pobierz zbiór pdf

I ROK
PODSTAWY MATEMATYKI W FIZYCE
Przykladowe zadania rachunkowe – Seria 5
1. Proszȩ znaleźć rozwia̧zania ogólne y(x) nastȩpuja̧cych równań różniczkowych:
dy
≡ y ′ = − x+a
a) dx
y
b)
dy
dx
= xy
c) xy ′ + x − 2y = 0
d)
d2 y
dx2
≡ y ′′ =
y ′ +1
x
2. Proszȩ wyznaczyć rozwia̧zanie szczególne równania różniczkowego xy ′ − y − 3x2 = 0
z warunkiem y(1) = 6.
3. Proszȩ znaleźć calkȩ ogólna̧ (a wiȩc wszystkie rozwia̧zania) równań różniczkowych
drugiego stopnia:
(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + 2y = 0
Wskazówka: Jedno z rozwia̧zań proszȩ wyznaczyć postuluja̧c je w postaci wielomianowej
y1 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 , a drugie poprzez podstawienie y(x) = y1 (x) · z(x), sprowadzenie
problemu do równania różniczkowego pierwszego stopnie i jego rozwia̧zanie.
4. W fizyce szczególnie ważna̧ rolȩ odgrywaja̧ wypisane poniżej równania różniczkowe.
Proszȩ znaleźć ich ogólne rozwia̧zania, a nastȩpnie rozwia̧zania szczególne z uwzglȩdnieniem zadanych warunków pocza̧tkowych:
a) dN/dt ≡ Ṅ = −λN ,
warunek pocza̧tkowy: N(0) = N0
b) dN/dt ≡ Ṅ = −λN + σ ,
warunek pocza̧tkowy: N(0) = 0
c) d2 x/dt2 ≡ ẍ = −ω 2 x ,
warunki pocza̧tkowe:
x(0) = A , ẋ(0) = 0
d) d2 x/dt2 ≡ ẍ = −ω 2 x − 2β ẋ ,
warunki pocza̧tkowe:
x(0) = A , ẋ(0) = 0
W punkcie c) proszȩ zapisać rozwia̧zanie ogólne na kilka możliwych sposobów i sprawdzić,
że niezależnie od zapisu rozwia̧zanie szczególne jest identyczne.
W punkcie d) proszȩ rozważyć trzy możliwe przypadki relacji pomiȩdzy ω a β.