π π π

Wydział Inżynierii Środowiska (IŚ); kierunek IŚ. Listy nr 9-11 do kursu Fizyka, r. ak. 2014/15.
Lista zawiera zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania.
Studentka/student jest zobowiązana(y) do wydrukowania ww. kartę przedmiotu, tabelę wzorów, list zadań i przynoszenia tabel i
list na zajęcia w portfolio. Listy 9-11. mają na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności
rozwiązywania zadań dotyczących indukcji elektromagnetycznej, fale elektromagnetycznych i szczególnej teorii względności. Zadania nie
rozwiązane na zajęciach lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów.
Indukcja elektromagnetyczna
59. Strumień magnetyczny pola przenika przez pętlę pokazana na rys. obok i rośnie z
=6
+ 7 ; strumień wyrażony jest w moliweberach, a t w sekunczasem Φ
dach. Jakie są wymiary/jednostki współczynników A i B w podanym wzorze? Jaka
jest wartość indukowanej w pętli siły elektromotorycznej chwili czasu t = 2 s i w jakim kierunku płynie wówczas prąd?
60. Płaska prostokątna ramka (cewka) o N zwojach długości a i szerokości b jest obracana z częstotliwością f w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B, jako pokazuje to rysunek obok. Cewka jest
połączona z obracającymi się wraz z nią pierścieniami, po których
ślizgają się szczotki zapewniające zasilanie obwodu elektrycznego o
całkowitym (cewka+opór zewnętrzny) oporze R. Zakładając, że w
chwili początkowej wartość strumienia przenikającego przez cewkę
jest maksymalna pokaż, że zależność od czasu natężenia prądu
płynącego
w
pokazanym
na
rysunku
obwodzie
ma
postać
I ( t ) = R ⋅ B ⋅ N ⋅ a ⋅ b ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin ( 2π f ⋅ t ) = I 0 sin ( 2π f ⋅ t ) . Zaprojektuj ramkę obracająca się z f=50 Hz
w polu 2 T wytwarzającą maksymalną wartość εSEM (t)= 311V.
61. Metalowy pręt jest przesuwany z prędkością o wartości 0,7 m/s po
dwóch równoległych przewodnikach oddalonych od siebie o L = 0,45 m i
połączonych na jednym końcu metalowym paskiem, jak pokazano na rys.
obok. Pole magnetyczne o indukcji B = 0,45 T jest skierowane przed rys.
Wyznacz zależność od czasu natężenie prądu płynącego w obwodzie, jeśli opór elektryczny obwodu R(t)
= R0(1+vt/L), gdzie R0 = 0,5 Ω. Jaka jest moc energii elektrycznej wydzielanej w obwodzie pod postacią
energii termicznej?
62. Niech strumień magnetyczny obejmowany zamkniętym obwodem elektrycznym w chwili t0 wynosi Φ0. Załóżmy, że strumień zmieniał się w ciągły sposób w czasie i po upływie czasu t wyniósł Φ. Udowodnij, że całkowity
ładunek, jaki przepłynął w tym obwodzie w czasie t, wynosi Q(t) = (Φ0 − Φ)/R, gdzie R
— opór obwodu.
63. Bardzo długa prostokątna metalowa ramka o szerokości L, oporze R i masie
m zaczęła spadać w dół w polu magnetycznych o indukcji B skierowanym za
płaszczyznę rys. Pole magnetyczne działa tylko powyżej linii a-----a.
Początkowo ramka przyspiesza, aż do osiągnięcia prędkości granicznej, z którą
spada ruchem jednostajnym prostoliniowy. Wyjaśnij dlaczego tak się dzieje?
Wyznacz wówczas prędkość spadania ramki i natężenie prądu płynącego w
ramce przyjmując, że dany jest jej opór elektryczny R.
Fale elektromagnetyczne
64. Niech spolaryzowaną falę elektromagnetyczną rozchodzącą się w próżni w dodatnim kierunku osi
OX opisują funkcje E=Emsin(ωt−kx)j oraz B=Bm sin(ωt−kx)k. Ile wynosi prędkość fazowa c tej fali;
przyjmujemy, że znane są ω i k? Równanie falowe: ∂2y(x, t)/∂x2 = (1/v2)∂2y(x, t)/∂t2. Pokazać, że: (a)
wektor E jest rozwiązaniem równania ∂2Ey(x, t)/∂x2 = (1/c2)∂2Ey(x, t)/∂t2, gdzie c2 = 1/(ε0µ0); (b) wektor B
jest rozwiązaniem równania ∂2Bz(x, t)/∂x2=(1/c2)∂2Bz (x, t)/∂t2; c) spełniona jest równość ∂Ey/∂x=−∂Bz/∂t,
co pozwala twierdzić, że Em/Bm=c.
1
65. Chwilowa gęstość energii u(x, t) fali elektromagnetycznej w próżni wynosi u(x, t) = ε0E2/2+B2/(2µ0).
Korzystając ze związku E/B=c, pokaż, że u(x, t) = ε0E2. Czy jest prawdą, że w próżni gęstości energii
pól elektrycznego i magnetycznego są sobie równe? Pokaż, że średnia wartość energii fali
=
elektromagnetycznej
. d =
=
. Wektor Poyntinga definiuje wzór: S =
(1/µ0)E×B=E×H. Pokaż, że: a) dla fali elektromagnetycznej z zadania 65. zachodzi równość |S| = ε0cE2 i
|S| określa ilość energii przenoszonej przez falę w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni
ustawionej prostopadle do kierunku propagowania się fali; b) średnia wartość wektora Poyntinga, zwana
intensywnością I fali, to ̅ = " =
,
$
,
d =
%
=
%
&
='
%
= ' . O fali elektroma-
gnetycznej z zadania 65. wiemy, że Em = 100V/m = 100N/C. Wyznaczyć: Bm,
oraz I.
66. Fala elektromagnetyczna przenosi pęd. Padając prostopadle na powierzchnię wywiera na nią średnie
*̅
*̅
+
+
ciśnienie równe (̅ = = , jeśli fala jest całkowicie pochłaniana lub (̅ = 2 = 2 , jeśli fala jest
&
&
&
&
całkowicie odbijana. Płaska fala elektromagnetyczna o długości λ = 3 m rozchodzi się w próżni w
dodatnim kierunku osi OX, a wektor natężenia jej pola elektrycznego ma kierunek osi OY i amplitudę
300 V/m. (a) Ile wynosi częstość ν tej fali? (b) Jaki jest kierunek i amplituda wektora indukcji pola
magnetycznego tej fali? (c) Jakie są wartości k i ω, jeżeli E(x,t)=Emsin(kx − ωt)? (d) Ile wynosi
uśredniona po czasie szybkość przepływu energii tej fali, czyli intensywność I (wyrażona w watach na
metr kwadratowy)? e) Jakie ciśnienie wywiera ta fala padając prostopadle na czarną kartkę papieru o
powierzchni 2m2?
67. a) Wzór ∆W/c =∆p określa związek między zmianą energii ∆W wywołaną pochłonięciem światła
niosącego pęd ∆p. Statek kosmiczny o masie 1,5 · 103 kg dryfuje w przestrzeni kosmicznej i nie działa na
niego żadna siła zewnętrzna. Astronauta włącza laser emitujący wiązkę promieniowania o mocy 10 kW.
Jaką prędkość osiągnie po jednej dobie ten statek kosmiczny? b) W pewnym obszarze przestrzeni
kosmicznej, gdzie siły grawitacji są zaniedbywalnie małe, wiązka światła o stałym natężeniu I = 6mW/m2
przyspiesza kulkę o promieniu 2 µm i gęstości 5·103 kg/m3, całkowicie pochłaniającą światło. Oszacować
wartość siły działającej na kulkę oraz jej przyspieszenie.
Szczególna teoria względności
68. Obserwator w K stwierdził, że zdarzenie nastąpiło na osi OX jego układu w punkcie x = 3⋅108 m w
chwili t = 2,5 s. Obserwator spoczywa w K′ , który porusza się w dodatnim kierunku osi OX z prędkością
0,4 c, przy czym x = x’ = 0 i t = t’ = 0. Jakie współrzędne tego zdarzenia poda obserwator w K? Jakie
współrzędne podałby ten obserwator, gdyby układ K′ poruszał się w przeciwnym kierunku?
69. Nietrwała cząstka pozostawiła w detektorze ślad o długości 1,05 mm, a następnie uległa rozpadowi.
Jej prędkość względem detektora wynosiła 0,992c. Ile wynosi jej własny czas życia?
70. Rakieta o długości własnej 140 m mija spoczywający obiekt z prędkością 0,8 c. Jaką długość statku
zmierzy obserwator znajdujący się na obiekcie? Jak długo na zegarach obiektu trwa przelot statku?
71. W systemie satelitarnego pozycjonowania (np. GPS) czas jest mierzony z dokładnością do 4 ns w
ciągu doby. Tempo upływu czasu na zegarach atomowych umieszczonych na powierzchni Ziemi oraz
satelitach nie jest takie samo, co jest konsekwencją tego, że zegary: a) znajdują się w różnych miejscach
pola grawitacyjnego Ziemi oraz b) poruszają się względem siebie; więcej w pliku pod adresem
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/pop/GPS_DFN_2008.pdf. Niech tZ oznacza jedną sekundę odmierzaną na atomowych zegarze ziemskim, natomiast tS będzie jedną sekundą odmierzaną na atomowym
zegarze umieszczonym na satelicie. A) Pokazuje się, że efekt o którym w punkcie a) opisuje wzór:
tZ
2GM Z 2GM Z
1
= 1−
+
= 1 − ( d Z − d S ) = 1 − D, d S 2 = GM Z / ( RS c 2 ), RS = 26, 6 tys. km,
2
2
tS
RZ c
RS c
2
d Z 2 = GM Z / ( RZ c ) , RZ = 6 370 km, G = 6,67 ⋅ 10
2
2
−11
m3
, M Z = 6 ⋅ 1024 kg, c=3 ⋅ 108m / s.
2
kg ⋅ s
Oblicz wartość ilorazu tZ/tS i na tej podstawie odpowiedz na pytanie: Który z zegarów, ziemski czy
satelitarny, spóźnia się? Różnica upływu czasu ∆T wskazanych w tracie jednej doby liczona jest ze wzoru
∆T = TZ − TS = (1 − D ) ⋅ 3600 ⋅ 24 s. Policz wartość ∆T . W systemie GPS bardzo dokładnie mierzony
jest czas biegu fali elektromagnetycznej z satelity do odbiornika, ponieważ na tej podstawie wyznacza się
położenie odbiornika. Zegary ziemskie i satelitarne są zsynchronizowane, tj. mierzą czas upływający/biegnący w równych tempach. Gdyby nie były zsynchronizowane, to położenie obiektu byłoby obarczone niepewnością o wartości ∆L=∆T⋅c. Wyznacz wartość tej niepewności (przyjmując, że zegary nie są
zsynchronizowane) po upływie: a) jednej doby, b) jednego tygodnia.
B) Pokazuje się, że efekt o którym w punkcie b) opisuje wzór:
tZ
v 2 v2
1
1
= 1 − Z 2 + S 2 = 1 + 2 ( vS 2 − vZ 2 ) = 1 + B, B = 2 ( vS 2 − vZ 2 ) , vS = 3 874 m s, vZ = 465 m/s.
tS
2c
2c
2c
2c
Oblicz wartość ilorazu tZ/tS i na tej podstawie odpowiedz na pytanie: Który z zegarów, ziemski czy
satelitarny, spóźnia się? Różnica upływu czasu ∆T wskazanych w tracie jednej doby liczona jest ze wzoru
∆T = TZ − TS = (1 + B ) ⋅ 3600 ⋅ 24 s. Policz wartość ∆T . W systemie GPS bardzo dokładnie mierzony
jest czas biegu fali elektromagnetycznej z satelity do odbiornika. Zegary ziemskie i satelitarne są
zsynchronizowane, tj. mierzą czas upływający/biegnący w równych tempach. Gdyby nie były
zsynchronizowane, to położenie obiektu byłoby obarczone niepewnością o wartości ∆L=∆T⋅c. Wyznacz
wartość tej niepewności (przyjmujemy, że zegary nie są zsynchronizowane) po upływie jednej doby i
jednego tygodnia.
72. Rakieta o długości własnej 350 m porusza się z prędkością 0,8c. Wzdłuż niej, dokładnie w przeciwnym kierunku, przelatuje niewielki latający spodek, którego prędkość (mierzona w tym samym
inercjalnym układzie odniesienia, co prędkość rakiety) wynosi 0,2c. Ile wynosi prędkość spodka dla
obserwatora znajdującego się w rakiecie? Jak długo trwa dla niego mijanie się obiektów?
73. Relatywistyczna energia kinetyczna cząstki jest 10 razy większa od jej energii spoczynkowej. Jaka
jest prędkość tej cząstki? Znaleźć prędkość cząstki, której energia całkowita jest 10-krotnie większa od jej
energii spoczynkowej.
74. Jeśli źródło fali elektromagnetycznej o częstości f0 oddala
się od odbiornika/detektora z prędkością radialną v (β = v/c),
to częstotliwość rejestrowana przez odbiornik wynosi - =
-.
β.
/0
10
≅- 1 − 4 . Przy zbliżaniu się należy β zamienić na –
Pokaż, że prędkość oddalającego się obiektu można
|67|
obliczać ze wzoru = 7 ', gdzie ∆λ = λ–λ0 i λ jest
długością fali odbieraną a λ0 długością własną, tj. emitowaną przez obiekt oddalający się lub zbliżający
się. Gdy obiekt astronomiczny oddala się, to λ > λ0 i mówimy, że fale są przesunięte ku czerwieni, w
przeciwnym przypadku mówimy o przesunięciu ku błękitowi. Na rys. obok pokazano pomiary długości
fali elektromagnetycznej emitowanej przez atomy tlenu na Ziemi (513 nm) i odległej o 3⋅108 lat
świetlnych galaktyki NGC 7319 (525 nm). Oblicz w metrach odległość między Drogą Mleczną i NGC
7318. Wyznacz prędkość radialną tej galaktyki. Galaktyka ta oddala się, czy zbliża do Drogi Mlecznej?
|67|
75. Na podstawie wzoru = 7 ' oblicz z jaką prędkością powinien jechać przez skrzyżowanie pojazd,
aby światło czerwone (620 nm) widzieć jako zielone (540 nm)?
76. Masy cząsteczek uczestniczących w reakcji ( + ==8→9 + ;<O wynoszą mp =1,007825u, mF =
18,998405u, mα=4,002603u, mO=15,9949u, u=1,66⋅10-27 kg. Wyznacz energię reakcji.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Wrocław, 2 IV 2015
W. Salejda
3
Zadania do samodzielnego rozwiązania (siłownia umysłowa)
1. Antena radiowa ma kształt prostokąta o wymiarach 5 cm na 10 cm. Jednorodne pole magnetyczne sygnału stacji
radiowej skierowane prostopadle do płaszczyzny anteny zależy od czasu jak
B ( t ) = B0 sin ( 2π f ⋅ t ) . Wyznacz
zależność od czasu wartość SEM – siły elektromotorycznej εSEM(t) indukowanej w antenie, jeśli f = 100,2 MHz i B0
= 10−6T. Jaka jest wartość maksymalna εSEM (t)? Ile razy w czasie jednej sekundy indukowana siła
elektromagnetyczna osiąga wartość zerową? Jak zmienią się wyniki, gdy w rezultacie obrotu anteny normalna do
jej płaszczyzny będzie tworzyć kąt α z wektorem B?
2. Natężenie fali I w odległości r od źródła o mocy P wynosi I(r) = P/(4πr2). Moc promieniowania Słońca wynosi
3,9 ·1026 W, średnia odległość Ziemia–Słońce 1,5 · 1011m. Ile wynosi stała słoneczna, czyli natężenie fal
elektromagnetycznych emitowanych przez Słońce i docierających do Ziemi?
3. a) Laser neodymowy może w impulsie o długości fali 0,26 µm i czasie trwania 1 ns wysyłać promieniowanie o
mocy 100 TW. Jaką energię niesie taki impuls? b) Inny laser neodymowy wysyła impulsy o mocy szczytowej
1,5·103MW, które są ogniskowane na obszarze 1mm2 całkowicie odbijającym światło lasera. Ile wynosi ciśnienie
światła w tych warunkach? c) Potraktujmy Ziemię jako płaską tarczę o promieniu R = 6400 km. Ile wynosi
maksymalna siła, z jaką światło słoneczne o mocy 3,9 ·1026 W oddziałuje na taką tarczę? Porównać tę siłę z siłą
grawitacji między Słońcem i Ziemią. d) Obliczyć siłę, z jaką promieniowanie słoneczne działa na całkowicie
odbijający kwadratowy żagiel o boku 2m umieszczony w odległości 1,5 · 1011m (jest to odległość Ziemi od
Słońca), którego powierzchnia jest prostopadła do kierunku promieniowania.
4. A) Jaką pracę trzeba wykonać aby zwiększyć prędkość elektronu od 0,18c do 0,19c a jaką, gdy zwiększamy od
0,98c do 0.99c. b) Cząstka o masie m ma pęd równy mc. Ile wynosi prędkość i energia kinetyczna tej cząstki?
5. Jaką energię trzeba włożyć, aby nadać 1 kg masy rakiety prędkość 0,99c? Obliczenia wykonaj stosując
równania mechaniki klasycznej i relatywistycznej.
6. Moc promieniowania Słońca wynosi 3,8・1026 W. Jaką ilość masy traci Słońce w każdej sekundzie?
7. Eksperymentator wyzwala jednocześnie (jak to zrobić?) dwie lampy błyskowe: jedną w początku układu
odniesienia, a drugą w odległości x = 30 km. Obserwator poruszający się z prędkością (1/4) c w dodatnim kierunku
osi x również widzi błyski. (a) Jaki jest według niego odstęp czasu między błyskami? (b) Który błysk wedle
obserwatora nastąpił wcześniej?
8. Długość statku kosmicznego zmierzona przez pewnego obserwatora jest równa połowie jego długości
spoczynkowej. Ile wynosi β= v/c? Ile razy wolniej biegnie czas na zegarach statku?
9. Kosmiczny podróżnik wyrusza z Ziemi z prędkością v = 0,99c w kierunku gwiazdy Wega znajdującej się w
odległości 26 lat świetlnych. Jaki czas odmierzą zegary umieszczone na Ziemi do chwili: (a) kiedy podróżnik
osiągnie cel podroży, (b) kiedy na Ziemię dotrze jego wiadomość o tym zdarzeniu? (c) Ile wynosi czas podroży
zmierzony na zegarze podróżnika?
10. Układ K′ porusza się równolegle do osi x układu laboratoryjnego K z prędkością V. W układzie K′
znajduje się spoczywający pręt o długości własnej L0 tworzący z osią x′ kąt α′. Jaką długość pręta L i jaki
kąt α zmierzy obserwator w układzie K?
11. Z akceleratora cząstek elementarnych wylatuje z prędkością v = 0,999c strumień pionów. Ile wynosi czas
życia pionów w laboratoryjnym układzie odniesienia, jeśli ich własny czas życia τ0 = 1,8・10−8 s? Jaką drogę
przebędzie pion w jego własnym i laboratoryjnym układzie odniesienia od miejsca powstania do punktu rozpadu?
O ile oddali się akcelerator od pionu w układzie związanym z pionem?
12. Dwa obiekty poruszają się z prędkościami v = 0,75c w przeciwnych kierunkach w układzie związanym z
Ziemią. Z jaką prędkością porusza się drugi obiekt w układzie związanym z pierwszym?
13. Długości fal światła zielonego i czerwonego wynoszą odpowiednio 500 nm i 700 nm. Kierowca-fizyk, który
przejechał na czerwonym świetle przez skrzyżowanie, próbuje tłumaczyć się zatrzymującemu go policjantowi, że
widział zielone światło dzięki efektowi Dopplera. Policjant, wierząc w te wyjaśnienia, wlepia mu mandat za
przekroczenie prędkości według stawki 10 złotych za każde 10 km/h powyżej 90 km/h. Jaka była cena kłamstwa?
4
14. Z dwóch inercjalnych układów odniesienia: układu laboratoryjnego K i poruszającego się z pręd-
kością V = 0,8c (V||OX||OX′) względem niego układu K′ zaobserwowano jedno i to samo zdarzenie.
Obserwator w K przypisał mu chwilę czasu 1000 s i współrzędne przestrzenne (1, 3, 5) km. Wyznaczyć
współrzędne tego zdarzenia w układzie K′.
15. Statek kosmiczny oddalający się od Ziemi z prędkością 0,9c nadaje komunikaty na częstotliwości 100 MHz.
Na jakiej częstotliwości odbierane są te sygnały na Ziemi?
16. Obliczyć relatywistyczne pędy: protonu, elektronu i fotonu o energii całkowitej 1GeV = 109 eV (1 eV = 1,6・
10−19 J). Wyznaczyć relatywistyczną energię kinetyczną protonu i elektronu.
17. Pokazać, że relacja E2 = p2c2 + (m0c2)2 jest konsekwencją związków: E = γm0c2 i p = γm0v.
18. Całkowita objętość wody w oceanach Ziemi wynosi 1,4・109 km3, średnia gęstość wody 1030 kg/m3, a jej
ciepło właściwe 4200 J/(kgK). Oszacować wzrost masy wód oceanów, jeśli ich temperatura podniesie się o 1◦C.
19. Średni czas życia spoczywających mionów wynosi 2,2 µs. Pomiary wykonane w laboratorium dla wiązki
mionów z akceleratora cząstek wykazały, że średni czas życia mionow wynosi 6,9 µs. Ile wynosi w układzie
związanym z laboratorium: (a) prędkość mionów, (b) ich energia kinetyczna i (c) pęd? Masa mionu jest 207 razy
większa od masy elektronu równej 9,1・10−31 kg.
20. We wnętrzu Słońca zachodzi reakcja 4p → 42He + ∆E, gdzie p oznacza proton. Energia spoczynkowa protonu
Ep = 938,2MeV, a energia spoczynkowa jądra atomu helu 3727 MeV. Pokazać, że w energię zamienia się 0,7%
początkowej masy.
21. B) Kwazar to jądro tworzącej się galaktyki. Jeden z takich obiektów emituje fale elektromagnetyczne o mocy
1041 W. Oblicz ile masy traci taki kwazar w czasie jednej sekundy i porównaj to z masą Słońca 2⋅1030 kg.
22. Stwierdzono, że długość linii widmowych galaktyki jest o 4 promile większa niż w warunkach normalnych.
Ile wynosi radialna składowa prędkości tej galaktyki względem Ziemi? Czy ta galaktyka zbliża się, czy oddala od
Ziemi?
23. Stwierdzono, że kwazar A oddala się od Ziemi z prędkością 0,8c. Kwazar B leżący bliżej Ziemi na linii łączącej
Ziemię z A oddala się od nas z prędkością 0,4c. Jaką prędkość B widzi obserwator związany z A?
Zagadnienia egzaminacyjne
24. Silnik magnetohydrodynamiczny (MHD) wykorzystuje do napędu oddziaływanie pola magnetycznego z płynem przewodzącym prąd elektryczny, np.
z elektrolitem soli kuchennej. Taki silnik (uproszczony schemat przedstawia rys.
obok) jest zbudowany z dwóch silnych sztabkowych magnesów, dwóch
miedzianych płytek połączonych do źródła prądu. Po zanurzeniu takiego silnika
w roztworze soli kuchennej, pole magnetyczne działające na jony Na(+) oraz Cl(–)
powoduje odchylenie ich torów, co wywołuje ruch wody wypełniającej wnętrze
silnika, a w konsekwencji wystąpienie siły reakcji, tj. siły napędzającej ruch silnika względem wody. Opisz w
jakim kierunku/kierunkach i jakie zwroty mają siły pochodzące od pola magnetycznego i działające na jony. Oblicz
wartość siły działającej na wodę wypełniającą silnik, jeśli a = 3 cm, b = 1,5 cm i c = 1 cm, wartość indukcji pola
magnetycznego B = 0,4 T a natężenie prądu płynącego między miedzianymi płytkami wynosi 1 A.
25. A) Opisz prawa Ampere’a i Biota-Savarta podając sens i znaczenie fizyczne użytych symboli w zapisach
matematycznych tych praw oraz jednostki miar wielkości fizycznych występujących w przytoczonych wzorach.
B) W przewodniku kołowym o promieniu R umieszczonym w próżni płynie prąd o natężeniu I. Korzystając
z prawa Biota-Savarta, pokaż, że wektor B indukcji pola magnetycznego w środku koła jest prostopadły do
płaszczyzny koła a jego wartość wynosi B =
µ0 I
.
2R
C) W czterech bardzo długich, równoległych przewodnikach przechodzących przez wierzchołki kwadratu o boku
a, płyną w tych samych kierunkach jednakowe prądy o natężeniu I. Oblicz natężenia pola magnetycznego w
geometrycznym środku kwadratu i w środku wybranego boku kwadratu uzasadniając wartość otrzymanego
wyniku.
26. A) Wzbudzony atom wodoru poruszający się z prędkością (0,9995c; 0,0; 0,0) względem spoczywającego
układu odniesienia, emituje w kierunku przeciwnym do kierunku swego ruchu foton o częstości 1016 Hz. Wyznacz
wektor prędkości wyemitowanego fotonu względem układu spoczywającego? Uzasadnij otrzymany wynik.
5
B) Gwiazda oddalająca się od spoczywającego układu odniesienia K z prędkością (V; 0,0; 0,0) emituje światło
fioletowe o długości 380 nm, które w układzie K odbierane jest jako światło czerwone o długości 710 nm.
Wyznacz i uzasadnij otrzymaną wartość V.
C) Z działa elektronowego o prędkości (0,9c; 0,0; 0,0) poruszającego się względem spoczywającego inercjalnego
układu odniesienia, wyemitowany został elektron o prędkości (−0,7c; 0,0; 0,0). Wyznacz i uzasadnij wartość
prędkości tego elektronu w układzie poruszającym się z prędkością (0,7c; 0,0; 0,0) względem spoczywającego
układu odniesienia. Ws-ka: Znajdź najpierw prędkość wyemitowanego elektronu z działa względem spoczywającego inercjalnego układu odniesienia.
D) Opisz sens fizyczny transformacji Galileusza, Lorentza i użytych symboli w zapisie matematycznym.
W układzie odniesienia poruszającym się z prędkością (0,02c; 0,0; 0,0) względem spoczywające układu
odniesienia, w punkcie o współrzędnych przestrzennych (−3·102; 0,0; 0,0) m w chwili czasu 10-3 s zapalona została
latarka. Wyznacz i uzasadnij współrzędne przestrzenne i czasowe tego zdarzenia w spoczywającym układzie
odniesienia za pomocą transformacji Galileusza i Lorentza. Oblicz także wartości błędów względnych:
δx =
xG − xL
,
xG
δt =
tG − tL
,
tG
gdzie
xG , tG i x L , t L
to
współrzędne
obliczone
przy zastosowaniu,
odpowiednio, transformacji Galileusza i Lorentza.
E) W układzie poruszającym się z prędkością (0,2c; 0,0; 0,0) względem spoczywającego układu odniesienia K, w
płaszczyźnie O’X’Y’ spoczywa pręt o masie 0,12 kg, długości własnej 0.6 m tworząc z osią OY’ kąt 60o. Wyznacz
długość tego pręta oraz jego relatywistyczną energię kinetyczną w K.
27. Opisz prawo indukcji elektromagnetycznej, wyjaśnij sens fizyczny reguły Lenza, podaj metodę wyznaczania
kierunku przepływu indukowanego prądu elektrycznego w zamkniętym obwodzie elektrycznym umieszczonym w
zmiennym polu magnetycznym.
A) Zamknięty obwód elektryczny tworzy kwadratowa ramka o boku a, oporze R umieszczona w płaszczyźnie
poziomej OXY. W obwód ten jest włączona bateria o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym r. Prąd
płynie w ramce, patrząc na nią z góry, zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Płaszczyzna ramki jest prostopadła do
linii stałego pola magnetycznego o indukcji B = (0,0; 0,0; B). Oblicz: a) energię potencjalną ramki w polu
magnetycznym, czy jest stan stabilnej czy chwiejnej równowagi mechanicznej; b) wypadkową siłę przyłożoną do
ramki; c) wektor momentu sił przyłożonych do ramki. Siłę grawitacji zaniedbać.
B) Załóżmy, że pole magnetyczne, o którym mowa w poprzednim punkcie zależy od czasu t jak
B = [0,0; 0,0; Bo(1 + α·t)], gdzie α > 0 – stała. Wyznacz wartość natężenia prądu płynącego w ramce.
C) Jak zmienią się wyniki z punktu C), gdy α < 0? Czy wyniki punktu C) i D) zależą od wartości parametru α?
D) Podaj i krótko scharakteryzuj co najmniej 3 zastosowania zjawiska indukcji elektromagnetycznej.
E) W polu magnetostatycznym wytwarzanym przez prostoliniowy bardzo długi przewodnik umieszczony w próżni,
przez który płynie prąd o natężeniu I jest zgromadzona energia tego pola, której gęstość wyraża się wzorem
ρ = µ0 H 2 2. Oblicz energię pola magnetycznego wytwarzanego przez prostoliniowy bardzo długi przewodnik,
przez który płynie prąd o natężeniu I, zgromadzoną pomiędzy dwoma koncentrycznymi cylindrami o długości
(wysokości) L i promieniach R1 < R2 otaczającymi przewodnik. Ws-ka: Wkład do dW pochodzący od objętości
wypełniającej obszar pomiędzy koncentrycznymi cylindrami o promieniach r oraz r + dr wynosi dW = 2πrLρdr.
48. A) Przedstaw interpretację fizyczną prawa indukcji elektromagnetycznej Faraday’a* oraz reguły Lenza*.
B) Rys. A1 przedstawia mały fragment długiego przewodnika z prądem o natężeniu I, którego kierunek przepływu
pokazuje strzałka. W pobliżu tego przewodnika znajduje się prostokątna miedziana ramka. Opisz co najmniej 3
różne ruchy ramki, w trakcie których wyindukowany zostanie w niej prąd elektryczny wyjaśniając** dlaczego w
ramce jest indukowany prąd)?
a
P
L
B
I
Rys. A2
Rys. A1
S
C) Miedziany drut PS o długości
L jest przesuwany po poziomych
miedzianych prętach, jak na
rys. A2, w jednorodnym polu
magnetycznym
z prędkością
o wartości V w kierunku wskazanym strzałką.
b
Początkowe położenie drutu PS, dla t = 0 sek., pokrywało się z linią przerywaną ab. Zakładając, że
w chwili początkowej prędkość drutu PS była równa zeru, dla chwili czasu t > 0:
C1) Określ** kierunek przepływu prądu I(t) w układzie z rys. A2.
6
C2) Wyznacz moc prądu**P(t) w układzie z rys. A2 zakładając, że dany jest opór R(t) obwodu w chwili czasu t.
D) Opisz rodzaj konwersji energii**, z którą mamy do czynienia na rys. A2 .
49. A) Opisz fizyczną interpretację praw Ampere’a* i Biota-Savarta*.
B) W przewodniku kołowym o promieniu R umieszczonym w próżni płynie prąd o natężeniu I. Korzystając
z prawa Biota-Savarta pokaż**, że wektor B indukcji pola magnetycznego w środku koła jest prostopadły do
płaszczyzny koła a jego wartość wynosi B = (µ 0 I 2 R ) .
C) Neutralna elektrycznie cząstka jest w spoczynku w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji B. W
chwili czasu t = 0 cząstka ta rozpada się na dwie naładowane cząstki o równych masach m, przy czym ładunek
jednej z nich jest równy Q. W wyniku rozpadu obie cząstki zaczynają się poruszać po oddzielnych trajektoriach w
płaszczyźnie prostopadłej do wektora B. Uzasadnij**, że cząstki te zderzą się i wyznacz czas* po jakim to nastąpi?
* Udzielając odpowiedzi należy opisać znaczenie symboli wielkości fizycznych użytych we wzorach podając ich jednostki miar w SI.
** Wyprowadzenia/zastosowane wzory, odpowiedzi liczbowe należy skomentować/objaśnić, ponieważ ich brak zdyskwalifikuje odpowiedź
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
50. A) Przedstaw postulaty szczególnej teorii względności.
B) Opisz fizyczną interpretację transformacji Galileusza* i Lorentza*.
C) Samochód formuły F1 Roberta Kubicy o długości własnej l0 = 4,5m porusza się ze stałą prędkością o wartości
v1 = 0,6c po pasie wyścigowym równoległym do osi OX laboratoryjnego, spoczywającego układu odniesienia.
Samochód formuły F1 Sebastiana Vettela porusza się po równoległym torze wzdłuż osi OX w przeciwnym niż
samochód Kubicy kierunku ze stałą prędkością o wartości v2 = 0,6c. Wyznacz długość** bolidu Kubicy
w układzie odniesienia związanym z bolidem Vettela. Ws-ka: Wyznacz najpierw prędkość samochodu Kubicy w
układzie związanym z bolidem Vettela.
D) Robert Kubica siedzący w nieruchomym bolidzie zaobserwował błysk meteorytu, który nastąpił w jego układzie
odniesienia na osi OX w punkcie (x = 3·108m, y = 0, z = 0) w chwili czasu t = 2,5 s. Sebastian Vettel porusza się
wraz ze swoim samochodem w dodatnim kierunku osi OX z prędkością 0,6 c. W chwili czasu t = t’ = 0 początki
układów odniesienia Kubicy i Vettela pokrywały się, tj. x = x’ = y = y’ = z = z’ = 0. Jakie współrzędne** (x, y’, z’)
zdarzenia zaobserwowanego przez Kubicę zarejestrował Vettel?
51. A) Opisz sens fizyczny prawa indukcji elektromagnetycznej Faraday’a oraz reguły Lenza. Wyjaśnij sens
fizyczny tego prawa w kontekście zasady zachowania energii.
B) Rysunek A przedstawia mały fragment długiego przewodnika z prądem o natężeniu I, którego kierunek
przepływu pokazuje strzałka. W pobliżu tego przewodnika znajduje się prostokątna miedziana ramka. Opisz
kierunki przepływu prądu, gdy ramka będzie: a) przysuwana do przewodnika, jak pokazuje wektor R; b) odsuwana
od przewodnika, jak pokazuje wektor P; c) przysuwana równolegle do przewodnika i płynącego w nim prądu, jak
pokazuje wektor Z.
R
A
P
P
b
I
Rys. B
Rys. A
Miedziany drut P jest przesuwany po metalowych sztywnych prętach miedzianych, jak na rysunku B, w polu
magnetycznym z przyspieszeniem a w kierunku wskazanym strzałką. Początkowe położenie drutu P, dla t = 0
sek., pokrywało się z linią przerywaną. Zakładając, że w chwili początkowej prędkość poprzeczki P była równa
zeru, dla chwili czasu t > 0:
B1) Oblicz wartość natężenia prądu I(t), przyjmując, że opór R(t) układu jest dany.
B2) Czy kierunek przepływu prądu I(t) w układzie z rysunku jest zgodny czy niezgodny z ruchem wskazówek
zegara?
B3) Wyznacz moc siły zewnętrznej, przyłożonej do P.
C) Opisz krótko konwersje energii, z którymi mamy do czynienia w punktach A) i B).
D) Co zmieni się w obrazie fizycznym zadania z pkt. B), gdy metalowa poprzeczka P będzie przesuwana po
szklanych rurkach?
Wrocław, 2 IV 2015
W. Salejda
7