Kamerton - Akademia Morska w Gdyni

mgr Kamila Haule
dr hab. Zbigniew Otremba, prof. AMG
Akademia Morska w Gdyni
Wprowadzenie teoretyczne
Doświadczenie „K A M E R T O N”
Drgania harmoniczne proste i tłumione
Drganiami harmonicznymi nazywamy ruch masy m (tzw. oscylatora) wzdłuŜ współrzędnej x, w sytuacji,
gdy na masę tę działa siła (tzw. siła kierująca) proporcjonalna do wartości tej współrzędnej, z
przeciwnym znakiem.
F = -kx
a = mF (zasada dynamiki Newtona)
Po uwzględnieniu definicji przyśpieszenia powstaje równanie róŜniczkowe:
=
d 2x
dt 2
− kx
m
Równanie to ma rozwiązanie w postaci funkcji:
x(t) = A sin(ω
ωt + ϕ)
A - amplituda; ω - częstość (2π/T); argument sinusa - faza; ϕ - faza początkowa.
Rozwiązanie to okazuje się poprawne, gdy ω2 = k/m (czyli: kwadrat częstości jest stosunkiem stałej k
do stałej przy drugiej pochodnej (w tym przypadku masa m). JeŜeli na masę m obok siły kierującej
działa siła tłumiąca proporcjonalna do szybkości (δ dx
xt ), wówczas powyŜsze równanie róŜniczkowe
przyjmuje postać:
− kx + δ dx
d 2x
dt
2
m
dt
JeŜeli tłumienie jest niewielkie (współczynnik δ jest mały) równanie to ma rozwiązanie w postaci funkcji:
=
x ( t ) = A o e − β t cos (ω t + ϕ )
Funkcja ta jest iloczynem dwóch funkcji: A0 e − β t oraz
cos(ωt + ϕ). Druga funkcja informuje iŜ są to drgania
harmoniczne, natomiast pierwsza określa zanik
amplitudy w czasie. W wykładniku eksponenty
znajduje się współczynnik tłumienia β= 2δm . Częstość
drgań zaleŜy od częstości drgań własnych oscylatora
ωo oraz od współczynnika tłumienia β. Częstość
własna to częstość, jaką z jaką drgałby oscylator w
przypadku braku tłumienia.
ω2 =ωo2 - β 2
Miara amplitudy drgań kamertonu
Kamerton to przyrząd mechaniczny w formie stalowych widełek do wytwarzania fali dźwiękowej o
ustalonej częstotliwości. Podstawowy kamerton wydaje dźwięk o częstotliwości 440 Hz (ton a1). W
zasadzie rozwaŜania o wartości amplitudy drgań kamertonu są nieuzasadnione, bowiem w kaŜdym
jego miejscu są róŜne. Natomiast niepozbawione sensu jest mówienie zarówno o zmianach amplitudy
drgań kamertonu, jak o mierze amplitudy. Miara amplitudy odzwierciedla się na ekranie oscyloskopu.
Technicznie odbywa się to w sposób przedstawiony na rysunku:
Rytm drgań stalowych widełek kamertonu przenosi
się na zaburzenie pola magnetycznego, którego
źródłem jest namagnesowany rdzeń otoczony cewką
indukcyjną. Zmiany indukcji pola magnetycznego
indukują siłę elektromotoryczną w zwojach cewki,
która podłączona jest do wejścia "Y" oscyloskopu.
Zagadnienia do przygotowania:
- wychylenie, amplituda i częstotliwość w drganiach harmonicznych prostych i tłumionych,
- współczynnik tłumienia (definicja, jednostka),
- zasada działania oscyloskopu.
mgr Kamila Haule
dr hab. Zbigniew Otremba, prof. AMG
Akademia Morska w Gdyni
Szablon metodyczny
„K A M E R T O N”
Student 1: Wyznaczanie współczynnika tłumienia.
Student 2: Sprawdzanie zaleŜności amplitudy drgań gasnących od czasu.
Baza teoretyczna
Funkcja A(t) opisuje zanik amplitudy drgań gasnących w czasie.
A = Ao e−βt
Zarówno w celu wyznaczenia
współczynnika tłumienia jak
i sprawdzenia teoretycznej zaleŜności
amplitudy drgań tłumionych od czasu,
wystarczy mierzyć wielkość
proporcjonalną do amplitudy drgań.
Obserwację zaniku amplitudy drgań w czasie moŜna przeprowadzić wykorzystując kamerton,
przetwornik elektromagnetyczny (który drgania kamertonu przekształca w przebieg elektryczny
(napięcie)), miernik napięcia elektrycznego (którym moŜe być oscyloskop lub miernik napięcia).
ln
Ao
A
= βt
Zatem, aby wyznaczyć współczynnik
tłumienia kamertonu naleŜy:
- wykonać pomiary zaleŜności amplitudy
(w praktyce mierzymy wielkość elektryczną
proporcjonalną do amplitudy) od czasu,
- sporządzić wykres zaleŜności
ln
Ao
A
od t
- odczytać wartość współczynnika tłumienia.
lnA = ln Ao -β t
Zatem, aby sprawdzić zaleŜność amplitudy
drgań kamertonu od czasu naleŜy:
- wykonać pomiary zaleŜności amplitudy
(w praktyce mierzymy wielkość elektryczną
proporcjonalną do amplitudy) od czasu,
- sporządzić wykres zaleŜności
lnA od t
- zanalizować jego liniowość.
mgr Kamila Haule
dr hab. Zbigniew Otremba, prof. AMG
Akademia Morska w Gdyni
Wskazówki do sprawozdania – wyznaczanie
„K A M E R T O N”
Student 1: Wyznaczanie współczynnika tłumienia.
I.
Metodyka (ideowy plan ćwiczenia)
II. Przebieg ćwiczenia
II.1. Przebieg czynności
II.2. Szkic układu pomiarowego
III. Wyniki
III.1. Wyniki pomiarów
1
A
[…]
t
[s]
∆A = …
∆t = ...
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
8
9
10
III.2. Obliczenia (przykładowe – odnoszą się np. do pomiaru nr 4)
ln
A0
= ...
A
∆ ln
A0
=…
A
III.3. Wyniki obliczeń
1
t
A0
A
A
∆ ln 0
A
ln
2
3
4
5
6
[…]
[…]
[…]
∆t = ...
III.4. Wykres + obliczenie wyniku na wykresie (wszystko ołówkiem!)
IV. Podsumowanie
Wyznaczona wartość … wynosi ...
Dokładność metody: ...
Dodatkowe wnioski, spostrzeŜenia, przyczyny niepewności pomiarowych.
mgr Kamila Haule
dr hab. Zbigniew Otremba, prof. AMG
Akademia Morska w Gdyni
Wskazówki do sprawozdania – sprawdzanie
„K A M E R T O N”
Student 2: Sprawdzanie zaleŜności amplitudy drgań gasnących od czasu.
I.
Metodyka (ideowy plan ćwiczenia)
II. Przebieg ćwiczenia
II.1. Przebieg czynności
II.2. Szkic układu pomiarowego
III. Wyniki
III.1. Wyniki pomiarów
1
2
A
[…]
t
[s]
∆t = ...
∆A = ...
3
4
5
6
7
8
9
10
III.2. Obliczenia (przykładowe – odnoszą się np. do pomiaru nr 4)
ln A = …
Uwaga – lnA traci jednostkę (Wyjaśnienie matematyczne: MoŜna logarytmować jedynie wielkości
niemianowane, dlatego formalnie logarytmujemy wartość amplitudy podzieloną przez jej jednostkę.)
Do obliczeń moŜna więc wziąć A w mm, cm lub innych jednostkach, gdyŜ nie wpłynie to na wynik.
∆ln A = …
III.3. Wyniki obliczeń
1
t
[s]
ln A
[…]
∆ ln A
[…]
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = …
III.4. Wykres
IV. Podsumowanie
PoniewaŜ na wykresie ... moŜna poprowadzić prostą przechodzącą przez wszystkie prostokąty
niepewności pomiarowych, nie ma podstaw do stwierdzenia odstępstwa od ...
Ewentualnie: Odstępstwo od liniowości w zakresie ... moŜe wynikać z ….
Dodatkowe wnioski, spostrzeŜenia, przyczyny niepewności pomiarowych.