Zajęcia wyrównawcze z matematyki, Inżynieria Środowiska I rok

Zajęcia wyrównawcze z matematyki, Inżynieria Środowiska I rok
Zadania domowe 11
1. Zbadaj monotoniczność ciągów
a) an =
b) an =
c) an = (−1)n n1 ,
2n+1
,
n+2
1
,
2n
d) an =
n2 +n+1
.
2n2 +1
Odp. a) rosnący, b) nie monotoniczny, c), d) malejący
2. Wyznacz szósty wyraz ciągu, dla którego suma n początkowych wyrazów Sn jest równa
a) Sn = 41 n2 (n + 1)2 ,
b) Sn = 3(2n − 1),
Odp. a) rosnący, b) nie monotoniczny, c), d) malejący
3. Wyznacz ciąg arytmetyczny an mając dane:
a) a5 = 19, a9 = 35
b) a4 = 11, a10 = 29
c) a3 = 15, a7 = 31,
d) a6 = 4, a16 = 10.
Odp. a) a1 = 3, r = 4, b) a1 = 2, r = 3, c) a1 = 7, r = 4, d) a1 = 1, r = 0, 6.
4. Dla jakich wartości x liczby log 3, log(3x+1 + 6), log(3x+2 + 18) są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego?
Odp. x = 0
5. Rozwiąż równanie
a) 1 + 4 + 7 + ... + x = 117,
b) 6 + 10 + 14 + ... + (4n + 2) = 20400,
2
c) √
3 + 5 +√7 + ... √
+ (2n − 1) =
√2n − 930,
√
d) 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 55 2.
Odp. a) x = 25, b) n = 100, c) n = 31, d) n = 10.
6. Dane są ciągi: 17, 21, 25, ... oraz 16, 21, 26, .... Oblicz sumę stu pierwszych liczb występujących
równocześnie w obu ciągach.
Odp. 101100
7. Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że
a) a5 = −3, q = 0, 5
b) a1 = 2, q = −0, 3
c) a3 = −4, a4 = 0, 25,
5
d) a6 = 53 , a8 = 48
.
8. Liczby 12, 15, 18, ... są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz
a) sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu,
b) sumę czterdziestu początkowych wyrazów o numerach parzystych,
c) sumę czterdziestu początkowych wyrazów o numerach podzielnych przez 3.
Odp. a) S100 = 16050, b) S40 = 5280, c) S40 = 7740.
9. Oblicz poniższe sumy:
a) 7 + 2, 1 + 0, 63 + ...,
4
b) −4 − 54 − 25
+ ...,
√
√
c) 2 + 2 + 2 2 + ...,
3
+ ...,
d) 3 − 34 + 16
e) 12 + 6 + 3 + ....
Odp. a) 10, b) −5, c) nie istnieje, d) 2, 4 e) 24.
10. Oblicz długość linii składającej się z nieskończonej liczby półokręgów, jeśli średnice tych półokręgów mają odpowiednio długości: a, 21 a, ....
Odp. πa
11. Rozwiąż równania
a)
1
1−x
+
1
(1−x)2
1
1+x
+ ... = 1 − 2x,
c) x −
1
2x
+
x2
2
2
−
1
4x
+
x3
4
3
+ ... = 1.
d) log x + log x + log x + ... = 1.
√
Odp. a) x = − 21 , b) x = 1, c) x1 = 1, x2 = − 32 , d) x = 10.
b) 1 +
+ ... = 1 + x,
12. Dla jakich x nieskończony ciąg geometryczny o kolejnych wyrazach 1, (x2 −3x+1), (x2 −3x+1)2 , ...
ma sumę równą 0,8?
Odp. Jest zbieżny dla x ∈ (0, 1) ∪ (2, 3). Rozw: x = 21 lub x = 25 .
13. Liczby: log2 (x − 2), log2 (2x), log2 (2x2 ) tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x.
Odp. x = 6.