Wyk lad 15 1. Ogólna postac równania ró˙zniczkowego

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2
PaweÃl Domański — szkicowe notatki do wykÃladu
WykÃlad 15
1. Podstawowe pojȩcia raz jeszcze
Poniższe pojȩcia sa̧ ilustrowane w plikach
pojȩcia w15 prez.nb oraz pojecia w15.nb
1. Ogólna postać równania różniczkowego zwyczajnego (postać
niejawna):
F (t, x, x0 , x00 , . . . , x(n) ) = 0
2. Równanie powyższe można przeksztaÃlcić do postaci jawnej
o ile ∂x∂F(n) 6= 0 (z tw. o funkcji uwikÃlanej):
x(n) = G(t, x, x0 , x00 , . . . , x(n−1) ).
3. Rza̧d równania - najwyższy numer pochodnej wystȩpuja̧cy
w równaniu.
4. Równanie rzȩdu n można sprowadzić do wektorowego równania
rzȩdu 1 przez podstawienie y = (x, x0 , x00 , . . . , x(n−1) ), dostajemy wtedy ukÃlad:
y2
y10 =
0
y2 =
y3
... =
...
0
yn−2
=
yn−1
0
yn−1
= G(t, y)
Czyli zapisuja̧c wektorowo:
y 0 = H(t, y),
gdzie H(t, y) = (y2 , y3 , . . . , yn−1 , G(t, y))
1
Od tej chwili rozpatrujemy równanie postaci:
x0 = f (t, x)
wektorowe lub skalarne (tzn. wartości x i f to liczby - przypadek
skalarny - lub wektory - przypadek wektorowy).
Zmienna t należy do zbioru J przedziaÃlu na osi liczbowej (także
nieskończonego). x przyjmuje wartości w zbiorze Ω w Rn .
5. Przestrzeń stanu lub fazowa: Ω
6. Pole wektorowe zwia̧zane z równaniem: f
7. µ
Pole kierunków:
pole zdefiniowane na J×Ω wzorem F (t, x) =
¶
1
f (t, x)
8. Punkt krytyczny = punkt stacjonarny = punkt równowagi
= punkt osobliwy - punkt (t, x) gdzie f siȩ zeruje.
9. Rozwia̧zanie - funkcja x speÃlniaja̧ca równanie.
10. Zagadnienie pocza̧tkowe = zagadnienie Cauchy’ego - równanie
uzupeÃlnione o warunki pocza̧tkowe postaci:
x(t0 ) = x0 ,
gdzie t0 ∈ J i x0 ∈ Ω sa̧ dane.
11. Rozwia̧zanie zagadnienia pocza̧tkowego - funkcja x speÃlniaja̧ca
dane zagadnienie pocza̧tkowe, oznaczamy je zwykle x(t; t0 , x0 )
12. Orbita = trajektoria - zbiór postaci (dla danej pary (t0 , x0 )):
{x(t; t0 , x0 ) : t ∈ J} ⊆ Ω
czyli zbiór wartości dowolnego rozwia̧zania równania.
2
13. Orbita jest zawsze styczna do pola zwia̧zanego z równaniem
a rozwia̧zanie do pola kierunków.
14. Równanie autonomiczne: prawa strona nie zależy od zmiennej niezależnej t, tj. równanie jest postaci:
x0 = f (x).
Dla równań autonomicznych pole wektorowe równania nie
zależy od czasu.
WÃlasność przesuwania Dla ukÃladu/równania autonomicznego
jeśli
x : (a, b) → Rn
jest rozwia̧zaniem równania autonomicznego to
x(· + s) : (a − s, b − s) → Rn
jest też rozwia̧zaniem co można Ãlatwo sprawdzić.
Zdefiniujmy
ϕ(y, t) = x(t; 0, y)
czyli rozwia̧zanie problemu Cauchy’ego
(
x0
= f (x);
x(0) = y.
Wówczas mamy kluczowa wÃlasność tzw. ukÃladów dynamicznych:
ϕ(ϕ(x, s), t) = ϕ(x, t + s)
Zatem ϕ(y, t) można traktować jako funkcjȩ, która mówi, że w ukÃladzie
opisanym równaniem autonomicznym x0 = f (x) jeśli wystartujemy z punktu
y to po czasie t znajdziemy siȩ w punkcie ϕ(y, t).
3
2. Zagadnienie Cauchy’ego a równania caÃlkowe
Twierdzenie Funkcja x = x(t) jest rozwia̧zaniem na przedziale I zagadnienia Caauchy’ego
(
x0
= f (t, x),
x(t0 ) = x0 .
wtedy i tylko wtedy, gdy dla t ∈ I zachodzi:
Z t
x(t) = x0 +
f (τ, x(τ ))dτ.
t0
Uwaga: Z powyższego wynika, że jeśli f jest różniczkowalna w sposób
cia̧gÃly p-razy to rozwia̧zanie x jest różniczkowalne p + 1-razy.
Dowód: CaÃlkuja̧c
Z t
Z t
f (τ, x(τ )dτ =
x0 (τ )dτ = x(t) − x(t0 ) = x(t) − x0 .
t0
t0
z drugiej strony równanie caÃlkowe można zróżniczkować stronami i dostajemy
równanie różniczkowe. Oczywiście funkcja speÃlniaja̧ca równanie caÃlkowe
musi w punkcie t0 przyjmowac wartość x0 .
2
4
3. Istnienie rozwia̧zań
Twierdzenie Peano Jeśli G ⊆ R × Rn jest podzbiorem otwartym a
f : G → Rn jest funkcja̧ cia̧gÃla̧, to wówczas każde zagadnienie pocza̧tkowe
postaci:
(
x0
= f (t, x),
x(t0 ) = x0
dla ustalonego dowolnego (t0 , x0 ) ∈ G ma przynajmniej jedno rozwia̧zanie w
otoczeniu punktu pocza̧tkowego (t0 , x0 ).
Nie bȩdziemy tego twierdzenia dowodzić — ale wiemy też, że rozwia̧zań
może być wiele.
5
4. Jedyność rozwia̧zań i ich zależność od zaburzeń
Twierdzenie Picarda Niech G ⊆ R × Rn bȩdzie podzbiorem otwartym,
f : G → Rn bȩdzie funkcja̧ cia̧gÃla̧ speÃlniaja̧ca̧ warunek Lipschitza wzglȩdem
zmiennej x na każdym podzbiorze zwartym K b G tzn.
∃L(K) ∀x, y ∈ K :
kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk.
Wówczas dla dowolnego punktu (t0 , x0 ) ∈ G istnieje rozwia̧zanie x = ϕ(t)
zagadnienia poczatkowego:
(
x0
= f (t, x),
(1)
x(t0 ) = x0
określone na pewnym otoczeniu punktu t0 . Rozwia̧zanie to jest jedyne tzn.
jesli x = ϕ(t), x = ψ(t) sa̧ dwoma takimi rozwia̧zaniami przechodza̧cymi
przez punkt (t0 , x0 ) i określonymi na spójnych otoczeniach t0 , to ϕ(t) = ψ(t)
dla t należa̧cych do dziedziny obu rozwia̧zań.
Co wiȩcej, jeśli oprócz zagadnienia (1) mamy “zaburzony problem”
(
x0
= f (t, x) + r(t, x),
(2)
x(t0 ) = x0 + R
i ϕ jest rozwia̧zaniem (1) a ψ jest rozwia̧zaniem (2), to
Z t
L(t−t0 )
kϕ(t) − ψ(t)k ≤ e
kRk +
kr(s, ϕ(s))keL(t−s) ds,
t0
a gdy kr(t, x)k ≤ M dla każdego t, x, to
kϕ(t) − ψ(t)k ≤ eL(t−t0 ) kRk +
¢
M ¡ L(t−t0 )
e
−1 .
L
Dowód pierwszej czȩści jest w ksia̧żce SoÃltysiaka a drugiej w ksia̧żce Plato.
Jeśli f jest różniczkowalne wzglȩdem x w sposób cia̧gÃly wzglȩdem x i t,
to warunek Lipschitza z twierdzenia jest speÃlniony na zbiorach zwartych.
Twierdzenie Picarda mówi, że przy jego zaÃlożeniach zagadnienie pocza̧tkowe
jest dobrze postawione.
6
PrzykÃlad. Rozpatrzmy dwa problemy:
1. x0 = ax, x(0) = 1 z rozwiazaniem: x(t) = eat ;
2. y 0 = ay, y(0) = 1 + ε z rozwia̧zaniem y(t) = (1 + ε)eat .
W tym przykÃladzie r ≡ 0, R = ε, staÃla Lipschitza L = |a|.
Porównuja̧c rozwia̧zania mamy:
|x(t) − y(t)| = |ε|eat .
Tymczasem twierdzenie Picarda daje:
|x(t) − y(t)| ≤ |ε|e|a|t .
Dla a > 0 mamy bardzo dobre oszacowanie (lepsze być nie może) ale dla
a < 0 oszacowanie jest fatalne.
7
5. PrzedÃlużalność rozwia̧zań
Wszystkie dotychczasowe twierdzenia o istnieniu mówiÃly o istnieniu rozwia̧zania w pewnym otoczeniu punktu poczatkowego. Powstaje pytanie jak
dÃlugo można “przedÃlużać” rozwia̧zanie. Okazuje siȩ, że jeśli speÃlnione sa̧
zaÃlożenia twierdzenia Picarda, to każde rozwia̧zanie można tak dÃlugo przedÃlużać
aż dojdzie do brzegu obszaru G zdefiniowania prawej strony. Oczywiście
jeśli G = (a, b) × (A, B) to rozwiazanie niekoniecznie musi istnieć na caÃlym
przedziale (a, b) gdyż wcześniej rozwia̧zanie może dojść do górnego lub dolnego brzegu prostoka̧ta G.
Rozwia̧zanie równania różniczkowego x : (a, b) → Rn nazywa siȩ nieprzedÃlużalnym jeśli nie można go przedÃlużyć do szerszego przedziaÃlu dziedziny.
Powyżej powiedzieliśmy, że przy zaÃlożeniach twierdzenia Picarda przy
każdych warunkach pocza̧tkowych (t0 , x0 ) istnieje dokÃladnie jedno rozwia̧zanie
nieprzedÃlużalne.
Powyższy fakt jest zilustrowany w pliku:
przedluzalne w15.nb
8