Ćw. 10. Wyznaczanie momentu bezwładności brył nieregularnych

10
K A T E D R A F I Z Y K I S T O S O W A N E J _________________________________________
PRACOWNIA FIZYKI
Ćw. 10. Wyznaczanie momentu bezwładności brył nieregularnych
Wprowadzenie
Przez bryłę sztywną rozumiemy ciało, które pod wpływem działania sił nie zmienia swego kształtu, tzn. odległość dwóch dowolnych punktów tego ciała pozostaje stała. Każdy ruch tej bryły może
być przedstawiony jako złożenie dwóch ruchów prostych – ruchu postępowego i ruchu obrotowego.
W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała zakreślają takie same tory oraz mają jednakowe
prędkości i przyspieszenia. Dlatego opis takiego ruchu bryły sztywnej sprowadza się do opisu ruchu
punktu materialnego, np. środka masy ciała. Wektor położenia środka masy zdefiniowany jest
wzorem:
r
r ∑ ∆mi ri
rs =
,
(1)
∑ ∆mi
gdzie ciało podzielone jest na n małych części o masach ∆mi i wektorach położenia ri. Gdy liczba
części n zmierza do nieskończoności, wówczas wzór przybiera postać:
r
r ∫ r dm
rs =
.
(2)
dm
∫
Najczęściej spotykanym przypadkiem ruchu obrotowego bryły jest ruch wokół stałej osi obrotu i
do takiej sytuacji zwykle będą odnoszone dalsze rozważania. Wówczas wszystkie punkty ciała
poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej zwanej osią obrotu, zaś promienie
wodzące punktów w takim samym czasie zakreślają jednakowe kąty. Z definicji wielkości
kątowych wynika, że również prędkości kątowe i przyspieszenia kątowe punktów są takie same.
Natomiast prędkości liniowe punktów zależą od ich odległości od osi obrotu.
Rys.1. Wielkości liniowe i kątowe w ruchu obrotowym bryły.
Przez prędkość kątową rozumiemy szybkość zmiany kąta zakreślonego przez promień wodzący
punktu. Jest to wielkość wektorowa o kierunku zgodnym z osią obrotu:
ω=
r
r
dα
.
dt
(3)
Gdy prędkość kątowa nie jest stała w czasie, to szybkość jej zmiany opisuje przyspieszenie kątowe,
czyli stosunek zmiany prędkości kątowej do czasu tej zmiany:
r
r dω
ε=
.
(4)
dt
Związki pomiędzy wielkościami liniowymi i wielkościami kątowymi określają równania:
r r r
v = ω× r ,
(5)
r r
r
as = ω × r ,
(6)
gdzie: v – prędkość liniowa punktu; as – przyspieszenie styczne punktu.
Do opisu dynamiki bryły sztywnej wprowadzamy nowe pojęcia. Aby spowodować ruch
obrotowy bryły potrzebna jest siła, ale istotna jest nie tylko jej wartość, lecz także kierunek
działania i punkt przyłożenia. Na przykład siła równoległa do osi obrotu nie spowoduje zmiany w
ruch bryły. Moment siły F względem osi obrotu definiowany jest jako iloczyn wektorowy wektora
wodzącego punktu przyłożenia siły i tej siły F:
r r r
M = r×F .
(7)
M = r ·sinφ·F = r⊥ ·F ,
(8)
Wartość momentu siły wynosi:
gdzie r⊥ jest ramieniem siły równym odległości prostej działania siły od osi obrotu (rys. 2).
Rys. 2. Moment siły M jest prostopadły do siły F i jej wektora wodzącego r.
W ruchu obrotowym bryły ważną rolę odgrywa rozmieszczenie masy wokół osi obrotu, co jest
określane przez moment bezwładności. Dla układu punktów materialnych o masach ∆mi leżących w
różnych odległościach ri od osi obrotu moment bezwładności I jest równy:
I = ∑ ∆m i ⋅ ri 2 .
(9)
W przypadku ciała sztywnego, które charakteryzuje się ciągłym rozkładem masy, ciało
dzielimy na nieskończenie małe części i sumowanie zastępujemy całkowaniem:
I = ∫ r 2 dm
.
(10)
Momenty bezwładności wybranych brył regularnych względem ich osi symetrii zestawione są w
tabeli 1.
2
Tabela 1. Momenty bezwładności niektórych brył sztywnych względem osi przechodzącej przez środek masy.
Ciało sztywne
Oś obrotu
Moment bezwładności Io
Kula o promieniu R
Oś przechodząca przez środek
2
mR 2
5
Walec o promieniu R
Podłużna oś symetrii
1
mR 2
2
Walec o promieniu R i
długości L
Oś prostopadła do podłużnej osi
symetrii
m2 R 2 m2 L2
+
4
12
Obręcz o promieniu R
Oś obręczy
mR 2
Cienki pręt o długości L
Symetralna, prostopadła do pręta
1
mL2
12
Związek pomiędzy momentem bezwładności Io względem osi przechodzącej przez środek masy
a momentem bezwładności I względem innej równoległej do niej osi określa twierdzenie Steinera:
I = Io + m·d2 ,
(11)
gdzie: m – masa ciała, d – odległość między dwiema osiami.
Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu. Osie, względem
bezwładności przybiera wartości ekstremalne nazywa sie głównymi osiami
odpowiadające im momenty – głównymi momentami bezwładności (jak w tabeli
gdy oś obrotu jest wybrana dowolnie (np. skośnie do głównej osi bezwładności)
komplikacji. Moment bezwładności nie jest wówczas wielkością skalarną,
tensorową wyrażaną za pomocą macierzy.
których moment
bezwładności, a
1). W przypadku
to sytuacja ulega
lecz wielkością
Moment pędu punktu materialnego o masie mi i wektorze wodzącym ri poruszającego sie z
prędkością vi względem osi obrotu odległej o r określany jest wzorem:
r r
r
Li = ri × mi ⋅ vi .
(12)
W ruchu punktu po okręgu (wektor vi jest prostopadły do wektora ri) wektor momentu pędu jest
skierowany zgodnie z osią obrotu, zaś jego wartość jest równa:
Li=ri·mi·vi = mi·ri2·ω .
(13)
Dla obracającej się bryły moment pędu jest sumą momentów pędu wszystkich jej punktów materialnych, na które została podzielona (kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej ω jest taki sam):
L = ∑ Li = ∑ mi ri 2 ω = ω∑ mi ri 2 = ω ⋅ I ,
(14)
co można zapisać:
r
r
L = I ⋅ω .
(15)
Zatem moment pędu bryły L równa się iloczynowi jego momentu bezwładności I i prędkości
kątowej ω .
Zależność powyższa jest słuszna gdy ciało obraca się względem jednej ze swoich osi głównych,
bo wówczas moment bezwładności jest skalarem, a wektory L i ω są równoległe. Dla osi ukośnych
na ogół mamy do czynienia z tensorem bezwładności i nierównoległością wektorów L i ω.
O skutkach działania sił w ruchu postępowym możemy wnioskować posługując sie drugą zasadą
dynamiki Newtona: F = m·a .
W ruch obrotowym posługując sie uprzednio zdefiniowanymi pojęciami można wykazać, że
druga zasada dynamiki przyjmuje postać:
3
r
r
M = I ⋅ε ,
(16)
co oznacza, że moment siły działającej na bryłę sztywną jest równy iloczynowi momentu
bezwładności bryły i jej przyspieszenia kątowego.
Stosując poniższe przekształcenie:
r
r
r
r
dω d(I ⋅ ω) dL
r
M = I ⋅ε = I ⋅
=
=
,
dt
dt
dt
(17)
otrzymujemy inną postać drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego
r
r dL
M=
.
dt
(18)
Związek ten jest słuszny dla ruchu swobodnego ciała sztywnego. Podczas ruchu wokół stałej osi
obrotu na ruch bryły wpływa tylko składowa momentu siły równoległa do osi obrotu (Mz),
natomiast składowa prostopadła do osi (Mxy) usiłuje obrócić (zmienić kierunek) osi obrotu. Wynika
z tego postać drugiej zasady dynamiki dla ruchu wokół stałej osi obrotu:
Mz =
dLz
.
dt
(19)
Moment sił działających na ciało liczony względem stałej osi obrotu (Mz) jest równy szybkości
zmian momentu pędu ciała liczonego względem tej samej osi obrotu (Lz).
Obracające się ciało posiada energię kinetyczną ruchu obrotowego nawet wówczas gdy
środek masy ciała się nie przemieszcza. Można ją wyznaczyć sumując energie kinetyczne
poszczególnych punktów bryły (Ei):
1
1
1
E k = ∑ Ei = ∑ mi vi2 = ∑ mi ri 2ω 2 = ω 2 ∑ mi ri 2 = ω 2 I ,
(20)
2
2
2
Ek =
1
I ⋅ ω2 .
2
(21)
Zatem energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły jest równa połowie iloczynu jej momentu
bezwładności i kwadratu prędkości kątowej.
Z uwagi na to, że pomiędzy wielkościami liniowymi i kątowymi opisującymi ruch postępowy
prostoliniowy i ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi istnieje pewna analogia, warto
zestawić je w tabeli 2.
Tabela 2. Porównanie opisu ruchu prostoliniowego i ruchu obrotowego
Ruch prostoliniowy
Ruch obrotowy
Droga liniowa
s
Droga kątowa
α
Prędkość liniowa
v=
ds
dt
dv
a=
dt
Prędkość kątowa
ω=
Przyspieszenie liniowe
Przyspieszenie kątowe
dα
dt
dω
ε=
dt
Masa
m
Moment bezwładności
I = ∑ ∆m i ⋅ ri 2
P ęd
Siła
p = m·v
F
r
r
r dp
F = ma =
dt
1
E k = mv 2
2
Moment pędu
L = I·ω
Moment siły
r r r
M = r × Fr
II zas. dynamiki
Energia kinetyczna
II zas. dynamiki
Energia kinetyczna
4
r
r dL
M = Iε =
dt
1
E k = Iω 2
2
Metoda pomiaru
Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie momentu bezwładności bryły nieregularnej.
Wykorzystuje się do tego wahadło torsyjne, w którym dokonuje się pomiarów brył o znanym i
nieznanym momencie bezwładności.
Wahadło torsyjne stanowi pręt sprężysty, którego jeden koniec zamocowany jest na stałe, zaś do
drugiego przymocowana jest bryła o momencie bezwładności I (rys. 3). Oś symetrii bryły jest
pionowa i pokrywa się z osią symetrii pręta.
Rys. 3. Wahadło torsyjne: U – uchwyt, D – drut, W - walec.
Wahadło skręcone o niewielki kąt i puszczone wykonuje drgania harmoniczne wokół osi
symetrii. Okres drgań takiego wahadła wyraża się wzorem:
T = 2π
I ,
D
(22)
gdzie: I - moment bezwładności bryły; D - moment kierujący wahadła sprężystego, stały dla danego
pręta.
Zatem jeśli na pręcie raz zamocujemy np. walec o znanym momencie bezwładności (Io = m·r2/2),
zaś za drugim razem badaną bryłę, to będziemy w stanie obliczyć moment bezwładności badanej
bryły. Okresy drgań walca i badanej bryły wynoszą odpowiednio:
To = 2π
Io
D
T = 2π
,
I
.
D
(23)
Przez podzielenie stronami i podniesienie do kwadratu otrzymamy:
To2 I o
=
.
I
T2
(24)
Uwzględniając fakt, że dla walca Io = mr2/2, otrzymujemy wzór na moment bezwładności I badanej
bryły:
1
T2
I = m⋅d 2 ⋅ 2 .
(25)
8
T0
5
Wykonanie ćwiczenia
1. Za pomocą wagi laboratoryjnej wyznaczyć masę m walca użytego w ćwiczeniu. Średnicę walca
d zmierzyć w kilku miejscach suwmiarką.
2. Zamocować walec na uchwycie pręta.
3. Wprawić układ w drgania torsyjne skręcając drut o niewielki kąt.
4. Zmierzyć czas to kilkudziesięciu (n) drgań. Pomiar powtórzyć kilkakrotnie. Okres drgań
wyznaczyć dzieląc czas przez liczbę cykli (To = to/n)
5. Zdjąć walec i w jego miejsce umieścić bryłę nieregularną.
6. Wykonać pomiary czasu t jak w punktach 3 i 4.
7. Moment bezwładności badanej bryły nieregularnej obliczyć ze wzoru (25)
8. Niepewność pomiaru wyznaczyć metodą różniczkową przyjmując I = f(m,d,t,to).
Tabela pomiarowa:
m [g]
d [cm]
n
to [s]
To [s]
n
t [s]
T [s]
Zagadnienia do kolokwium:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej.
Wielkości kinematyczne służące do opisu ruchu po prostej i po okręgu.
Moment siły, moment bezwładności, moment pędu.
Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego bryły.
Porównanie opisu ruchu prostoliniowego i ruchu obrotowego.
Drgania torsyjne. Wyznaczanie doświadczalne momentu bezwładności brył z wykorzystaniem
drgań torsyjnych.
Bibliografia:
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
2003, tom 1.
2. J. Orear, Fizyka, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, tom 1.
3. J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla Inżynierów, WNT, Warszawa 2008, tom 1.
6