Miary położenia i rozproszenia w opisie rozkładu wartości zmiennej

Miary położenia i rozproszenia w opisie rozkładu wartości zmiennej w zbiorze
Miary położenia opisują centralną tendencję w zbiorze a więc typowe (najbardziej prawdopodobne)
wartości dla danego zbioru.
Dla zmiennych nominalnych jedyną miarą tendencji centralnej jest modalna czyli najczęściej
powtarzająca się kategoria w zbiorze danych.
Dla zmiennych porządkowych możliwe jest wskazanie dwóch miar tendencji centralnej:
modalnej oraz mediany. Mediana jest czasem nazywana wartością połówkową, gdyż jest to wartość,
poniżej której znajduje się połowa obserwacji, zaś druga połowa ulokowana jest powyżej tej wartości.
Dla skal metrycznych miary położenia są trzy: modalna, mediana oraz średnia. Istnieją różne
postacie średniej – zwykle korzystamy tylko ze średniej arytmetycznej.
Miary rozproszenia opisują charakterystyczne dla zbioru rozproszenie wokół wartości centralnej.
Dla skal metrycznych uznaną miarą rozproszenia jest odchylenie standardowe. Odchylenie
standardowe obliczamy jako pierwiastek średniego kwadratu odchylenia od średniej. W małych
zbiorach średni kwadrat odchyleń oblicza się dzieląc sumę kwadratów odchyleń przez liczbę
obserwacji pomniejszoną o jeden (N-1). Średni kwadrat odchyleń od średniej nazywany jest
wariancją. Odchylenie standardowe jest więc pierwiaskiem z wariancji.
Inne miary rozproszenia to rozrzut (różnica między maksymalną a minimalną wartością
zaobserwowanymi w zbiorze) oraz tzw. odchylenie ćwiartkowe czyli różnica między górnym a
dolnym kwartylem. Dolny kwartyl to liczba powyżej której znajduje się ¾ obserwacji w zbiorze, dolny
kwartyl to liczba powyżej której znajduje się ¼ obserwacji w zbiorze.
Należy zauważyć, że podawanie miar tendencji centralnej bez miar rozporszenia nie ma
sensu!!! Podając średnią obowiązkowo podajemy odchylenie standardowe. Podając medianę
powinniśmy podać również odchylenie ćwiarkowe. Dlaczego? Zwróć uwagę na dwa zbiory obserwacji
podane niżej:
4,4,4,4
2,2,6,6
Oba zbiory mają te same średnie ale rozproszenie wokół średnich jest zupełnie różne. Podając tylko
średnie, opisalibyśmy te dwa zbiory jako identyczne, podczas gdy faktycznie są różne, gdyż różnią się
właśnie rozproszeniem.