propozycja określania współczynnika podatności podłoża przy

Prof. dr hab. inż. Zygmunt Meyer
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Wydział Budownictwa i Architektury
Katedra Geotechniki
PROPOZYCJA OKREŚLANIA WSPÓŁCZYNNIKA PODATNOŚCI PODŁOŻA
PRZY PROJEKTOWANIU PŁYT FUNDAMENTOWYCH
ROZDZIAŁ1. OBLICZANIE OSIADAŃ STÓP I ŁAW FUNDAMENTOWYCH
METODĄ KLASYCZNĄ
Klasyczne obliczanie osiadania stóp i ław fundamentowych zakłada jednoosiowy
stan naprężeń, czyli uwzględnienie w obliczeniach jedynie składowej pionowej naprężeń
w gruncie σ z . Norma dotycząca fundamentów [30] zaleca podział naprężeń w gruncie
na pierwotne i wtórne tak, aby dla części obciążenia wtórnego przyjąć większy moduł
ściśliwości i w konsekwencjiotrzymać mniejsze osiadanie.
Jest to metoda dokładniejsza, ale w przypadku płytkich fundamentów
wydzielanie naprężeń wtórnych zmniejsza obliczone osiadanie mniej niż 8%. W
obliczeniach wstępnych, a często nawet w projektowaniu wystarczające jest
uwzględnienie naprężeń dodatkowych w gruncie bez wydzielenia części wtórnej.
Otrzymuje się wtedy osiadanie s:
z0
σ ( z)
s=∫ z
⋅ dz
(1)
E0
0
a w przybliżeniu:
z
σ z
3 σ 0 A 0 dz
s= z 1+
⋅
E0 2π E0 ∫z1 z 2
(2)
gdzie: E0 – jest modułem ściśliwości przy założeniu jednoosiowego stanu naprężenia. Po
wykonaniu obliczeń otrzymuje się:
σ z 
z 
s = 0 1 2− 1 
(3)
E0 
z0 
Wzór (3) jest ważny dla z0>z1. Jeżeliz0<z1 , to osiadanie oblicza się tylko dla prostokątnej
części rozkładu naprężenia, a więc:
s=
σ 0 z0
(4)
E0
gdzie:
z0 =
σ0
0,3γ
(5)
co daje:
s = 3,3 ⋅
σ 02
(6)
γ ⋅ E0
1
Wzór (3) pozwala na proste obliczanie osiadania fundamentu, zawiera zmienną σ 0 w
postaci uwikłanej, czyli:
π γ ⋅ z03
z0 = z0 ( σ 0 )
σ0 = ⋅
lub
(7)
5 A
Po podstawieniu do zależności (3) otrzymuje się:
s=
π γ ⋅ z1
⋅
( 2 z0 − z1 ) ⋅ z02 =

z 
⋅ z1  2 − 1 
E0
z0 

σ0
(8)
5 A⋅ E
1
Dla z0 > z1 jest to funkcja ciągle monotonicznie rosnąca, która dla z0 > z1 nie ma
2
lokalnych ekstremów.
ROZDZIAŁ 2. OBLICZANIE OSIADAŃ NASYPÓW DROGOWYCH
W przypadku osiadań nasypów drogowych, metodyka postępowania jest taka sama, jak
w przypadku stóp. Rozkład naprężeń przyjętych do określenia granicy strefy aktywnej
ma następujące założenia:
-
wprowadza się naprężenia w osi drogi
krzywą zanikania naprężeń opisuje odpowiednio
0 < z ≤ z1
odcinek prostej σ z = const = σ 0 dla
oraz
2 σ ⋅B
•
hiperbola σ z = ⋅ 0 zgodnie ze wzorem (12) dla z1 < z ≤ z0
z
π
Schematycznie pokazano to na rys. 1.
•
Rys. 1. Schemat zanikania naprężeń pod nasypem drogowym
2
(9)
(10)
Podobnie jak dla stóp fundamentowych ważne są następujące warunki:
σ0 =
2 σ0 ⋅ B
⋅
π z1
(11)
stąd
z1 =
2
π
⋅B
(12)
oraz
0,3γ ⋅ z0 =
2 σ0 ⋅ B
⋅
π z0
(13)
stąd
z0 =
σ
σ0
2
⋅ 0 ⋅ B = 1, 5 ⋅ B ⋅
γ ⋅B
0, 3π γ ⋅ B
(14)
Obliczanie osiadania przeprowadza się podobnie, jak poprzednio ze wzoru (1), czyli:
σ o z1
2 B ⋅σ 0
s=
+
⋅
2π E0
E0
z0
dz
z
z1
∫
(15)
Po wykonaniu odpowiednich działań:
σ z 
z 
s = 0 1 1 + ln 0 
E0 
z1 
(16)
Wzór ten obowiązuje dla z0 > z1 .
Dla z0 < z1 tak, jak poprzednio:
z0 =
σ0
0,3γ
(17)
oraz
s = 3,3 ⋅
σ 02
(18)
γ ⋅ E0
Można też obliczyć obciążenie drogi σ 0 , które powoduje, że z1 = z0 = z∗ . Otrzymuje się:
2
π
⋅B =
σ 0∗ =
0, 6
π
σ∗
2
⋅ 0 ⋅B
0,3π γ ⋅ B
(19)
⋅γ ⋅ B
(20)
Jeżeli σ 0 < σ 0∗ to do obliczenia osiadanias stosuje się wzór (18), natomiast jeżeli
σ 0 > σ 0∗ to stosuje się wzór (16).
3
ROZDZIAŁ 3. PRAKTYCZNE WYZNACZANIE MODUŁU ODKSZTAŁCENIA PODŁOŻA
Przedstawione w poprzednich rozdziałach metody określania rozkładu naprężeń
w gruncie oraz obliczenie osiadania fundamentu uzyskano przy następujących
założeniach:
• grunt jest jednorodny,
• moduł ściśliwości E0 = const niezależnie od głębokości, oraz
• obowiązują wzory Boussinesqa dla półprzestrzeni sprężystej,
• głębokość strefy aktywnej naprężeń przyjmuje się normowo 0,3σ γ ⋅ z0 = σ dz ( z0 )
W praktycznych obliczeniach inżynierskich ważne znaczenie ma znajomość
modułu ściśliwości gruntu. Teoria liniowa Boussinesqa oznacza liniową zależność
zjawiska od modułu, jako stałej materiałowej. Osiadanie budowli w warunkach
naturalnych jest zjawiskiem złożonym, a liniowość tego zjawiska jest ciągle
przedmiotem badań. Zagadnienie to omówiono w kolejnych rozdziałach.
Z punktu widzenia praktycznych obliczeń, w celu uzyskania parametru
gruntowego jakim jest moduł ściśliwości podłoża, chętnie wykorzystuje się badania w
terenie płytą statyczną VSS. Płytę tę przykłada się do powierzchni terenu i następnie
obciąża statycznie rejestrując osiadanie, aż do ustabilizowania się osiadania. Średnica
płyty statycznej wynosi zwykle 300 mm, chociaż używa się również płyt o średnicach
500 i 700 mm.
3.1. Wzory wyjściowe przy badaniu płytą VSS
W celu zinterpretowania wyników badań statycznych VSS (wyznaczenia E 0 )
wykorzystano w niniejszym rozdziale wzory, dotyczące osiadania fundamentu przy
założeniu metody klasycznej. W tej interpretacji, kluczowe znaczenie ma obciążenie
płyty. Zwykle obciąża się płytę co 50 kPa, to znaczy: σ 0 = 50 kPa; 100kPa; 150 kPa; 200
kPa; 250 kPa i uzyskuje odpowiednie osiadania.
Dla płyty najczęściej używanej, o średnicy 300 mm, można określić graniczne
obciążenie σ ∗ = 0, 21⋅ γ ⋅ A , które przesądza o zastosowaniu odpowiednich wzorów na
osiadanie. W rozpatrywanym przypadku σ ∗ = 1kPa. Oznacza to, że w całym zakresie
obciążeń można stosować wzór (39). Ze wzoru tego otrzymuje się:
E0 = σ 0
z1 
z 
⋅  2 − 1  (21)
s 
z0 
W dalszym ciągu przedstawiono przykładowe obliczenie E0 dla pomierzonych w terenie
przemieszczeń płyty VSS na gruncie piaszczystym. Wyniki podano w tab. 1.
4
Wartości obliczeń modułu E0 [kPa]Tablica 1
i
σ 0 [kPa]
S[mm]
z1 [m]
z0 [m]
E0 [kPa]
1
2
3
4
5
50
100
150
200
250
0,301
0,568
0,911
1,325
1,744
0,184
0,184
0,184
0,184
0,184
0,679
0,855
0,978
1,077
1,160
51800
57800
54900
50800
48500
Z przedstawionych w tab.1 wyników obliczeń wypływa wniosek, że nie uzyskuje
się stałej wartości E0 . Można zatem odwrócić zagadnienie formułując problem
następująco: czy można tak dobrać granicę strefy aktywnej, żeby moduł ściśliwości był
stały. Zakłada się, że w równaniu (13) jest współczynnik 0,3 zmienia się na poszukiwany
współczynnik β . A więc:
β ⋅ γ ⋅ z0 =
3 σ0 ⋅ A
⋅
2π z02
(22)
a stąd dla stopy kołowej:
z0 =
3
σ ⋅ D2 ⋅ π
σ ⋅ D2
3
3
⋅3 0
=3
⋅3 0
2β ⋅ π
8β
γ ⋅4
γ
(23)
Dla wygody prowadzonych obliczeń można podstawić:
3
3
1
=
8β X
(24)
stąd:
1 σ 0 ⋅ D2
z0 = ⋅ 3
γ
X
(25)
Równanie (25) zawiera teraz tylko dwie niewiadome Xoraz E0 . Z kolei równanie (21)
można zapisać w postaci:
σ ⋅D 
2σ 0 ⋅ z1 = s ⋅ E0 + X ⋅ σ 0 ⋅ z12 ⋅  0

 γ 
2
−
1
3
(26)
Metodą najmniejszych kwadratów można teraz obliczyć dwie stałe tego
równania, a mianowicieX oraz E0 . Uzyskane rozwiązanie jest bardzo czułe na
dokładność wprowadzonych danych wejściowych ( si ;σ 0i ) . Dla analizowanego
przykładu otrzymano:
E0 = 38 MPa
oraz
β = 1, 4
Oznacza to, że dla σ 01 = 50 kPa otrzymuje się z01 = 0,4 m natomiast σ 0 = 250 kPa i
z0 = 0,69 m. Przedstawiony przykład podobnie, jak inne analizowane wyniki badań
statycznych płytą VSS, pozwalają na wyciągnięcie wniosku, że literaturowy [30]
warunek zasięgu strefy aktywnej: 0, 3σ zγ = σ zd , jest kryterium, które przy osiadaniu
ustala granicę tej strefy zbyt głęboko (nawet czterokrotnie). Oznacza to, że powinno się
5
poszukiwać bardziej dokładnej definicji zasięgu strefy aktywnej. Zakładając granicę
strefy aktywnej zbyt głęboko, uzyskuje się za duże moduły ściśliwości E0 .
3.2. Literaturowa metoda interpretacji wyników badań statycznego płytą VSS
Płyta statyczna jest szczególnie chętnie wykorzystywana w drogownictwie. Do
interpretacji wyników badań przy użyciu tej płyty wykorzystuje się wzór podany w
literaturze [3,6,29,30,33]. Zakłada się trójosiowy stan naprężeń w gruncie oraz wzory
opisujące składowe naprężeń w kierunku osi głównych z rozwiązania Boussinesqa.
Zakłada się także, iż nacisk na grunt pod płytą jest rozłożony równomiernie σ 0 = const.
Do obliczenia osiadanias przyjmuje się całkę:
s=
1
E0
∞
∫
σ z −ν (σ x + σ ν )  dz
(27)
0
W wyniku rozwiązania otrzymuje się następujący wzór :
s=
0,89 ⋅ σ 0 ⋅ D (1 −ν 2 )
(28)
E0
gdzie: ν – jest współczynnikiem Poissona (zwykleν = 0, 25 ).
Z równania (28) można obliczyć E0 bezpośrednio dla każdej pary liczb ( si ;σ 0i ) , czyli:
E0 = 0,89 ⋅ σ 0 ⋅
D
1 −ν 2 )
(
s
(29)
Znając E0 dla każdej pary liczb można obliczyć zasięg strefy aktywnej obliczając
współczynnik β w metodzie przedstawionej w poprzednim rozdziale. Najpierw
obliczamy z0 :
z1
(30)
z0 =
s E0
2− ⋅
z1 σ
3 σ0 ⋅ A
(31)
a następnie: β =
⋅
2π z03 ⋅ γ
Wyniki obliczeń przedstawiono w tab. 2.
Wartości obliczeń parametru β Tablica 2
i
σ 0 i [kPa]
s1[mm]
z1i [m]
z0i [m]
E0i [kPa]
βi
1
50
0,307
0,184
0,367
44890
1,92
2
100
0,568
0,184
0,366
48525
3,821
3
150
0,911
0,184
0,366
45382
5,73
4
200
1,325
0,184
0,366
41600
7,65
5
250
1,744
0,184
0,366
39500
9,56
6
Z tab. 2 wynika, iż:
– zakłada się stałą głębokość strefy aktywnej
z0 =
z1
= 1, 22 D
0,83 ⋅ D
2−
z1
(32)
– parametr β zmienia się liniowo z obciążeniem σ 0 i wynosi od 1,92 do 9,56;
– moduł ściśliwości obliczony ze wzoru (29) maleje wraz z obciążeniem.
Dostrzegając różnice w obliczaniu modułu ściśliwości gruntu przy pomocy płyty VSS
norma drogowa [33] zaleca uśrednienie obliczeń przyjmując za reprezentatywną
wartość modułu ściśliwości:
E0 = 0,89 ⋅ D (1 −ν 2 )
σ 03 (150 ) − σ 01 ( 50 )
(33)
s3 (150 ) − s1 ( 50 )
gdzie: σ 03 (150 ) = 150 kPa; σ 01 (150 ) = 50 kPa.
W rozpatrywanym przykładzie E0 = 41200kPa - co odpowiada β =7,5. Podsumowując
można stwierdzić, że:
1. Analiza wyników badań statycznych płytą VSS została przeprowadzona przy
założeniu rozwiązania podanego dla półprzestrzeni sprężystej Boussinesqa.
2. Uzyskane wyniki obliczeń wskazują, że przy założeniu, że moduł ściśliwości
gruntu jest stały niezależnie od głębokości, nie można przyjąć kryterium
granicyzasięgu strefy aktywnej jaką podaje norma gruntowa [30] w postaci
0, 3σ zγ = σ zd . Współczynnik 0,3 w przedstawionych obliczeniach zmienia się
bowiem od 2,0 do około 10. Oznacza to, że przy obliczaniu osiadania budowli
znajduje się efektywna strefa aktywna sięga znacznie płycej.
3. Moduły ściśliwości gruntu, obliczone na podstawie badaniastatycznego płytą VSS,
przy użyciu różnych metod interpretacji, wskazują na duży rozrzut od 39 MPa do
około 58 MPa.
3.3. Wpływ szerokości fundamentu na wartość osiadań
Przedstawiona analiza wskazuje, że kluczowe znaczenie ma opis głębokości
granicy strefy aktywnej. W szczególności przy obliczaniu osiadania fundamentu znajduje
się ona znacznie płycej niż wynika to z warunku literaturowego. Zagadnienie to można
rozszerzyć zadając pytanie, jak stopa fundamentowa obciążona w powierzchni
kontaktowej naprężeniami σ 0 , osiada w zależności od wymiaru poziomego stopy.
Zgodnie z literaturą [3,6,22,29] osiadanie rośnie w miarę, jak rośnie wymiar
poziomy stopy. Czy jest jakiś wymiar graniczny stopy, po przekroczeniu którego
osiadanie już nie rośnie? W sposób przybliżony zagadnienie to można przeanalizować
wykorzystując wcześniej wyprowadzony wzór na osiadanie (3):
7
s=
σ ⋅ zi 
z1 
2− ;
E0 
z0 
gdzie
z1 =
3
⋅B ;
2π
z0 =
3
3
π
⋅B⋅ 3
σ
γB
Przy wyprowadzeniu tego wzoru założono, że E0 = const oraz że, dolna granica
całkowania przy obliczaniu osiadania wynika z warunku normowego 0,3γ ⋅ z0 = σ z ( z0 ) .
Jak już wcześniej wykazano nie do pogodzenia jest warunek E0 = const oraz że β
we wzorze (22) jest stałe. Zakłada się zatem, tak jak we wzorze (23), że położenie tej
strefy określa równanie:
β ⋅ γ ⋅ z0 = σ z ( z0 )
z0 =
i wtedy
3
3
2πβ
⋅B⋅ 3
σ0
γ ⋅B
Równanie na obliczenie osiadania można w takim przypadku można przedstawić jako:
s=
σ 02
E0 ⋅ γ
⋅
3 γ ⋅B 
3
γ ⋅β 
⋅
⋅3

 ⋅ 2 − 3
2π  σ 0  
2π ⋅ β
σ0 
(34)
γ ⋅B
.
σ
Funkcja ta manastępujący przebieg, (rys.2). Wzór (34) wskazuje, iż osiadanie stopy
rośnie wraz ze wzrostem jej średnicy D.
Zależność przedstawiona wzorem (34) jest funkcją zmiennej niezależnej
γ ⋅B
Rys. 2. Wykres funkcji osiadania s = s 

 σ0 
Można wykazać, że ekstremum tej funkcji wymaga, aby była spełniona równość:
γ ⋅ Bmax 3 2π
3
= ⋅
⋅3
σ0
2
3
2π ⋅ β
(35)
Co pozwala obliczyć, ile wynosi smax. Po podstawieniu otrzymuje się:
smax
1 27 σ 02
= ⋅ ⋅
β 16 E0 ⋅ γ
(36)
8
Z wcześniejszych obliczeń wynika, że β = 2÷10 (tab.2). Oznacza to dalej, że w praktyce
wzór (36) w przeciętnych warunkach ma dla piasków postać:
1 σ0 σ0
⋅
3 E0 γ
natomiast w praktyce mamy:
smax =
Bmax ≅
(37)
σ0
γ
(38)
Wskazywałoby to na fakt, że aby prawidłowo obliczyć osiadanie dużej płyty,
należy jednak obliczyć osiadanie dla zadanego obciążenia, dla płyty kwadratowej o
wymiarze boku
σ0
.
γ
Rozdział 4. OSIADANIE PŁYTY KOŁOWEJ
W literaturze [3,6,22,29] dla stopy w kształcie koła podaje się ścisłe rozwiązanie,
które opisuje rozkład naprężeń w osi pod fundamentem. Schematycznie rozkład ten
pokazano na rys. 3.
Rys. 3. Wykres naprężeń w osi pod stopą kołową
Rozwiązanie to ma postać [23 ]:


z3
 (39)
σ z ( z ) = σ 0 1 −
 ( z 2 + r 2 )3/ 2 


Osiadanie oblicza się przy założeniu, że E0 = const oraz że dolna granica całkowania
wynosi z = z0 . Stąd:
1
s=
E0
z0
∫ σ ( z ) dz (40)
z
0
co po wykonaniu całkowania daje:
9
s=
σ0  
z0
 z0  1 −
2
E0  
z0 + r 2
 


r
 + 2r  1 −
2


z0 + r 2





 
(41)
4.1. Zastosowanie rozwiązania dla płyty kołowej do badania statycznego płytą VSS
Do dalszej analizy wygodnie jest podstawić bezwymiarową zmienną ξ :
z
r
ξ = (42) Po podstawieniu otrzymuje się:

1 

 +1−
2 
2
E0  2 

1
1
+
ξ
+
ξ


Analizując funkcję w nawiasie kwadratowym:
s = 2r ⋅
σ0 1 
 ξ 1 −
1 
ξ
f (ξ ) = ξ 1 −
2 
1+ ξ 2
można wykazać, że:
lim f (ξ ) = 0
ξ →0
i
ξ
(43)

1
 +1−

1+ ξ 2

df (ξ )
dξ
=
(44)
1
2
(45)
a ponadto
lim f (ξ ) = 1
(46)
ξ →∞
Wykres funkcji f (ξ ) pokazano na rys. 4.
Rys. 4. Wykres funkcji f (ξ )
Szczegółowa analiza funkcji f (ξ ) wskazuje, że w praktycznych obliczeniach
można przyjąć uproszczoną postać funkcji
obliczeniach osiadania rzędu 5%) :
10
f1 (ξ ) (jeżeli dopuszcza się błąd w
f1 (ξ ) =
ξ
(47)
2+ξ
Wzór ten dobrze spełnia warunki brzegowe (45) i (46). Wzór (41) określający
osiadanie płyty kołowej przyjmuje postać:
σ D ⋅ z0
(48)
s= 0⋅
E0 D + z0
Oznacza to, że estymację parametru z0 dolnej granicy całkowania osiadania
można oprzeć na badaniach osiadania dużej płyty. Badanie terenowe [14,15,16,27],
wskazują że, wzór opisujący z0 ma postać:
z0 =
σ0
E  γ
ln  0 
 σ0 
α
⋅
(49)
Do określenia modułu ściśliwości E0 oraz zasięgu dolnej granicy całkowania z0 , można
teraz wykorzystać płytę statyczną VSS. W wyniku pomiarów otrzymuje się zbiór
wartości {si , σ i } . Równanie warunkowe ma postać:
D
1
si =
⋅σ i ⋅
(50)
E0
 E0 
Dγ
⋅ ln  
1+
ασ i  σ i 
a po podstawieniu:
E 
Dγ
σ D
Yi =
⋅ ln  0  ;
(51)
X i = i ⋅ −1
σi
E0 si
 σi 
otrzymuje się równanie liniowe:
Yi = α X i
(52)
gdzie:
(X Y )
(53)
α = ∑ i 2 i = α ( E0 )
∑( Xi )
Wartość modułu E0 dobiera się w taki sposób, aby uzyskać minimum kwadratów
odchyłek δ funkcji Y.
δ 2 = ∑ Yi ( E0 ) − α ( E0 ) ⋅ X i ( E0 ) 
2
(54)
Przykładowe wyniki obliczeń przedstawiono w tab. 3. Uzyskane w ten sposób
wyniki z płyty statycznej VSS spełniają warunek, że w całym zakresie obciążeń płyty
E0 = const oraz że, parametr α który zależy od rodzaju gruntu, też jest stały. Można
zatem powiedzieć, że przy obliczaniu osiadania stóp fundamentowych i płyt
fundamentowych można wykorzystać wzór:
σ D ⋅ z0
(55)
s=
⋅
E0 D + z0
gdzie:
11
z0 =
σ0
E  γ
ln  0 
 σ0 
α
⋅
(56)
Praktyczne wykorzystanie tej metody wymaga znajomości dwóch parametrów:
E0 oraz α . Moduł ściśliwości gruntu może być określany na wiele sposobów. Parametr
α wymaga natomiast przeprowadzenia badania płytą statyczną i optymalizację
wyników.
4.2. Ustalenie parametru α na podstawie badania gruntu
Dla celów obliczeń inżynierskich parametr α może być obliczony z empirycznego
wzoru na podstawie krzywej przesiewu dla gruntów normalnie skonsolidowanych:
1/ 6
 γ ⋅ d∗ 
(57)
α = const ⋅ 

 E0 
Na podstawie badań terenowychotrzymano const = 14, 3 natomiast średnią ziaren d∗
oblicza się ze wzoru:
p
d∗ = Π ( d i ) i
(58)
gdzie: {di , pi } - jest dystrybuantą krzywej uziarnienia przedstawioną na rys. 5.
Rys. 5. Dystrybuanta krzywej uziarnienia gruntu
Przyjmując do obliczenia α trzy główne funkcje:
d1 = 0,000001 m
oraz
p1 = 0,12 (frakcja iłowa)
d 2 = 0,00001 m
oraz
p2 = 0,46 (frakcja pyłowa)
d 3 = 0,0001 m
oraz
p3 = 0,42 (frakcja piasków drobnych)
otrzymuje się d∗ = 2 ⋅10 −5 m natomiast przyjmując dla tego gruntu E0 =20 000 kPa;
γ = 18kN / m3 otrzymuje się α =0,45.Wprowadzając inny skład gruntu zawiera się więcej
grubszych frakcji oraz zakładając, że:
d1 = 0,00001 m
oraz
p1 = 0,18 (frakcja pyłowa)
d 2 = 0,0001 m
d 3 = 0,001 m
oraz
oraz
p2 = 0,48 (piasek drobny)
p3 = 0,36 (piasek)
12
otrzymuje się d∗ = 1, 2 ⋅10−4 m natomiast przyjmując dla tego gruntu E0 =40000 kPa;
γ = 18kN / m3 otrzymuje się α =0,88.Znając główną frakcję, można w przybliżeniu
określić wartość parametru α z tab. 3.
Wartości parametru α Tablica 3
d∗ [m]
E0 [MPa]
5
10
15
20
25
30
35
40
0,001
0,010
0,050
0,1
1,0
0,40
0,35
0,33
0,32
0,30
0,30
0,29
0,28
0,58
0,52
0,49
0,46
0,45
0,43
0,41
0,41
0,76
0,68
0,64
0,61
0,58
0,57
0,54
0,54
0,86
0,76
0,71
0,68
0,66
0,64
0,61
0,61
1,26
1,12
1,05
1,00
0,96
0,93
0,90
0,90
4.3. Przykład obliczeniowy
Metodę w pracy zastosowano do wyników badań statycznych płytą VSS
wykonanych w Szczecinie na budowie dużego obiektu użyteczności komunalnej.
Wykorzystano wyniki badań płytą statyczną o średnicy 30 cm do wyznaczania modułu
ściśliwościdla glin piaszczystych, piasków różnoziarnistych i żwirów.Zakres obciążeń
przykładanych na grunt mieścił się w przedziale od 0 – 250 kPa dla glin i piasków oraz 0
– 450 kPa dla żwirów. Przykład pochodzi z pracy [14] przy czym wykorzystane do
obliczeń zbiory danych przedstawiono w tab.4.
Wyniki pomiarów i optymalizacjiTablica 4
Grunt
Nr
Próbki
Glina piaszczysta
1
σ
[kPa]
0
50
100
150
200
250
E0[kPa]
αopt
En[kPa]
Piasek średni
2
s
[mm]
0,000
0,323
0,613
1,040
2,000
2,897
3
σ
σ
[kPa]
0
50
100
150
200
250
Żwir
s[mm]
0,000
0,390
0,783
1,337
1,887
2,573
[kPa]
0
50
100
150
200
250
4
s
[mm]
0,000
0,307
0,568
0,911
1,325
1,744
5
σ
σ
[kPa]
0
50
100
150
200
250
s[mm]
0,000
0,243
0,480
0,757
1,050
1,330
[kPa]
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
s[mm]
0,000
0,253
0,630
0,933
1,153
1,390
1,707
1,900
2,103
2,333
12000
26000
39000
55000
58000
0,08
0,776
0,98
2,54
3,9
24300
18400
28800
33500
51700
13
Z powyższych wyników obliczeń wynika wyraźnie, że w każdym z analizowanych
przypadków otrzymano wyraźne minimum sumy kwadratów odchyłek, oraz że
uzyskana zależność s = s (σ 0 ) dobrze wpisuje się w pomiary terenowe.
Założono, że parametr α określony statystycznie, reprezentuje dany przypadek
pomiarowy. Poszczególne przypadki różnią się, a wynika to z faktu, że zdolność gruntu
do zagęszczenia zależy w głównej mierze od krzywej przesiewu, kształtu ziaren oraz od
stanu gruntu (ID, IL).W niniejszejpracy nie przedstawiono natomiast zależności
parametru α od wielkości opisujących rodzaj i stan gruntu. W tab. 4 moduł ściśliwości
obliczony wg rekomendacji normowej oznaczono jakoEn.
Kolejnym wnioskiem, jaki nasuwa się z analizy obliczeń, to fakt że przyjmowany
wg rekomendacji normowych moduł ściśliwości En różni się od modułu otrzymanego
przy wykorzystaniu przedstawionej metody E0∗ . Przy wyprowadzeniu tego wzoru
zakłada się trójosiowy stan naprężeń który definiuje osiadanie w pionie oraz granicę
całkowania, którą przyjęto jako nieskończoność. Ponadto w rekomendacjach zaleca się
obliczenia średniej wartości modułu ściśliwości z przedziału 50-150 kPa, co zmniejsza te
wartości. Dla różnych gruntów i różnych próbek różnice te są inne.
Graficznie wyniki osiadania pokazano na rys. 6. Ze wzoru (48) wynika również ważny
wniosek, iż dla D → ∞ :
σ
(59)
lim s =
⋅ z0
D →∞
E0
Oznacza to, że obliczenia osiadania dużych płyt fundamentowych powinno się opierać
się na wzorze (59).
14
δ2
E0 [kPa]
σ [kPa]
s [mm]
Si
σ [kPa]
s [mm]
Sobl
δ2
Sobl
Si
δ2
E0 [kPa]
E0 [kPa]
Rys. 6.. Osiadanie obliczone i pomierzone wraz z minimum sum kwadratów
dla piasku średniego, gliniastego i żwiru
15
ROZDZIAŁ 5. OBLICZANIE OSIADANIA DUŻYCH PŁYT FUNDAMENTOWYCH
5.1.Osiadanie dużej płyty fundamentowej na podłożu jednorodnym
Obliczenie osiadania dużych płyt fundamentowych jest przypadkiem granicznym
we wzorze (48). Po wykonaniu obliczeń wzór (59) może być zapisany w postaci:
s=
σ0
E0
⋅ z0 =
σ0
σ0
E0
E  γ
ln  0 
 σ0 
α
⋅
⋅
(60)
Przedstawioną zależność uzyskano przy założeniu, że całkę w strefie aktywnych
z∗
σz ( z)
s
=
naprężeń w gruncie
∫0 E ( z ) ⋅ dz przyrównano do:
z0
s=∫
σz ( z)
E ( z)
0
⋅ dz
(61)
co przy założeniu, że dla dużych płyt fundamentowych redukcja naprężeń następuje
bardzo wolno, daje:
σ z ( z ) = σ 0 = const
(62)
a więc:
z∗
s=∫
0
σ0
E ( z)
z0
⋅ dz = ∫
0
σ0
E0
⋅ dz =
σ0
E0
⋅ z0
(63)
Założenie we wzorze (61) E ( z ) = E0 sugeruje, że jest grunt jednorodny i stałym
module ściśliwości. Oznacza to jedynie, że rzeczywiste osiadanie przy zmiennym module
E ( z ) przedstawione wzorem (61) zamienia się na iloraz dwóch wartości.
Pierwsza z nich to naprężenia przyłożone bezpośrednio na płytę na grunt przez
płytę w powierzchni kontaktowej. Drugi człon to przełożenie dolnej granicy całkowania
przy obliczaniu osiadania z0 . Nie jest to granica strefy aktywnej. Granica strefy aktywnej
to wartość z∗ definiowana w mechanice gruntów jako:
β ⋅ γ ⋅ z∗ = σ z ( z∗ )
(64)
gdzie: β = 0,3
Wzór ten wskazuje zależność, że naprężenia dodatkowe przyłożone do gruntu w
poziomie granicy strefy aktywnej, stanowią pewien procent naprężeń pierwotnych.
Schematycznie sytuację taką przedstawiono na rys. 7.
16
Rys. 7. Graficzne przedstawienie granicy strefy aktywnej
Ponieważ w przypadku dużej płyty zanikanie naprężeń jest bardzo wolne, a że
można przyjąć σ z ( z ) = const = σ 0 , wzór (64) przyjmuje postać:
z∗ =
σ0
γ ⋅β
(65)
W normie gruntowej oraz podręcznikach akademickich zaleca się przyjmować ε =
0,3. Wartość tę można obliczyć porównując wzór (60) oraz zależność na obliczenie
osiadania:
σ0
σ0
dz
= σ0 ⋅ ∫
E0
E (z)
E  γ
0
ln  0 
σ0 
⋅
z∗
α
⋅
(66)
Do przybliżonego określenia, jak z∗ zależy od wcześniej wprowadzonej wartości
z0 dolnej granicy całkowania – zakłada się liniową zmianę modułu ściśliwości wraz z
głębokością w postaci:

z
E ( z ) = E0 1 + 
 z0 
(67)
Otrzymuje się zależność (101) w postaci:
σ0
E0
⋅ z0 =
z 
⋅ z0 ⋅ ln  ∗ 
E0
 z0 
σ0
Równość ta wymaga, aby spełnione były zależności:
z∗
=e
z0
stąd
1
= e⋅
β
gdzie
e = 2,718
α
E 
ln  0 
 σ0 
17
co daje
E 
ln  0 
σ
(68)
β=  0
e ⋅α
W przeciętnych warunkach otrzymuje się β ≅ 3 ; zamiast proponowanej w normie
0,3. Oznacza to, że kierując się osiadaniem należałoby dolną granicę całkowania z0
założyć znacznie płycej (ok. 10 razy). Ostatecznie do obliczenia osiadania dużej płyty na
podłożu jednorodnym przyjęto wzór:
s=
σ0
E0
⋅ z0 =
σ0
σ0
E0  E0  γ
ln  
 σ0 
α
⋅
(69)
Przykładowe osiadanie dużej płyty w przeciętnych warunkach na podłożu jednorodnym
podano w tab.5.
Przykładowe osiadanie dużych płyts[mm]Tablica 5
σ [kPa]
100
150
200
250
300
5
41,8
103,0
-
-
-
10
15
18,0
11,0
38,0
27,0
84,0
51,0
83,0
-
20
25
7,7
5,8
19,0
14,5
36,0
27,4
59,0
45,0
88,0
67,0
30
35
4,7
3,9
11,5
9,6
22,0
18,1
36,0
29,8
54,0
45,0
40
3,3
8,1
15,4
25,3
37,9
E0 [MPa]
5.2. Osiadanie dużej płyty fundamentowej na podłożu uwarstwionym
5.2.1. Analiza wpływu funkcji pionowej zmiany modułu ściśliwości gruntu
na osiadanie fundamentu
W niniejszej pracy uwagę głównie skierowano na praktyczną stronę prowadzenia
obliczeń inżynierskich. W związku z tym metodę obliczeniową tak dobrano, aby była
odpowiednia dla występujących na rynku komercyjnym programów obliczeniowych.
Stąd poszukiwanie metody interpretacji wyników statycznych obciążeń płyty
VSS, tak aby uzyskać efekt E = const dla wszystkich obciążeń płyty, tak jak to zakłada się
w teorii Boussinesqa. Z punktu widzenia metodyki obliczania osiadania fundamentu,
18
można rozważać inne podejście. Jednym z nich jest przyjęcie zmiennego modułu
ściśliwości gruntu wzdłuż osi z skierowanej pionowo w dół.
Założenie, że E = E ( z ) jest założeniem formalnym, które wynika z budowy
wzoru opisującego osiadanie. W praktyce obserwujemy takie zjawisko, że możliwość
osiadania gruntu wynika z przemieszczania się wzajemnego ziaren gruntu i
zmniejszania objętości porów, którą grunt może przeznaczyć na osiadanie. Możliwość
zmniejszania się porowatości pod wpływem obciążeń jest zjawiskiem znanym
znajdującym odzwierciedlenie w badaniach edometrycznych, gdzie przyrost osiadania
dla coraz większych naprężeń σ 0 przykładanych na grunt jest coraz mniejszy. Świadczy
to o tym , że rośnie moduł ściśliwości gruntu (rys. 7). Mechanizm tego wzrostu wynika
jednak z możliwości wzajemnego przemieszczania się ziaren (lepszego upakowania tych
ziaren).
Typowy wykres osiadania w edometrze pokazuje rys. 8.
Rys. 8. Schemat osiadania próbki w edometrze
Z rysunku tego wynika, że zmienny moduł ściśliwości należałoby określić używając
pochodnej:
dσ
E0 = h ⋅
(70)
ds
gdzie: h– jest wysokością próbki w edometrze. Jeżeli przyjąć najprostszy związek
σ = a0 + a1s + a2 s 2 to otrzymuje się moduł edometryczny:
Ee = Ee ( s ) = h [ a1 + 2a2 ⋅ s ]
(71)
gdzie: a0 ; a1 ; a2 są stałymi
Ze wzoru (71) widać, że Ee rośnie wraz ze wzrostem s. To legło u podstaw potrzeby
sprawdzenia jak pionowa zmiana E ( z ) wpływa na osiadanie płyty fundamentowej
ułożonej na powierzchni gruntu. Przy takim założeniu, jeżeli weźmie się pod uwagę
stopę kołową i rozkład naprężeń w gruncie jaki ona wywołuje, to osiadanie można
obliczyć ze wzoru (rys. 9).
19
Rys. 9. Wykres funkcji: F1 (ξ0 ) ; F2 (ξ0 ) ; F3 (ξ 0 ) ; F∗ ( ξ0 )
gdzie: ξ0 opisane jest wzorem (78), natomiast funkcje F1 ; F2 ; F3 ; wzorem od (79) do
(81), a F∗ wzorem (55).
Podstawowy wzór ma postać:
z0
S=∫
0
σ z ( z)
E ( z)
⋅ dz
(72)
Ponieważ przedmiotem rozważań jest analiza wpływu funkcji zmian modułu
ściśliwości z głębokością wobec do dalszej oceny przyjęto przykładowo trzy funkcje:
1)
E ( z ) = E0 = const
2)
E ( z ) = E0 ⋅
z2 + r2
r
z2 + r2
3)
(
E ( z) = E ⋅
0
r3
(73)
(74)
)
3
(75)
Jako rozkład naprężeń w gruncie przyjęto znany z literatury [29] wzór na
pionową zmianę składowej σ z ( z ) pod fundamentem kołowym:


σ z ( z ) = σ 0 1 −




3
z2 + r2 

z3
(
)
(76)
Po wykonaniu całkowania otrzymuje się osiadanie wyrażone następującym wzorem:
s=
σ0
E0
gdzie:
⋅ r ⋅ F (ξ0 )
(77)
20
z0
(78)
r
Otrzymuje się w każdym z trzech przypadków osiadanie warstwy gruntu o miąższości
z0 :
ξ0 =
1) dla E ( z ) = E0 F1 ( ξ0 ) = ξ0 + 2 −
ξ 02 + 2
(79)
ξ02 + 1
 ξ

ξ 02
0
+ 1 +
2) dla E ( z ) = [105] F2 (ξ0 ) = ln⋅ 
2
 2

 ξ0 + 1  2 (ξ0 + 1)
3) dla E ( z ) = [110] F3 ( ξ0 ) =
ξ0
(80)
ξ 02
2
ξ02 + 1 4 (ξ 0 + 1)
−
(81)
Dodatkowo możemy obliczyć wartości graniczne dla małych płyt ξ 0 → ∞ gdy r → 0 :
lim F1 (ξ 0 ) = 2
ξ →∞
lim F2 (ξ0 ) = 1, 2
ξ →∞
lim F3 (ξ 0 ) =
ξ →∞
3
4
Ponadto można obliczyć wartości graniczne dla dużej płyty. Dla ξ0 → 0 , oznacza to że,
z
przypadek ξ 0 = 0 , r → ∞ , dotyczy płyty o bardzo dużych wymiarach. Otrzymuje się
r
wówczas:
lim F1 (ξ0 ) = lim F2 (ξ 0 ) = lim F3 (ξ0 ) = ξ0
ξ0 → 0
ξ0 → 0
(82)
ξ0 → 0
co w praktyce oznacza, że dla r → 0 rozwiązanie nie zależy od r. lim F (ξ 0 ) → ξ 0
ξ →∞
otrzymuje się z równania (77):
σ
z σ
s = 0 ⋅ r ⋅ 0 = 0 ⋅ z0
E0
r
F0
niezależnie od funkcji E ( z ) .
Porównanie funkcji F1 , F2 , F3 pokazano na rys. 10. Rysunek przedstawia
dodatkowo wykres funkcji F∗ ( ξ0 ) , którą proponuje się przyjąć w praktycznych
obliczeniach inżynierskich. Ma ona postać:
F∗ (ξ 0 ) =
2ξ 0
2 + ξ0
(83)
21
Rys. 10. Osiadanie na podłożu uwarstwionym
Przeprowadzona analiza wskazuje, że dla praktycznych obliczeń osiadania z dostateczną
dokładnością można przyjąć funkcję F∗ ( ξ0 ) , wówczas:
s=
gdzie: ξ 0 =
σ0
E0
⋅ r ⋅ F (ξ0 )
z0
r
Z rysunku 10 widać, że największe osiadania otrzymuje się gdy funkcja E ( z ) nie
rośnie z głębokością w gruncie, czyli E = const = E0 . Jeżeli moduł ściśliwości gruntu
rośnie z głębokością, to osiadanie jest mniejsze, gdyż funkcje F2 (ξ 0 ) oraz F3 (ξ 0 ) mają
mniejsze wartości. Okazuje się, że proponowana w poprzednim rozdziale funkcja F∗ ( ξ0 )
jako zależność opisująca osiadanie stopy znajduje się pomiędzy funkcją F2 i F3 .
Praktyka obliczania osiadania wskazuje, że wykorzystując funkcję F∗ ( ξ0 ) , otrzymuje się
wartości najbardziej zbliżone do obserwowanych w praktyce. Oznacza to, że zmienny
moduł ściśliwości gruntu wynika ze zdolności gruntu do przemieszczania ziaren i
pozyskiwania przestrzeni na osiadanie poprzez zmniejszanie porowatości.Może być w
praktyce określany jako średnia harmoniczna, co po wykonaniu obliczeń daje
następującą zależność:
2
z
1+  
2
r
z

(84)
E ( z ) = 2 E0 ⋅
⋅ 1+  
2
r
z
2+ 
r
Taka pionowa zmiana modułu ściśliwości najlepiej odpowiada osiadaniu płyty
kołowej pod którą naprężenia w gruncie zanikają w klasyczny sposób, przedstawiony w
literaturze na podstawie teorii Boussinesqa.
5.2.2. Oszacowanie wpływu podłoża uwarstwionego na osiadanie
Wpływ podłoża uwarstwionego na wartość osiadania fundamentu uwidacznia się
uwzględnieniem w obliczeniach trzech elementów (rys. 11):
– pionowej zmiany naprężeń w gruncie pod fundamentem (zanikanie),
22
– pionowej zmiany modułu ściśliwości gruntu w postaci funkcji F ( z ) ,
– modułu ściśliwości E0 różnego dla każdej warstwy
Rys. 11. Schemat osiadania płyty na podłożu uwarstwionym
Przedstawione w tym rozdziale oszacowanie wpływu warunków gruntowych na
wartość osiadania oparte jest na założeniu możliwości rozdzielania zmiennych i
przedstawieniu ich w postaci iloczynu:
z2
s = s∞ ⋅ F ( z, z1 , z2 )
(85)
z1
gdzie: s∞ – jest osiadaniem fundamentu na podłożu jednorodnym o miąższości od z=0
do z→∞z uwzględnieniem pionowego wzrostu modułu ściśliwości gruntu
jednorodnego. Osiadanie warstwy gruntu jednorodnego o miąższości od z=0 do z,
można przedstawić wzorem:
z
s = s ( z ) = s∞ ⋅ F ( z )
(86)
0
Obliczenie osiadania warstwy gruntu, która zalega na głębokości określonej
współrzędnymi:
– strop z = h1
– spąg z = h2
Wymaga to przeprowadzenia całkowania w celu obliczania osiadania najpierw
warstwy o miąższości {0i ; h1} czyli s2 = s ( h2 ) . Szukane osiadanie warstwy gruntu jest
różnicą s = s2 − s1 . Obliczenie s ( z ) czyli osiadania warstwy o grubości {0; z} wymaga
założenia pionowych zmian modułu ściśliwości gruntu E ( z ) . Badania analityczne i
eksperymentalne wskazują, iż dla celów praktycznych obliczeń można wykorzystać
funkcję:
2

z 
E ( z ) = E0  1 +  (87)
 z0 
Przyjęcie takiej funkcji wskazuje, że moduł rośnie bardzo szybko. Należy jednak
pamiętać, że funkcja (96) dobrana teoretycznie odzwierciedla możliwości
23
przemieszczania się ziaren w gruncie zalegającym na głębokości z, w wyniku
zmniejszenia porowatości gruntu i uzyskania w ten sposób przestrzeni, która może być
wykorzystana na osiadanie stopy w postaci dużej płyty , która wywołuje dodatkowe
naprężenia w gruncie.
Autor ma świadomość, że próbka gruntu pobrana z głębokości z, włożona do
edometru wykaże moduł ściśliwości znacznie mniejszy. Należy jednak pamiętać, że w
puszcze edometrycznej, gdzie próbka ma grubość 20mm i jest pod zadanym
obciążeniem np. 150kPa,przemieszczanie ziaren następuje znacznie łatwiej niż w
naturze na głębokości np. 2m. Podobna argumentacja dotyczy próbek gruntu spoistego,
gdzie uzyskiwane zmniejszenia porowatości otrzymuje się poprzez wyciskanie wody z
porów. Przyjęty sposób określenia zmian modułu ściśliwości gruntu w celu obliczenia
osiadania fundamentu jest zabiegiem matematycznym. Agreguje on zdolność do
przemieszczania się ziaren gruntu w głąb pod fundamentem i dlatego kwadrat jako
wykładnik potęgowy, może być równyw różnych gruntach, stosownie do różnorodności
uziarnienia. Przyjęty tu wykładnik odpowiada przeciętnym warunkom gruntowym.
Wykorzystanie zależności (74) pozwala na zbudowanie funkcji wpływu
głębokości dla dużej płyty:
s ( z) =
σ0
E0
⋅ z0 ⋅
z
= s∞ ⋅ F ( z ) (88)
z + z0
Można wykazać, że jeżeli podłoże jest jednorodne dla którego z → ∞ , to s = s∞ :
σ
s∞ = 0 ⋅ z0
E0
czyli odpowiada podłożu jednorodnemu.Ostatecznie dla analizowanej warstwy gruntu,
której podłoże pod płytą określają współrzędne z = h1 oraz z = h2 (rys. 11), otrzymuje
się:
σ
h1
(89)
s1 = o ⋅ z02 ⋅
E02
z02 + h1
natomiast:
σ
h2
s ( 2) = s2 − s1
;
(90)
s2 = o ⋅ z02 ⋅
E02
z02 + h2
W ten sposób otrzymuje się osiadanie kolejnej warstwy:
s ( 2) =


z02 ( h2 − h1 )
⋅ z02 

E02
 ( z02 + h1 ) ( z02 + h2 ) 
σ0
(91)
Jeżeli warstwa, dla której oblicza się osiadanie, zalega od współrzędnej z=0 do z=h1, to:
s( ) =
1
σo
E01
⋅ z01 ⋅
h1
z01 + h1
(92)
Dla warstwy, która zalega poniżej h2 (warstwa trzecia) odpowiednio:
s ( 3) =
 z
h2 
⋅ z03 
−

E03
 z + z03 z03 + h2 
σ0
(93)
24
stąd z → ∞
σ
z03
3
s ( ) = o ⋅ z03 ⋅
E03
z03 + h2
(94)
Przedstawione wzory od (89) do (94) przedstawiają profil gruntowy, który
składa się z trzech warstw. Schematycznie sytuację taką pokazuje rysunek
11.Ostatecznie osiadanie całkowite wynosi:
s = s( ) + s( ) + s(
1
2
3)
(95)
W przypadku, gdy rozpatruje się tylko dwie warstwy o parametrach gruntowych
E01 ; E 02 ; z01 ; z02 , to dla pierwszej o wartości miąższości h1 (np. poduszka żwirowa pod
płytą) otrzymuje się:
s( ) =
1
oraz
s( ) =
3
σo
E02
σo
E01
⋅ z02 ⋅
⋅ z01 ⋅
h1
z01 + h1
z02
z02 + h1
(96)
(97)
5.2.3. Osiadanie stopy fundamentowej na podłożu uwarstwionym
Dla stopy fundamentowej posadowionej na podłożu uwarstwionym przyjmuje się
zasadę podobną, jak dla płyty dużej, dlatego wprowadza się taką samą funkcję wpływu:
s(z) =
σ 0 D ⋅ z0
⋅
E0 D + z 0
⋅
z
z0 + z
(98)
Rys. 12. Osiadanie stopy fundamentowej na podłożu uwarstwionym
składającym się z trzech warstw
25
Na rysunku 12 pokazano schemat ułożenia warstw gruntu przy obliczaniu
osiadania, kiedy w podłożu zalegają trzy warstwy gruntu.Otrzymuje się następujące
zależności:
σ D ⋅ z01
h1
1
(99)
s( ) = o ⋅
⋅
E01 D + z01 z01 + h1
s (2) =
σ0
⋅
E02

z02 ⋅ ( h2 − h1 )
D ⋅ z02 


D + z02  ( z02 + h1 ) ( z02 + h2 ) 
σo
s( ) =
3
E03
⋅
(100)
D ⋅ z03
z03
⋅
D + z03 z03 + h2
(101)
s = s( ) + s( ) + s(
1
2
3)
(102)
Odpowiednio dla podłoża składającego się tylko z dwóch warstw gruntu o parametrach:
E0 ; z01 ; E02 ; z02 ; h .
Otrzymuje się:
s( ) =
1
oraz
s( ) =
3
σo
E02
⋅
D ⋅ z02
z
⋅ 02
D + z02 h1 + z02
σo
E01
⋅
D ⋅ z01
h1
⋅
D + z01 z01 + h1
(103)
(104)
s = s ( ) + s(
1
3)
(105)
Obliczone osiadania dają wartości większe, bo nie uwzględniają zanikania
naprężeń w głąb pod stopą fundamentową. Można uwzględnić zanikania naprężeń pod
fundamentem stopowym, biorąc np. rozwiązanie Boussinesqa dla stopy kołowej i wtedy:

σ z ( z ) = σ 0 1 −



 (106)
2
2 3/ 2 
(z + r ) 
z3
gdzie: r – jest promieniem stopy kołowej.
Wtedy odpowiednie wzory poprzez uwzględnienie zmiennych naprężeń, będą miały
postać:
σ D ⋅ z01
h1
1
(107)
s( ) = o ⋅
⋅
E01 D + z01 z01 + h1
s( ) =
2
σ z ( h1 ) D ⋅ z02
′
E02
⋅
′
D + z02
⋅
′ ⋅ ( h2 − h1 )
z02
( z02′ + h1 ) ( z02′ + h2 )
(108)
26
σ 2 ( h1 )
γ

α2
′ =
z02
 E
ln  02 
 σ 2 ( h1 ) 
⋅
σ z ( h ) D ⋅ z03
′
s( ) =
3
⋅
2
E03
′
D + z03
gdzie:
 E03
ln 

 σ 2 ( h2 ) 
s = s( ) + s( ) + s(
1
′
z03
′
h2 + z03
σ 2 ( h2 )
γ

α3
′ =
z03
⋅
(109)
2
⋅
(110)
(111)
3)
Odpowiednio dla podłoża zbudowanego z dwóch warstw:
σo
s( ) =
1
E01
s( ) =
2
⋅
D ⋅ z01
h1
⋅
D + z01 z01 + h1
σ z ( h1 ) D ⋅ z02
′
E02
gdzie:
′ =
z02
α2
⋅
′
D + z02
1
′
z02
′ + h1
z02
σ 2 ( h1 )
γ

 E
ln  02 
 σ 2 ( h1 ) 
s = s ( ) + s(
⋅
⋅
(112)
(113)
(114)
2)
Natomiast parametr α został opisany w rozdziale 4.2. wzór (57) oraz w rozdziale 5.4.
wzór (129).
27
Rys. 13. Osiadanie stopy fundamentowej posadowionej na podłożu uwarstwionym
Stosowanie wzorów od (99) do (102) - choć formalnie wydaje się być bardziej
poprawne - nie musi oznaczać uzyskania większej dokładności obliczeń w porównaniu
do osiadania obserwowanego na obiektach w naturze. Spowodowane to jest przyjęciem
funkcji wpływu s(z) dla stóp fundamentowych, takiej samej jak dla dużych płyt. Zakłada
się więc wolniejsze zanikanie naprężeń,a stąd w wyniku obliczeń uzyskanie większych
wartości osiadań. Porównując wyniki obliczeń otrzymuje się wartości osiadań
znajdujące się po bezpiecznej stronie.
5.3. Obliczanie współczynnika podatności podłoża
5.3.1. Podstawowe zależności
W praktycznych obliczeniach inżynierskich wprowadza się często rozwiązania
otrzymane dla płyt ciągłych na sprężystym podłożu [3,6,11,21,22,23,29 ]. Rozwiązania
takie zwykle zakładają liniową zależność pomiędzy obciążeniem a osiadaniem.
σ = s⋅k
(115)
gdzie : k – jest współczynnikiem podatności podłoża [MN/m3].
Dla dużej płyty zależność (115) można otrzymać z równania osiadania dużej płyty (59).
Po przekształceniu otrzymuje się:
s
σ = E0 ⋅ (116)
z0
stąd
E
(117)
k= 0
z0
a po podstawieniu za z0 odpowiedniej wartości wzór (60) otrzymuje się:
E 
ln  0 
σ E
k =   ⋅ 0 ⋅γ
α
σ
(118)
Przykładowe wartości współczynnika k dla podłoża jednorodnego podano w tab.6.
28
Współczynnik podatności podłoża k s  MN / m 3 
σ [kPa]
Tablica 6
100
150
200
250
300
5
2,4
1,45
1,02
0,78
0,63
10
15
20
25
30
35
5,5
9,1
13,0
17,1
21,3
25,7
3,4
5,6
7,9
10,4
13,0
15,7
2,4
3,9
5,6
7,3
9,2
11,0
1,82
3,0
4,2
5,6
7,0
8,4
1,45
2,4
3,4
4,5
5,6
6,7
40
30,3
18,4
13,0
9,9
7,9
E0 [MPa]
Z zależności (118) wynika od razu wniosek, że współczynnik podatności podłoża
w praktyce jest funkcją obciążenia σ . Dla dużych obciążeń współczynnik ten jest
mniejszy, dla małych większy. Oznacza to, że rozwiązanie którym jest rozkład naprężeń i
osiadań gruntu pod płytą, uzyskuje się metodą kolejnych aproksymacji zaczynając
odk=const , a następnie po każdej serii zmniejszając k stosownie do uzyskanych
naprężeń.W podobny sposób można wyprowadzić wzór na współczynnik podatności
podłoża uwarstwionego. Dla podłoża zbudowanego z dwóch warstw otrzymuje się:
k=
1
z01
z
z
h1
⋅
+ 02 ⋅ 02
E01 z01 + h1 E02 z02 + h1
(119)
w przypadku trzech warstw:
k=
1
z02 ( h2 − h1 )
z01
z
z
z03
h1
⋅
+ 02 ⋅
+ 03 ⋅
E01 z01 + h1 E02 ( z02 + h2 ) ( z02 + h1 ) E03 z03 + h1 + h2
(120)
5.3.2. Przykłady obliczeniowe
5.3.2.1. Osiadanie dużej płyty na podłożu jednorodnym
Do obliczania osiadania dużej płyty na podłożu jednorodnym przyjęto dwa rodzaje
podłoża:
– glina : E0 = 15 MPa; α = 0,45;
oraz
– piaski: E0 = 30 MPa; α = 0,90;
Obliczenia wykonano dla dwóch obciążeń: σ =150 kPa oraz σ =200 kPa. Przyjęto γ =18
kN/m3 osiadanie płyty na glinach [wzór (60) oraz (117)]:
29
z0 (150kPa ) =
0, 45
150
⋅
= 0,81 m ;
 15000  18
ln 

 150 
s=
150
⋅ 0,81m = 8,14 mm ;
15000
z0 ( 200kPa ) =
0, 45
200
⋅
= 1,16 m ;
 15000  18
ln 

 200 
s=
200
⋅1,16m = 15, 44 mm ;
15000
Osiadanie płyty na piaskach:
z0 (150kPa ) =
0, 90
150
⋅
= 1, 42 m ;
 30000  18
ln 

 150 
s=
200
⋅1, 42 m = 7,10 mm
30000
z0 ( 200kPa ) =
0, 90
150
⋅
= 2, 0m ;
 30000  18
ln 

 150 
s=
200
⋅ 2, 0 m = 13,31 mm
30000
Następnie można obliczyć współczynnik podatności podłoża zbudowanego z gliny i z
piasków. Dla podłoża zbudowanego z gliny:
– dla σ = 150 kPa ;
– dla σ = 200 kPa ;
k=
k=
15000
= 22,2 MN/m3 ;
0,81
15000
= 13,0 MN/m3 ;
1,16
Dla podłoża zbudowanego z piasków:
– dla σ = 150 kPa ;
k=
30000
= 21,1 MN/m3 ;
1, 42
– dla σ = 200 kPa ;
k=
30000
= 15,0 MN/m3 ;
2, 0
5.3.2.2. Osiadanie dużej płyty na podłożu uwarstwionym
Do obliczeń przyjęto następujące podłoże:
– poduszka żwirowa pod płytą: h1 = 1,0 m ;
– warstwa gliny pod poduszką żwirową:
E01 = 80 MPa ; α = 1,0
E02 = 15 MPa ; α = 0,45
Do obliczeń przyjęto dwa obciążenia: σ = 150 kPa oraz σ = 200 kPa . Obliczenie
osiadania płyty dla σ = 150 kPa dla gruntu gliniastego, z0 obliczone ze wzoru (60):
30
z01 =
1, 0
150
⋅
= 1,33 m
 80000  18
ln 

 150 
z02 =
;
0, 45
150
⋅
= 0,81 m
 15000  18
ln 

 150 
1, 0
0,81
0,81 
 1, 33
s=
⋅
+
⋅
 ⋅150 m = 4, 70 mm
 80000 1, 33 + 1, 0 15000 0,81 + 1, 0 
Obliczenie osiadania płyty dla σ = 200 kPa dla gruntu gliniastego:
z01 =
1, 0
200
⋅
= 1,85 m
 80000  18
ln 

 200 
;
z02 =
0, 45
200
⋅
= 1,16 m
 15000  18
ln 

 200 
1, 0
1,16
1,16 
 1,85
s=
⋅
+
⋅
 ⋅ 200 m = 9, 93 mm
 80000 1,85 + 1, 0 15000 1,16 + 1, 0 
Obliczenie osiadania płyty dla podłoża piaszczystego dla σ = 150 kPa; E02 = 30 000 kPa;
α = 0,9:
0, 9
150
⋅
= 1, 42 m ;
 30000  18
ln 

 150 
z01 = 1,33
(tak jak poprzednio dla poduszki żwirowej)
z02 =
1, 0
1, 42
1, 42 
 1, 33
s=
⋅
+
⋅
 ⋅150 m = 5, 24 mm
 80000 1, 33 + 1, 0 30000 1, 42 + 1, 0 
Obliczenie osiadania płyty dla podłoża piaszczystego dla σ = 200 kPa; E02 = 150 MPa ;
α = 0,45:
z01 = 1,33 m
oraz
0,9
200
⋅
= 2, 00 m ;
 30000  18
ln 

 200 
wtedy:
1, 0
2, 00
2, 00 
 1,33
s=
⋅
+
⋅
 ⋅ 200 m = 9, 46 mm
 80000 1,33 + 1, 0 30000 2,32 + 1, 0 
z02 =
Z obliczeń wynika, że osiadanie w obu przypadkach jest podobne. Można też obliczyć
współczynniki podatności podłoża. Dla poduszki żwirowej na glinach:
– dla σ 0 = 150 kPa ;
– dla σ 0 = 200 kPa ;
Dla poduszki żwirowej na piaskach mamy:
31
ks =
σ
= 32 MN/m3 ;
s
k s = 20 MN/m3 ;
– dla σ 0 = 150 kPa ;
– dla σ 0 = 200 kPa ;
k s = 28 MN/m3 ;
k s = 20 MN/m3 ;
Wpływ poduszki żwirowej można ocenić porównując osiadanie dla tych samych
obciążeń na tym samym podłożu z poduszką żwirową i bez poduszki. Osiadanie zmienia
się znacząco szczególnie dla podłoża gliniastego. Duże różnice występują również w
osiadaniu dla podłoża piaszczystego. Zmiany te przekładają się od razu na zmianę
współczynników podatności podłoża.Można przeanalizować wpływ poduszki żwirowej
pod dużą płytą dla różnych obciążeń płyty. Do obliczeń przyjęto tak, jak w poprzednio
następujące dane gruntowe:
– dla warstwy żwiru: E01 = 80 MPa ; α1 = 1,0 ; h1 = 1,0 m ; γ = 18 kN/m3;
– dla gruntu rodzimego: E02 = 15 MPa ; α 2 = 0,5;
ogólny wzór z którego oblicza się osiadanie ma postać , wzór (92) i (94):
s=
σ o ⋅ z01
E01
⋅
h1
σ ⋅z
z
+ 0 02 ⋅ 02
z01 + h1
E02 z02 + h1
(121)
Wyniki obliczeń przedstawiono w tab.7, gdzie zawarto również kolumnę s∞ , która
oznacza osiadanie płyty na gruncie rodzimym, gdy warstwa gruntu rodzimego sięga od
0do ∞. W tablicy podano też współczynnik podatności podłoża dla dwóch warstw
gruntu k oraz dla podłoża rodzimego k∞ .
Wartość współczynnika podatności podłoża k  MN m3  Tablica 7
[
]
[
σ 0 [kPa]
z 01 [m]
z 02 [m]
s [mm]
s∞[mm]
k MN m3
50
0,38
0,24
0,33
0,81
150
36,21
100
0,83
0,55
1,85
3,71
54
27,3
150
1,33
0,91
5,37
9,05
28
16,6
200
1,85
1,30
11,28
17,22
17,3
11,6
250
2,41
1,70
20,00
28,31
12,5
8,8
300
3,00
2,13
31,80
42,63
9,4
7,0
350
3,58
2,60
47,00
60,34
7,4
5,8
400
4,20
3,07
65,71
81,73
6,1
4,9
k∞
MN
m3
]
Osiadanie obliczone dla przypadku, gdy wykonano poduszkę żwirową oraz
osiadanie płyty na podłożu rodzimym pokazano na rys. 13. Z rysunku tego widać, że w
wyniku obciążenia od 100 kPa do 200 kPa poduszka wywołuje redukcję osiadania nawet
o połowę.Dla większych obciążeń płyty redukcja osiadania jest stała i wynosi około 10
mm.
32
5.4. Osiadanie płyty fundamentowej na podłożu uwarstwionym –metoda
alternatywna
Przedstawiona w poprzednim rozdziale metoda obliczania osiadania na podłożu
uwarstwionym opiera się na założeniu, że osiadanie warstwy gruntu położonej na
głębokości z1 -z2może być wyrażona wzorem:
z2
s = s∞ ⋅ F ( z; z1 ; z2 ) (122)
z1
Przy czym w praktycznych obliczeniach wygodnie jest wprowadzić funkcję F(z) jako:
z2
s = f ( z ) = s∞ ⋅ F ( z ) (123)
z1
i wtedy:
σ D ⋅ z0
(124)
s∞ =
⋅
E0 z0 + D
lub gdy wymiar średnicy płyty: D → ∞
σ
(125)
s∞ =
⋅D
E0
a ponadto:
z0 =
α
σ
E  γ
ln  0 
σ 
⋅
(126)
oraz
F ( z) =
z
z0 + z
(127)
Praktyczne stosowanie tej metody (aczkolwiek proste w obliczeniach) wskazuje
na potrzebę jej uściślenia. Wynika to głównie z faktu, że funkcja wpływu nie zależy od
rodzaju gruntu. Rodzaj gruntu w danej warstwie jest reprezentowany jedynie przez E0
oraz z0 , natomiast funkcja F(z) dla tej warstwy nie zawiera parametru gruntowego.
Obliczenie porównawcze wykonane dla badań płytą statyczną wskazuje, iż
funkcja F(z) powinna mieć wartości większe dla gruntów lepszych (sypkich) oraz
mniejsze dla gruntów słabych.
Rys. 14. Płyta fundamentowa na podłożu uwarstwionym
33
Analiza ta prowadzi do wniosków, że najlepsze wyniki daje zastosowanie funkcji
F(z) typu:
1− tgφ
 z 
F (z) = 

 z + z0 
(128)
gdzie: φ – jest kątem tarcia wewnętrznego gruntu w danej warstwie.
Ponadto okazuje się, że dla celów obliczeń inżynierskich dostateczną dokładność
uzyskuje się dla parametru α stosując wzór:
α=
1
2 ⋅ tgφ
(129)
Do wstępnych obliczeń, jeżeli brak jest badań laboratoryjnych można przyjąć dla
piasków:
E0 = 152 ⋅ tg 2φ [ MPa ]
(130)
Funkcja wpływu F ( z, φ ) spełnia warunki brzegowe tj. :
– dla z → 0 ; F → 0
oraz
– dla z → ∞ ; F → 1
Ogólnie można teraz zapisać wzór na osiadanie warstwy gruntu jednorodnego o
miąższości od z=0 do z, w postaci:
1−tgφ
D ⋅ z0  z 
s = s(z) =
⋅


E0 z + z0  z + z0 
σ
gdzie
z0 =
1
⋅
2 ⋅ tgφ
(131)
1
σ
⋅
E  γ
ln  0 
σ 
(132)
Jeżeli poszukuje się osiadania warstwy gruntu ∆s , która zalega pod fundamentem
na głębokości: z1 – strop; z2 – spąg to otrzymuje się:
σ
D ⋅ z0
∆s = ∆s =
⋅
E0 D + z0
z1
z2
 z 1−tgφ  z 1−tgφ 
2


− 1 

+
z
z
 2 0 

 z1 + z0 
(133)
W ten sposób dodając do siebie osiadania poszczególnych warstw, otrzymamy
całkowite osiadanie fundamentu.
5.4.1. Analiza modułu ściśliwości uzyskiwanego w edometrze
Praktyczne obliczenia osiadania fundamentów wymagają znajomości modułów
ściśliwości gruntu. Moduły te uzyskuje się albo z badań laboratoryjnych w edometrze
albo z badań statycznych w terenie. W obliczeniach inżynierskich przyjmuje się zwykle
za E0 – edometryczny moduł ściśliwości. Są jednakże państwa, gdzie za E0 przyjmuje się
(3÷4); Eed (Bułgaria); E0 = 2 Eed (Rosja, Turcja). Znajduje to swoje odzwierciedlenie w
34
odpowiednich rekomendacjach. Rodzi się pytanie, czy na podstawie uzyskanych
zależności, które opisuje osiadanie warstwy gruntu pod stopą, można uzyskać opis,
który będzie odpowiedni do ściskania próbki w edometrze. Otrzymuje się wówczas:
1− tgφ
D ⋅ z0  h 
s=
⋅


E0 D + z0  h + z0 
σ
(134)
gdzie, dla edometru:D=70 mm; h=20mm.
Wartości z0 nie zależą od wymiarów edometru, bo:
z0 =
1
⋅
2 ⋅ tgφ
1
σ
⋅
E  γ
ln  0 
σ 
(135)
W poszukiwanych obliczeniach występuje przypadek, gdy z0 >>D ; z0 >>h. Oznacza to,
że wynik można przedstawić jako:
1− tgφ
h
s=
⋅D 
E0
 z0 
σ
(136)
Zwykle moduł edometryczny przedstawia się jako s =
1−tgφ
1
D 1 h
= ⋅  
Eed h E0  z0 
σ
Eed
⋅ h , stąd:
1− tgφ
;
z 
E0 = Eed ⋅ h  0 
h
(137)
Dla piasków oznacza to, że:
E0 = 2 ⋅ Eed
5.4.2.Obliczanie granicy strefyaktywnej w gruncie pod płytą, dla której
osiadanie wynosi 90% osiadania docelowego
Podstawowy wzór na obliczanie osiadania fundamentu płytowego (dużego) ma postać:
s = s∞ ⋅ F ( z )
gdzie:
1− tgφ
 z 
;
(138)
s∞ = ⋅ z0
F (z) = 

z0
 z + z0 
Dla z → ∞ F ( z ) = 1 oraz s = s∞ . Szukana jest taka głębokość z = z∗ , aby spełnić
σ
warunek s ( z∗ ) = 0,9 s∗ . Oznacza to, że musi być spełnione równanie:
1−tgφ
 z∗ 


 z∗ + z0 
a stąd
= 0,9
(139)
35
1
z∗ = z0 ⋅
( 0,9 )
−1
1−tgφ
(140)
−1
Można wykazać, że obliczeniach praktycznych z dużą dokładnością można przyjąć,
następującą zależność gdy 10o < φ < 35o :
1
= 0, 75 ⋅ ( 52 − φ )
(141)
−1
( 0, 9 )
1−tgφ
−1
stąd:
z∗ = z0 ⋅ 0,175 ⋅ ( 52 − φ )
(142)
z drugiej strony znany jest wzór na obliczenia z 0 . Zatem:
1
1
σ
⋅
⋅
z0 =
2 ⋅ tgφ
E  γ
ln  0 
σ 
W praktycznych obliczeniach można przyjąć w przybliżeniu:
8
E0 = 152 ⋅ tg 2φ [ MPa]
ln X = ⋅ X 2/ 9
oraz
(144)
5
(143)
Po podstawieniu i wykonaniu przekształceń, otrzymuje się:
z∗ =
0,175 5 52 − φ σ 11/ 9
1
⋅ ⋅
⋅
⋅
13/ 9
2 8 ( tgφ )
γ (152000 ) 22 / 9
(145)
ostatecznie:
52 − φ
σ 11/ 9
z∗ = 0, 00386
⋅
13/ 9
γ
( tgφ )
(146)
W praktycznych obliczeniach człony zawierające stałe oraz kąt tarcia wewnętrznego φ
można przedstawić wzorem wykładniczym:
 13,5 
z∗ = 

 φ 
2,315
⋅
σ 11/ 9
γ
(147)
Przykład obliczeniowy
Dla piasków średnich φ = 23o oraz γ = 18 kN/m3, oraz obciążenia wynoszącego 100 kPa,
to otrzymuje się (wzór 154):
 13,5 
z∗ = 

 23 
2,315
(100)
⋅
11/ 9
18
[ m] = 0, 291⋅15, 46 m = 4,5 m
Dla glin φ = 14o , wtedy dla tego samego obciążenia z∗ = 14, 21 . Można też dla glin obliczyć
E0 = 152 ⋅ tg14o = 10 MPa ,wówczas z 0 (wzór 60):
z0 =
1
⋅
2 ⋅ tgφ
1
100
⋅
= 2, 42 m
 10000  18
ln 

 100 
36
a stąd
100
s∞ =
⋅ 2, 42 mm = 24, 2 mm
10
natomiast
1−tg 14o
 14, 2

s ( z∗ ) = 2, 42 ⋅ 

 14, 2 + 2, 42 
= 2, 42 ⋅ 0,89 = 21, 5 mm
Człon mnożący 0,89 świadczy, że popełniono bardzo mały błąd, bo z założenia miał być
on równy 0,90.
5.4.3. Wpływ poduszki żwirowej pod płytą na osiadanie w oparciu o metodę
alternatywną
Kolejnym problemem jest wpływ poduszki żwirowej (podsypki) pod płytą na
osiadanie, a tym samym na współczynnik podatności podłoża k s . Schematycznie
sytuację tę pokazano na rys.15.
Rys. 15. Schemat podłoża uwarstwionego
1) Dla przypadku, kiedy nie ma poduszki piaskowej, a w podłożu występuje jedynie
grunt rodzimy ( E02 ;φ2 ) osiadanie wynosi:
s1 =
σ
E02
⋅ z02
(148)
2) Dla przypadku kiedy występuje poduszka piaskowa o grubości h:
  h 1−tgφ2 

⋅ z01 ⋅ F ( z01 , h ) +
⋅ z02 1 − 
s2 =

E01
E02
  z02 + h 

σ
σ
(149)
Wpływ poduszki żwirowej na zmniejszenie osiadania wynosi:
1− tgφ2
 h 
∆s = s1 − s2 =
z02 

E02
 z02 + h 
σ
1− tgφ1
 h 
−
⋅ z01 ⋅ 

E01
 z01 + h 
σ
37
(150)
Zmniejszanie osiadania wynika z mniejszego osiadania poduszki piaskowej o grubości h
na powierzchni gruntu.
Przykład obliczeniowy:
Dlah= 1m; γ = 18 kN/m3; φ1 = 32o ; φ 2 = 24 o ; przyjęto σ =200 kPa. Obliczenia przebiegają
w następujący sposób:
E01 = 152 ⋅ tg 2 ( 32o ) = 60 MPa
z01 =
s1 =
1
⋅
2 ⋅ tg 32o
E02 = 152 ⋅ tg 2 ( 32o ) = 30 MPa
1
200
1
1
200
⋅
= 1, 56 m ; z02 =
⋅
⋅
= 2, 49 m
o
2 ⋅ tg 24
 60000  18
 30000  18
ln 
ln 


 200 
 200 
200
⋅ 2, 49 = 16, 6 mm
30
1− tg 24o
200
 1 
2, 49 ⋅ 
∆s =

30
 2, 49 + 1 
1−tg 32o
200
 1 
−
⋅1, 56 

60
 1, 56 + 1 
= 8,3 − 3, 7 = 4, 6 mm
Ostatecznie z wykorzystaniem poduszki osiadanie jest o 4,6mm mniejsze niż
bezpośrednie posadowienie na podłożu rodzimym. s2 = s1 = ∆s = 12mm . Oznacza to
osiadanie mniejsze o około 25%. Współczynniki podatności podłoża
odpowiednio:
σ
200 kN
k s1 = =
⋅ 3 = 12 MN / m3
s1 0, 0166 m
ks 2 =
σ
s2
=
wynoszą
200 kN
⋅ 3 = 16, 6 MN / m3
0, 012 m
Oznacza to, że poduszka żwirowa daje wzrost współczynnika podatności podłoża
o około40%. Kolejnym problemem jest interpretacja wyników badań płyty statycznej
VSS. Płytę statyczną chętnie stosuje się, po to aby obliczyć moduł ściśliwości podłoża E0 .
Dla warunków podłoża jednorodnego:
s=
σ
E0
gdzie
⋅
D ⋅ z0
D + z0
z0 =
1
1
σ
⋅
⋅
2tgφ
E  γ
ln 0 
σ 
(151)
Ponieważ znany jest jedynie rodzaj gruntu, można oczekiwać parametrów
gruntowych w pewnym zakresie wartości. Powyższe równanie można rozwiązać w
sposób ścisły, jedynie przy jednej niewiadomej, którą może być E0 . Metodą
najmniejszych kwadratów odchyłek, dobiera się ( E0 j )optwg zasady:
38

σi

E0
δ 2 = ∑  si −
⋅
D ⋅ z ( E0 ) 
 = min
D + z0 ( E0 ) 
(152)
co daje:
E0 = ( Eoj ) opt
Zapis ten ilustruje wykres na rys. 15.
Rys.16. Wykres optymalizacji parametru E0
Ponieważ nie znana jest dokładniejsza wartość kąta tarcia wewnętrznego φ ,
dlatego powinno się wykonać obliczenia np. dla 3 lub 4 kątów tarcia wewnętrznego (rys.
16). Otrzymuje się wówczas wykres pokazany na rys. 17:
Rys. 17. Optymalizacja parametru E0 z uwzględnieniem zmian
kąta tarcia wewnętrznego φ
Można też wyrównać wyniki analizy E0 opt zakładając zmianę kąta φ (rys. 18):
39
Rys. 18. Optymalizacja kąta tarcia wewnętrznego
Mając φopt można wrócić do obliczenia ( E0 j )opt. Jeżeli znajdzie się na drodze
analizy statystycznej przeprowadzonej w oparciu o pomierzone płytą statyczną zbiory
{σ i ; si } , parametry φ oraz E0 można wrócić do współczynnika podatności podłoża.
Otrzymuje się wówczas:
 D + z0 
σ
ks = = E0 

s
 D ⋅ z0 
(153)
Widać wyraźnie, że w ogólnym przypadku współczynnik podatności podłoża k s
zależy od rodzaju podłoża φ oraz E0 , a ponadto od średnicy płyty D oraz od obciążania
przyłożonego na grunt σ .
Przykład obliczeniowy
Zakłada się, że na podstawie badania gruntu płytą statyczną otrzymano φ = 18o oraz
E 0 = 15MPa. Oblicza się k s (wzór 152) zakładając, że D = 5m, D = 15m, D = ∞ , σ =
150kPa, σ =200kPa, σ = 250 kPa. Wyniki obliczeń przedstawiono w tab.8.
Współczynniki podatności podłożaks[MN/m3]Tablica 8
σ [kPa]
D [m]
5
15
∞
z 0 [m]
150
200
250
8,4
6,4
5,4
2,78
6,78
4,78
3,78
3,96
5,87
3,87
2,87
5,22
Z tab. 8 widać, że wartość współczynnika podatności podłoża zmienia się w znacznym
zakresie zależnie od wymiarów płyty fundamentowej oraz obciążenia. Zmiany te
uwzględnia parametr z 0 we wzorze (189).
40
Kolejny przykład obliczeniowy to interpretacja wyników badania płytą statyczną
VSS podłoża uwarstwionego np. w warunkach kiedy na powierzchni dokonano wymiany
gruntu na poduszkę żwirową. Zakładając się, że grubość poduszki żwirowej wynosi h ,
poszukiwane są parametry poduszki piaskowej φ1 oraz E01 . Zakłada się, że badanie
gruntu rodzimego wykonano wcześniej w wyniku którego otrzymano φ2 oraz E02 .
Wzór na obliczenie osiadania fundamentu (płyty statycznej VSS) ma postać:
∆s = s1 − s2
σ D ⋅ z02
s1 =
⋅
E02 D + z02
(154)
(155)
1−tgφ2
D ⋅ z02  h 
∆s =
⋅


E02 D + z02  z02 + h 
σ
1−tgφ1
D ⋅ z01  h 
−
⋅


E01 D + z01  z01 + h 
σ
(156)
Wielkościami poszukiwanymi są φ1 oraz E01 dlatego do analizy statystycznej
wygodnie jest przyjąć:
D ⋅ z02   h  
Yi = si −
⋅
1 − 

E02 D + z02   z02 + h  
σi
1−tgφ2
(157)
1− tgφ1
D ⋅ z01  h 
Y (σ ) =
⋅


E01 D + z01  z01 + h 
σi
(158)
Optymalizację przeprowadza się podobnie jak poprzednio:
δ 2 = ∑ Yi − Y (σ i )  = min → ( E0 ) opt.
2
(159)
Jeżeli nie znane jest φ2 zasypki (poduszki) to można ten parametr oszacować
zmieniając w optymalizacji φ2 kilkakrotnie i szukając δ 2 min. W następnym rozdziale
przedstawiono sposób graficzny rozwiązania tego problemu.
ROZDZIAŁ 6. INTERPRETACJA WYNIKÓW TESTÓW STATYCZNYCH PŁYTĄ VSS
W PRZYPADKUPODŁOŻA UWARSTWIONEGO
6.1. Zastosowanie modelu podstawowego
Do badania modułu ściśliwości podłoża chętnie wykorzystywana jest płyta
statyczna VSS. Dla warunków podłoża jednorodnego zależności: obciążenie stopyosiadanie przedstawia wzór (133 ). Dla warunków podłoża uwarstwionego, kiedy
występują dwie warstwy np. warstwa górna w postaci zasypki żwirowej o określonej
miąższości h oraz warstwa dolna grunt rodzimy relacja obciążenie stopy-osiadanie
(134) do (137). Mamy:
s=
σ o D ⋅ z01
E01 ( z01 + D )
⋅
σ 0 D ⋅ z02
z
h1
+
⋅ 02
h + z01 E02 ( z02 + D ) z02 + h
41
(160)
gdzie: D –oznacza średnią płyty VSS;
E01 –moduł ściśliwości warstwy górnej;
E02 –
moduł ściśliwości warstwy dolnej.
Zwykle przedmiotem zainteresowania jest moduł ściśliwości warstwy dolnej
(rodzimej), aby można było w miarę dokładnie ocenić osiadanie fundamentu.
Przeprowadza się obliczenie osiadania przy badaniu statycznym płytą VSS dla dwóch
zadanych obciążeń, którym odpowiadają pomierzone osiadania. Zakłada się, że
parametry górnej warstwy gruntu wynoszą: E01 = 80 MPa ; α1 = 1,0 ; h1 = 1,0 m i γ = 18
kN/m3; obliczanie osiadania przeprowadza się dla σ = 100kPa oraz σ =200kPa.
Występujące we wzorach (138, 139, 140) wielkości z01 oraz z02 opisane są
zależnościami:
α1
σ
α2
σ
oraz
(161)
⋅
z02 =
 E01  γ
 E02  γ
ln 
ln 


 σ 
 σ 
Obliczenia przeprowadzono dla zmieniających się E02 oraz α 2 . Wyniki obliczeń
dla σ = 100kPa oraz σ =200kPa przedstawiono w tab. 9 i w tab. 10.
z01 =
⋅
Osiadanie s [ mm ] dla σ = 100 kPa Tablica 9
E02 [MPa]
15
20
25
30
35
0,41
0,513
0,61
0,71
0,78
0,85
0,34
0,41
0,48
0,54
0,60
0,66
0,29
0,35
0,40
0,45
0,50
0,54
0,26
0,31
0,35
0,40
0,43
0,47
0,26
0,28
0,31
0,35
0,38
0,42
α2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Osiadanie s [ mm ] dla σ = 200 kPa
E02 [MPa]
Tablica 10
15
20
25
30
35
0,3
1,48
1,11
0,91
0,78
0,68
0,4
0,5
1,80
2,06
1,36
1,55
1,10
1,25
0,93
1,06
0,81
0,92
0,6
0,7
0,8
2,37
2,43
2,58
1,70
1,84
1,94
1,37
1,47
1,57
1,16
1,25
1,32
1,01
1,10
1,14
α2
42
Można teraz przedstawić na wykresie dwie krzywe s = s (σ 1 ) oraz s = s (σ 2 ) ale w
postaci uwikłanej. Zakłada się, że pomierzone s (σ 1 ) = s1 , natomiast pomierzone
s (σ 2 ) = s2 . Krzywe te przedstawiamy w układzie współrzędnych: E02 oraz α 2 .
Zakłada się następnie, że pomierzone s1 dla σ 1 = 100kPa w obciążeniach płytą
statyczną VSS wynosi s1 = 0,4 mm, natomiast dla σ 2 = 200 kPa pomierzone s2 = 1,25
mm. Na podstawie tab. 9 oraz tab. 10 można sporządzić wykresy przedstawione na
rysunku 19.
Rys. 19. Wykres s1 = s1 (α 2 ; E02 ) oraz s2 = s2 (α 2 ; E02 )
Z rys.19 wynika, że dla α 2 = 0,5 oraz E02 = 25MPa obie krzywe mają punkt wspólny,
wobec tego można przyjąć, że dla gruntu rodzimego parametry wyniosą α 2 = 0,5 oraz
E02 = 25MPa. Można ponadto stwierdzić, że współczynniki podatności podłoża (dla
podłoża uwarstwionego) w przeliczeniu na dużą płytę dla obciążenia σ 1 i σ 2 wyniosą
(wzór 103, 104, 105):
σ
σ
z
h
s = o ⋅ z01 ⋅
+ 0 ⋅ z02 ⋅ 02
E01
z01 + h E02
z02 + h
Po podstawieniu do tych wzorów otrzymuje się dla: σ 1 = 100 MPa; E01 = 80 MPa ; α1 =
1,0 ; E02 = 25 MPa ; α 2 = 0,5 ; h =1,0 m.
z01 =
1, 0
100
⋅
m = 0,83 m
 80000  18
ln 

 100 
;
z02 =
0,5
100
⋅
m = 0,5 m
 15000  18
ln 

 100 
43
0, 5   m 
 0,83 1, 0 0,5
s = σ1 
⋅
+
⋅


 80 1,83 25 1, 0 + 0,5   MPa 
ks =
σ1
stąd
s
dla σ 1 = 200 MPa
z01 =
k = 81 MN / m 3
1, 0
200
⋅
m = 1,85 m
 80000  18
ln 

 200 
;
z02 =
0, 5
200
⋅
m = 1,15 m
 25000  18
ln 

 200 
0,5 1,15   m 
1,85 1, 0
s = σ2 
⋅
+
⋅


 80 1 + 1,85 25 1 + 1,15   MPa 
ks =
σ2
stąd
k = 53 MN / m3
s
Gdyby nie wykonano poduszki żwirowej, a płyta byłaby posadowiona na gruncie
rodzimym, to osiadanie wynosiłoby dla σ 1 = 100 MPa
0,5
100
⋅
m = 0,5 m
 25000  18
ln 

 100 
σ
100
s = 1 ⋅ z0 =
⋅ 0,50 = 2, 0 mm
E02
25
z0 =
natomiast współczynnik podatności podłoża k wynosiłby:
100
MN / m3 = 50 MN / m3
200
Dla obciążenia σ 2 =200 MPa otrzymuje się odpowiednio osiadanie dużej płyty
0, 5
200
z0 =
⋅
m = 1,15 m
 25000  18
ln 

 200 
σ
200
s = 2 ⋅ z01 =
⋅1,15 = 9, 2 mm
E02
25
wtedy stała podatności podłoża wynosiłaby:
k=
k=
E
200
25000
= 02 =
= 21, 7 MN / m3
9, 2mm z01
1,15
Z powyższego przykładu widać wyraźnie, że poduszka żwirowa pod płytą znacząco
usztywnia podłoże poprzez wzrost współczynnika podatności podłoża. Wyniki obliczeń
przedstawiono w tab. 11.
Współczynniki podatności podłoża k =  MN / m 3 
44
Tablica 11
k =  MN / m 3 
σ [kPa]
Bez poduszki żwirowej
Z poduszką żwirową
k =  MN / m 3 
k =  MN / m 3 
50,0
22,0
81,0
53,0
100
200
Przedstawiony przykład wskazuje, że wykorzystanie płyty statycznej VSS do
określenia modułu ściśliwości podłoża (gruntu rodzimego), który zalega poniżej
poduszki żwirowej (badanie przez poduszkę żwirową) wymaga długiej procedury
obliczeniowej. W obliczeniach inżynierskich jeżeli poszukuje się wartości E 0 z pewną
dokładnością np. 5% , to wówczas można się posłużyć przybliżoną postacią wzoru
(169). Jeżeli zna się parametry poduszki żwirowej to wówczas można napisać:
z01
( z02 )
s
−
=I=
σ 0 D E01 ( D + z01 )
E02 ( z02 + D )( z02 + h )
2
(162)
wówczas:
( z02 )
1
E02 = ⋅
I ( z02 + D )( z02 + h )
2
(163)
gdzie: z02 – przedstawione jest wzór
z02 =
α2
σ
E  γ
ln  02 
 σ 
⋅
E 
natomiast I jest dodatkową znaną wielkością. Ponieważ funkcja ln  02  zmienia się
 σ 
bardzo wolno ze zmienną E02 , dlatego równanie (169) można rozwiązać metodą
kolejnych iteracji. W rozpatrywanym przykładzie dla σ = σ 1 =100kPa; s1 = 0,4 mm oraz
E01 = 80 MPa ; α1 = 1,0 ; D =0,3 m ; γ = 18 kN/m3:
1, 0
100
z01 =
⋅
m = 0,83 m
 80000  18
ln 

 100 
Po podstawieniu otrzymuje się:
0, 4mm
0,83m
 1 
−
I=
100kPa ⋅ 300mm 80000kPa ( 0,3 + 0,83) m  kPa 
I = 4,1 ⋅10 −6
1
kPa
lub
1
= 242 MPa
I
stąd:
( z02 )
E02 = 242
( z02 + D )( z02 + h )
2
(1)
= 50 MPa co daje z02 =
Do pierwszej iteracji przyjmuje się E02
45
0,5
100
⋅
= 0, 45 m
 50000  18
ln 

 100 
( 0, 45)
= 242
= 40 MPa ;
( 0, 3 + 0, 45) ( 0, 45 + 1, 0 )
2
( 2)
E02
0,5
100
⋅
= 0, 45 m
 50000  18
ln 

 100 
Rozwiązanie jest bardzo czułe na dokładność osiadania. Jeżeli przykładowo s1 = 4,8 mm,
( 2)
z02
=
to wówczas:
0, 48mm
0,83m
1
1
−
⋅
=
I=
100kPa ⋅ 300mm 80000kPa ( 0,3 + 0,83) m 146 MPa
wtedy
z02 =
0,5
100
⋅
= 0, 44 m
 50000  18
ln 

 100 
( 0, 44 )
= 146
= 27 MPa
( 0, 3 + 0, 44 ) ( 0, 44 + 1, 0 )
2
( 2)
E02
Przedstawiając powyższy sposób obliczania modułu ściśliwości gruntu pod
poduszką żwirową przy pomocy kolejnych iteracji Autor miał na celu wskazanie, w jaki
sposób dokładność odczytów przy pomiarze osiadania płyty VSS wpływa na wynik
obliczeń. Przykład ten wskazuje, że dokładność ta ma znaczący wpływ i dlatego sposób
ten można stosować w połączeniu ze statystyczną optymalizacją, która eliminuje
przypadkowe błędy pomiarowe.
6.2. Zastosowanie modelu alternatywnego
Badanie płytą statyczną jest bardzo chętnie stosowane do określenia modułu
ściśliwości gruntu, szczególnie jeżeli chodzi o nieduże głębokości. Średnica płyty wynosi
zwykle D =0,3m, ale stosuje się również płyty statyczne o średnicach 0,5m oraz 0,7m.
Zakres obciążeń przekazywanych przez płytę na grunt waha się od 50kPa do
400kPa. Podstawowe równanie, które ustala relacje obciążenie-osiadanie dla płyty na
podłożu jednorodnym ma postać wcześniej wyprowadzoną:
s=
σ
E0
⋅
D ⋅ z0
z0 + D
(164)
gdzie:
1
σ
(165)
⋅
 E0  γ
ln  
σ 
Dla płyty na podłożu uwarstwionym musimy wprowadzić funkcje wpływu F ( z ) .
z0 =
1
⋅
2 ⋅ tgφ
Zakładamy, że mamy dwie warstwy gruntu: wierzchnią (lepszą) np. poduszka piaskowa
46
lub żwirowa oraz głębszą warstwę gruntu rodzimego zwykle słabszą. Schematycznie
taką sytuację przedstawiono na rysunku 20.
Rys. 20. Schemat podłoża uwarstwionego
Osiadanie s wywołane przez nacisk σ płyty na grunt wyniesie : s = s1 + s2 , gdzie:
s1 – jest osiadaniem warstwy (1); s2 – jest osiadaniem warstwy (2). Dla warstwy (1)
można napisać (wzór 148, 149, 150):
1−tgφ1
D ⋅ z01  h1 
s1 =
⋅
⋅

E01 D + z01  h1 + z01 
σo
(166)
Natomiast osiadanie warstwy (2) należy przedstawić jako różnicę:
∞
h2
0
0
s2 = s2 − s2
stąd
1−tgφ

D ⋅ z02   h1 
1 − 

s=
⋅

E02 D + z0   h1 + z02 


otrzymamy:
σ
1−tgφ
D ⋅ z01  h1 
⋅
⋅
s=

E01 D + z01  h1 + z01 
σ
(167)
1−tgφ

D ⋅ z01   h1 

+
⋅
⋅ 1 − 

E01 D + z01   h1 + z0 


σ
(168)
Przykład obliczeniowy
Zakłada się następujące parametry gruntowe:
- dla warstwy (1) φ = 35o; h1 = 1m; γ 1 = γ 2 = 18 kN/m3
- dla warstwy (2) φ = 18o
Zakłada się ponadto średnicę płyty D = 0,3m oraz obciążenie σ = 100kPa. Obliczone
moduły ściśliwości metodą przybliżoną wynoszą:
E01 = 152 ⋅ tg 2 ( 32o ) = 59 MPa ;
z01 =
1
⋅
2 ⋅ tg 32o
47
1
100
⋅
= 0, 7 m
 59000  18
ln 

 100 
E01 = 152 ⋅ tg 2 (18o ) = 16 MPa ;
z02 =
1
⋅
2 ⋅ tg18o
1
100
⋅
= 1, 68 m
 16000  18
ln 

 100 
1−tg 32o
100 0,3 ⋅ 0, 7  1, 0 
s1 =
⋅
59 0, 3 + 0, 7  1, 0 + 0, 7 
= 0, 29 mm
1− tg 18
100 0, 3 ⋅1, 68   1, 0 
1 −
s2 =
⋅
16 0,3 + 1, 68   1, 0 + 1, 68 

razem:
s = 0, 29 + 0, 77 = 1, 06 mm
o

 = 0, 77 mm

Osiadanie bez poduszki piaskowej:
s=
100 0,3 ⋅1, 68
⋅
= 1, 6 mm
16 0,3 + 1, 68
Dla σ = 200 kPa osiadanie wynosi zgodnie ze wzorami (148, 149, 150):
1
1
200
⋅
⋅
= 1,56 m
z01 =
o
2 ⋅ tg 32
 59000  18
ln 

 200 
1
1
200
z02 =
⋅
⋅
= 3, 90 m
o
2 ⋅ tg18
 16000  18
ln 

 200 
otrzymuje się
1−tg 32o
100 0,3 ⋅1, 56  1, 0 
s1 =
⋅
59 0,3 + 1,56  1, 0 + 1,56 
= 0, 6 mm
1−tg 18 
200 0,3 ⋅ 3,9   1, 0 
1 −
 = 2,3 mm
s2 =
⋅
16 0, 3 + 3,9   1, 0 + 3, 9 


razem:
s = 0, 6 + 2,3 = 2, 9 mm
Osiadanie bez poduszki piaskowej wyniesie:
o
200 0,3 ⋅ 3,9
⋅
= 3,5 mm
16 0,3 + 3,9
Osiadanie dla σ = 300 kPa wyniesie:
s=
z01 =
1
⋅
2 ⋅ tg 32o
1
300
⋅
= 2, 53 m
 59000  18
ln 

 300 
48
1
300
⋅
= 6, 45 m
 16000  18
ln 

 300 
Pomimo, iż płyta jest mała, to granica strefy z0 sięga bardzo głęboko:
z02 =
1
⋅
2 ⋅ tg18o
1− tg 32o
300 0, 3 ⋅ 2, 53  1, 0

⋅
s1 =

59 0,3 + 2, 53  1, 0 + 2, 53 
= 0,85 mm
1−tg 18 
300 0,3 ⋅ 6, 45   1, 0

1 −
 = 4, 0 mm
s2 =
⋅
16 0,3 + 6, 45   1, 0 + 6, 45 



razem:
s = 0,85 + 4, 0 = 4,85 mm
Osiadanie bez poduszki piaskowej wyniesie:
o
300 0,3 ⋅ 6, 45
⋅
= 5, 4 mm
16 0,3 + 6, 45
Wyniki obliczeń pokazano na rys.21.
s=
Rys. 21. Wykres zmiany osiadania płyty WSS
Z przedstawionego rysunku widać, że podstawową część osiadania płyty VSS
stanowi osiadanie gruntu rodzimego. Z badań płytą statyczną VSS można wyciągnąć
również wniosek, że do tej pory współczynnik podatności podłoża wynosił odpowiednio
(na podłożu uwarstwionym):
100
k s (100 kPa ) =
= 94[ MN / m3 ]
1, 06
200
k s ( 200 kPa ) =
= 68[ MN / m3 ]
2,9
300
k s ( 300 kPa ) =
= 61[ MN / m3 ]
4,85
Wyników tych nie można stosować do dużych płyt ponieważ dla płyty fundamentowej o
dużych wymiarach osiadanie wynosi:
σ
s∞ =
⋅ z0
E0
49
Należy zatem przeprowadzić obliczenia dla płyty , gdy D → ∞ . Stąd na podstawie
wzorów (148, 149, 150) :
1−tgφ1
 h1 
s1 =
⋅ z01 

E01
 z01 + h1 
oraz
  h 1−tgφ2 
σ
1

⋅ z02 1 − 
s2 =

E02
  z02 + h1 

σ
Obliczone osiadanie dla dużej płyty wyniesie odpowiednio:
s (100 kPa ) = 0,97 + 5, 04 = 6, 01 mm
s ( 200 kPa ) = 3, 72 + 32, 2 = 35,92 mm
s ( 300 kPa ) = 8, 01 + 90, 0 = 98, 01 mm
Współczynniki podatności podłoża ks obliczone dla tych osiadań wyniosą:
100
k s (100 kPa ) =
= 16, 64 MN / m3
6, 01
200
k s ( 200 kPa ) =
= 5,57 MN / m3
35, 92
300
k s ( 300 kPa ) =
= 3, 06 MN / m3
98, 01
Współczynniki podatności podłoża o takich wartościach należy przyjąć w
praktycznych obliczeniach fundamentów. Płyta statyczna VSS służy jedynie do
weryfikacji modułu ściśliwości gruntu podłoża. Jeżeli przed ułożeniem poduszki
piaskowej wykonano badania w celu określenia E02 modułu dla gruntu rodzimego, to
późniejsze badania płytą VSS na poduszce posłużą jedynie do zweryfikowania modułu
ściśliwości poduszki piaskowej E01 .
ROZDZIAŁ 7. WPŁYW WYMIARÓW STOPY NA OSIADANIE POD STAŁĄ SIŁĄ
OBCIĄŻAJĄCĄ
Projektowanie stóp fundamentowych wiąże się zwykle z obliczeniem osiadania
stopy. Żąda zwykle, aby osiadanie było mniejsze od dopuszczanego lub by różnica
osiadań dwóch kolejnych stóp była mniejsza od różnicy dopuszczalnej. Warunek, iż
osiadanie musi być mniejsze od osiadania dopuszczalnego oznacza, że dla zadanego
gruntu (załóżmy że dla jednorodnego) musi być spełniony warunek:
s ( N ; D ; E 0 ; α ) < sdop (169)
Z obliczeń w poprzednich rozdziałach mamy:
s=
σ 0 D ⋅ z0
⋅
E0 D + z0
50
gdzie:
z0 =
σ0
E  γ
ln  0 
σ0 
α
⋅
stąd:
N
σ= 2
(170)
D
gdzie: N – jest siłą obciążającą stopę kwadratową o boku D w środku ciężkości
przekroju.
Dla uproszczenia zakłada się, że dodatkowo nie występują momenty zginania.
Praktycznie zmieniając wymiar boku podstawy stopy D uzyskuje się różne osiadania
s = ( D ) Sprawdzając czy funkcja (199) posiada ekstremum otrzymuje się:
∂s
∂  σ 0 D ⋅ z0 
=
 ⋅
 = 0
∂D ∂D  E0 D + z0  D = D0
(171)
Można wykazać, że pochodna podana wzorem (206) posiada miejsce zerowe w punkcie
D = D0 =
3
α N
⋅
2 γ
(172)
Przykład obliczeniowy
Zakłada się do obliczeń następujące dane: N = 500 kN; γ = 18 kN / m 3 ; E0 = 20 MPa ;
α = 0,8; wówczas:
0,8 500
⋅
= 2, 23 m
2 18
następnie oblicza się:
500
N
σ0 = 2 =
= 100 kPa
D
2, 232
i wtedy:
D0 =
z0 =
3
0,8
100
⋅
= 0,84 m ;
 20000  18
ln 

 100 
oraz
s=
100 2, 23 ⋅ 0,84
⋅
= 3, 05 mm
20000 2, 23 ⋅ 0,84
Jeżeli przyjmie się stopę większą przykładowo D = 3,0 m, to wówczas otrzymuje się
odpowiednio:
500
σ 0 = 2 = 56 kPa ; z0 = 0, 42 m ; s = 1, 04 mm
3
Jeżeli przyjmie się stopę mniejszą przykładowo D = 2,0 m, to wówczas otrzymamy:
σ0 =
500
= 125 kPa ;
22
z0 = 1, 09 m ;
s = 4, 4 mm
51
Z przykładu tego widać, że pochodna równa zero w tym przypadku nie oznacza
ekstremum funkcji, mogą to być lokalne punkty przegięcia. Ostatecznie zmiana
osiadania w ogólnym przypadku przebiega następująco (rys. 22):
Rys. 22. Wykres zmiany osiadania stopy kwadratowej
wraz ze zmianą wymiaru stopy
Zależność określająca
postać:
zmianę osiadania stopy wraz ze zmianą wymiaru stopy ma
gdzie:

σ z0 ⋅ D 

s=
⋅
E0 D + z 0 
σ 
α
⋅ 0
z0 =
E  γ 
ln  0 

σ0 

N

σ0 = 2

D
(173)
Często przy wymiarowaniu dobiera się wymiar stopy tak, aby osiadanie było
równe osiadaniu dopuszczalnemu:
s = s dop
Rozwiązanie układu równań (173) z warunkiem określającym z0 i σ 0
przeprowadza się metodą kolejnych przybliżeń.
Przykład obliczeniowy
Zakłada się do obliczeń następujące dane: sdop > 0, 03 m ; N=1000 kN; α = 0, 7 ;
γ = 18 kN / m 3 E0 = 20 MPa. W pierwszym przybliżeniu zakłada się: D = D0 , stąd ze
;
wzoru (172) oraz (170) otrzymamy:
D0 =
3
α N 3 0, 7 1000
1000
⋅ =
⋅
= 2, 7 m σ 0 =
= 138 kPa
2
2 γ
2 18
( 2, 7 )
52
138 2, 7 ⋅1, 08
⋅
= 5,32 mm z0 =
20000 2, 7 + 1, 08
0, 7
138
⋅
= 1, 08 m
 20000  18
ln 

 138 
Drugie przybliżenie zakłada: D = 2, 0 m ; σ 0 = 250 kPa; z0 = 2,22 m
250 2, 0 ⋅ 2, 22
s=
⋅
= 13,14 mm
20000
4, 22
Trzecie przybliżenie zakłada: D = 1,5 m ; σ 0 = 444 kPa; z0 = 4,54 m
s1 =
444 4,54 ⋅1,5
⋅
= 25 mm
20000 4,54 + 1,5
Innym przypadkiem jest wykorzystanie naprężeń dopuszczalnych pod stopą. Dla
założonego wymiaru stopy D otrzymuje się (wzór 170):
s=
D=
N
(174)
σ dop
Osiadanie takiej stopy, wymusza wówczas na podstawie wzoru (164):
σ dop D ⋅ z0
s=
⋅
E0 z0 + D
gdzie:
z0 =
σ dop
 E  γ
ln  0 
σ 
 dop 
α
⋅
(175)
Przykład obliczeniowy
Dla σ dop = 300 kPa otrzymuje się ze wzorów (164, 174, 175):
D=
s=
20000
= 1,83 m z0 =
300
0, 7
300
⋅
= 2, 78 m
 20000  18
ln 

 300 
300 1,83 ⋅ 2, 78
⋅
= 16,54 mm
20000 1,83 + 2, 78
PODSUMOWANIE
53
1.
W pracy przedstawia się analizę współpracy fundamentu z gruntem dla
posadowienia bezpośredniego stopa, płyta.Szczególną uwagę poświęca się
wyprowadzaniu analitycznych zależności, w oparciu o podstawy mechaniki
gruntów, na obliczenie osiadania dla założonego obciążenia.
2. Projektowanie posadowienia bezpośredniego wymaga sprawdzenia dwóch
stanów granicznych: naprężenia w gruncie w poziomie posadowienia oraz
osiadanie fundamentu. W fachowej literaturze zwykle zaleca się obliczanie
osiadania metodami normowymi. Metody te zasadzają się na założeniu o
miąższości strefy aktywnej, którą ustala się porównując naprężenia geostatyczne
oraz naprężenia dodatkowe na tym poziomie wywoływane przez obciążenie
zewnętrzne. Tak obliczone osiadanie znacznie przewyższa osiadanie
obserwowane w badaniach terenowych. Proponowana w pracy metoda uściśla
obliczanie osiadania fundamentu: stopy lub płyty. Uzyskuje się osiadania
mniejsze, bardziej zbliżone do obserwowanych na obiektach budowlanych.
3. Obliczenia takie, mają szczególne znaczenie dla obliczenia osiadania dużych płyt
fundamentowych. Wtedy szczególne znaczenie posiada współczynnik podatności
podłoża k s , który jest stosunkiem obciążenia jednostkowego fundamentu do
osiadania. W pracy podaje się metodę, w oparciu o podstawy mechaniki
gruntów, jak praktycznie współczynnik ten obliczać. Uwzględnia się przy tym,
przypadek podłoża uwarstwionego.
4. Proponowany sposób obliczeń pozwala na lepsze wykorzystanie właściwości
podłoża gruntowego przy wymiarowaniu fundamentów.
BIBLIOGRAFIA
[1]
Antoniewicz J.: Tablice funkcji dla inżynierów, PWN, Warszawa, 1969.
[2]
Bzówka J.: Współpraca kolumn wykonywanych techniką iniekcji strumieniowej z
podłożem gruntowym, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2009.
[3]
Cernica J.: Geotechnical Enginnering – Foundation Design, J. Wiley&Sons, 1995.
[4]
Cichy L., Rybak J., Tkaczyński G.: Badanie nośności pali prefabrykowanych,
Nowoczesne Budownictwo Inżynieryjne, 2009.
[5]
Dembicki E., Tejchman A.: Wybrane zagadnienia fundamentowania budowli
hydrotechnicznych, PWN, Warszawa, 1981.
[6]
Glazer Z.: Mechanika Gruntów, WG-Warszawa, 1977.
[7]
Gwizdała K.: Fundamenty palowe, tom I, PWN, Warszawa, 2010.
[8]
Gwizdała K.: Kontrola nośności pali i jakości robót palowych, Geoinżynieria i
Tunelowanie, nr 1/2004.
[9]
Kłosiński B.: Współczesne pale wiercone; cz. II, Inżynier Budownictwa, 2010.
[10] Mazurkiewicz B.: Encyklopedia Inżynierii Morskiej, Fundacja Promocji, Przemysłu
Okrętowego i Gospodarki Morskiej, Gdańsk, 2009.
[11] Mazurkiewicz B. i inni: Fundamenty, projektowanie i wykonawstwo. Praca
zbiorowa pod redakcją B. Rossińskiego, Arkady, Warszawa, 1976.
54
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
Meyer Z., Bednarek R.: Influence of stress concentration in Fröhlich`s formula upon
calculating the settlement of weak soil in stratified soil, 12 European Conference
on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering, Amsterdam, June 1999.
Meyer Z., Kowalów M.: Model krzywej aproksymującej wyniki testów statycznych
pali, Inżynieria Morska i geotechnika, nr 3/2010.
Meyer Z., Szmechel G.: Uwagi do obliczania osiadania dużych płyt
fundamentowych, Inżynieria Morska i Geotechnika nr 1/2012.
Meyer z., Szmechel G.: Metoda interpretacji testów statycznych obciążeń pali
prefabrykowanych , 58 Konferencja Naukowa Komitetu Inżynierii Lądowej i
Wodnej PAN w Krynicy, 2012.
Meyer Z.: Analiza naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawą pojedynczego pala w
oparciu o liniową teorię Boussinesqa. XVIII Seminarium Naukowe z cyklu
Regionalne Problemy Inżynierii Środowiska, ZUT, Szczecin, 2010.
Motak E.: Fundamenty bezpośrednie. Wzory, tablice, przykłady, Arkady, Warszawa,
1988.
Rippel R.: Próbne obciążenia i badania głębokich fundamentów, Geoinżynieria i
Tunelowanie, 2002.
Rippel R.: Próbne obciążenia pali formowanych w gruncie, Inżynier Budownictwa,
2008.
Rolla S.: Projektowanie nawierzchni, Biblioteka drogownictwa, WKK, Warszawa,
1979.
Rossiński B. i inni: Fundamenty, projektowanie i wykonawstwo. Praca zbiorowa
pod redakcją B. Rossińskiego, Arkady, Warszawa 1976.
Rossiński B.: Mechanika gruntów, Warszawa, 1978.
Rybak Cz.: Fundamentowanie – projektowanie posadowień, Dolnośląskie
Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław, 1997.
Sieńko R., Krasiński A.: Pomiar pionowego rozkładu siły w palu podczas testów
statycznych, 56 Konferencja Naukowa, Kielce-Krynica, 2010.
Sikora Zb.: Sondowanie statyczne, metody i zastosowanie w geoinżynierii, Wyd.
Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006.
Świniarski J.: Ocena podatności podłoża przy wymiarowaniu płyt fundamentowych,
Inżynieria Morska i Geotechnika, nr 5/2003.
Szypcio Z. i inni: Wpływ zagęszczenia wielkości i kształtu fundamentu na nośność
graniczną piasków, Grant Ministerstwa Nauki i Informatyzacji, Warszawa, 2004.
Szmechel G.: Uproszczona metoda interpretacji testów statycznych pali na
podstawie badań terenowych, XVI Krajowa Konferencja mechaniki Gruntów i
Inżynierii Geotechnicznej, Wrocław, 2012.
Wiłun Z.: Zarys Geotechniki, WŁK., Warszawa, 2000.
Norma: Fundamenty bezpośrednie, PN-B-03020, 1981.
Norma: Pale, PN-B-02482, 1983.
Norma: Geotechnika. Terminologia. PN-B-02481, 1980.
Norma: Drogi samochodowe, wymagania i badania (zał. B.). PN-S-02205, 19989.
55
OZNACZENIA
A – powierzchnia podstawy fundamentu [m2]
B,L – wymiary fundamentu prostokątnego [m]
C–
stała reprezentująca sprężystą podatność podłoża C [mm/m]
D–
średnica stopy fundamentu [m]
E0 – moduł ściśliwości gruntu (moduł Younga) [kPa]
Eb – moduł ściśliwości betonu [kPa]
h – gęstość wykopu [m]
k – współczynnik podatności podłoża [ kN/m3]
ks – współczynnik podatności podłoża dla belki [kN/m3]
l – odległość obliczeniowa sąsiednich stóp przy ustalaniu ich wzajemnego wpływu
na
osiadanie [m]
L – liniowy wymiar sztywności giętnej belki [m]
r – promień podstawy fundamentu [m]
s – osiadanie fundamentu [mm]
N gr – graniczne obciążenie pala [kPa]
N1 gr – graniczny odpór podstawy pala [kPa]
N1 – odpór gruntu w podstawie pala jako reakcja podłoża [kPa]
T – siła tarcia wywołana jako reakcja podłoża na pobocznicy pala [kPa]
Tgr – graniczny odpór pobocznicy pala [kN]
qc – naprężenia w podstawie pala [kPa]
Z 0 – zasięg stały aktywny w gruncie pod fundamentem [m]
q – obciążenie gruntu liniowe równania rozłożone [kN/mb]
β – bezwymiarowy parametr, który określa położenie granicy stałej aktywnej
ciężar objętościowy gruntu [kN/m3]
γ–
γ ∗ – ciężar objętościowy gruntu z uwzględnieniem wyporu wody gruntowej [kN/m3]
Q – stała skupiona przyłożona punktem [kN]
σ 0 – naprężenia w poziomie posadowienia fundamentu [kPa]
σ dop – naprężenia dopuszczalne w poziomie posadowienia [kPa]
σ zp – naprężenia pierwotne w gruncie [kPa]
σ zd – naprężenia dodatkowe w gruncie [kPa]
σ x , σ y , σ z – naprężenia w kierunku osi prostokątnego układu współrzędnych [kPa]
τ–
naprężenia styczne w pobocznicy pala [kPa]
τ xy ,τ xz ,τ zy – naprężenia styczne w płaszczyźnie osi układu współrzędnych [kPa]
kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ]
φ–
κ – bezwymiarowy parametr Fröhlicha
κ 0 – stosunek nośności pobocznicy do nośności pobocznicy pala
ν–
współczynnik Poissona
η N – bezwymiarowa funkcja określająca pionową zmianę naprężeń w narożniku
fundamentu
η0 – bezwymiarowa funkcja określająca pionową zmianę naprężeń w osi fundamentu
56