Zapisz jako PDF

Spis treści
1 Wstęp
2 Twierdzenie Radona i Transformata Radona
2.1 Podstawy Matematyczne — Delta Diraca
2.2 Transformata Radona w kartezjańskim układzie współrzędnych
2.3 Normalna postać Transformaty Radona
2.3.1 Parametryzacja prostej w układzie biegunowym .
2.3.2 Obrót układu współrzędnych:
2.3.3 Normalna Transformata Radona
2.4 Sinogram
2.5 Odwrotna Transformata Radona.
Wstęp
Badany obiekt składa się z dwóch struktur
(szare koła). Dokonajmy rzutowania obiektu
na płaszczyznę. Prześwietlając obiekt w taki
sposób, iż promienie Rentgenowskie padają
na niego z lewej strony, otrzymamy rozkład
natężenia wskazujący na obecność we
wnętrzu tylko jednej struktury. Podobne
rzutowanie, tylko dokonane z innego
kierunku, wskazuje na obecność we wnętrzu
obiektu dwóch struktur.
Poszczególne tkanki i narządy organizmu ludzkiego w różny sposób osłabiają promieniowanie X.
Fakt ten został zaobserwowany jeszcze przez Wilhelma Roentgena, zaraz po odkryciu tego
promieniowania i zastosowany do wykonywania zdjęć ręki. Trzy miesiące po odkryciu
promieniowanie Rentgenowskiego wykorzystano je do prześwietlenia rannej głowy pacjenta. Po
pierwszym roku stosowania promieniowania Rentgenowskiego w diagnostyce medycznej wiadomo
było, że obraz wnętrze ciała ludzkiego powstaje na zasadzie rzucania przez poszczególne narządy,
naświetlane promieniowaniem X, cieni na kliszę fotograficzną. Niestety, narządy organizmu
ludzkiego wzajemnie się przesłaniają, co prowadzi od nakładania się na siebie obrazów
poszczególnych struktur wewnętrznych człowieka. Ponadto, tworzenie zdjęć w klasycznej radiografii
polega na rzutowaniu trójwymiarowego obiektu jakim jest człowiek na płaszczyznę, co dodatkowo
zniekształca obraz. Wspominanie czynniki bardzo niekorzystnie wpłynęły na jakość zdjęć
radiologicznych. Już w roku 1895 (rok po odkryciu promieniowania X), Elihu Thompson zauważył, iż
wykonanie dwóch zdjęć radiologicznych z różnych pozycji lampy i detektora względem badanego
obiektu, a następnie obejrzenie zdjęć w stroboskopie prowadzi do poprawienia jakości obrazu. Od
tego momentu było wiadomo, iż wprowadzenie ruchu lampy Rentgenowskiej i detektora względem
badanego obiektu pozwala otrzymać informację, umożliwiającą poprawę jakość zdjęć ciała ludzkiego.
Zagadnienie to zilustrowano na rys. 1. Od tego momentu rozpoczęły się prowadzone na szeroką
skalę badania nad problemem ruchu lampy rentgenowskiej i detektora względem pacjenta. Ich
efektem było ciekawych rozwiązań, funkcjonujących jeszcze po zakończeniu drugiej wojny światowej.
W międzyczasie, w roku 1917 austriacki matematyk Johann Radon, udowodnił pewne twierdzenie,
które dzisiaj leży u podstaw tzw. metod rekonstrukcji obrazów. Praktyczna realizacja osiągnięcia
Radona jest w zasadzie możliwa tylko przy pomocy komputerów, dlatego na początku dwudziestego
wieku twierdzenie to przeszło niezauważone. Twierdzenie tym zajmiemy się na początku kolejnego
rozdziału. W latach 50-tych i 60-tych ubiegłego wieku, problem wykonywania przestrzennego obrazu
ciała ludzkiego nadal nie był rozwiązany. Funkcjonowało wiele technik wykonywania tego rodzaju
zdjęć, jednakże jakość uzyskiwanych obrazów nie była zadowalająca. Każdy z odkrywców nadawał
opracowanej przez siebie metodzie własną nazwę, i tak do roku 1962 roku można było spotkać się z
takimi terminami jak stratigraphy, planigraphy, body-section radiography, tomography, verigraphy,
radiothomy. Wszystkie one dotyczyły rozwiązań, w których lampa rentgenowska i detektory
wykonywały ruch dookoła pacjenta. Ostatecznie, w roku 1962 International Commision on
Radioation Units and Measurements, zarekomendowała dla tych metod termin ‘’’Tomografia’’’ (gr.
thomos – warstwa, graphein – rysować), czyli obrazowanie warstwowe. Od roku 1956 Allan McLeod
Cormack, amerykański fizyk pochodzenia południowoafrykańskiego w ramach hobby interesuje się
promieniowaniem X i dokonuje wyliczeń będących podwalinami współczesnej tomografii
rentgenowskiej. Wyniki publikuje w Journal of Applied Physics w 1963 i 1964 roku. Prace te jednak
nie zostają zauważone. W tych samych latach Godfrey Newbold Hounsfield, brytyjski inżynier
elektronik pracuje nad urządzeniami tomograficznymi, jednakże bez znaczącego sukcesu. W końcu
napotyka na obliczenia Cormack’a i w oparciu o nie buduje pierwszy Rentgenowski Tomograf
Komputerowy (X – Ray Computed Tomography, CT, w żargonie lekarskim zwany po prostu
tomografem), zaprezentowany w roku 1971 i nazwany EMI. CT znajduje się w użytku od roku 1972
(pierwszy zbadany pacjent). W roku 1979 Hounsfield i Cormack otrzymują nagrodę Nobla, z
dziedziny fizjologii i medycyny za opracowanie Komputerowej Tomografii Rentgenowskiej
(Hounsfield ponadto otrzymuje od Królowej Brytyjskiej tytuł szlachecki Sir).
Twierdzenie Radona i Transformata Radona
W roku 1905 W. Radon udowodnił następujące twierdzenie: „Obraz obiektu dwuwymiarowego można
zrekonstruować na podstawie nieskończone ilości rzutów jednowymiarowych”. Jak okaże się w
dalszych częściach poniższego rozdziału, rzutowanie to odpowiada wykonywaniu na obiekcie pewnej
transformacji, nazywanej Transformacją Radona. Dokonanie na wynikach rzutowania Odwrotnej
Transformacji Radona umożliwia zrekonstruowanie obrazu obiektu. W następnym podrozdziale
podamy matematyczne sformułowanie tego twierdzenia, natomiast w tym miejscu pragniemy zwrócić
uwagę na pewien fakt. W twierdzeniu pojawia się termin rekonstrukcja. Otóż, w przeciwieństwie do
klasycznej radiografii, w której zdjęcie obiektu powstaje natychmiast na filmie, potem zaś obraz jest
tylko wywoływany i utrwalany, w przypadku tomografii, nie można na podstawie serii pomiarów od
razu uzyskać obrazu. Niezbędny jest dodatkowy etap – wyznaczenie na podstawie zebranych danych
obrazu badanego obiektu. Proces ten nazywamy rekonstrukcją.
Podstawy Matematyczne — Delta Diraca
Poprawne zrozumienie Twierdzenia Radona wymaga opanowania pewnych zagadnień
matematycznych, które przypomnimy w poniższym podrozdziale.
właściwości:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
Inne ciekawe właściwości wynikające z właściwości A-F:
G.
Dowód:
H.
Dowód:
I.
Dowód:
Transformata Radona w kartezjańskim układzie współrzędnych
Ilustracja prezentująca wyznaczanie
transformaty Radona. Obiekt opisany jest za
pomocą dwuwymiarowej funkcji g(x,y), która
reprezentuje rozkład jego pewnej cechy
fizycznej (np. gęstości, rozkładu
radiofarmaceutyka, liniowego współczynnika
osłabienia promieniowania X). Dokonujemy
sumowania wartości funkcji g(x,y) wzdłuż
pewnej prostej, parametryzowanej za
pomocą współczynników a i b. Wynik
sumowania — G(a,b) zależy oczywiście
oczywiście od przebiegu prostej i jest
prezentowany we współrzędnych A-B
parametrów prostej.
Transformata Radona to transformata całkowa o następującej postaci:
Transformatę Radona zilustrowano na rys. 2. Własności:
A. Transformata Radona jest liniowa.
Dowód:
Niech będzie dana funkcja
Wtedy jej transformata Radona
, będąca kombinacją liniową funkcji
:
wynosi:
i jest kombinacją liniową transformat Radona funkcji
.
B. Transformata Radona funkcji przesuniętej do współrzędnych
Dokonując zamiany zmiennych:
dostajemy:
suma wyrażeń:
jest pewną stałą, będącą nowym współczynnikiem przesunięcia prostej
względem początku układu współrzędnych, wzdłuż której następuje całkowanie funkcji Ostatecznie
dostajemy następujący wynik. Jeżeli transformata Radona funkcji
transformata Radona funkcji
wynosi
, to
jest równa:
Przykład 1. Transformata Radona punktu znajdującego się w środku układu współrzędnych.
Ilustracja do Przykładu I — wyznaczenie
Transformaty Radona Punktu znajdującego
się w środku układu współrzędnych.
Zakładamy, że punkt ma nieskończenie wielką amplitudę. Taki punkt możemy zamodelować za
pomocą Delty Diraca:
co oznacza, że funkcja
ma następującą postać:
Obliczmy transformatę Radona powyższej funkcji:
Przekształcimy ten wzór, korzystając z właściwości Delty Diraca.
Ostatecznie otrzymaliśmy zatem następujący wynik:
Jak widzimy, transformata Radona punktu, znajdującego się w środku układu współrzędnych da
wynik niezerowy, jeśli współczynnik przesunięcia prostej będzie równy zero. Jest to wynik zgodny z
naszą intuicją, bowiem, tylko prosta o takim współczynniku przesunięcia przechodzi przez środek
układu współrzędnych, a zatem pokrywa się z rozważanym punktem. Innymi słowy, transformata
Radona przekształca punkt leżący w początku układu współrzędnych, na prostą w przestrzeni
parametrów Radona biegnącą równolegle do osi pionowej i przechodzącej przez punkt 0. Wynik ten
zilustrowano na rys. 3.
Przykład 2. Transfromata Radona punktu o dowolnych współrzędnych
Ilustracja do Przykładu II — wyznaczenie
Transformaty Radona punktu o dowolnych
współrzędnych.
Jest to bardzo ważny przykład, ponieważ każdy obiekt możemy przedstawić jako sumę punktów o
różnych współrzędnych, których amplituda reprezentuje pewną cechę fizyczną obiektu.
Wykorzystując dalej liniowość Transformaty Radona, możemy obliczyć Transformatę Radona danego
obiektu jako sumę Transformat Radona punktów składających się na ten obiekt. Podobnie jak w
poprzednim przykładzie, punkt możemy wyrazić za pomocą Delty Diraca.
Postać funkcji
jest zatem następująca:
Transformatę Radona powyższej funkcji obliczymy wykorzystując właściwości B transformaty
Radona. Transformatę Radona punktu leżącego w środku układu współrzędnych wynosi:
a zatem transformata Radona punktu
przesuniętego jest równa:
Transformata Radona przekształca zatem punkt o dowolnych współrzędnych w prostą w przestrzeni
parametrów Radona. Wynik ten zilustrowano na rys. 4
Przykład 3. Transformata Radona prostej.
Ilustracja do Przykładu III — wyznaczenie
Transformaty Radona linii prostej.
Przykład ten podajemy ze względu na jego znaczenie w grafice komputerowej. Uprzedzając wyniki
obliczeń podamy, iż Transformata Radona punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych prowadzi
do punktu we układzie współrzędnych Transformaty Radona. Punkt te ma współrzędne
odpowiadające parametrom prostej. W ten sposób można wykorzystać Transformatę Radona do
wynajdywanie w obiekcie, czy obrazach linii prostych.
Prostą
możemy opisać przy pomocy Delty Diraca, zakładając że punkty leżące na prostej
mają nieskończoną amplitudę.
wtedy:
jej transformata Radona jest równa:
całkując prawą stronę powyższego równania najpierw po zmiennej dy oraz wykorzystując własność
Delty Diraca dostajemy:
W zależności od wartości parametrów
a.
oraz dowolne i
możemy rozważyć następujące przypadki rozwiązań:
Korzystając z własności B Delty Diraca ostatecznie otrzymujemy:
b.
i
c.
i
, wtedy:
Podsumowując, transformata Radona funkcji prostej przekształca ją w przestrzeni (A-B) w funkcję
płaską o amplitudzie
, która osiąga wartość nieskończoną w punkcie o współrzędnych
odpowiadających parametrom prostej. Wynik ten zilustrowano na rys. 5
Normalna postać Transformaty Radona
Obiekty spotykane w rzeczywistości cechuje zwykle pewna symetria, w związku z czym dogodniej
jest je opisywać w innych niż kartezjańskim układzie współrzędnych. Np. człowiek w przybliżeniu
posiada symetrię walcową. Ponadto Twierdzenie Radona mówi o tym, iż do wiernego
zrekonstruowania obiektu potrzebna jest nieskończona liczba rzutów tego obiektu. Warunek ten w
praktyce jest oczywiście niemożliwy do zrealizowania, w związku z czym zawsze będziemy mieli do
czynienia z obrazem będącym pewnym przybliżeniem rzeczywistego obiektu. Niemniej powstaje
pytanie, z jakich kierunków dokonać rzutowania badanego obiektu. Okazuje się, że dowolne ruchy
występujące w przyrodzie, można uzyskać za pomocą obrotu i przesunięcia. Uwzględniając symetrię
ciała człowieka, wspomniane ruchy wygodniej jest opisywać w biegunowym układzie współrzędnych.
Przejdziemy teraz zatem do wyrażenia Transformaty Radona w biegunowym układzie
współrzędnych, którą będziemy nazywać Normalną Transformatą Radona. Pomocne przy tym będą
dwa dodatkowe zagadnienia — parametryzacja proste jw układzie biegunowym oraz obrót układu
współrzędnych, które opiszemy w następnych rozdziałach.
Parametryzacja prostej w układzie biegunowym .
Ilustracja do zagadnienia parametryzacji
prostej.
Na początku dokonajmy parametryzacji prostej — zamiast opisywać prostą za pomocą współczynnika
a (nachylenia prostej względem układu OX) oraz współczynnika b — przecięcia prostej z osią OY
wprowadzimy parametry , określający odległość prostej od początku układu współrzędnych oraz
kąt φ jaki tworzy normalna do prostej względem osi OX. Znaczenie parametrów i φ zilustrowano
na rys. 3. Przy pomocy parametrów i φ równanie prostej może być zapisane w następujący sposób:
Obrót układu współrzędnych:
Ilustracja do zagadnienia obrotu układu
współrzędnych.
Przypomnijmy znaną z kursu matematyki transformację współrzędnych punktu
w układzie X-Y
do układu T-S, obróconego względem niego o kąt . W układzie T-S punkt ma współrzędne
:
Zagadnienie to zilustrowano na rys. 7. Jakobian tego przekształcenia wynosi:
Normalna Transformata Radona
Parametryzacja prostej za pomocą przesunięcia
Transformaty Radona:
oraz kąta φ umożliwia następujący zapis
Dokonamy teraz pewnych przekształceń, polegających na:
wykorzystaniu transformacji układu współrzędnych pomiędzy układem X-Y i układem
obróconym T-S,
wykorzystaniu pewnych właściwości Delty Dirac'a.
Otrzymany wzór to alternatywna postać Normalnej Transformaty Radona. Prosze zauważyć, iż
wyrażenie
Przykład IV — Normalna transformata Radona punktu
Rozważmy ponownie ważne zagadnienie, jakim jest Transformata Radona Punktu. Tak jak w
przykładzie II punkt o współrzędnych
opiszemy za pomocą Delty Dirac'a.
[Error parsing LaTeX formula. Error 1: ]
Jak wygląda wykres otrzymanej funkcji
. Wygodniej będzie zapisać współrzędne punktu
we współrzędnych biegunowych, co zilustrowano na rys. 8.
Punkt w biegunowym układzie
współrzędnych.
Wynikiem przekształcenia punktu opisanego
w biegunowym układzie współrzędnych za
pomocą Transformaty Radona jest krzywa
sinusoidalna.
Otrzymaliśmy zatem następujący wynik:
Wyrażenie
czyli gdy punkty
jest niezerowe, tylko wtedy, gdy:
i
leżą na sinusoidzie. Wynik ten zilustrowano na zilustrowano na rys. 9.
Sinogram
Po lewej stronie rysunku badany obiekt,
składający się z dwóch kwadratów. Po
prawej stronie rysunku jego sinogram, czyli
Transformata Radona.
Jak już to było wspomniane w poprzednich rozdziałach, dowolny obiekt możemy zapisać jako sumę
punktów o różnych współrzędnych. W związku z tym, iż Transformatą Radona punktu w biegunowym
układzie współrzędnych jest krzywa sinusoidalna, Transformata Radona dowolnego obiektu będzie
składała się z bardzo wielu sinusoid. Jest to powód, dla którego wykres Transformaty Radona
nazywamy sinogramem. Przykład obiektu i jego sinogramu zaprezentowano na rys. 10.
Odwrotna Transformata Radona.
Poprzednie rozdziały dotyczyły tylko i wyłącznie Transformaty Radona oraz niektórych jej
właściwości. Jaki związek ma Transformata Radona z rekonstrukcją obrazu badanego obiektu?
Przypominamy, iż Transformata Radona jest pewnym rodzajem jedno-wymiarowego rzutowania.
Obiekt badamy wzdłuż pewnej prostej, sparametryzowanej np. w biegunowym układzie
współrzędnych. Wynikiem pojedynczego pomiary wzdłuż określonego przez prostą kierunku,jest
suma punktów tworzących obiekt i leżących na tej prostej. Punkty te reprezentują pewną wybraną
cechę obiektu. Okazuje się, że istnieje transformata odwrotna do Transformaty Radona, która na
podstawie serii opisanych pomiarów umożliwia odtworzenie obrazu obiektu. Jeśli transformata
obiektu
ma postać:
to jej transformata odwrotna wynosi
Podana postać odwrotnej Transformaty Radona jest niewygodna do implementacji numerycznej
(wymaga czasochłonnego liczenia wielu pochodnych), niemniej jest dowodem na to, iż możliwa jest
na podstawie jednowymiarowych rzutów rekonstrukcja obrazu dwu lub trój wymiarowego obiektu.
Pozostaje jeszcze kwestia, jak aparatura medyczna jest w stanie dokonać wyznaczenia Transformaty
Radona obiektu. Tematem tym zajmiemy się w kolejnych rozdziałach.