Ch , h = 1, . . . , p, należy do koniecznego przydziału
dla wariantu a ∈ A, należy udowodnić, że nie zachodzi a∗ Sa, dla żadnego a∗ ∈ AR , RDM (a∗ ) < Ch
oraz aSa∗ , dla żadnego a∗ ∈ AR , LDM (a∗ ) > Ch . W przeciwnym razie istniałby bowiem co najmniej jeden model przewyższania przydzielający a ∈ A do przedziału klas, którego górna lub
dolna granica jest odpowiednio gorsza lub lepsza od Ch . Dla każdej z powyższych relacji rozważa
się układ nierówności powstały przez połączenie ESGKS−DIS z ograniczeniami odpowiadającymi
prawdziwości tej relacji. Jeśli dla którejkolwiek z nich układ ten jest niesprzeczny i optymalna
wartość ε otrzymana dla maksymalizacji ε przy zadanych ograniczeniach jest większa od 0, to Ch
nie należy do CN (a). W przeciwnym razie, Ch ∈ CN (a).
Analiza niespójności. Podzbiory przykładowych przydziałów do klas, które odpowiadają za
niespójność informacji preferencyjnej, identyfikowane są w sposób analogiczny jak w metodzie
ELECTREGKMS oraz PROMETHEEGKS .
Przyrostowa specyfikacja informacji preferencyjnej. Informacja preferencyjna w metodach
ELECTRE-DISGKMS oraz PROMETHEE-DISGKS może być podawana w sposób przyrostowy, co
zapobiega konieczności jednorazowej specyfikacji dużego zbioru przykładowych przydziałów do
klas. Niech [LDM
(a∗ ), R1DM (a∗ )] ⊆ [LDM
(a∗ ), R2DM (a∗ )] ⊆ . . . ⊆ [LDM
(a∗ ), RsDM (a∗ )] będą
s
1
2
zagnieżdżonymi przykładowymi przydziałami do klas w iteracjach t = 1, . . . , s. Dla każdej iteracji
t
t dla każdego wariantu a ∈ A można określić konieczny CN
(a) oraz możliwy CPt (a) przydział do
klasy. Ważna własność tak otrzymanych przydziałów możliwych jest opisana przez następujące
twierdzenie.
Twierdzenie 3.3.1. Dla wszystkich t = 2, . . . , s oraz dla każdego a ∈ A, CPt (a) ⊆ CPt−1 (a).
Oznacza to, że wraz z przyrostem informacji preferencyjnej, możliwe przydziały do klas stają się
coraz bardziej precyzyjne.
przewyższania
23
Działanie zasady odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania zilustrowano w rozprawie w języku angielskim (zobacz Rozdział 2.5) na przykładzie problemu wyboru
floty autobusowej przez przedsiębiorstwo komunikacyjne.
Rozdział 4
Zasada odpornej regresji porządkowej
dla decyzji grupowych
Metody wielokryterialnego wspomagania decyzji oparte na zasadzie odpornej regresji porządkowej,
take jak UTAGMS [32] oraz UTADISGMS [33], są dedykowane dla pojedynczego decydenta. Rzeczywiste procesy decyzyjne często angażują jednak wielu decydentów [77]. Typowymi przykładami
takich procesów są ocena preferencji konsumentów, wybór pracowników na określone stanowisko
lub przypisanie priorytetów projektom. W decyzjach grupowych kilku decydentów (niech ich zbiór
będzie oznaczony przez D = {d1 , . . . , dp }) współpracuje w celu wypracowania wspólnej rekomendacji. Zazwyczaj zakłada się przy tym, że opis problemu decyzyjnego w postaci zbioru wariantów,
zbioru kryteriów i macierzy ocen jest dla nich wspólny.
W tym rozdziale przedstawiono dwie metody WWD o nazwie UTAGMS -GROUP oraz
UTADISGMS -GROUP. Wychodzą one od metod wspomagania decyzji z jednym decydentem [32,
33], w których zaproponowano odporną regresję porządkową i rozszerzają ich działanie na przypadek decyzji grupowych dla problemów porządkowania, wyboru i sortowania. Założono, że każdy
decydent pełni taką samą rolę w komitecie podejmującym decyzję, tj. nie przypisuje się im współczynników ważności. Pomimo że zaproponowane metody odnoszą się do różnych kategorii problemów
decyzyjnych, to dwuetapowy schemat ich rozszerzenia jest jednakowy.
W pierwszym etapie każdy decydent jest proszony o przedstawienie własnych preferencji
w postaci porównań parami lub przykładowych przydziałów do klas dla wariantów referencyjnych.
Następnie jego preferencje są rozważane indywidualnie, w wyniku czego określa się konieczne oraz
możliwe konsekwencje ich zastosowania. Konsekwencje te odpowiadają elementom rekomendacji,
które są potwierdzone odpowiednio przez wszystkie lub co najmniej jedną instancję modelu preferencji kompatybilną z preferencjami decydenta. W drugim etapie poszukiwane są obszary zgodności dla podzbiorów decydentów, tj. elementy rekomendacji, które są dla nich wspólne. Ponownie
odwołano się do konieczności oraz możliwości takiego potwierdzenia, co przekłada się na sprawdzenie, czy dany wynik powtarza się dla wszystkich decydentów lub co najmniej jednego z nich. W tym
kontekście można mówić o wspieraniu oraz jednomyślności wobec określonej relacji lub przydziału
do klasy w ramach zbioru decydentów. Ostatecznie przedstawiane są wyniki czterech typów:
• Konieczne-konieczne
wyniki
to
konieczne
konsekwencje
indywidualnej
informacji
preferencyjnej potwierdzone przez wszystkich decydentów. Mogą być one postrzegane jako
rezultaty odporne względem pośredniej informacji preferencyjnej decydentów, co oznacza,
że określony rezultat nie zmienia się w zależności od tego, która z kompatybilnych instancji
modelu preferencji każdego z decydentów byłaby podstawą ostatecznej analizy.
25
26
Zasada odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych
• Konieczne-możliwe wyniki to konieczne konsekwencje indywidualnej informacji preferencyjnej potwierdzone przez co najmniej jednego decydenta. Ten rodzaj rekomendacji wyraża
pewność odnośnie określonego wyniku wyrażoną przez któregokolwiek z decydentów. Istotne
jest jednak wskazanie podzbioru decydentów, którzy potwierdzają konkretny wynik. Dzięki
temu można określić, czy wynik ten jest “absolutnie pewny”, “niemal pewny”, “umiarkowanie
pewny” czy też “niepewny” w ramach analizy preferencji zbioru decydentów.
• Możliwe-konieczne wyniki to możliwe konsekwencje indywidualnej informacji preferencyjnej
potwierdzone przez wszystkich decydentów. Odzwierciedlają one pełne przekonanie zbioru
decydentów, że określony wynik może być prawdziwy.
• Możliwe-możliwe wyniki to możliwe konsekwencje indywidualnej informacji preferencyjnej
potwierdzone przez co najmniej jednego decydenta. Odnoszą się one do najbardziej ogólnych
rezultatów, które mogą być uzyskane dla jednej z instancji modelu preferencji kompatybilnej z preferencjami jednego z decydentów. Jeżeli możliwa-możliwa relacja lub przydział
do klasy są prawdziwe, wynik taki powinien być postrzegany jako wskazanie o najniższym
poziomie pewności. Jeżeli jednak wynik taki jest fałszywy, negacja ta jest “absolutnie pewna”,
ponieważ jest obserwowana równocześnie dla wszystkich instancji kompatybilnych z preferencjami wszystkich decydentów.
Metody przedstawione w tym rozdziale rozwijają inne istniejące podejścia dedykowane dla decyzji grupowych w wielu aspektach. Po pierwsze, rozważają możliwe oraz konieczne konsekwencje
informacji preferencyjnej podanej przez wszystkich decydentów. Prezentowane wyniki charakteryzyją się wieloma istotnymi z punktu widzenia WWD własnościami. Po drugie, adaptując
założnia metod dedykowanych dla pojedynczych decydentów, zaproponowane podejścia wymagają specyfikacji przykładowych decyzji dla zbioru wariantów referencyjnych. Wymaganie to jest
spójne z paradygmatem “uczenia z przykładów” postulowanym w dziedzinach sztucznej inteligencji
oraz odkrywania wiedzy. Poza tym, zaproponowane metody opierają się na wykorzystaniu bardzo
ogólnego modelu preferencji, tj. cząstkowych funkcji użyteczności o charakterze ogólnym nieściśle
monotonicznym (w odróżnienie od funkcji odcinkami liniowych). Funkcje te nie wymagają żadnej
arbitralnej parametryzacji. Poszukując obszarów zgodności pomiędzy decydentami, przedstawione
podejścia odnoszą się do wszystkich instancji modelu preferencji kompatybilnych z preferencjami
wszystkich decydentów. Wyróżniając konieczne-konieczne, konieczne-możliwe, możliwe-konieczne
oraz możliwe-możliwe konsekwencje wykorzystania wszystkich kompatybilnych instancji modelu
preferencji, zaproponowane metody odnoszą się do zagadnienia analizy odporności. Co więcej,
prezentacja czterech typów wyników oraz ich porównanie z konsekwencjami własnych preferencji stymulują decydentów do dostarczenia dodatkowych przykładów decyzji. Dzięki temu mogą
oni wzbogacić konieczne-możliwe lub możliwe-możliwe wyniki lub zaprzeczyć wynikom o charakterze koniecznym-koniecznym lub możliwie-koniecznym. Ostatecznie przekłada się to na możliwość znalezienia lepszego konsensusu pomiędzy decydentami, a więc relacji lub przydziałów, które
są wspólne dla nich wszystkich. Jednocześnie taki sposób postępowania pozwala na łatwiejsze
odniesienie poszczególnych stwierdzeń decydentów do prezentowanych wyników działania metody,
co pozwala na kontrolę wpływu wyrażonych preferencji na rekomendację.
Wyniki badań przedstawione w tym rozdziale zostały opublikowane w [28] oraz [39].
4.1. UTAGMS -GROUP: zasada odpornej regresji porządkowej dla grupowych problemów porządkowania
i wyboru
27
4.1
UTAGMS -GROUP: zasada odpornej regresji porządkowej dla
grupowych problemów porządkowania i wyboru
Informacja preferencyjna. Decydent (niech będzie oznaczony symbolem dr ) proszony jest o przedstawienie informacji preferencyjnej w postaci porównań parami wariantów referencyjnych a, b ∈
AR
dr ⊆ A. Może on stwierdzić, że a jest słabo preferowany nad b (a %dr b) lub a jest nierozróżnialny
z b (a ∼dr b) lub a jest silnie preferowany nad b (a dr b).
Decydent może również przedstawić informację preferencyjną dwojakiego rodzaju:
R
R
∗
• preporządek częsciowy %∗dr na AR
dr ×Adr , taki, że dla a, b, c, d ∈ Adr , (a, b) %dr (c, d) oznacza,
że a jest preferowany przez dr nad b co najmniej tak bardzo jak c jest preferowany nad d,
R
R
∗
• preporządek częsciowy %∗j,dr na AR
dr × Adr ,taki, że dla a, b, c, d ∈ Adr , (a, b) %j,dr (c, d)
oznacza, że na kryterium gj , j ∈ J, a jest preferowany przez dr nad b co najmniej tak bardzo
jak c jest preferowany nad d.
Grupowe relacje preferencji. Na podstawie informacji preferencyjnej każdego decydenta dr ∈ D
N
z wykorzystaniem metody UTAGMS określane są możliwe %P
dr oraz konieczne %dr relacje prefer-
encji. Następnie dla dowolnego podzbioru decydentów D0 ⊆ D rozważa się cztery grupowe relacje
N,P
P,N
P,P
preferencji %N,N
D 0 , %D 0 , %D 0 oraz %D 0 .
Definicja 4.1.1.
0
1. a %N,N
b : a %N
dr b dla wszystkich dr ∈ D ,
D0
N
0
2. a %N,P
D 0 b : a %dr b dla co najmniej jednego dr ∈ D ,
P
0
3. a %P,N
D 0 b : a %dr b dla wszystkich dr ∈ D ,
P
0
4. a %P,P
D 0 b : a %dr b dla co najmniej jednego dr ∈ D .
Własności grupowych relacji preferencji. Własności relacji %N,N , %N,P , %P,N oraz %P,P
przedstawione w tym rozdziale pomagają na lepszą organizację procesu decyzyjnego oraz wypracowanie kompromisowego rozwiązania dla zbioru decydentów.
Własności dotyczące powiązania informacji preferencyjnej podawanej przez decydenta dr ∈
D0 ⊆ D oraz rezultatów metody UTAGMS -GROUP umożliwiają rozróżnienie konsekwencji analizy
samej macierzy ocen oraz dodatkowego uwzględnienia preferencji decydenta.
Uwaga 4.1.1. W przypadku braku jakichkolwiek porównań parami:
1. konieczna-konieczna relacja preferencji %N,N
D 0 sprowadza się do relacji dominacji w sensie
słabym ∆ (a∆b wtw. gj (a) ≥ gj (b), j ∈ J);
2. %N,P
= %N,N
D0
D0 ;
3. możliwa-konieczna relacja preferencji %P,N
jest relacją zupełną dla każdej pary wariantów
D0
a, b ∈ A:
• a ∼P,N
D 0 b ⇔ [(not(a∆b) oraz not(b∆a)) lub ((a∆b) oraz (b∆a))],
• a P,N
D 0 b ⇔ [(a∆b) oraz not(b∆a)];
P,N
P,N
4. %P,P
D 0 = %D 0 , stąd %D 0 jest negatywnie przechodnia;
28
5. każde porównanie dostarczone przez decydenta dr ∈ D0 dla pary wariantów referencyjnych,
dla której nie zachodzi relacja dominacji, przyczynia się do wzbogacenia relacji %N,P
D 0 , tj.
relacja %N,P
staje się prawdziwa dla co najmniej jednej pary wariantów.
D0
W każdej iteracji działania metody, każde porównanie parami dostarczone przez dr ∈ D0 ⊆ D
znajduje odzwierciedlenie w wynikach koniecznych-możliwych.
Uwaga 4.1.2. Dla wszystkich wariantów a, b ∈ A oraz dla każdego decydenta dr ∈ D0 ⊆ D:
1. a %dr b ⇒ a %N,P
D 0 b,
2. a dr b ⇒ not(b %P,N
D 0 a).
Każdy decydent posiada więc informację na temat sposobu, w jaki jego stwierdzenia bezpośrednio
wpływają na wyniki działania metody.
Informacja preferencyjna dostarczona przez decydenta przekłada się na konieczne i możliwe
relacje preferencji. Ich prawdziwość znajduje odzwierciedlenie w wynikach koniecznych-możliwych
oraz możliwych-możliwych. Aby znalazły one odbicie w wynikach koniecznych-koniecznych oraz
możliwych-koniecznych wymagane jest potwierdzenie danej relacji przez wszystkich decydentów
dr ∈ D0 . Obserwacje te mogą być uogólnione do dwóch dowolnych podzbiorów decydentów D0 , D00 ⊆
D, takich, że D0
⊆ D00 . Powyższe stwierdzenia można podsumować formalnie w następujący
sposób:
Uwaga 4.1.3. Dla każdego decydenta dh ∈ D0 ⊆ D:
N,P
N,P
N
1. %N,N
⊆ %N,N
D0
{dh } = %dh = %{dh } ⊆ %D 0 ,
P,N
P,P
P,P
P
2. %P,N
D 0 ⊆ %{dh } = %dh = %{dh } ⊆ %D 0 .
W ogólności dla wszystkich podzbiorów decydentów D0 , D00 ⊆ D, takich, że D0 ⊆ D00 :
N,N
1. %N,N
⊆ %N,P
⊆ %N,P
D 00 ⊆ %D 0
D0
D 00 ,
P,P
P,P
2. %P,N
⊆ %P,N
D 00
D 0 ⊆ %D 0 ⊆ %D 00 .
Powyższa uwaga może być wykorzystana do porównania wyników uzyskanych dla pojedynczego
decydenta z rezultatami metody UTAGMS -GROUP.
Zależności pomiędzy relacjami %N,N , %N,P , %P,N oraz %P,P są podsumowane przez następujące
twierdzenie.
Twierdzenie 4.1.1. Dla dowolnego podzbioru decydentów D0 ⊆ D:
N,N
N,P
P,P
P,N
P,P
N,N
1. %N,N
⊆ %N,P
⊆ %P,N
⊆ %P,P
D0
D 0 , 2. %D 0
D 0 , 3. %D 0 ⊆ %D 0 , 4. %D 0 ⊆ %D 0 , 5. %D 0
D0 .
Świadomość relacji zawierania zachodzącej dla różnych typów wyników pomaga analitykowi na lepszą organizację procesu decyzyjnego. W związku z faktem, że ostateczna rekomendacja powinna
opierać się na relacji koniecznej-koniecznej, która odpowiada najbardziej pewnym wynikom, należy
dążyć do tego, by była ona tak bogata, jak to tylko możliwe. Można to osiągnąć przez zachęcanie
decydentów do porównań parami, które potencjalnie mogę przyczynić się do zmiany prawdziwości relacji %P,P (najbardziej ogólny wynik) w prawdziwość relacji %P,N lub %N,P , a następnie
w prawdziwość relacji %N,N (najbardziej szczegółowy wynik).
Proces wspomagania decyzji może również odnieść korzyść z następujące twierdzenia.
Twierdzenie 4.1.2. %N,N
jest preporządkiem częściowym (tj., %N,N
jest relacją zwrotną oraz
D0
D0
przechodnią) dla dowolnego podzbioru D0 ⊆ D.
W związku z faktem, że relacja konieczna-konieczna jest preporządkiem częściowym, może być ona
reprezentowana graficznie jako acykliczny graf skierowany, w którym warianty nierozróżnialne są
zgrupowane jako pojedyczny wierzchołek, a łuki reprezentują prawdziwość relacji N,N . Rysując
4.1. UTAGMS -GROUP: zasada odpornej regresji porządkowej dla grupowych problemów porządkowania
i wyboru
29
taki graf, można skorzystać z własności przechodniości, co pozwala na wykorzystanie tzw. diagramu Hassego, którego postać jest łatwo intepretowalna dla decydentów.
Przyrostowa specyfikacja informacji preferencyjnej.
UTAGMS -GROUP, podobnie jak
UTAGMS przeznaczona dla pojedynczego decydenta, powinna być używana w sposób interaktywny, tj. z przyrostową specyfikacją informacji preferencyjnej przez decydentów. W kontekście
decyzji grupowych założono, że przejście od jednej iteracji do drugiej następuje wraz ze specyfikacją dodatkowych porównań parami przez dowolnego z decydentów dh ∈ D0 . Dla każdej iteracji
N,P
P,N
P,P
t = 1, . . . , s, możliwe jest określenie relacji %N,N
t,D 0 , %t,D 0 , %t,D 0 oraz %t,D 0 . Istotna własność tak
zdefiniowanych relacji grupowych wynika z poniższego twierdzenia.
N,P
P,N
P,P
Twierdzenie 4.1.3. %N,N
t,D 0 , %t,D 0 , %t,D 0 oraz %t,D 0 stanowią relacje zagnieżdżone w następujący
sposób:
N,N
1. %N,N
t,D 0 ⊇ %t−1,D 0 ,
N,P
2. %N,P
t,D 0 ⊇ %t−1,D 0 ,
P,N
3. %P,N
t,D 0 ⊆ %t−1,D 0 ,
P,P
4. %P,P
t,D 0 ⊆ %t−1,D 0 .
Wraz z przyrostem informacji preferencyjnej wzbogacone zostają relacje konieczne-możliwe oraz
konieczne-konieczne, a osłabione relacje możliwe-możliwe oraz możliwe-konieczne.
Wartościowane relacje grupowane. Podając porównania parami w kolejnych iteracjach, decydenci mogą przypisać im różne poziomy pewności. Niech θt,dr oznacza poziom pewności przypisany
przez dr ∈ D0 nowym porównaniom parami dostarczonym w iteracji t. Założono, że dla każdego
decydenta dr ∈ D0 , 1 = θ1,dr ≥ θ2,dr ≥ . . . ≥ θs,dr > 0. Na postawie zagnieżdżonych porównań parami oraz odpowiadających im poziomów pewności θt,dr , t = 1, . . . , s, dr ∈ D0 , można
zdefiniować następujące wartościowane grupowe relacje preferencji dla wszystkich a, b ∈ A:
N,N
: A × A → {θ1,dr , θ2,dr , . . . ,
• wartościowana konieczna-konieczna relacja preferencji RD
0
θs,dr , 0}:
– jeżeli dla wszystkich dr ∈ D0 istnieje co najmniej jedno t takie, że a %N
t,dr b,
N,N
(a, b) = mindr {max{θt,dr : a %N
to RD
0
t,dr b, t = 1, . . . , s}},
N,N
– jeżeli dla dowolnego dr ∈ D0 nie istnieje t, dla którego a %N
t,dr b, to RD 0 (a, b) = 0.
N,P
• wartościowana konieczna-możliwa relacja preferencji RD
: A×A → {θ1,dr , θ2,dr , . . . , θs,dr , 0}:
0
– jeżeli dla co najmniej jednego dr ∈ D0 istnieje co najmniej jedno t takie, że a %N
t,dr b,
N,P
N
to RD
0 (a, b) = maxdr {max{θt,dr : a %t,d b, t = 1, . . . , s}},
r
N,P
– jeżeli dla wszystkich dr ∈ D0 nie istnieje t, dla którego a %N
t,dr b, to RD 0 (a, b) = 0.
P,N
• wartościowana możliwa-konieczna relacja preferencji RD
: A×A → {1−θ1,dr , 1−θ2,dr , . . . , 1−
0
θs,dr , 1}:
– jeżeli dla wszystkich dr ∈ D0 istnieje co najmniej jedno t takie, że a %P
t,dr b,
P,N
P
to RD
0 (a, b) = mindr {min{1 − θt,dr : not(a %t,d b), t = 1, . . . , s}},
r
P,N
– jeżeli dla wszystkich dr ∈ D0 oraz dla wszystkich t zachodzi a %P
t,dr b, to RD 0 (a, b) = 1.
P,P
• wartościowana możliwa-możliwa relacja preferencji RD
: A×A → {1−θ1,dr , 1−θ2,dr , . . . , 1−
0
θs,dr , 1}:
– jeżeli dla co najmniej jednego dr ∈ D0 istnieje co najmniej jedno t takie, że a %P
t,dr b,
P,P
P
to RD
0 (a, b) = maxdr {min{1 − θt,dr : not(a %t,d b), t = 1, . . . , s}},
r
P,P
– jeżeli dla dowolnego dr ∈ D0 oraz dla wszystkich t zachodzi a %P
t,dr b, to RD 0 (a, b) = 1.
30
4.2
UTADISGMS -GROUP: zasada odpornej regresji porządkowej
dla grupowych problemów sortowania
Informacja preferencyjna. Każdy decydent dr jest proszony o podanie przykładowych przydziałów do klas, składających się z wariantu referencyjnego a∗ ∈ AR
dr ⊆ A oraz jego pożądanego
∗
możliwie nieprecyzyjnego przydziału a → [CLdr (a∗ ) , CRdr (a∗ ) ].
Grupowe przydziały do klas. Na podstawie informacji preferencyjnej każdego decydenta dr ∈ D
z wykorzystaniem metody UTADISGMS oblicza się możliwe CdPr (a) oraz konieczne CdNr (a) przydziały do klas. Następnie dla dowolnego podzbioru decydentów D0 ⊆ D rozważa się cztery grupowe
N,N
N,P
P,N
P,P
przydziały do klas CD
, CD
, CD
oraz CD
0
0
0
0 .
Definicja 4.2.1.
N,N
1. CD
(a) =
0
T
dr ∈D 0
CdNr (a),
N,P
2. CD
(a) =
0
P,N
3. CD
0 (a) =
T
dr ∈D 0
CdPr (a),
P,P
4. CD
0 (a) =
S
S
dr ∈D 0
dr ∈D 0
CdNr (a),
CdPr (a).
P,P
N,P
P,N
Własności grupowych przydziałów do klas. Własności przydziałów CD
(a), CD
0 (a), CD 0
0 (a)
P,P
oraz CD
0 (a) przedstawione w tym rozdziale pomagają na lepszą organizację procesu decyzyjnego
oraz wypracowanie kompromisowego rozwiązania dla zbioru decydentów. Praktyczna użyteczność
tych własności jest analogiczna jak dla metody UTAGMS -GROUP; dlatego też pominięto jej
omówienie w tym rozdziale.
Uwaga 4.2.1. W przypadku braku jakichkolwiek przykładowych przydziałów do klas, dla dowolnego
podzbioru decydentów D0 ⊆ D:
P,N
P,P
1. możliwe-konieczne oraz możliwe-możliwe przydziały (CD
0 (a) oraz CD 0 (a)) są równe pełnemu
zakresowi klas C1 − Cp ;
N,N
N,P
2. konieczne-konieczne oraz konieczne-możliwe przydziały (CD
(a) oraz CD
(a)) są puste.
0
0
N,N
P,N
Twierdzenie 4.2.1. Zakładając, że CD
(a) oraz CD
0
0 (a) są niepuste oraz oznaczając przez
N,N
N,N
LN,N
D 0 (a) oraz RD 0 (a) odpowiednio najgorszą oraz najlepszą klasę przydziału CD 0 (a), a przez
P,N
P,N
LP,N
D 0 (a) oraz RD 0 (a) odpowiednio najgorszą oraz najlepszą klasę przydziału CD 0 (a), dla każdego
decydenta dr ∈ D0 ⊆ D oraz dla każdego wariantu referencyjnego a∗ ∈ AR
dr :
N,N ∗
∗
∗
∗
1. LN,N
D 0 (a ) ≥ Ldr (a ) oraz RD 0 (a ) ≤ Rdr (a ),
P,N ∗
∗
∗
∗
2. LP,N
D 0 (a ) ≥ Ldr (a ) oraz RD 0 (a ) ≤ Rdr (a ).
Uwaga 4.2.2. Dla dowolnego decydenta dh ∈ D0 ⊆ D:
N,N
N,N
N,P
N,P
1. CD
(a) ⊆ C{d
(a) = CdNh (a) = C{d
(a) ⊆ CD
(a),
0
0
h}
h}
P,N
P,N
P,P
P,P
2. CD
C{d
(a) = CdPh (a) = C{d
(a) ⊆ CD
0 (a) ⊆
0 (a).
h}
h}
W ogólności dla wszystkich podzbiorów decydentów D0 , D00 ⊆ D takich, że D0 ⊆ D00 :
N,N
N,N
N,P
N,P
1. CD
(a) ⊆ CD
(a) ⊆ CD
00 (a),
00 (a) ⊆ CD 0
0
P,N
P,N
P,P
2. CD
00 (a) ⊆ CD 0 (a) ⊆ CD 0 (a) ⊆
P,P
CD
00 (a).
Twierdzenie 4.2.2. Dla każdego wariantu a ∈ A oraz dowolnego podzbioru decydentów D0 ⊆ D:
4.3. Zasada odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych w przypadku łącznego rozważenia
informacji preferencyjnej decydentów
N,N
N,P
1. CD
(a) ⊆ CD
(a),
0
0
P,N
P,P
4. CD
0 (a) ⊆ CD 0 (a),
N,N
P,N
2. CD
(a) ⊆ CD
0
0 (a),
31
N,P
P,P
3. CD
(a) ⊆ CD
0
0 (a),
N,N
P,P
5. CD
(a) ⊆ CD
0
0 (a).
N,P
Twierdzenie 4.2.3. CD
(a) 6= ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy następujący warunek ścisłej ciągłości
0
∗
∗
jest spełniony dla dowolnego dr ∈ D0 ⊆ D: dla wszystkich a∗ , b∗ ∈ AR
dr takich, że Ldr (a ) > Rdr (b )
GM S−DIS
nie istnieją dwie funkcje użyteczności U, U 0 ∈ UA
kompatybilne z informacją preferencyjną
R ,d
r
podaną przez dr , dla których U (a) ≥ U (a∗ ) oraz U 0 (b∗ ) ≥ U 0 (a).
Przyrostowa specyfikacja informacji preferencyjnej. UTADISGMS -GROUP, podobnie jak
UTADISGMS przeznaczona dla pojedynczego decydenta, powinna być używana w sposób interaktywny, tj. z przyrostową specyfikacją przykładowych przydziałów do klas przez decydentów.
W kontekście decyzji grupowych założono, że przejście od jednej iteracji do drugiej następuje wraz
ze specyfikacją dodatkowych przykładowych przydziałów do klas przez dowolnego z decydentów
N,N
N,P
dh ∈ D0 . Dla każdej iteracji t = 1, . . . , s, możliwe jest określenie przydziałów Ct,D
0 (a), Ct,D 0 (a),
P,N
P,P
Ct,D
0 (a) oraz Ct,D 0 (a). Istotna własność tak zdefiniowanych grupowych przydziałów do klas wynika
z poniższego twierdzenia.
Twierdzenie 4.2.4. Dla wszystkich t = 2, . . . , s oraz dla każdego wariantu a ∈ A,
P,P
P,P
Ct,D
0 (a) ⊆ Ct−1,D 0 (a)
oraz
P,N
P,N
Ct,D
0 (a) ⊆ Ct−1,D 0 (a).
Przydziały możliwe-możliwe oraz możliwe-konieczne w kolejnych iteracjach można wyrazić jako
zagnieżdżone przedziały klas, odpowiadające różnym poziomom pewności. Wraz z przyrostem informacji preferencyjnej stają się one zatem bardziej precyzyjne.
Analiza niespójności. Informacja preferencyjna dostarczona przez decydentów ze zbioru D jest
niespójna, gdy nie istnieje żadna instancja modelu preferencji odtwarzająca wszystkie przykładowe decyzje w postaci porównań parami lub przydziałów do klas. W rozprawie e języku angielskim (zobacz Rozdział 3.4) przedstawiono procedurę identyfikacji podzbioru informacji preferencyjnej odpowiedzialnego za potencjalną niespójność. Procedura ta jest oparta na wykorzystaniu
mieszanego całkowitoliczbowego programowania liniowego. Zdefiniowano przy tym różnorodne kryteria wyboru takiego podzbioru odnoszące się do liczby elementarnych stwierdzeń, które należy
usunąć bądź zmienić, by preferencje decydentów były kompatybilne. Kryteria te to między innymi
minimalizacja całkowitej liczby takich stwierdzeń dla wszystkich decydentów oraz minimalizacja
maksymalnej liczby stwierdzeń dostarczonych przez każdego z decydentów. Zasugerowano również
wykorzystanie innych kryteriów w przypadku, gdy decydenci zdefiniowali poziomy istotności dla
przyrostowo podawanych preferencji.
4.3
w przypadku łącznego rozważenia informacji preferencyjnej
decydentów
W tym rozdziale rozważono sytuacje decyzyjne, w ramach których informacja preferencyjna wszystkich decydentów ze zbioru D0 może być reprezentowana przez co najmniej jedną funkcję użyteczności.
Niech zbiór takich funkcji będzie oznaczony przez UD0 . Możliwe jest wtedy zdefiniowanie koniecznych
i możliwych wyników w sposób tradycyjny w odniesieniu do preferencji wszystkich decydentów
32
rozważanych łącznie. Podejście takie może być szczególnie użyteczne, gdy najbardziej pewne
wyniki działania metod UTAGMS -GROUP oraz UTADISGMS -GROUP, tj. konieczna-konieczna
relacja preferencji oraz możliwe-konieczne przydziały, nie pozwalają na podjęcie ostatecznej decyzji i wypracowanie zadowalającego kompromisu.
Dla problemów wielokryterialnego porządkowania rozważane są dwie relacje preferencji takie,
że dla dowolnej pary wariantów (a, b) ∈ A × A:
• a %N
D 0 b : a jest koniecznie preferowane nad b wtedy i tylko wtedy, gdy U (a) ≥ U (b) dla
wszystkich funkcji użyteczności U ∈ UD0 ;
• a %P
D 0 b : a jest możliwie preferowane nad b wtedy i tylko wtedy, gdy U (a) ≥ U (b) dla co
najmniej jednej funkcji użyteczności U ∈ UD0 .
P
Weryfikacja prawdziwości koniecznej %N
D 0 oraz możliwej %D 0 relacji preferencji wymaga rozwiąza-
nia problemów analogicznych jak w metodach UTAGMS oraz UTADISGMS z wyjątkiem faktu, że
zamiast preferencji pojedynczego decydenta rozważa się preferencje wszystkich decydentów łącznie.
P
Binarne relacje %N
D 0 oraz %D 0 posiadają następujące interesujące własności.
Twierdzenie 4.3.1. Dla dowolnego podzbioru decydentów D0 ⊆ D, jeżeli UD0 6= ∅, to:
1. %N,N
⊆ %N
D0 ,
D0
P,N
2. %P
D 0 ⊆ %D 0 ,
P,N
P,N
N
P
oraz
⊆ %P,P
W związku z faktem, że %N
D 0 ⊆ %D 0 oraz %D 0
D 0 , oczywiste jest, że %D 0 ⊆ %D 0
P,P
%P
D 0 ⊆ %D 0 .
Twierdzenie 4.3.2. Rozważając dwa podzbiory decydentów D0 ⊆ D00 ⊆ D, jeżeli UD00 6= ∅, to:
N
1. %N
D 0 ⊆ %D 00 ,
P
2. %P
D 00 ⊆ %D 0 .
Dla problemów wielokryterialnego sortowania dla każdego wariantu a ∈ A rozważane są dwa
rodzaje przydziałów do klas:
U
U
P
• CD
0 (a) = {h ∈ H, ∃U ∈ UD 0 : h ∈ [L (a), R (a)]}, tj. zbiór indeksów klas Ch , dla których
istnieje co najmniej jedna funkcja użyteczności U ∈ UD0 przydzielająca a do Ch ;
N
U
U
• CD
0 (a) = {h ∈ H, ∀U ∈ UD 0 : h ∈ [L (a), R (a)]}, tj. zbiór indeksów klas Ch , dla których
wszystkie funkcje użyteczności U ∈ UD0 przydzielają a do Ch .
N
Rozumując analogicznie jak dla problemów porządkowania, można stwierdzić, że przydziały CD
0
P
oraz CD
0 posiadają następujące własności.
Twierdzenie 4.3.3. Dla dowolnego podzbioru decydentów D0 ⊆ D oraz dla wszystkich wariantów
a ∈ A, jeżeli UD0 6= ∅, to:
N,N
N
1. CD
(a) ⊆ CD
0 (a),
0
P,N
P
2. CD
0 (a) ⊆ CD 0 (a),
Twierdzenie 4.3.4. Rozważając dwa podzbiory decydentów D0 ⊆ D00 ⊆ D, jeżeli UD00 6= ∅, to:
N
N
1. CD
0 (a) ⊆ CD 00 (a),
4.3. Zasada odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych w przypadku łącznego rozważenia
informacji preferencyjnej decydentów
33
P
P
2. CD
00 (a) ⊆ CD 0 (a).
Działanie metody UTADISGMS -GROUP zilustrowano w rozprawie w języku angielskim (zobacz
Rozdział 3.6) na przykładzie problemu przydziału autobusów do klas związanych z ich stanem
technicznym.
Rozdział 5
Analiza wyników skrajnych
dla problemów porządkowania
Zasada odpornej regresji porządkowej została zaproponowana w celu wypracowania rekomendacji
opartej na wszystkich instancjach modelu preferencji kompatybilnych z informacją preferencyjną
decydenta. W przypadku problemów porządkowania, metody UTAGMS [32] oraz PROMETHEEGKS
(zobacz Rozdział 3) konstruują relacje preferencji dwóch rodzajów: konieczne oraz możliwe. Ta pierwsza jest prawdziwa, jeżeli preferencja jednego wariantu nad drugim jest potwierdzona przez wszystkie kompatybilne instancje modelu preferencji. Z kolei relacja możliwa wymaga potwierdzenia
przez co najmniej jedną taką instancję. Rozważając tak specyficzne binarne relacje preferencji,
zaproponowane metody nie odnoszą się ani do pozycji, którą dany wariant zajmuje w rankingu ani
jego globalnej oceny. W przypadku problemów porządkowania charakterystyki te stanowią jednak
przedmiot zainteresowania zdecydowanej większości decydentów.
Porządki wariantów, które można uzyskać z wykorzystaniem różnych instancji modelu preferencji kompatybilnych z pośrednią lub nieprecyzyjną informacją preferencyjną decydenta, mogą się
znacząco różnić zarówno pod względem pozycji, jak i ocen poszczególnych wariantów. Prawdziwość
tego stwierdzenia jest potęgowana przez ogólny charakter modelu preferencji wykorzystywanego
w metodach UTAGMS oraz PROMETHEEGKS . Ujęcie tych różnic w zwięzłej formie wymaga
obliczenia najlepszych i najgorszych pozycji oraz globalnych ocen, które może osiągnąć każdy
wariant w zbiorze kompatybilnych instancji modelu preferencji. W związku z tym, w tym rozdziale
skupiono się na analizie wszystkich możliwych porządków zupełnych kompatybilnych z preferencjami decydenta, a w konsekwencji na zestawieniu każdego wariantu z wszystkimi pozostałymi
wariantami jednocześnie zamiast na realizacji |A| × |A − 1| porównań parami.
Schemat analizy wyników skrajnych został zaproponowany w odniesieniu do metod UTAGMS
oraz PROMETHEEGKS . Pomimo że podejścia te są oparte na różnych modelach preferencji oraz
aksjomatach, dla obydwu metod zagadnienia odporności dostarczonych przez nie rozwiązań są
bardzo istotne. Z praktycznego punktu widzenia, w kontekście analizy skrajnych wyników ważne
jest, że zestawienie globalnych użyteczności lub przepływów przewyższania determinuje porządek
zupełny wszystkich wariantów.
Wyniki badań przedstawione w tym rozdziale zostały opublikowane w [40].
Obliczenie skrajnych pozycji wariantów. Niech zbiór funkcji użyteczności kompatybilnych
GM S
z porównaniami parami dostarczonymi przez decydenta będzie oznaczony przez UA
, a zbiór
R
modeli przewyższania kompatybilnych z porównaniami parami oraz informacją wewnątrzkryteGKS
rialną będzie oznaczony przez SA
. Odpowiednie zbiory ograniczeń oznaczone są odpowiednio
R
35
36
Analiza wyników skrajnych dla problemów porządkowania
przez EUGM S oraz ESGKS .
Modele, które pozwalają na wyznaczenie najlepszej i najgorszej pozycji każdego wariantu są
oparte na mieszanym całkowitoliczbowym programowaniu liniowym. Zakładają one umieszczenie konkretnego wariantu na pierwszym bądź ostatnim miejscu w rankingu, co odbywa się przez
odpowiednie porównanie jego globalnej oceny z oceną każdego innego wariantu z osobna. Następnie
sprawdza się, ile z takich elementarnych porównań należy usunąć, by uzyskać niesprzeczny zbiór
ograniczeń. Minimalna liczba takich warunków stanowi podstawę do obliczenia pozycji skrajnych.
Aby wyznaczyć najlepszą pozycję wariantu a, należy rozwiązać następujący problem:
min
X
vb
(5.1)
b∈A\{a}
p.o.
R
EUA,max


EUGM S



U (a) ≥ U (b) − M vb ,




dlab ∈ A \ {a}
ESGKS
lub Φ(a) ≥ Φ(b) − M vb ,
dla b ∈ A \ {a}





R
A
ES,max




gdzie M jest dużą dodatnią liczbą rzeczywistą, a vb są zmiennymi binarnym skojarzonymi z porówrank
+ 1, gdzie
naniem a z wariantem b. Najlepsza pozycja wariantu a (P ∗ (a)) jest równa fmax
P
R
R
A
rank
A
fmax = min b∈A\{a} vb , p.o. EU ,max lub ES,max .
Aby wyznaczyć najgorszą pozycję wariantu a, należy rozwiązać następujący problem:
min
X
vb
(5.2)
b∈A\{a}
p.o.
R
EUA,min


EUGM S



U (b) ≥ U (a) + ε − M vb ,




dla b ∈ A \ {a}
ESGKS
lub Φ(b) ≥ Φ(a) + ε − M vb ,
dla b ∈ A \ {a}





R
A
ES,min




rank
rank
Najgorsza pozycja wariantu a (P∗ (a)) jest równa (|A| − fmin
), gdzie fmin
= min
p.o.
R
EUA,min
lub
P
b∈A\{a}
vb ,
AR
ES,min
.
Obliczenie skrajnych globalnych ocen wariantów. Wyznaczenie najwyższej oraz najniższej
globalnej oceny każdego wariantu wymaga rozwiązania prostych problemów programowania liniowego. W przypadku skrajnych użyteczności globalnych należy rozwiązać następujące problemy:
U ∗ (a) = max U (a), p.o. EUGM S
oraz
U∗ (a) = min U (a), p.o. EUGM S .
(5.3)
Z kolei wyznaczenie skrajnych przepływów przewyższania wymaga rozwiązania następujących
problemów:
Φ∗ (a) = max Φ(a), p.o. ESGKS
oraz
Φ∗ (a) = min Φ(a), p.o. ESGKS .
(5.4)
Przyrostowa specyfikacja informacji preferencyjnej. Metody UTAGMS oraz PROMETHEEGKS
umożliwiają przyrostową specyfikację porównań parami. Niech zbiory porównań parami dostarczone w kolejnych iteracjach t = 1, . . . , s, będą oznaczone przez %1 ⊆ %2 ⊆ . . . ⊆ %t . Dla każdej
iteracji t dla każdego wariantu a ∈ A można obliczyć skrajne pozycje (P∗,t (a) oraz Pt∗ (a)) oraz
globalne oceny (Sc∗ (a) oraz Sc∗ (a)). Relacja pomiędzy rezultatami takiej analizy w iteracjach t,
t = 1, 2, . . . , s, jest określona przez następujące twierdzenie.
37
Twierdzenie 5.0.5. [Pt∗ (a), P∗,t (a)] oraz [Sc∗,t (a), Sc∗t (a)], t = 1, . . . , s, są zagnieżdżonymi przedzi∗
ałami: [Pt∗ (a), P∗,t (a)] ⊆ [Pt−1
(a), P∗,t−1 (a)] oraz [Sc∗,t (a), Sc∗t (a)] ⊆ [Sc∗,t−1 (a), Sc∗t−1 (a)], t =
2, . . . , s.
Konstrukcja porządków przedziałowych. Jeżeli iloczyn przedziałów możliwych pozycji dla
dwóch wariantów jest niepusty, wciąż jeden z nich może być klasyfikowany na pozycji wyższej
dla każdej kompatybilnej instancji modelu preferencji. Aby zwiększyć stopień porównywalności
K
wariantów, można rozważyć następujące definicje relacji preferencji RAN
oraz nierozróżnialności
IN T
K
∼RAN
, odnoszące się do przedziałów ich możliwych pozycji:
IN T
K
a RAN
b ⇔ P ∗ (a) < P ∗ (b) oraz P∗ (a) < P∗ (b),
IN T
K
a ∼RAN
b ⇔ [P ∗ (a), P∗ (a)] ⊂ [P ∗ (b), P∗ (b)] lub [P ∗ (a), P∗ (a)] ⊃ [P ∗ (b), P∗ (b)].
IN T
(5.5)
(5.6)
Powyższa propozycja jest tylko jedną z możliwych. Inne można znaleźć w literaturze dotyczącej
tzw. porządków przedziałowych [61].
Wybór podzbioru najlepszych wariantów. Wskazanie podzbioru najlepszych wariantów
wymaga narzucenia na P ∗ (a) oraz P∗ (a) dodatkowych ograniczeń. Najbardziej oczywista propozycja sprowadza się do wybrania wariantów, które mogą być klasyfikowane na samym szczycie
rankingu dla co najmniej jednej kompatybilnej instancji modelu preferencji, tj.:
B W IN = {a ∈ A : P ∗ (a) = 1}.
(5.7)
Można jednak dopuścić definicję odnoszącą się także do najgorszej pozycji. Przykładowo, aby
zostać uwzględnionym w zbiorze B W IN , wariant musi w najlepszym razie znaleźć się na podium
i nigdy nie może być klasyfikowany w dolnej połowie rankingu, tj.:
B W IN = {a ∈ A : P ∗ (a) ≤ 3 oraz P∗ (a) ≤ |A|/2}.
(5.8)
W ogólności można zaproponować funkcję f : {(r, s) : r, s ∈ {1, . . . , n}, r ≥ s} → R, taką, że
B W IN = {a ∈ A : f (P ∗ (a), P∗ (a)) ≥ 0}, gdzie f jest funkcją niemalejącą w stosunku do jej dwóch
argumentów.
Decyzje grupowe. Niech Pdh (a) = [Pd∗h (a), P∗,dh (a)] oznacza przedział możliwych pozycji dla
wariantu a otrzymanych dla decydenta dh ∈ D. W duchu propozycji z Rozdziału 3 niniejszej
rozprawy możliwe jest wprowadzenie koniecznych oraz możliwych przedziałów pozycji w odniesieniu do zbioru decydentów D:
PDN (a) =
\
dr ∈D
Pdr (a) oraz PDP (a) =
[
Pdr (a).
(5.9)
dr ∈D
Wybór pojedynczej instancji modelu preferencji odpowiadającej skrajnym pozycjom
wariantu. Identyfikacja warunków, dla których wariant a ∈ A osiąga swoją najlepszą lub najgorszą
pozycję jest możliwa poprzez wybór funkcji użyteczności (dla UTAGMS ) lub zbioru parametrów
(dla PROMETHEEGKS ), dla których a jest klasyfikowany na pozycjach skrajnych. W ogólności
może istnieć więcej niż jedna funkcja użyteczności lub zbiór parametrów, które spełniałyby ten
warunek. Aby wybrać unikalną instancję, należy wyznaczać tzw. reprezentatywną instancję modelu
38
preferencji (zobacz Rozdział 7) przy jednoczesnym wymuszeniu klasyfikacji wariantu a na jego najlepszej lub najgorszej pozycji. W pierwszym etapie wyznaczenia takiej instancji maksymalizowana
jest różnica pomiędzy globalnymi ocenami (użytecznościami lub przepływami przewyższania) dla
par wariantów, dla których prawdziwa jest relacja koniecznej preferencji N . Następnie minimalizowana jest różnica pomiędzy globalnymi ocenami wariantów, dla których konieczna relacja
preferencja nie zachodzi, co oznacza, że są one nieporównywalne względem relacji koniecznej. Dla
metody PROMETHEEGKS relacje te powinny być rozważane na poziomie eksploatacji.
Aby wybrać reprezentatywną instancję modelu preferencji odpowiadającą najlepszej pozycji
wariantu a ∈ A, należy rozwiązać następujący problem:
max γ
p.o.
S,I
EUGM
R ,max


U (c) ≥ U (d) + γ,





dla (c, d) ∈ A × A, c N d,






 EUGM S ,
b














Φ(c) ≥ Φ(d) + γ,
dla (c, d) ∈ A × A, c N d,
lub


U (a) ≥ U (b) − M vb + ε,





dla b ∈ A \ {a},




P


v = f pos ,
b∈A\{a}
(5.10)
ESGKS ,
Φ(a) ≥ Φ(b) − M vb + ε,
dla b ∈ A \ {a},
P
max
b∈A\{a}
ESGKS,I
R ,max













pos
,
vb = fmax
gdzie ε jest bardzo małą dodatnią liczbą rzeczywistą. Następnie, w drugiej iteracji należy rozwiązać
następujący problem:
min δ
p.o.
S,II
EUGM
R ,max


U (c) − U (d) ≤ δ,





U
(d) − U (c) ≤ δ,




dla (c, d) ∈ A × A, cRN d,



γ = γ∗,





S,I

,
 EUGM
R ,max
(5.11)
Φ(c) − Φ(d) ≤ δ,
Φ(d) − Φ(c) ≤ δ,
lub
dla (c, d) ∈ A × A, cRN d,
∗
γ=γ ,
ESGKS,I
,
R ,max











ESGKS,II
R ,max










S,I
gdzie γ ∗ = max γ, p.o. EUGM
lub ESGKS,I
. Aby wybrać reprezentatywną instancję modelu
R ,max
R ,max
preferencji dla najgorszej pozycji wariantu a, należy postępować analogicznie, wymagając, by a
było klasyfikowane na najniższej możliwej pozycji.
Analizę skrajnych wyników zilustrowano w rozprawie w języku angielskim (zobacz Rozdziały 4.8
oraz 4.9) na przykładach problemu oceny konkurencyjności przemysłu informatycznego dla państw
europejskich oraz problemu oceny jakości życia dla wybranych miast. W pierwszym przypadku
wykorzystano podejście oparte na wieloatrybutowej teorii użyteczności, a w drugim podejście bazujące na relacji przewyższania.
Rozdział 6
Dezagregacja preferencji dotyczących
pożądanego rankingu wariantów
Paradygmat dezagregacji preferencji postuluje znalezienie parametrów modelu preferencji, pozwalających na odtworzenie przykładów decyzji podanych przez decydenta [37]. Zaproponowanie metody
UTA zapoczątkowało dynamiczny rozwój podejść opartych na tym paradygmacie. W późniejszym
okresie opracowano wiele metod, wzorujących się na UTA, lecz przeznaczonych dla różnych kategorii problemów decyzyjnych i opartych na wykorzystaniu różnorodnych form informacji preferencyjnej (zobacz np. [20, 67, 72]). W przypadku problemów porządkowania, najbardziej popularne
metody konstruowały zbiór funkcji użyteczności kompatybilnych z zupełnym lub częściowym preporządkiem wariantów referencyjnych.
Jak wspomniano w Rozdziale 4, analiza końcowego porządku wzmaga zainteresowanie decydentów pozycjami oraz globalnymi ocenami wariantów. W związku z tym, pożądane jest rozszerzenie
informacji preferencyjnej, której mógłby dostarczyć decydent, o wymagania odnośnie rankingu
wariantów referencyjnych, tj. ograniczeń dotyczących ich ostatecznej pozycji oraz globalnych ocen.
W wielu sytuacjach decyzyjnych ludzie spontanicznie odnoszą się do wymagań tego typu, np.
“a powinno znaleźć się na podium”, “b powinno być w górnej (dolnej) połowie rankingu”, “c powinno
znaleźć się wśród 10% najlepszych (najgorszych) wariantów”, “d powinno być klasyfikowane na
miejscach od 4 do 10” lub “miejsce e jest w drugiej dziesiątce”. Poza tym, nieformalne praktyczne
metody rozwiązywania licznych problemów decyzyjnych często wymuszają odwołanie się do pożądanych pozycji wariantów, by wspomnieć choćby ocenę kandydatów na określone stanowisko lub
opinię ekspertów sportowych.
Warto zwrócić uwagę na fakt, że odwołując się do pożądanych pozycji wariantów, ludzie nie
konfrontują ich jeden przeciw jednemu jak w porównaniach parami, ale raczej oceniają je indywidualnie, jednocześnie zestawiając z wszystkimi pozostałymi wariantami jednocześnie. Co więcej,
metody oparte na dezagregacji preferencji dla problemów sortowania pozwalają decydentom na
odwołanie się do pożądanego przydziału do klas dla wariantów referencyjnych [33, 47, 48]. W tym
kontekście, adaptacja analogicznego podejścia, tj. umożliwienie odniesienia się do elementów końcowej rekomendacji dla problemów porządkowania, wydaje się jeszcze bardziej uzasadniona.
Informacja preferencyjna dotycząca pożądanych globalnych ocen dla wariantów referencyjnych
powinna być interpretowana w następujący sposób: “wektor ocen danego wariantu predysponuje
go do globalnej oceny o wartości co najmniej lub co najwyżej x, gdzie x ∈ [0, 1]”.
Wyniki badań przedstawione w tym rozdziale zostały pierwotnie opisane w [41].
39
40
Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanego rankingu wariantów
Informacja preferencyjna w postaci pożądanego rankingu dla wariantów referencyjnych.
Przykłady ogólnych stwierdzeń odwołujących się do pożądanych pozycji wariantów referencyjnych
a∗ ∈ AR są następujące:
• a∗ powinien być klasyfikowany wśród r najlepszych/najgorszych wariantów;
• a∗ powinien być klasyfikowany wśród p% najlepszych/najgorszych wariantów (np. czołowe
5%, 10%, 1/3 lub górna/dolna połowa ranking);
• a∗ nie powinien być klasyfikowany wśród r najgorszych/najlepszych wariantów;
• a∗ powinien być klasyfikowany na pozycjach w przedziale [f, c], gdzie f ≤ c.
Ostatnie stwierdzenie jest najbardziej ogólne. W związku z tym w niniejszym streszczeniu rozprawy
przedstawiono model matematyczny, który pozwala na odtworzenie informacji preferencyjnej w tej
postaci. Model ten opiera się na wykorzystaniu mieszanego całkowitoliczbowego programowania
liniowego:
(−) U (a∗ ) − U (b) + M · va>∗ ,b ≥ ε, dla b ∈ A \ {a∗ }
P
>
(−)
b∈A\{a∗ } va∗ ,b ≤ c − 1
(+) U (b) − U (a∗ ) + M · va<∗ ,b ≥ ε, dla b ∈ A \ {a∗ }
P
<
(+)
b∈A\{a∗ } va∗ ,b ≤ n − f
(#) va>∗ ,b + va<∗ ,b ≤ 1, dla b ∈ A \ {a∗ }












(6.1)











gdzie M jest dużą dodatnią liczbą rzeczywistą, ε jest małą dodatnią liczbą rzeczywistą, a va>∗ ,b
oraz va<∗ ,b są zmiennymi binarnymi skojarzonymi z porównaniem a∗ z wariantem b. Powyższy zbiór
ograniczeń gwarantuje, że istnieje co najwyżej c − 1 wariantów które są klasyfikowane na pozycjach
lepszych niż a∗ oraz co najwyżej n−f wariantów, które są klasyfikowane na pozycjach gorszych niż
a∗ . Ograniczenie oznaczone symbolem (#) dodatkowo zapewnia, że podzbiory wariantów, które są
lepsze i gorsze niż a∗ są rozłączne.
Wymaganie, by wariant a∗ znalazł się wśród r czołowych wariantów odpowiada specyfikacji
zakresu od 1 do r, natomiast wymaganie odnośnie klasyfikacji a∗ wśród r najgorszych wariantów
odpowiada zakresowi od n − r + 1 do n. Jeżeli w przedziale pożądanych pozycji [f, c] dla a∗ ∈ AR ,
f jest równe 1, należy opuścić ograniczenia oznaczone symbolami (+) oraz (#). W tym przypadku nie wpływają one bowiem na definicję zbioru możliwych rozwiązań, ponieważ nierówność
U (b) − U (a∗ ) > 0 może być spełniona dla każdego wariantu b ∈ A \ {a∗ }. Z drugiej strony, jeżeli
c jest równe n, to należy opuścić ograniczenia oznaczone symbolami (−) oraz (#), ponieważ dopuszczalne jest niespełnienie nierówności U (a∗ ) − U (b) > 0 dla wszystkich wariantów b ∈ A \ {a∗ }.
Informacja preferencyjna w postaci pożądanych pozycji dla wariantów referencyjnych może być
łączona z tradycyjnymi porównaniami parami. W kontekście odwoływania się do pożądanych pozycji, stwierdzenia takie jak “a∗ jest (słabo) preferowane nad b∗ ” lub “a∗ jest nierozróżnialne z b∗ ”
powinny być jednak postrzegane z innej perspektywy:
• a∗ powinno być klasyfikowane wyżej niż b∗ (oznaczone jako a∗ b∗ ), tj. U (a∗ ) − U (b∗ ) > 0,
• a∗ powinno być klasyfikowane nie niżej niż b∗ (oznaczone jako a∗ % b∗ ), tj. U (a∗ )−U (b∗ ) ≥ 0,
• a∗ powinno być klasyfikowane na pozycji takie samej jak b∗ (oznaczone jako a∗ ∼ b∗ ), tj.
U (a∗ ) − U (b∗ ) = 0.
41
Ograniczenia odnoszące się do pożądanego zakresu globalnych ocen dla wariantu referencyjnego
a∗ ∈ AR oznaczono następująco:
∗
U (a∗ ) ∈ [U∗,DM (a∗ ), UDM
(a∗ )],
(6.2)
∗
gdzie U∗,DM (a∗ ) ≤ UDM
(a∗ ) są określonymi przez decydenta wartościami z zakresu [0, 1].
Model preferencji. W zaproponowanej metodzie kompatybilne funkcje użyteczności muszą spełniać następujące warunki:
• Spójność z pożądanymi pozycjami wariantów referencyjnych.
• Spójność z porównaniami par wariantów referencyjnych.
• Monotoniczność cząstkowych funkcji użyteczności uj , j ∈ J.
• Normalizacja przedziału zmienności użyteczności globalnych do przedziału [0, 1].
RU T A
Niech zbiór ograniczeń definiujących zbiór kompatybilnych funkcji użyteczności UA
będzie
R
oznaczony przez EURU T A (szczegółowa definicja tego zbioru ograniczeń znajduje się w rozprawie
w języku angielskim w Rozdziale 5.3, s. 90).
Aby uzyskać ostateczną rekomendację z wykorzystaniem podejścia odwołującego się do pożądanych pozycji oraz globalnych ocen wariantów referencyjnych, konieczna jest adaptacja istniejących metod WWD. W szczególności, rekomendacja taka może być oparta na pojedynczej funkcji
użyteczności, jak w tradycyjnych metodach z rodziny UTA, lub na zbiorze wszystkich funkcji kompatybilnych z preferencjami decydenta.
Wybór pojedynczej funkcji użyteczności. W rodzinie metod UTA istnieje wiele procedur
pozwalających na wybór pojedynczej funkcji użyteczności w przypadku wykorzystania informacji
preferencyjnej w postaci porównań parami [6, 7]. Po odpowiedniej adaptacji niektóre z nich mogą
być wykorzystane w kontekście informacji preferencyjnej nowego typu. W rozprawie przedstawiono
trzy podstawowe procedury wyboru:
• RUTAMP1-G, która adaptuje UTAMP1 [6], maksymalizując różnicę użyteczności globalnych
dla par wariantów, z których jeden jest preferowany nad drugi.
• RUTAMP2-G, która adaptuje UTAMP2 [6], w porównaniu z RUTAMP1-G dodatkowo podkreślając różnicę między użytecznościami cząstkowymi w kolejnych punktach charakterystycznych.
• RACUTA-G, która adaptuje ACUTA [7], wyznaczając tzw. analityczny środek w zbiorze
kompatybilnych funkcji użyteczności.
Dodatkowo zasugerowano możliwość wyboru tzw. reprezentatywnej funkcji użyteczności. Procedura, która pozwala go dokonać została przedstawiona w Rozdziale 7 niniejszej rozprawy.
Analiza zbioru kompatybilnych funkcji użyteczności. W przypadku wykorzystania
wszystkich funkcji użyteczności kompatybilnych z informacją preferencyjną w postaci pożądanego
rankingu wariantów, możliwe jest odwołanie się do:
42
• koniecznych %N oraz możliwych %P relacji preferencji, które dla pary wariantów (a, b) ∈
A × A są prawdziwe jeżeli nierówność U (a) ≥ U (b) zachodzi dla odpowiednio wszystkich lub
co najmniej jednej kompatybilnej funkcji użyteczności;
• analizy skrajnych wyników zaproponowanej w Rozdziale 5.
Weryfikacja prawdziwości koniecznych i możliwych relacji preferencji wymaga rozwiązania następujących problemów:
p.o.
max ε

U (b) − U (a) ≥ ε, 
RU T A
EN
(a, b),

RU T A
E
,
(6.3)
max ε

U (a) − U (b) ≥ 0, 
EPRU T A (a, b)

RU T A
E
.
(6.4)
U
oraz
p.p.
U
RU T A
Relacja a %N b jest prawdziwa, jeżeli ε∗ = max ε, p.o. EN
(a, b), nie jest większe od 0. Relacja
a %P b jest prawdziwa, jeżeli ε∗ = max ε, p.o. EPRU T A (a, b), jest większe od 0.
Wyznaczenie przedziału możliwych pozycji dla wariantu a ∈ A wymaga rozwiązania problemów
przedstawionych w Rozdziale 5, w których zbiór ograniczeń EUGM S jest zastąpiony przez EURU T A .
Warto zwrócić uwagę na fakt, że połączenie analizy skrajnych wyników z informacją preferencyjną w postaci pożądanych pozycji dla wariantów referencyjnych pozwala odpowiadać na
interesujące pytania dotyczące analizy odporności, np. “zakładając, że a jest klasyfikowane wśród
3 najlepszych wariantów, jaka jest najlepsza (najgorsza) pozycja wariantu b?”.
Rozszerzenia zaproponowanej metody o moduł analizy niespójności oraz specyfikację informacji
preferencyjnej w sposób przyrostowy są analogiczne jak dla metody ELECTREGKMS oraz analizy
skrajnych wyników. W związku z tym, pominięto ich szczegółową prezentację w streszczeniu.
Działanie metody zilustrowano w rozprawie w języku angielskim (zobacz Rozdział 5.4) na przykładzie
problemu oceny ekonomii cyfrowej państw europejskich, tj. jakości ich infrastruktury informatycznej i technicznej oraz stopnia jej wykorzystania przez obywateli, sferę biznesu oraz instytucje
rządowe.
Rozdział 7
Wybór reprezentatywnej instancji
modelu preferencji
Większość istniejących podejść opartych na paradygmacie dezagregacji preferencji zakłada wybór
pojedynczej instancji modelu preferencji, która stanowi podstawę wypracowania ostatecznej
rekomendacji (zobacz np. [6, 7, 55]). Wybór takiej instancji może być albo pozostawiony decydentowi, który interaktywnie dostosowuje ją do swoich preferencji, albo wynikać z zastosowania
domyślnej predefiniowanej reguły. Z drugiej strony, istnieje grupa metod (zobacz np. [17, 19, 30,
33, 48]), które wypracowują rekomendację, biorąc pod uwagę wszystkie kompatybilne instancje
modelu preferencji. Wyniki ich stosowania są w ogólności “bardziej odporne” niż rekomendacja
oparta na wykorzystaniu arbitralnie wybranej instancji. W niektórych sytuacjach decyzyjnych,
pożądane jest jednak zarówno przypisanie parametrom modelu precyzyjnych wartości, jak i znajomość jednoznacznej rekomendacji uzyskanej dla takiej instancji.
Powyższe wymagania można spełnić poprzez wybór reprezentatywnej instancji modelu preferencji. Dokładniej dla metod opartych na wieloatrybutowej teorii użyteczności wybierana jest
reprezentatywna funkcja użyteczności, a dla metod opartych na relacji przewyższania - reprezentatywny zbiór parametrów. Zasada wyboru takiej instancji to “jeden za wszystkich, wszyscy za
jednego”. Z jednej strony wybrana instancja reprezentuje wszystkie instancje kompatybilne z informacją preferencyjną decydenta. Z drugiej strony, wszystkie kompatybilne instancje wnoszą
wkład w wybór tej reprezentatywnej. W rozprawie zaprezentowano ogólny schemat wyznaczenia
reprezentatywnej instancji modelu preferencji oraz jego różne implementacje, z których każda rozszerza konkretną metodę opartą na zasadzie odpornej regresji porządkowej: GRIP, UTADISGMS ,
ELECTREGKMS , PROMETHEEGKS , UTAGMS -GROUP oraz UTADISGMS -GROUP.
Procedura wyboru reprezentatywnej instancji modelu preferencji ma charakter interaktywny
i decydent może formułować preferencje co do jej przebiegu. Preferencje te dotyczą wzięcia pod
uwagę pewnych predefiniowanych celów oraz sposobu ich realizacji. W szczególności decydent
może przypisać celom różne priorytety, determinujące kolejność ich osiągnięcia lub wyrazić chęć
znalezienia rozwiązania kompromisowego względem kilku celów. Istotą każdego celu jest podkreślenie prawidłowości zaobserwowanych w przekroju wszystkich kompatybilnych instancji modelu preferencji. Wyróżniono przy tym dwa rodzaje celów. Pierwszy z nich zakłada uwypuklenie ewidentnej
- potwierdzonej przez wszystkie kompatybilne instancje modelu preferencji - przewagi jednego wariantu nad innym. Drugi rodzaj celów zakłada redukcję niejednoznaczności we wskazaniu lepszego
wariantu dla określonej pary wariantów. W naturalny sposób cele zdefiniowane są zatem w odniesieniu do koniecznych, możliwych oraz skrajnych wyników zastosowania wszystkich kompatybilnych
instancji.
43
44
Wybór reprezentatywnej instancji modelu preferencji
Należy podkreślić, że procedura wyboru reprezentatywnej instancji nie zaprzecza logice odpornej
regresji porządkowej [34], gdyż nie traci się korzyści wynikającej ze znajomości wszystkich kompatybilnych instancji. Poprzez zwięzłą i precyzyjną reprezentację wyników działania metod odpornych,
reprezentatywna instancja rozszerza ich zdolność wyjaśnienia rezultatów swojego działania. Pojedyncza instancja, która może zostać przedstawiona decydentowi, wspomaga zrozumienie koniecznych
oraz możliwych konsekwencji, gdyż odtwarza wyniki koniecznie, jednocześnie proponując dla każdego
wariantu rekomendację, która stanowi kompromis wobec wszystkich możliwych stanów tego wariantu w przekroju zbioru kompatybilnych instancji. Dla każdego użytkownika analiza pojedynczej
reprezentatywnej instancji jest mniej abstrakcyjna niż rozpatrywanie całego zbioru instancji. Dzięki
temu decydent może uzyskać informację odnośnie globalnej oceny każdego wariantu oraz względnej ważności poszczególnych kryteriów. Reprezentatywna instancja łączy więc przejrzystość tradycyjnych metod WWD z elementami analizy odporności. Tak wybrany model odgrywa również
ważną rolę w stymulacji reakcji decydenta w kolejnych iteracjach działania metody poprzez przyrostową specyfikację informacji preferencyjnej.
Zarówno motywacja wyboru reprezentatywnej instancji modelu preferencji, jak i jej potencjalne zastosowania są kompatybilne z paradygmatem inżynierii odwrotnej [11]. W istocie podejście
to opiera się na analizie złożonego problemu w celu utworzenia jego reprezentacji na wyższym
poziomie abstrakcji. Wybór reprezentatywnej instancji zakłada krok wstecz w cyklu rozwoju,
którego celem jest rozbiór wyników na czynniki pierwsze, a następnie ich ponowna agregacja.
Dzięki takiemu postępowaniu zwiększa się zrozumienie problemu, zmniejsza się jego złożoność
i zyskiwane są alternatywne perspektywy jego analizy. Alternatywne procedury wyboru pojedynczej instancji można porównać do tzw. inżynierii normalnej (w przód), która zakłada realizację
standardowej sekwencji działań od specyfikacji wymagań do implementacji. W rozprawie dokonano
szczegółowego porównania procedury wyboru reprezentatywnej instancji modelu preferencji z innymi istniejącymi procedurami wyboru pojedynczej instancji. W porównaniu tym zestawiono ze
sobą koncepcje wyboru w oparciu o informację preferencyjną lub konsekwencje jej zastosowania;
odniesiono się także do gwarancji wyboru unikalnej instancji, złożoności obliczeniowej oraz potencjalnych zastosowań. W szczególności zarysowano możliwość wykorzystania reprezentatywnej
instancji w odniesieniu do analizy wyników odpornej regresji porządkowej, a także zaproponowano
jej użycie jako podstawy ostatecznej rekomendacji w ramach autonomicznej metody wspomagania
decyzji.
Wyniki badań przedstawione w tym rozdziale zostały opublikowane w [43], [29], [39] oraz [42].
Ogólny schemat wyboru reprezentatywnej instancji modelu preferencji. Ogólny schemat
wyboru reprezentatywnej instancji modelu preferencji zakłada odniesienie do wyników koniecznych,
możliwych oraz skrajnych. Ich szczegółowa analiza doprowadziła do zdefiniowania kilku celów,
które mogą być osiągnięte przez reprezentatywną instancję. Cele różnią się w zależności od metody,
do której się odnoszą, uwzględniając specyfikę modelu preferencji (funkcja użyteczności lub relacja
przewyższania), typ problemu decyzyjnego (porządkowanie, wybór lub sortowanie) oraz liczbę decydentów (pojedyczny decydent lub grupa decydentów).
Dla pojedynczego decydenta procedura wyboru reprezentatywnej instancji składa się z kilku
iteracji, z których każda ma następujący przebieg:
• Decydent dokonuje wyboru celu lub celów, które powinny zostać zrealizowane w i-tej iteracji.
• Zbiór ograniczeń z poprzedniej iteracji (początkowo tożsamy ze zbiorem definiującym kompatybilne instancje modelu preferencji) jest modyfikowany poprzez dodanie warunków pozwalających na osiągnięcie celu, tj. optymalizację różnicy pomiędzy parametrami opisującymi
45
jakość wariantów (np. globalnymi użytecznościami, współczynnikami zgodności lub przepływami przewyższania). Przykładowo dla późniejszej maksymalizacji różnicy użyteczności globalnych dla par wariantów a, b ∈ A, dodawany jest warunek:
U (a) ≥ U (b) + µ,
(7.1)
a dla minimalizacji takiej różnicy dodawany jest zbiór warunków:
U (a) − U (b) ≤ δ oraz U (b) − U (a) ≤ δ.
(7.2)
W przypadku wyrażenia przez decydenta chęci znalezienia rozwiązania kompromisowego,
dodawane warunki mają postać formuły pozwalającej na jednoczesną maksymalizację różnicy
pomiędzy parametrami opisującymi jakość niektórych par wariantów oraz jej minimalizację
dla innych par wariantów.
• Optymalizacja (w zależności od zdefiniowanego celu - maksymalizacja lub minimalizacja)
różnicy pomiędzy parametrami opisującymi jakość wariantów.
• Modyfikacja zbioru ograniczeń pozwalająca na zachowanie zoptymalizowanej już różnicy na
odpowiednim poziomie. Dopuszczalne jest zdefiniowanie przez decydenta progu określającego
dozwolone odchylenie od optymalnej wartości różnicy, co stwarza większą przestrzeń dla
osiągnięcia innych celów w kolejnych iteracjach.
Dla decyzji grupowych zaproponowano domyślny schemat wyboru reprezentatywnej instancji modelu preferencji.
W niniejszym streszczeniu rozprawy odniesiono się do specyfikacji celów, które są brane pod
uwagę przy wyborze reprezentatywnej instancji. W rozprawie w języku angielskim dodatkowo
dokonano analizy ich własności, uzasadniono wybór celów oraz zaproponowano procedury weryfikujące prawdziwość warunków, które para wariantów musi spełniać, by podlegać optymalizacji
w ramach realizacji konkretnego celu. Przedstawiono również szczegółowy zapis procedury wraz
z warunkami pozwalającymi na osiągnięcie poszczególnych celów oraz ewentualne rozszerzenia podstawowego schematu wyboru reprezentatywnej instancji.
Wybór reprezentatywnej funkcji użyteczności dla problemów porządkowania. Procedura wyboru reprezentatywnej funkcji użyteczności dla problemów porządkowania uwzględnia pięć
predefiniowanych celów. Odnoszą się one do koniecznej oraz możliwej relacji preferencji, których
prawdziwość może być sprawdzona z wykorzystaniem metod UTAGMS [32] lub GRIP [25], a także
do najlepszej oraz najgorszej pozycji każdego wariantu uzyskanych poprzez analizę skrajnych
wyników. Trzy spośród tych celów zakładają maksymalizację różnicy użyteczności globalnych dla
par wariantów (a, b) ∈ A × A, takich że:
• najgorsza możliwa pozycja wariantu a jest lepsza niż najlepsza możliwa pozycja wariantu b;
• wariant b nie jest nawet możliwie preferowany nad a, co oznacza, że a jest w rankingu wyżej
od b dla wszystkich kompatybilnych funkcji użyteczności;
• wariant a jest koniecznie preferowany nad b, podczas gdy b nie jest koniecznie preferowany
nad a, co oznacza, że dla wszystkich kompatybilnych funkcji użyteczności a jest w rankingu
co najmniej tak dobry jak b, a dla niektórych kompatybilnych funkcji wariant a jest ściśle
lepszy.
46
W każdym z powyższych przypadków przewaga wariantu a nad b jest ewidentna. Różnica jej
intensywności może znaleźć odzwierciedlenie w kolejności uwzględnienia celów w interaktywnej
procedurze wyboru reprezentatywnej funkcji. Pozostałe dwa cele zakładają minimalizację różnicy
użyteczności globalnych dla par wariantów (a, b) ∈ A × A, takich że:
• istnieje co najmniej jedna kompatybilna funkcja użyteczności, dla której wariant a jest
w rankingu wyżej niż b, oraz co najmniej jedna kompatybilna funkcja, dla której relacja
między a oraz b jest odwrotna;
• najlepsza pozycja wariantu a jest lepsza niż najlepsza pozycja wariantu b, a dla najgorszych
pozycji zachodzi relacja odwrotna.
Cele te odwołują się do niejednoznaczności we wskazaniu lepszego wariantu na podstawie analizy
rekomendacji wypracowanej z wykorzystaniem wszystkich kompatybilnych funkcji użyteczności.
Dlatego też w reprezentatywnym przypadku dąży się do redukcji różnicy skojarzonych z takimi
parami wariantów miar jakości.
W rozprawie zaproponowano także rozszerzenia procedury wyboru reprezentatywnej funkcji
dedykowane dla:
• problemów wielokryterialnego wyboru (podkreślenie przewagi podzbioru najlepszych wariantów nad pozostałymi);
• uwzględnienia intensywności preferencji [25];
• specyfikacji pożądanego kształtu cząstkowych funkcji użyteczności (np. liniowe lub dyskryminujące).
Wybór reprezentatywnej funkcji użyteczności dla problemów sortowania. Procedura
wyboru reprezentatywnej funkcji użyteczności dla problemów sortowania uwzględnia pięć predefiniowanych celów. Odnoszą się one do analizy koniecznych i możliwych przydziałów do klas, które
są wynikiem działania metody UTADISGMS [33], a także do relacji, które porównują przydziały
par wariantów pod dla każdej ze kompatybilnych funkcji użyteczności. Trzy spośród tych celów
zakładają maksymalizację różnicy użyteczności globalnych dla par wariantów (a, b) ∈ A×A, takich
że:
• najgorsza możliwa klasa wariantu a jest lepsza niż najlepsza możliwa klasa wariantu b;
• klasa wariantu a jest ściśla lepsza od klasy wariantu b dla wszystkich kompatybilnych funkcji
użyteczności;
• klasa wariantu a jest co najmniej tak samo dobra jak klasa wariantu b dla wszystkich kompatybilnych funkcji użyteczności oraz ściśle lepsza dla niektórych z nich.
Z kolei minimalizacja różnicy użyteczności globalnych jest warunkowana spełnieniem następujących
wymagań dla par wariantów (a, b) ∈ A × A:
• istnieje co najmniej jedna kompatybilna funkcja użyteczności, dla której klasa wariantu a
jest lepsza niż klasa wariantu b, oraz co najmniej jedna kompatybilna funkcja, dla której
relacja między klasami wariantów a oraz b jest odwrotna;
• przedział klas, do którego przydzielony jest wariant a jest dokładnie taki sam jak dla wariantu
b dla wszystkich kompatybilnych funkcji użyteczności.
47
Reprezentatywna funkcja użyteczności dla problemów sortowania może być wykorzystana do wyznaczenia reprezentatywnego przydziału do klas poprzez wykorzystanie procedury sortowania opartej
na przykładach decyzji (zobacz [33], [49]).
Wybór reprezentatywnej funkcji użyteczności dla problemów grupowych. Koncepcja
wyznaczenia reprezentatywnej funkcji użyteczności dla problemów grupowych zakłada uwypuklenie wyników najbardziej stabilnych, tj. relacji koniecznej-koniecznej preferencji dla problemów
porządkowania oraz możliwego-koniecznego przydziału dla problemów sortowania. Intensywność
pożądanej różnicy pomiędzy użytecznościami globalnymi poszczególnych wariantów jest tu skorelowana z licznością podzbioru decydentów potwierdzających określony wynik. Oznacza to, że
im więcej decydentów jest zgodnych co do ewidentnej przewagi jednego wariantu nad innym, tym
większa powinna być różnica pomiędzy przypisanymi tym wariantom użytecznościami globalnymi.
Dodatkowo rozważono różne poziomy spójności informacji preferencyjnej podanej przez zbiór
decydentów. Rozpoczęto od analizy sytuacji, w której jedna funkcja użyteczności może odtworzyć
przykłady decyzji wszystkich użytkowników równocześnie, przez problem, w którym spójne są
tylko preferencje każdego z użytkowników z osobna, aż do identyfikacji maksymalnego podzbioru
decydentów, których informacja preferencyjna może być reprezentowana za pomocą pojedynczej
funkcji użyteczności. W każdym z przypadków reprezentatywna funkcja odzwierciedla rozwiązanie
kompromisowe, dzięki czemu nie tylko ułatwia zrozumienie wyników odpornej regresji porządkowej,
ale także umożliwia intuicyjne porównanie konsekwencji preferencji każdego decydenta z rekomendacją, która stanowi konsensus dla całej grupy.
Wybór reprezentatywnego zbioru parametrów. Wybór reprezentatywnego zbioru parametrów
należy rozpatrywać indywidualnie dla metody ELECTRE oraz PROMETHEE. W przypadku
rozszerzenia metody ELECTREGKMS , cele odnoszą się do konieczności i możliwości spełnienia
testu zgodności i niezgodności. Dokładniej różnica pomiędzy całkowitymi współczynnikami zgodności i progiem odcięcia dla par wariantów, dla których test zgodności jest zawsze prawdziwy
lub zawsze fałszywy dla wszystkich kompatybilnych instancji modelu przewyższania, jest maksymalizowana. Natomiast dla par wariantów, dla których test zgodności jest możliwie prawdziwy
lub fałszywy w zależności od wyboru kompatybilnej instancji, różnica ta jest minimalizowana.
W przypadku wyznaczenia reprezentatywnych wartości progów veta możliwe są dwa podejścia:
“konserwatywne” lub “karzące”. W pierwszym wariancie próg veta dobierany jest tak, by niezgodność na danym kryterium zachodziła tylko dla par wariantów, dla których w przekroju wszystkich
kompatybilnych instancji modelu przewyższania zachodzi ona koniecznie. W drugim podejściu
reprezentatywna wartość progu veta wymusza wystąpienie niezgodności dla wszystkich par, dla
których jest ona możliwa, tzn. zachodzi dla co najmniej jednej kompatybilnej instancji modelu
przewyższania. Reprezentatywny zbiór parametrów dla metody ELECTREGKMS może stanowić
podstawę wypracowania rekomendacji w kategoriach problemu wyboru z wykorzystaniem metody
ELECTRE Is lub problemu porządkowania z użyciem metod ELECTRE III lub ELECTRE IV.
W przypadku wyznaczenia reprezentatywnego zbioru parametrów dla metody PROMETHEEGKS ,
cele odwołują się do koniecznych i możliwych relacji przewyższania zdefinowanych na poziomie eksploatacji i konstrukcji oraz do skrajnych pozycji wariantów. W związku z tym, ich definicja jest
analogiczna jak dla wyznaczenia reprezentatywnej funkcji użyteczności dla problemów porządkowania.
Wybór reprezentatywnej funkcji dla problemów sortowania zilustrowano w rozprawie w języku angielskim (zobacz Rozdział 6.8) na przykładzie problemu przydziału przedstawicieli handlowych do
48
klas związanych z wysokością przeznaczonej dla nich premii. Procedurę wyboru reprezentatywnej
funkcji użyteczności dla problemów grupowych zastosowano do problemu oceny konkurencyjności
przemysłu informatycznego dla państw Azji i Oceanii (zobacz Rozdział 6.9). Wreszcie wybór
reprezentatywnego zbioru parametrów dla metody PROMETHEEGKS wykorzystano w problemie
oceny kapitału ludzkiego największych polskich miast (zobacz Rozdział 6.10).
Rozdział 8
Dezagregacja preferencji dotyczących
pożądanych liczności klas decyzyjnych
W przeszłości rozwój metod wielokryterialnego wspomagania problemów sortowania ogniskował się
wokół procedur modelowania preferencji decydentów. W tym kontekście bezpośrednia informacja
preferencyjna może dotyczyć parametrów modelu preferencji (np. współczynników substytucji, wag
kryteriów lub progów nierozróżnialności i preferencji) lub profili ograniczających lub charakteryzujących klasy decyzyjne (zobacz np. [2], [56], [80]). Z kolei pośrednia informacja preferencyjna ma
postać przykładowych przydziałów do klas dla wariantów referencyjnych (zobacz np. [60], [81]). Na
ich podstawie formułowane są ograniczenia odnośnie zmienności parametrów modelu preferencji
z wykorzystaniem regresji porządkowej [70].
Pomimo że w wielu rzeczywistych problemach sortowania konieczne jest wzięcie pod uwagę
wymagań odnośnie liczności klas decyzyjnych, problem ich uwzględnienia w metodach WWD nie
zyskał należnej mu uwagi. W praktyce ludzie często formułują wymagania tego typu, używając
następujących przykładowych stwierdzeń: “możemy przyjąć co najmniej 5 i nie więcej niż 10 kandydatów”, “musimy odrzucić co najmniej 30 wniosków i nie więcej niż 20 innych aplikacji może być
przekazanych do dalszego rozważenia”, “najwyższą premię można przyznać co najwyżej 10% pracowników” lub “liczności poszczególnych klas muszą być zrównoważone”. Stwierdzenia te mają
charakter nieprecyzjny, odnosząc się do minimalnej oraz maksymalnej liczby wariantów, które
mogą być przydzielone do danej klasy lub unii klas. Najczęściej progi takie mają postać wartości
numerycznych lub odnoszą się w sposób procentowy do liczności całego zbioru wariantów.
W tym rozdziale przedstawiono metodę o nazwie DIS-CARD, która pozwala na wzięcie pod
uwagę wymagań odnośnie pożądanych liczności klas decyzyjnych. W podejściu tym, nowy typ
wymagań jest łączony albo z bezpośrednią informacja preferencyjną dopuszczającą jednak brak
precyzji w określeniu wartości parametrów modelu albo z pośrednią informacją preferencyjną
w postaci przykładowych przydziałów do klas. Korzystając z podejścia regresji porządkowej, konstruowany jest zbiór kompatybilnych instancji modelu preferencji, a następnie wybierana jest ta
spośród nich, która spełnia wymagania dotyczące liczności klas.
Istotą DIS-CARD jest adaptacja istniejących metod WWD do uwzględnienia wymagań odnośnie
pożądanych liczności klas decyzyjnych. W szczególności, zaproponowano rozszerzenie procedur sortowania opartych na wieloatrybutowej teorii użyteczności [15], [33], [49] oraz na relacji przewyższania [15], [33], [49].
Wyniki badań przedstawione w tym rozdziale zostały opublikowane w [44].
49
50
Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanych liczności klas decyzyjnych
Dezagregacja preferencji w postaci przykładowych przydziałów do klas. Wzięcie pod
uwagę informacji preferencyjnej dotyczącej pożądanych liczności klas decyzyjnych wymaga, by
parametry modelu preferencji były określone w sposób nieprecyzyjny lub wynikały z analizy
przykładowych przydziałów do klas dostarczonych przez decydenta. Założono, że w tym drugim
przypadku rozpatrywane będą tylko precyzyjne przydziały dla wariantów referencyjnych a∗ ∈ AR ,
tj.:
a∗ → ChDM (a∗ ).
(8.1)
W rozprawie odniesiono się do wielu metod WWD opartych na wieloatrybutowej teorii użyteczności
lub na relacji przewyższania. W niniejszym streszczeniu rozprawy przywołane zostaną dwa najbardziej charakterystyczne dla tych rodzin metod podejścia, tj. UTADIS [15] oraz ELECTRE
TRI [80].
Metoda UTADIS implementuje procedurę sortowania opartą na progach, w której każda klasa
Ch , h = 1, . . . , p, jest ograniczona przez dolny bh−1 oraz górny bh próg dozwolonej użyteczności.
Zbiór ograniczeń odpowiadający informacji preferencyjnej w postaci przykładowych przydziałów
do klas jest następujący:
U (a∗ ) ≥ bhDM (a∗ )−1 ,


dla a∗ ∈ AR
∗
U (a ) + ε ≤ bhDM (a∗ ) , 
b1 ≥ ε, bp−1 + ε ≤ 1,








UD
Epref
(8.2)







bh ≥ bh−1 + ε, h = 2, . . . , p − 1,
gdzie ε jest bardzo małą rzeczywistą liczbą dodatnią.
W przypadku wykorzystania metody ELECTRE TRI, założono, że relacja przewyższania jest
prawdziwa, gdy globalny współczynnik zgodności C(a, b) nie jest mniejszy od progu zgodności
λ. Dopuszczono specyfikację dozwolonych przedziałów zmienności dla progów nierozróżnialności
[qj,∗ , qj∗ ] i preferencji [pj,∗ , p∗j ] na każdym kryterium gj , j ∈ J. W związku z tym, cząstkowe
współczynniki zgodności zdefiniowano zgodnie z propozycją przedstawioną w ramach metody
ELECTREGKMS . W celu przydzielenia wariantu a do odpowiedniej klasy, procedura pesymistyczna metody ELECTRE TRI porównuje go z profilami b0 , b1 , . . . , bp , przy czym bh , h = 1, . . . , p−1,
jest profilem ograniczającym klasę Ch od góry oraz klasę Ch+1 od dołu. Warunki przydziału a do
Ch są następujące:
C(a, bh−1 ) ≥ λ,


C(a, bh ) + ε ≤ λ, jeżeli h < p. 
EBP
Epref
(8.3)
Dezagregacja preferencji w postaci pożądanych liczności klas decyzyjnych. Modele
matematyczne pozwalające na dezagregację preferencji w postaci pożądanych liczności klas decyzyjnych wykorzystują mieszane całkowitoliczbowe programowanie liniowe. W poniższych
ograniczeniach przyjęto, że M jest dużą dodatnią liczbą rzeczywistą, ε małą dodatnią liczbą rzeczywistą, a va,Ch jest zmienną binarną związaną z przydziałem wariantu a do klasy Ch .
Dla wszystkich rozważonych metod wielokryterialnego sortowania, założono, że każdy wariant
powinien być przypisany do pojedynczej klasy, tj. dla wszystkich a ∈ A:
p
X
va,Ch = 1,
(8.4)
h=1
oraz że wszystkie przykładowe przydziały do klas są odtworzone, tj. dla wszystkich wariantów
referencyjnych a∗ ∈ AR zachodzi:
va∗ ,ChDM (a∗ ) = 1.
(8.5)
51
Ograniczenia właściwe dla danej metody odwołują się do odpowiednio zmodyfikowanych waruków
przydziału wariantu a do każdej klasy Ch , h = 1, . . . , p:
• dla UTADIS:
(U D1) U (a) ≥ bh−1 − M · (1 − va,Ch ), h = 1, . . . , p, dla a ∈ A,



(U D2) U (a) + ε ≤ bh + M · (1 − va,Ch ), h = 1, . . . , p, dla a ∈ A. 

UD
Ecard
(8.6)
Ograniczenia (U D1) oraz (U D2) porównują U (a) dla wszystkich wariantów A z dolnym bh−1
i górnym bh progiem klasy Ch , h ∈ H. Jeżeli zmienna binarna va,Ch , skojarzona z porównaniem a z progami ograniczającymi klasę Ch , jest równa 0, to ograniczenia, w których ona
występuje są zawsze spełnione, co odpowiada ich eliminacji. Z drugiej strony, jeżeli va,Ch jest
równa 1, to wariant a zostanie przypisany do klasy Ch , ponieważ jego użyteczność globalna
U (a) spełnia następujące nierówności: bh−1 ≤ U (a) < bh .
• dla procedury pesymistycznej metody ELECTRE TRI:
(EBP 1) C(a, bh−1 ) ≥ λ − M · (1 − va,Ch ), h = 1, . . . , p, dla a ∈ A



(EBP 2) C(a, bh ) + ε ≤ λ + M · (1 − va,Ch ) h = 1, . . . , p − 1, dla a ∈ A. 

EBP
(8.7)
Ecard
Ograniczenia (EBP 1) oraz (EBP 2) gwarantują, że wariant a przypisany do klasy Ch przewyższa
dolne profile klas nielepszych od Ch oraz nie przewyższa profili dolnych klasy lepszych od
Ch .
Przykładowe stwierdzenia odnoszące się do pożądanych liczności klas decyzyjnych wraz z odpowiadającymi im modelami matematycznymi przedstawiono poniżej:
• do klasy Ch może zostać przydzielonych co najmniej |Ch | oraz co najwyżej |Ch | wariantów,
gdzie |Ch | ≤ |Ch |:
(CL)
P
(CU )
P
a∈A
a∈A

va,Ch ≥ |Ch |, 

va,Ch ≤ |Ch |. 

(8.8)
Jeżeli zmienna binarna va,Ch jest równa 0, wszystkie warunki konieczne do przydzielenia wariantu a do klasy Ch są nieaktywne. Z drugiej strony, jeżeli va,Ch jest równa 1, to wariant a jest
przydzielony do klasy Ch , ponieważ warunki, które taki przydział gwarantują są spełnione.
Ograniczenie (CL) zapewnia, że istnieje co najmniej |Ch | wariantów przydzielonych do Ch ,
natomiast ograniczenie (CU ) gwarantuje istnienie co najwyżej |Ch | wariantów przydzielonych
do Ch . Oczywiście możliwe jest wykorzystanie tylko jednego z ograniczeń (CL) lub (CU ),
by reprezentować preferencje odnoszące się jedynie do dolnej lub do górnej granicy liczności
klasy Ch .
• do klasy Ch może zostać przydzielonych co najmniej Ch % oraz co najwyżej Ch % wariantów,
gdzie Ch % ≤ Ch %:


v
≥
dC
%
·
ne,

a,C
h
h
a∈A
P

(CU %)
a∈A va,Ch ≤ bCh % · nc. 
(CL%)
P
(8.9)
52
• przedział k ciągłych klas Ct , t = h, h + 1, . . . , h + k − 1, może zawierać co najmniej |Ch,k |
oraz co najwyżej |Ch,k | wariantów, gdzie |Ch,k | ≤ |Ch,k | oraz k ≥ 1:


v
≥
|C
|,

a,C
h,k
t
t=h
a∈A
Ph+k−1 P

(U CU )
t=h
a∈A va,Ct ≤ |Ch,k |. 
(U CL)
Ph+k−1 P
(8.10)
• porównania liczności różnych klas decyzyjnych, np. liczność klasy Ch nie może być mniejsza
niż liczność klasy Cl , tj.:
X
va,Ch ≥
a∈A
X
va,Cl .
(8.11)
a∈A
Nierówność tego rodzaju może być także wykorzystana do reprezentowania wymagań odnośnie
zrównoważonej liczności klas decyzyjnych tak, by liczba wariantów przydzielonych do różnych
klas nie różniła się o więcej niż zadany próg.
W celu wypracowania przydziału do klas dla wszystkich wariantów w rozprawie zaproponowano
procedury wyboru pojedynczej instancji modelu preferencji respektującej wymagania odnośnie
pożądanych liczności klas.
Działanie metody DIS-CARD zilustrowano w rozprawie w języku angielskim (zobacz Rozdział 7.5)
na przykładzie problemu przydziału przedstawicieli handlowych do klas związanych z wysokością
przeznaczonej dla nich premii.
Rozdział 9
Podsumowanie
Rozprawę poświęcono wybranym problemom modelowania preferencji oraz analizy odporności
w wielokryterialnym wspomaganiu decyzji. W tym rozdziale omówiono realizację celów rozprawy,
a także zarysowano perspektywy dalszych badań.
9.1
Realizacja celów rozprawy
Poniżej omówiono elementy pracy, które stanowią najważniejsze oryginalne wyniki, pozwalające
na osiągnięcie celów przedstawionych we wstępie rozprawy.
Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na relacji przewyższania. Zaproponowano ogólny schemat analizy odporności rozwiązań dla metod opartych na relacji
przewyższania. Schemat ten wykorzystano w wybranych podejściach rozwijających rodziny metod
ELECTRE oraz PROMETHEE, które dedykowane są do wspomagania wielokryterialnych problemów
porządkowania
i
wyboru
lub
sortowania.
Najbardziej
charakterystyczną
cechą
zaproponowanych metod jest wzięcie pod uwagę całego zbioru instancji modelu przewyższania
kompatybilnych z informacją preferencyjną decydenta. Rozważono ogólne nieściśle monotoniczne
funkcje cząstkowych współczynników zgodności lub preferencji zdefiniowane w duchu tradycyjnych
metod opartych na relacji przewyższania. Zaproponowano modele regresji, pozwalające na wykorzystanie przykładów decyzji w postaci porównań parami lub przydziałów do klas do określenia
wartości parametrów modelu przewyższania, w tym progów veta. Dopuszczono specyfikację dozwolnego przedziału zmienności dla parametrów wewnątrzkryterialnych w sposób bezpośredni lub
pośredni. Wyniki działania zaproponowanych metod odnoszą się do zbioru wszystkich kompatybilnych instancji. Zdefiniowano konieczne i możliwe relacje przewyższania oraz przydziały do klas.
Dokonano analizy własności tych wyników.
Zasada odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych. Zaproponowano zasadę
odpornej regresji porządkowej dla decyzji grupowych. Przedstawiono dwie metody wspomagania
decyzji oparte na wieloatrybutowej teorii użyteczności: UTAGMS -GROUP oraz UTADISGMS -GROUP.
Zdefiniowano grupowe relacje preferencji oraz przydziały do klas w odniesieniu do indywidualnej lub łącznej analizy informacji preferencyjnej dostarczonej przez poszczególnych decydentów. Dokonano analizy własności wyników o charakterze koniecznym-koniecznym, koniecznymmożliwym, możliwym-koniecznym oraz możliwym-możliwym. Zaproponowano procedury wykrywania niespójności w informacji preferencyjnej dostarczonej przez wielu decydentów.
53
54
Podsumowanie
Analiza skrajnych wyników dla problemów wielokryterialnego porządkowania. Zaproponowano analizę skrajnych wyników dla problemów porządkowania, która stanowi rozwinięcie
zasady odpornej regresji porządkowej. Zaproponowano modele matematyczne, pozwalające na wyznaczenie dla każdego wariantu najlepszych i najgorszych pozycji oraz globalnych ocen w zbiorze
wszystkich instancji modelu preferencji kompatybilnych z informacją preferencyjną decydenta.
Schemat dostosowano do założeń dwóch rodzin metod WWD: UTA oraz PROMETHEE. Zaproponowano ogólne procedury wykorzystania skrajnych wyników do wyznaczenia porządków przedziałowych, wskazania podzbioru najlepszych wariantów oraz decyzji grupowych.
Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanego rankingu wariantów. Opracowano
wielokryterialną metodę wspomagania problemów porządkowania, w której informacja preferencyjna ma postać pożądanych pozycji w rankingu dla wariantów referencyjnych. Zaproponowano
modele matematyczne oparte na mieszanym całkowitoliczbowym programowaniu liniowym, które
pozwalają na wykorzystanie pożądanych pozycji wariantów do określenia wartości parametrów
addytywnej funkcji użyteczności. Dostosowano istniejące metody wielokryterialne do wykorzystania preferencji nowego typu. W szczególności omówiono procedury wyboru pojedynczej funkcji
użyteczności oraz dokonano adaptacji zasady odpornej regresji porządkowej i analizy skrajnych
wyników.
Wybór reprezentatywnej instancji modelu preferencji. Zaproponowano pojęcie reprezentatywnej instancji modelu preferencji. Opracowano procedury wyboru reprezentatywnej funkcji
użyteczności dla problemów porządkowania, wyboru, sortowania oraz decyzji grupowych. Opracowano procedury wyboru reprezentatywnego zbioru parametrów dla metod ELECTRE oraz
PROMETHEE. Procedury te opierają się na zasadzie “jeden za wszystkich, wszyscy za jednego”.
Reprezentatywna instancja modelu preferencji podkreśla konieczne, możliwe oraz skrajne konsekwencje zastosowania wszystkich kompatybilnych instancji. Zaproponowane procedury mają charakter interaktywny, tj. angażują decydenta w proces wyboru, wymagając specyfikacji celów, które
powinny zostać osiągnięte, oraz pożądanej kolejności ich realizacji. Porównano procedury wyboru
reprezentatywnej instancji z alternatywnymi procedurami wyboru pojedynczej instancji modelu
preferencji zarówno pod względem teoretycznym, jak i eksperymentalnym.
Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanych liczności klas decyzyjnych. Opracowano wielokryterialną metodę wspomagania problemów sortowania, w której informacja preferencyjna ma postać pożądanych liczności klas decyzyjnych. Zaproponowano modele matematyczne,
pozwalające na wykorzystanie przykładowych przydziałów do klas oraz pożądanych liczności klas
decyzyjnych do określenia wartości parametrów modelu preferencji dla wybranych istniejących
metod WWD opartych na wieloatrybutowej teorii użyteczności lub relacji przewyższania. Zaproponowano procedury wyboru pojedynczej instancji modelu preferencji kompatybilnej z nowym
typem informacji preferencyjnej.
W ramach realizacji wszystkich powyższych celów, dodatkowo przedstawiono:
• procedury wykrywania niespójności w informacji preferencyjnej dostarczonej przez decydenta, które pozwalają na zrozumienie sprzecznych aspektów w wyrażonych preferencjach
oraz czynią proces elicytacji preferencji bardziej elastycznym;
• procedury przyrostowej specyfikacji informacji preferencyjnej, redukujące trudności związane
z koniecznością jednorazowej specyfikacji dużego zbioru preferencji;
9.2. Perspektywy dalszych badań
55
• własności wyników zaproponowanych metod, które wspomagają postęp procesu decyzyjnego,
pozwalając na kontrolę ewolucji wypracowywanej rekomendacji;
• przykłady ilustrujące działanie zaproponowanych metod dla rzeczywistych problemów decyzyjnych.
Wyniki rozprawy zostały opublikowane lub znajdują się na etapie recenzji w liczących się czasopismach specjalistycznych:
• S. Greco, M. Kadziński, V. Mousseau, R. Słowiński, ELECTREGKMS : Robust ordinal regression for outranking methods, European Journal of Operational Research, 214(1):118-135,
2011. doi:10.1016/j.ejor.2011.03.045.
• S. Greco, M. Kadziński, V. Mousseau, R. Słowiński, Robust ordinal regression for multiple criteria group decision: UTAGMS -GROUP and UTADISGMS -GROUP, Decision Support
Systems, 52(3):549-561, 2012. doi:10.1016/j.dss.2011.10.005.
• M. Kadziński, S. Greco, R. Słowiński, Extreme ranking analysis in robust ordinal regression,
Omega, 40(4):488-501, 2012. doi:10.1016/j.omega.2011.09.003.
• M. Kadziński, S. Greco, R. Słowiński, RUTA: a framework for assessing and selecting additive
value functions on the basis of rank related requirements, zgłoszony do Omega w 2011r.
• S. Greco, M. Kadziński, R. Słowiński, Selection of a representative value function in robust multiple criteria sorting, Computers & Operations Research, 38(11):1620-1637, 2011.
doi:10.1016/j.cor.2011.02.003.
• M. Kadziński, S. Greco, R. Słowiński, Selection of a representative value function in robust
multiple criteria ranking and choice, European Journal of Operational Research, 217(3):541553, 2012. doi:10.1016/j.ejor.2011.09.032.
• M. Kadziński, S. Greco, R. Słowiński, Selection of a Representative Value Function for Robust
Ordinal Regression in Group Decision Making, Group Decision and Negotiation, w druku,
2011. doi:10.1007/s10726-011-9277-z.
• M, Kadziński, S. Greco, R. Słowiński, Selection of a representative set of parameters for robust ordinal regression outranking methods, Computers & Operations Research, 39(11):25002519, 2012. doi:0.1016/j.cor.2011.12.023.
• M. Kadziński, R. Słowiński, DIS-CARD: a new method of multiple criteria sorting to classes
with desired cardinality, Journal of Global Optimization, w druku, 2012. doi:10.1007/s10898012-9945-9
9.2
Perspektywy dalszych badań
W tym rozdziale przedstawiono zagadnienia, które stanowią potencjalne pole przyszłych badań.
Niektóre z nich stanowią bezpośrednie rozwinięcie metod zaproponowanych w rozprawie, a pozostałe odnoszą się do wykorzystania zasady odpornej regresji porządkowej w analizie efektywności
działania jednostek decyzyjnych [10] oraz w optymalizacji wielokryterialnej [38, 52, 53].
Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod grupowych opartych na relacji
przewyższania. Metody ELECTREGKMS , PROMETHEEGKS oraz ich odpowiedniki dedykowane
56
Podsumowanie
dla problemów sortowania zostaną rozszerzone do przypadku decyzji grupowych. Zaproponowane
zostaną również procedury wyboru reprezentatywnego zbioru parametrów dla decyzji grupowych.
Zróżnicowanie roli decydentów w problemach grupowych. Metody zaproponowane
w rozprawie dla decyzji grupowych ograniczają się do sytuacji, w której decyzję podejmuje komitet,
którego członkowie pełnią taką samą rolę. Interesujące pole rozwoju tych metod polega na zróżnicowaniu roli decydentów przez przypisanie im różnych wag. Podejście takie pozwoliłoby także na
opracowanie nowych procedur wykrywania niespójności w informacji preferencyjnej dostarczonej
przez decydentów.
Dezagregacja preferencji dotyczących pożądanego rankingu wariantów dla metod opartych na relacji prezewyższania.
W niniejszej rozprawie schemat dezagragacji preferencji
dotyczących pożądanego rankingu wariantów referencyjnych odniesiono do podejść opartych na
wieloatrybutowej teorii użyteczności. W przyszłości zostanie on zaadaptowany do metod z rodzin
ELECTRE oraz PROMETHEE, a także decyzji grupowych.
Wybór reprezentatywnej instancji modelu preferencji w przypadku niespójnej informacji preferencyjnej. W rozprawie przedstawiono procedury wyboru reprezentatywnej instancji
modelu preferencji w przypadku, gdy zbiór instancji kompatybilnych z preferencjami decydenta
jest niepusty. W przeszłości zaproponowano procedury wyboru pojedynczej instancji w sytuacji,
w której informacja preferencyjna jest niespójna (zobacz np. [14, 36]). Działanie procedur przedstawionych w rozprawie zostanie rozszerzone do przypadku niespójności w preferencjach decydenta.
Adaptacja procedury dezagregacji preferencji dotyczących pożądanych liczności klas
decyzyjnych do założeń innych metod. Popularne metody wielokryterialnego sortowania takie
jak ELECTRE TRI-C [2] lub THESEUS [22], które nie zostały rozważone w rozprawie, zostaną
wzbogacone o moduł umożliwiający wyrażenie preferencji odnośnie pożądanych liczności klas decyzyjnych. Schemat zaproponowany w rozprawie zostanie rozszerzony do przypadku, w którym
przykładowe przydziały do klas oraz ostateczne rekomendacje dla wariantów są nieprecyzyjne.
Zastosowanie zaproponowanych metod do wspomagania rzeczywistych problemów
decyzyjnych. Planowane jest rozszerzenie analizy eksperymentalnej zaproponowanych metod.
W szczególności istnieje klasa problemów decyzyjnych, do których wspomagania przedstawione
w rozprawie metody są szczególnie predysponowane. Przykładowo, analiza skrajnych wyników
może zostać wykorzystana do tworzenia rankingu uniwersytetów, a metoda DIS-CARD do zagadnienia wyboru portfela lub wybranych problemów ekonomicznych.
Odporna regresja porządkowa w analizie efektywności działania jednostek decyzyjnych.
Graniczna analiza danych [10] dostarcza metod, które pozwalają na weryfikację efektywności działania tzw. jednostek decyzyjnych. W ostatnim czasie coraz więcej uwagi w tej dziedzinie przykłada
się do uwzględnienia informacji preferencyjnej eksperta. W tym kontekście planowane jest uogólnienie modelu preferencji wykorzystywanego w granicznej analizie danych tak, by: informacja preferencyjna mogła być przedstawiana w sposób pośredni (np. w postaci porównań parami lub pożądanych pozycji jednostek decyzyjnych), analiza efektywności uwzględniała wszystkie kompatybilne
instancje, a rekomendacja odnosiła się do koniecznych, możliwych, skrajnych i reprezentatywnych
konsekwencji ich użycia.
9.2. Perspektywy dalszych badań
57
Połączenie stochastycznej analizy wielokryterialnej z odporną regresją porządkową.
Identyfikując konieczne i możliwe konsekwencje informacji preferencyjnej, metody oparte na zasadzie odpornej regresji porządkowej nie udzielają odpowiedzi na pytanie, jak bardzo możliwa jest
preferencja a nad b, lub przypisanie a do klasy Ch . Analiza skrajnych wyników nie odwołuje się
do rozkładu poszczególnych pozycji pomiędzy tymi skrajnymi. W wielu sytuacjach decyzyjnych
znajomość takich rezultatów może znacznie wspomóc wypracowanie rekomendacji. W związku
z tym, planowane jest połączenie odpornej regresji porządkowej z metodami stochastycznej analizy wieokryterialnej SMAA-2 [50] oraz SMAA-TRI [74].
Odporne metody oparte na relacji przewyższania z kryteriami zależnymi w sensie
preferencji. Zasada odpornej regresji porządkowej dla metod opartych na wieloatrybutowej teorii
użyteczności została rozszerzona do przypadku istnienia zależności między kryteriami [3]. W duchu
tej propozycji współczynniki zgodności i preferencji wykorzystywane w metodach opartych na
relacji przewyższania zostaną dostosowane tak, by wziąć pod uwagę wzajemne wzmacnianie, osłabianie lub zależność o charakterze antagonistycznym pomiędzy kryteriami.
Odporna regresja porządkowa w interaktywnej optymalizacji wielokryterialnej. Zasada
odpornej regresji porządkowej zostanie wykorzystana w interaktywnej optymalizacji wielokryterialnej [53]. W szczególności już zaproponowano interaktywną procedurę optymalizacji, w której decydent porównuje pary niezdominowanych rozwiązań [45]. Taka informacja preferencyjna przekłada
się na zbiór kompatybilnych funkcji skalaryzujących. Kierunki izokwant tych funkcji tworzą stożek
w przestrzeni ocen z wierzchołkiem w punkcie odniesienia (referencyjnym). Wraz z przyrostem
informacji preferencyjnej w kolejnych iteracjach stożek ten ulega zmniejszeniu, skupiając uwagę
decydenta na takim podzbiorze rozwiązań, które najbardziej odpowiadają jego preferencjom.
Odporna regresja porządkowa w ewolucyjnej optymalizacji wielokryterialnej. Planowane
jest połączenie ewolucyjnej optymalizacji wielokryterialnej [12] z odporną regresją porządkową
w ramach interaktywnej procedury. W szczególności planowana jest integracja analizy skrajnych
wyników, metody UTADISGMS oraz odpornych metod opartych na relacji przewyższania z odpowiednio zmodyfikowaną wersją algorytmu NSGA-II [13]. Pozwoli to na ukierunkowanie procesu poszukiwania rozwiązań, przyspieszenie zbieżności procesu oraz uzyskanie podzbioru rozwiązań niezdominowanych o szczególnie interesujących dla decydenta własnościach.
Literatura
[1]
H. Aissi and B. Roy. Robustness in multi-criteria decision aiding. In M. Ehrgott, J. Figueira,
and S. Greco, editors, Trends in Multiple Criteria Decision Analysis, pages 87–121. Springer,
2010.
[2]
J. Almeida-Dias, J.R. Figueira, and B. Roy. ELECTRE TRI-C: A multiple criteria sorting
method based on characteristic reference actions. European Journal of Operational Research,
204(3):565 – 580, 2010.
[3]
S. Angilella, S. Greco, and B. Matarazzo. Non-additive robust ordinal regression: A multiple criteria decision model based on the choquet integral. European Journal of Operational
Research, 201(1):277–288, 2010.
[4]
M Behzadian, R.B. Kazemzadeh, A. Albadvi, and M. Aghdasi. PROMETHEE: A comprehensive literature review on methodologies and applications. European Journal of Operational
Research, 200(1):198–215, 2010.
[5]
V. Belton and T. Stewart. Muliple Criteria Decision Analysis: An Integrated Approach. Kluwer
Academic, Dordrecht, 2002.
[6]
M. Beuthe and G. Scannella. Comparative analysis of UTA multicriteria methods. European
Journal of Operational Research, 130(2):246–262, 2001.
[7]
G. Bous, P. Fortemps, F. Glineur, and M. Pirlot. ACUTA: A novel method for eliciting
additive value functions on the basis of holistic preference statements. European Journal of
Operational Research, 206(2):435 – 444, 2010.
[8]
D. Bouyssou, T. Marchant, M. Pirlot, A. Tsoukiàs, and P. Vincke. Evaluation and decision
models with multiple criteria: Stepping stones for the analyst. International Series in Operations Research and Management Science, Volume 86. Springer, Boston, 1st edition, 2006.
[9]
J.P. Brans and B. Mareschal.
PROMETHEE methods.
In J. Figueira, S. Greco, and
M. Ehrgott, editors, Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys, pages
163–196. Springer, Boston, 2005.
[10] A. Charnes, W. W. Cooper, and E. Rhodes. Measuring the efficiency of decision-making units.
European Journal of Operational Research, 3(4):339–338, 1979.
[11] E. J. Chikofsky and J. H. Cross. Reverse engineering and design recovery: A taxonomy. IEEE
Software, 7(1):13–17, 1990.
[12] K. Deb. Introduction to evolutionary multiobjective optimization. In Multiobjective Optimization, volume 5252 of Lecture Notes in Computer Science, pages 59–96. Springer, 2008.
59
60
Literatura
[13] K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal, and T. Meyarivan. A fast and elitist multiobjective genetic
algorithm: NSGA-II. Evolutionary Computation, IEEE Transactions on, 6(2):182 –197, 2002.
[14] D.K. Despotis, D. Yanacopoulos, and C. Zopounidis. A review of the UTA multucriteria
method and some improvements. Foundations of Computing and Decision Sciences, 15(2):63–
76, 1990.
[15] J.M. Devaud, G. Groussaud, and E. Jacquet-Lagreze. UTADIS: Une methode de construction
de fonctions d’utilite additives rendant compte de jugements globaux. In European working
group on MCDA, Bochum, Germany, 1980.
[16] L.C. Dias and J.N. Clı́maco. Exploring the consequences of imprecise information in choice
problems using ELECTRE. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 8(2):74–92, 1999.
[17] L.C. Dias and J.N. Clı́maco. Aiding Decisions with Multiple Criteria - Essays in Honor of
Bernard Roy. In D. Bouyssou, E. Jacquet-Lagrèze, P. Perny, R. Słowiński, D. Vanderpooten,
and Ph. Vincke, editors, New Advances in Multiple Criteria Decision Analysis, pages 175–193.
Kluwer, 2002.
[18] L.C. Dias and V. Mousseau. Inferring ELECTRE’s veto-related parameters from outranking
examples. European Journal of Operational Research, 170(1):172–191, 2006.
[19] L.C. Dias, V. Mousseau, J. Figueira, and J.N. Clı́maco. An aggregation/disaggregation approach to obtain robust conclusions with ELECTRE TRI. European Journal of Operational
Research, 138(2):332–348, 2002.
[20] M. Doumpos and C. Zopounidis. Multicriteria Decision Aid Classification Methods. Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht, 2002.
[21] K. Farion, W. Michalowski, Sz. Wilk, D. O’Sullivan, and S. Matwin. A tree-based decision
model to support prediction of the severity of asthma exacerbations in children. Journal of
Medical Systems, 34:551–562, 2010.
[22] E. Fernandez and J. Navarro. A new approach to multi-criteria sorting based on fuzzy outranking relations: The THESEUS method. European Journal of Operational Research, 213(2):405–
413, 2011.
[23] J. Figueira, S. Greco, and M. Ehrgott (eds.). Multiple Criteria Decision Analysis: State of
the Art Surveys. Springer, Boston, 2005.
[24] J. Figueira, S. Greco, B. Roy, and R. Slowinski. ELECTRE methods: Main features and recent
developments. In P. Pardalos, D. Hearn, and C. Zopounidis, editors, Handbook of Multicriteria
Analysis, volume 103 of Applied Optimization, pages 51–89. Springer, 2010.
[25] J. Figueira, S. Greco, and R. Słowiński. Building a set of additive value functions representing a reference preorder and intensities of preference: GRIP method. European Journal of
Operational Research, 195(2):460–486, 2009.
[26] J. Figueira, V. Mousseau, and B. Roy. ELECTRE methods. In J. Figueira, S. Greco, and
M. Ehrgott, editors, Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys, pages
61
[27] S. Greco, M. Kadziński, V. Mousseau, and R. Słowiński. ELECTREGKMS : Robust ordinal
regression for outranking methods. European Journal of Operational Research, 214(1):118–
135, 2011.
[28] S. Greco, M. Kadziński, V. Mousseau, and R. Słowiński. Robust ordinal regression for multiple criteria group decision problems: UTAGMS -GROUP and UTADISGMS -GROUP. Decision
Support Systems, 52(3):549 – 561, 2012.
[29] S. Greco, M. Kadziński, and R. Słowiński. Selection of a representative value function in
robust multiple criteria sorting. Computers & Operations Research, 38(11):1620–1637, 2011.
[30] S. Greco, B. Matarazzo, and R. Słowiński. Rough sets methodology for sorting problems
in presence of multiple attributes and criteria. European Journal of Operational Research,
138:247–259, 2002.
[31] S. Greco, B. Matarazzo, and R. Słowiński. Decision rule approach. In J. Figueira, S. Greco,
and M. Ehrgott, editors, Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys, pages
[32] S. Greco, V. Mousseau, and R. Słowiński. Ordinal regression revisited: multiple criteria
ranking using a set of additive value functions. European Journal of Operational Research,
191(2):415–435, 2008.
[33] S. Greco, V. Mousseau, and R. Słowiński. Multiple criteria sorting with a set of additive value
functions. European Journal of Operational Research, 207(4):1455–1470, 2010.
[34] S. Greco, R. Słowiński, V. Mousseau, and J. Figueira.
Robust ordinal regression.
In
M. Ehrgott, J. Figueira, and S. Greco, editors, Trends in Multiple Criteria Decision Analysis,
pages 273–320. Springer, 2010.
[35] R. Hites, Y. De Smet, N. Risse, M. Salazar-Neumann, and P. Vincke. About the applicability
of MCDA to some robustness problems. European Journal of Operational Research, 174(1):322
– 332, 2006.
[36] E. Jacquet-Lagrèze and Y. Siskos. Assessing a set of additive utility functions for multicriteria
decision making: the UTA method. European Journal of Operational Research, 10:151–164,
1982.
[37] E. Jacquet-Lagrèze and Y. Siskos. Preference disaggregation: 20 years of MCDA experience.
[38] A. Jaszkiewicz and R. Słowiński. The light beam search approach - an overview of methodology
applications. European Journal of Operational Research, 113(2):300 – 314, 1999.
[39] M. Kadziński, S. Greco, and R. Słowiński. Selection of a representative value function for
robust ordinal regression in group decision making. Group Decision and Negotiation, pages
1–34, 2011. 10.1007/s10726-011-9277-z.
[40] M. Kadziński, S. Greco, and R. Słowiński. Extreme ranking analysis in robust ordinal regression. Omega, 40(4):488 – 501, 2012.
[41] M. Kadziński, S. Greco, and R. Słowiński. RUTA: a framework for assessing and selecting
additive value functions on the basis of rank related requirements. 2012. Submitted to Omega.
62
Literatura
[42] M. Kadziński, S. Greco, and R. Słowiński. Selection of a representative set of parameters for
robust ordinal regression outranking methods. Computers & Operations Research, 39(11):2500
– 2519, 2012.
[43] M. Kadziński, S. Greco, and R. Słowiński. Selection of a representative value function in robust
multiple criteria ranking and choice. European Journal of Operational Research, 217(3):541 –
553, 2012.
[44] M. Kadziński and R. Słowiński.
DIS-CARD: a new method of multiple criteria sort-
ing to classes with desired cardinality. Journal of Global Optimization, pages 1–24, 2012.
10.1007/s10898-012-9945-9.
[45] M. Kadziński and R. Słowiński. Interactive robust cone contraction method for multiple
objective optimization problems. International Journal of Information Technology & Decision
Making, 11(2):327–357, 2012.
[46] R.L. Keeney and H. Raiffa. Decisions with multiple objectives: Preferences and value tradeoffs.
J. Wiley, New York, 1976.
[47] M. Köksalan and S. Bilgin Özpeynirci. An interactive sorting method for additive utility
functions. Computers & Operations Research, 36(9):2565–2572, 2009.
[48] M. Köksalan, V. Mousseau, O. Özpeynirci, and S. Bilgin Özpeynirci. An outranking-based
approach for assigning alternatives to ordered classes. Naval Research Logistics, 56(1):74–85,
2009.
[49] M. Köksalan and C. Ulu. An interactive approach for placing alternatives in preference classes.
European Journal of Operational Research, 144:429–439, 2003.
[50] R. Lahdelma and P. Salminen. SMAA-2: Stochastic multicriteria acceptability analysis for
group decision making. Operations Research, 49(3):444–454, 2001.
[51] N.F. Matsatsinis and A. P. Samaras. MCDA and preference disaggregation in group decision
support. European Journal of Operational Research, 130(2):414–429, 2001.
[52] K. Miettinen, K. Deb, J. Jahn, W. Ogryczak, K. Shimoyama, and R. Vetschera. Future
challenges. In Multiobjective Optimization, volume 5252 of Lecture Notes in Computer Science,
pages 435–461. Springer, 2008.
[53] K. Miettinen, F. Ruiz, and A. P. Wierzbicki. Introduction to Multiobjective Optimization:
Interactive Approaches. In Jürgen Branke, Kalyanmoy Deb, Kaisa Miettinen, and Roman
Słowiński, editors, Multiobjective Optimization, volume 5252 of Lecture Notes in Computer
Science, pages 27–57. Springer, Berlin, 2008.
[54] V. Mousseau and R. Slowinski. Inferring an ELECTRE TRI model from assignment examples.
Journal of Global Optimization, 12(2):157–174, 1998.
[55] V. Mousseau, R. Slowinski, and P. Zielniewicz. A user-oriented implementation of the ELECTRE TRI method integrating preference elicitation support. Computers & Operations Research, 27(7-8):757–777, 2000.
[56] P. Nemery and C. Lamboray. Flow Sort: a flow-based sorting method with limiting or central
profiles. TOP, 16:90–113, 2008.
63
[57] W. Ogryczak. Tail mean and related robust solution concepts. International Journal of
Systems Science, (in press), 2012.
[58] W. Ogryczak and R. Vetschera. Methodological foundations of multi-criteria decision making.
[59] G. Özerol and E. Karasakal. Interactive outranking approaches for multicriteria decisionmaking problems with imprecise information. Journal of the Operational Research Society,
59:1253 – 1268, 2008.
[60] C. Rocha and L. C. Dias. An algorithm for ordinal sorting based on ELECTRE with categories
defined by examples. Journal of Global Optimization, 42:255–277, 2008.
[61] M. Roubens and Ph. Vincke. On families of semiorders and interval orders imbedded in a
valued structure of preference: a survey. Information Sciences, 34:187–198, 1984.
[62] B. Roy. Méthodologie Multicritère d’aide à la Décision. Economica, Paris, 1985.
[63] B. Roy. The outranking approach and the foundations of ELECTRE methods. In C.A Bana
e Costa, editor, Readings in Multiple Criteria Decision Aid, pages 155–183. Springer, 1990.
[64] B. Roy and D. Bouyssou. Aide Multicritère à la Décision : Méthodes et Cas. Economica,
Paris, 1993.
[65] B. Roy and J. Figueira. Determining the weights of criteria in the ELECTRE type methods
with a revised Simos’ procedure. European Journal of Operational Research, 139:317–326,
2002.
[66] B. Roy and R. Słowiński. Handling effects of reinforced preference and counter-veto in credibility of outranking. European Journal of Operational Research, 188(1):185 – 190, 2008.
[67] Y. Siskos, E. Grigoroudis, and N.F. Matsatsinis. UTA methods. In J. Figueira, S. Greco,
and M. Ehrgott, editors, Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys, pages
[68] R. Słowiński, S. Greco, and B. Matarazzo. Axiomatization of utility, outranking and decisionrule preference models for multiple-criteria classification problems under partial inconsistency
with the dominance principle. Control and Cybernetics, 31(4):1005 – 1035, 2002.
[69] R. Słowiński, S. Greco, and B. Matarazzo. Rough sets in decision making. In R.A.Meyers,
editor, Trends in Multiple Criteria Decision Analysis, pages 7753–7786. Springer, New York,
2009.
[70] V. Srinivasan. Linear programming computational procedures for ordinal regression. J. ACM,
23(3):475–487, 1976.
[71] V. Srinivasan and A.D. Shocker. Estimating the weights for multiple attributes in a composite
criterion using pairwise judgments. Psychometrika, 38:473–493, 1973.
[72] T. Stewart. Pruning of decision alternatives in multiple criteria decision making, based on the
UTA method for estimating utilities. European Journal of Operational Research, 28(1):79–88,
1987.
64
Literatura
[73] T. Stewart. Dealing with Uncertainties in MCDA. In J. Figueira, S. Greco, and M. Ehrgott,
editors, Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys, pages 445–470. Springer,
Boston, 2005.
[74] T. Tervonen, J. Figueira, R. Lahdelma, J. Almeida Dias, and P. Salminen. A stochastic
method for robustness analysis in sorting problems. European Journal of Operational Research,
192(1):236–242, 2009.
[75] T. Trzaskalik. Multiple criteria methods in the Polish financial market (in Polish). PWE,
Polskie Wydawnictwa Ekonomiczne S.A., Warszawa, 2006.
[76] T. Trzaskalik and J. Michnik, editors. Multiple Objective and Goal Programming: Recent
Developments. Physica, Heidelberg, 2002.
[77] E. Turban. Decision Support and Expert Systems: Management Support Systems. Prentice
Hall PTR, Upper Saddle River, New Jersey, USA, 1993.
[78] Ph. Vincke. Robust solutions and methods in decision-aid. Journal of Multi-Criteria Decision
Analysis, 8(3):181–187, 1999.
[79] M. Wiecek, M. Ehrgott, G. Fadel, and J.R. Figueira. Multiple criteria decision making for
engineering. Omega, 36(3):337–339, 2008.
[80] W. Yu. ELECTRE TRI : Aspects méthodologiques et manuel d’utilisation. Document du
LAMSADE no 74, Université Paris-Dauphine, 1992.
[81] C. Zopounidis and M. Doumpos. PREFDIS: a multicriteria decision support system for sorting
decision problems. Computers & Operations Research, 27(7-8):779–797, 2000.
[82] C. Zopounidis and M. Doumpos. Multicriteria classification and sorting methods: A literature
review. European Journal of Operational Research, 138:229–246, 2002.

nowe kierunki w analizie odporności oraz modelowaniu preferencji

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rynek wtórny czy pierwotny? Preferencje i rozważania właścicieli

IBDL LINEA WOOD

Podejmowanie decyzji w teorii zarządzania

Źródła informacji wykorzystywane podczas poszukiwania

Zastosowanie teorii zbiorów przybliżonych z relacją dominacji

wielokryterialne porządkowanie metodą promethee odporne na

konsultacje społeczne dot. drogi krajowej nr 16

Spis treści

Ćwiczenia 12