Lista 5b

Podstawy Teleinformatyki
Lista 5
Pochodna i całka, a transformata Fouriera
1
Delta Diraca
Delta Diraca (zwana również funkcją impulsową) wywodzi się z teorii sygnałów i ma przedstawiać
nieskończenie duże zakłócenie sygnału o skończonej energii. Ten obiekt matematyczny ma dwie istotne
własności. Przyjmuje wartość równą nieskończoności w zerze:
(
δ(t) =
∞
0
dla t = 0
w przeciwnym przypadku
oraz jego całka przyjmuje wartość równą 1:
Z ∞
f (t)dt = 1
−∞
Deltę Diraca można formalnie zdefiniować jako granicę:
1
δ(t) = lim+ Gu (t)
u→0 2u
(
gdzie Gu (t) jest funkcją bramkową: Gu (t) =
1 t ∈ [−u, u]
0 w przeciwnym przypadku
Delta Diraca nie jest zwykłą funkcją. Ponieważ osiąga ona nieskończoność, nie zachowuje pewnych
własności charakterystycznych dla funkcji rzeczywistych. Dla naszych celów najistotniejsze są własności związane z transformatą Fouriera:
Twierdzenie 1 Transformata delty Diraca δ(t) wynosi:
F[δ(t)] = 1
Zadanie 1.1 Oblicz transformaty Fouriera funkcji:
a) f (t) = 1, b) f (t) = eiat , c) cos(at), d) sin(at)
2
2.1
Różniczkowanie i całkowanie
Pochodna w dziedzinie czasu
Twierdzenie 2 Dla funkcji
df (t)
transformata przyjmuje postać:
dt
"
#
df (t)
= (iω)F (ω)
F
dt
Uwaga: taka transformata może nie istnieć, jednak jeśli istnieje, to przybiera taką formę.
1
2.2
Całka w dziedzinie czasu
Twierdzenie 3 Transformata funkcji
Z t
f (τ ) dτ przyjmuje postać:
−∞
F
Z t
f (τ ) dτ =
−∞
pod warunkiem, że
2.3
1
F (ω)
iω
F (ω)
jest ograniczone dla ω = 0.
ω
Pochodna w dziedzinie częstości kołowej
Twierdzenie 4 Transformata funkcji −itf (t) przyjmuje postać:
F[−itf (t)] =
2.4
dF (ω)
dω
Wykorzystanie całki i pochodnej do obliczania transformaty Fouriera
Załóżmy, że chcemy obliczyć transformatę funkcji trójkątnej:



t−1
−1 < t ¬ 0
f (t) = −t + 1 0 < t < 1


0
w przeciwnym przypadku
Możemy tę transformatę policzyć bezpośrednio z definicji, jednak będzie to się wiązało z długimi
obliczeniami. Aby ich uniknąć wykorzystamy twierdzenia 2 i 3.
df
:
Spróbujmy policzyć pochodną
dt



1
−1 < t < 0
df
= −1 0 < t < 1

dt

0
w przeciwnym przypadku
Problematyczne są punkty t = −1, t = 0 i t = 1 gdzie funkcja nie jest gładka i pochodna nie istnieje.
Jednak transformata, jako całka jest “nieczuła” na pojedyncze punkty, więc możemy je zignorować.
Uwaga: Nie dotyczy to delty Diraca.
d2 f
df
Następnie policzymy drugą pochodną 2 . Funkcja
ma dwa punkty nieciągłości i klasyczna podt
dt
chodna w nich nie istnieje. Jednak, przy pewnych nieznacznych założeniach dodatkowych, można
rozszerzyć stosowalność pochodnej i udownodnić twierdzenie:
Twierdzenie 5 Niech dana będzie funkcja f (t) posiadająca skok (nieciągła) w punkcie t0 taki, że
limt→t−0 = f1 oraz limt→t+0 = f2 . Pochodna funkcji w punkcie t0 wynosi:
df (t0 )
= (f2 − f1 )δ(t − t0 )
dt
2
Inaczej mówiąc pochodna funkcji w punkcie nieciągłości jest równa delcie Diraca pomnożonej przez
wielkość skoku. Wielkość skoku jest dodatnia dla skoku w górę, a ujemna dla skoku w dół.
d2 f
Korzystając z tej własności możemy policzyć drugą pochodną funkcji trójkątnej 2 :
dt
2
df
= δ(t + 1) − 2δ(t) + δ(t − 1)
dt2
Rysunek przedstawia funkcję i jej kolejne pochodne:
Trzeciej pochodnej nie jesteśmy w stanie policzyć ze względu na występujące we wzorze delty Diraca.
Transformatę Fouriera drugiej pochodnej można policzyć, korzystając z transformaty delty Diraca
i twierdzenia o przesunięciu w czasie:
"
#
d2 f
F
= eiω − 2 + e−iω = 2(cos ω − 1)
dt2
Następnie korzystając dwukrotnie z twierdzenia o pochodnej (tw. 2) otrzymujemy:
"
#
d2 f
= (iω)2 F (ω)
F
dt2
Czyli dla funkcji z przykładu:
"
#
df
1
F
=
2(cos ω − 1)
dt
iω
F [f (t)] =
1
2
2(cos ω − 1) = − 2 (cos ω − 1)
2
(iω)
ω
Zadanie 2.1 Korzystając z twierdzenia o pochodnej transformaty oraz uogólnionych własności pochodnej oblicz transformaty:
a. f (t) = Gu (t)
(
2t 0 < t < 1
0 w przeciwnym przypadku
(
−t2 + 1 −1 < t < 1
0
w przeciwnym przypadku
b. f (t) =
c. f (t) =

A
Ab

t + b−a

b−a


 A
d. f (t) = 
A
Ab
t + b−a

a−b


 0
dla t ∈ [−b; −a]
dla t ∈ [−a; a]
dla t ∈ [a; b]
w pozostałych przypadkach
3