SYSTEMY DYSKRETNE LTI

CPS
1
2006/2007
SYSTEMY DYSKRETNE LTI
Odpowiedź impulsowa
Odpowiedź impulsowa h[n] systemu jest to sygnał na wyjściu systemu, gdy na jego
wejściu wymuszono w chwili n=0 impuls jednostkowy δ [ n ] .
U
U
δ[n]
h[n]
System dyskretny
Odpowiedź impulsowa h[n] jest kompletną charakterystyką sytemu LTI, pozwalającą
określić odpowiedź systemu na dowolne inne wymuszenie.
Iloczyn sygnału x[n] oraz impulsu δ [ n ] możemy zapisać jako:
x [ n ] ⋅ δ [ n ] = x [ 0] ⋅ δ [ n ]
Ogólnie zależność ta dla impulsu przesuniętego w czasie jest następująca:
x [ n] ⋅ δ [ n − k ] = x [ k ] ⋅ δ [ n − k ]
gdzie n reprezentuje indeks czasu, x[n] opisuje sygnał.
Można zauważyć, że mnożenie sygnału i impulsu przesuniętego daje w wyniku impuls
przesunięty o polu równym wartości funkcji w miejscu przesunięcia impulsu.
Ta właściwość pozwala zapisać wymuszenie x[n] jako:
x [ n ] = … + x [ −2] ⋅ δ [ n + 2] + x [ −1] ⋅ δ [ n + 1] + x [ 0] ⋅ δ [ n ] + x [1] ⋅ δ [ n − 1] + x [ 2] ⋅ δ [ n − 2] + …
CPS
2
2006/2007
lub w skróconej formie :
x [ n] =
∞
∑ x[k ] ⋅ δ [n − k ]
k =−∞
Wykorzystując liniowość i stacjonarność systemu odpowiedź wynosi:
U
U
y [ n] =
∞
∑ x [ k ] ⋅h [ n − k ]
k =−∞
Tzn. jeżeli wymuszeniem systemu LTI x[n] jest superpozycja „ważonych” impulsów
przesuniętych w czasie to jego odpowiedzią będzie superpozycja identycznie „ważonych”
odpowiedzi h[n] impulsowych identycznie przesuniętych w czasie.
Operację pozwalającą wyznaczyć odpowiedź systemu na dowolne wymuszenie nazywa
się splotem i oznacza gwiazdką * jak w wyrażeniu:
U
U
y [ n] = x [ n] ∗ h [ n] =
∞
∑ x [ k ] ⋅h [ n − k ]
k =−∞
Przykład:
U
Odpowiedź impulsowa systemu LTI wynosi:
⎧1, n = ±1
⎪
h [ n ] = ⎨2, n = 0
⎪ 0, inne
⎩
h[n]
2
-1
n
0
1
2
3
4
5
CPS
3
Należy wyznaczyć odpowiedź systemu na wymuszenie:
⎧ 2, n = 0
⎪ 3, n = 1
⎪
x [ n] = ⎨
⎪−2, n = 2
⎪⎩ 0, inne
Rozwiązanie:
U
Wymuszenie wynosi:
x [ n ] = 2 ⋅ δ [ n ] + 3 ⋅ δ [ n − 1] − 2 ⋅ δ [ n − 2]
Odpowiedź będzie superpozycją odpowiedzi impulsowych:
y [ n ] = 2 ⋅ h [ n ] + 3 ⋅ h [ n − 1] − 2 ⋅ h [ n − 2]
Ponieważ odpowiedź impulsowa wynosi:
h [ n ] = δ [ n + 1] + 2 ⋅ δ [ n ] + δ [ n − 1]
Zatem odpowiedź systemu
y [ n ] = 2 ⋅ (δ [ n + 1] + 2 ⋅ δ [ n ] + δ [ n − 1])
+3 ⋅ (δ [ n ] + 2 ⋅ δ [ n − 1] + δ [ n − 2])
−2 ⋅ (δ [ n − 1] + 2 ⋅ δ [ n − 2] + δ [ n − 3])
y [ n ] = 2δ [ n + 1] + 4δ [ n ] + 2δ [ n − 1]
+3δ [ n ] + 6δ [ n − 1] + 3δ [ n − 2]
−2δ [ n − 1] − 4δ [ n − 2] − 2δ [ n − 3]
Stąd ostatecznie odpowiedź wynosi:
y [ n ] = 2δ [ n + 1] + 7δ [ n ] + 6δ [ n − 1] − δ [ n − 2] − 2δ [ n − 3]
Matlab (splot dwóch sygnałów)
h=[1 2 1];
x=[2 3 –2];
y=conv(h,x))
2006/2007
CPS
4
2006/2007
Rozwiązanie graficznie:
x[n]
v0[n]
2
-1
0
6
4
2
n
1
2
3
4
5
-1
0
1
-4
v1[n]
n
1
2
3
4
5
-1
0
v2[n]
3
0
-2
5
2
3
4
5
-4
2
1
-1
4
n
1
-4
x[n]
3
6
4
2
3
0
2
-4
x[n]
-1
n
6
4
2
n
1
2
3
4
5
-1
0
n
1
2
3
4
5
-4
y[n]
6
x[n]
2
-1
0
-2
4
2
n
1
2
3
4
5
-1
0
1
-4
n
2
3
4
5
CPS
5
2006/2007
Własności splotu:
Przemienność
U
x [ n] ∗ h [ n] = h [ n] ∗ x [ n]
Łączność
U
( x [ n ] ∗ h [ n ]) ∗ h [ n ] = x [ n ] ∗ ( h [ n ] ∗ h [ n ])
1
2
1
2
Rozdzielność
U
x [ n ] ∗ {h1 [ n ] + h2 [ n ]} = x [ n ] ∗ h1 [ n ] + x [ n ] ∗ h2 [ n ]
Korzystając z przemienności splotu można odpowiedź systemu obliczać jako:
y [ n] =
∞
∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ]
k =−∞
Odpowiedź jednostkowa.
Odpowiedź jednostkowa systemu dyskretnego, jest do odpowiedź k[n] na wymuszenie w
postaci skoku jednostkowego 1[n], może być wyznaczona ze splotu:
k [ n ] = h [ n ] ∗ 1[ n ] =
∞
∑
k =−∞
h [ k ] ⋅1[ n − k ] =
n
∑ h[k ]
k =−∞
Zależność między odpowiedzią impulsową i jednostkową:
h [ n ] = k [ n ] − k [ n − 1]
Własności systemu dyskretnego LTI:
Pamięć systemów
U
W systemach bez pamięci odpowiedź systemu y[n] zależy tylko od teraźniejszych wartości
wymuszenia x[n].
Ponieważ w systemach LTI zależność między odpowiedzią i wymuszeniem opisuje równanie:
y [ n] =
∞
∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ]
k =−∞
CPS
6
2006/2007
zatem musi być spełniony warunek dla odpowiedzi impulsowej:
h [ k ] = 0 dla k ≠ 0
Przyczynowość systemów:
U
Odpowiedź układu przyczynowego zależy tylko od przeszłych i teraźniejszych wartości
sygnału wejściowego.
Przeszłe i teraźniejsze wartości wymuszenia x [ n ] , x [ n − 1] , x [ n − 2] , ... są związane z indeksem
k ≥ 0 splotu
y [ n] =
∞
∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ]
k =−∞
natomiast przyszłe wartości wymuszenia są związane z k < 0 .
Zatem dla systemów przyczynowych musi być spełniony warunek dla odpowiedzi impulsowej:
h [ k ] = 0 dla k < 0
Wtedy splot na następującą postać:
∞
y [ n ] = ∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ]
k =0
lub alternatywnie y [ n ] =
n
∑ x [ k ] ⋅h [ n − k ]
k =−∞
Stabilność systemów:
U
Układ jest stabilny (w sensie BIBO), jeżeli przy ograniczonym sygnale wejściowym sygnał
wyjściowy jest także ograniczony:
x [ n] ≤ M x < ∞ ⇒ y [ n] ≤ M y < ∞
Możemy wyznaczyć warunki jakie musi spełniać odpowiedź impulsowa, aby gwarantowała
stabilność systemu.
y [ n] = h [ n] ∗ x [ n]
y [ n] =
∞
∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ]
k =−∞
CPS
7
Ponieważ a + b ≤ a + b
y [ n] ≤
2006/2007
∞
∑ h[k ] x[n − k ]
k =−∞
oraz a ⋅ b = a ⋅ b
y [ n] ≤
∞
∑ h[k ] x[n − k ]
k =−∞
Jeżeli wymuszenie jest ograniczone
x [ n ] ≤ M x < ∞, oraz x [ n − k ] ≤ M x < ∞
to odpowiedź
∞
y [ n] ≤ M x ∑ h [ k ]
k =−∞
Zatem aby odpowiedź była ograniczona musi być spełniony warunek ograniczonej absolutnej
sumy odpowiedzi impulsowej:
∞
∑ h[k ] < ∞
k =−∞
Równania różnicowe
x[n]
y[n]
System dyskretny
Rolę równań różniczkowych opisujących systemy analogowe w systemach dyskretnych pełnią
równania różnicowe.
CPS
8
2006/2007
Zależności między wymuszeniem x[n] i odpowiedzią y[n] w systemach liniowychstacjonarnych (LTI) opisują równania różnicowe ogólnie N-tego rzędu, liniowe w postaci:
U
U
N
M
k =0
l =0
∑ ak y ⎡⎣n − k ⎤⎦ = ∑ bl x ⎡⎣n − l ⎤⎦
gdzie współczynniki ak ,bl są rzeczywiste i stałe, a N określający rząd równania, jest
największym opóźnieniem odpowiedzi y[n].
Równania, różnicowe można rozwiązywać metodą klasyczną wykorzystując analogie do
metod rozwiązujących równania różniczkowe.
Przykład:
U
Należy obliczyć odpowiedź dwóch różnych systemów (dyskretnego i ciągłego) metodą
klasyczną przy zadanych równaniach opisujących systemy, warunkach początkowych,
i wymuszeniach (analogie w metodzie klasycznej).
System dyskretny
System ciągły
Równanie różnicowe:
Równanie różniczkowe
y [ n + 1] + α ⋅ y [ n ] = 1 + β − n , y [0 ] = γ
Rozwiązanie w postaci 2 składowych:
y [ n ] = yw [ n ] + ys [ n ]
Składowa swobodna spełnia równanie jednorodne:
ys [ n + 1] + α ⋅ ys [ n ] = 0
Równanie charakterystyczne:
s +α = 0
y ( t ) + α ⋅ y ( t ) = 1 + e β t , y (0 ) = γ
y ( t ) = yw ( t ) + ys ( t )
d
dt
ys ( t ) + α ⋅ y s ( t ) = 0
s +α = 0
Pierwiastek równania charakterystycznego
s = −α
Składowa swobodna
ys [ n ] = A1 ( −α )
d
dt
n
s = −α
ys ( t ) = A1e −α t
CPS
9
2006/2007
Składowa wymuszona:
yw [ n + 1] + α ⋅ yw [ n ] = 1 + β − n
d
dt
yw ( t ) + α ⋅ y w ( t ) = 1 + e β t
jest w postaci (charakter wymuszenia):
yw [ n ] = A + B ⋅ β − n
A + B ⋅ β −( n+1) + α ( A + B ⋅ β − n ) = 1 + β − n
yw ( t ) = A + B ⋅ e β t
d
dt
( A + Beβ ) + α ⋅ ( A + Beβ ) = 1 + eβ
1 ⎞ −n
−n
⎟⋅ β = 1+ β
β⎠
⎝
1
A=
1+α
yw [ n ] =
t
α A + B (α + β ) e β t = 1 + e β t
⎛
A (1 + α ) + B ⎜α +
B=
t
A=
β
αβ + 1
B=
1
β
+
⋅ β −n
1 + α αβ + 1
yw ( t ) =
1
α
1
α
1
α+β
+
1
⋅ eβ t
α+β
Stała całkowania z warunków początkowych:
ys [0 ] = A1 = y [0 ] − yw [0 ]
A1 = γ −
ys ( 0 ) = A1 = y ( 0 ) − yw ( 0 )
1
β
−
1 + α αβ + 1
A1 = γ −
1
α
Zatem odpowiedź systemu:
y [ n] =
⎛
1
β
1
β ⎞
n
+
⋅ β −n + ⎜ γ −
−
⎟ ( −α )
1 + α αβ + 1
1 + α αβ + 1 ⎠
⎝
odp .wymuszona
y (t ) =
odp .swobodna
1
α
+
1
1
⋅ e β t + ⎛⎜ γ − ⎞⎟ e −α t
α+β
α⎠
⎝
odp .wymuszona
Przykład: Obliczanie odpowiedzi jednostkowej systemu
U
System dyskretny opisany jest równaniem różnicowym
y [ n + 1] − 0.9 y [ n ] = x [ n ]
należy obliczyć przebieg wyjściowy y[n], jeżeli x [ n ] = 1[ n ] i
y [ 0] = 1
odp .swobodna
t
CPS
10
2006/2007
I. Rozwiązanie przez bezpośrednie podstawienie:
U
Dla kolejnych wartości n:
y [1] = 1 + 0.9
y [ 2] = 1 + (1 + 0.9 ) ⋅ 0.9 = 1 + 0.9. + 0.92
y [3] = 1 + (1 + 0.9 + 0.92 ) ⋅ 0.9 = 1 + 0.9 + 0.9 2 + 0.93
Stąd ogólnie:
y [ k ] = 1 + 0.9 + 0.92 + 0.93 +
+ 0.9k
Korzystając z zależności na sumę cząstkową ciągu geometrycznego:
1 − 0.9k +1
= 10 (1 − 0.9k +1 ) , k = 0,1, 2,...
y [k ] =
1 − 0.9
MATLAB
clear;
%
% obliczane rekurencyjnie
y0=1;
y=y0;
for k=1:20
y=1+0.9*y;
yy(k)=y;
end
yw=[y0 yy];
figure(1); stem(yw);
%
% wykorzystanie rozwiązania
i=0:20;
yu=10*(1-0.9.^(i+1))
figure(2); stem(yu)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
10
15
20
25
CPS
11
2006/2007
II. Rozwiązanie metodą klasyczną:
U
y [ n + 1] − 0.9 y [ n ] = 1,
y [ 0] = 1
Spodziewane rozwiązanie jest sumą składowych – wymuszonej i swobodnej
y [ n ] = y s [ n ] + yw [ n ]
Składowa swobodna jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego:
ys [ n + 1] − 0.9 ys [ n ] = 0
Równanie charakterystyczne:
s − 0.9 = 0
Pierwiastek równania charakterystycznego wynosi
s0 = 0.9
Składowa swobodna ma zatem postać szeregu wykładniczego:
ys [ n ] = A1 ⋅ 0.9n
Składowa wymuszona ma charakter wymuszenia (funkcja stała) i jest szczególnym
rozwiązaniem równania niejednorodnego
yw [ n ] = A (const )
Wartość A obliczymy z równania różnicowego poprzez porównanie współczynników z lewej i
prawej strony dla składowej wymuszonej:
yw [ n + 1] − 0.9 yw [ n ] = 1
A − 0.9 A = 1
A = 10
yw [ n ] = 10
CPS
12
2006/2007
Stałą A1 obliczamy z warunków początkowych, dla n=0
y [ n ] = y w [ n ] + ys [ n ]
y [ 0 ] = yw [ 0 ] + ys [ 0 ]
1 = 10 + A1 ⋅ 0.90
A1 = −9
Rozwiązanie końcowe:
y [ n ] = yw [ n ] + ys [ n ] = 10 + ( −9 ) ⋅ 0.9n = 10 (1 − 0.9 ⋅ 0.9n )
y [ n ] = 10 (1 − 0.9n+1 ) , n = 0,1, 2,...
Schematy blokowe
Systemy LTI można przedstawić w postaci schematu blokowego, który jest graficznym
zapisem równania różnicowego.
Mnożenie skalarne
U
x[n]
y[n]=cx[n]
Dodawanie
U
x[n]
+
y[n]=x[n]+w[n]
w[n]
Przesuwanie w czasie
U
x[n]
z-1
y[n]=x[n-1]
CPS
13
2006/2007
Połączenie równoległe:
U
h1[n]
+ y[n]
x[n]
+
x[n]
y[n]
h1[n]+ h2[n]
h2[n]
x [ n ] ∗ h1 [ n ] + x [ n ] ∗ h2 [ n ] = x [ n ] ∗ ( h1 [ n ] + h2 [ n ])
Połączenie kaskadowe:
U
x[n]
h1[n]
h2[n]
y[n]
x[n]
h1[n]* h2[n]
{ x [ n] ∗ h [ n]} ∗ h [ n] = x [ n] ∗ {h [ n] ∗ h [ n]}
1
2
1
2
Przykład:
U
Wyznacz odpowiedź systemu dyskretnego na wymuszenie:
x [ n ] = 2 ⋅ δ [ n ] − δ [ n − 1]
h1[n]
+
+
h3[n]
+
x[n]
h2[n]
h4[n]
-
y[n]
y[n]
CPS
14
jeżeli odpowiedzi impulsowe poszczególnych systemów wynoszą:
h1 [ n ] = 1[ n ]
h2 [ n ] = 1[ n + 2] − 1[ n ]
h3 [ n ] = δ [ n − 2]
h4 [ n ] = a n ⋅ 1[ n ]
Rozwiązanie:
U
h [ n ] = ( h1 [ n ] + h2 [ n ]) ∗ h3 [ n ] − h4 [ n ]
h12 [ n ] = 1[ n ] + 1[ n + 2] − 1[ n ] = 1[ n + 2]
h123 [ n ] = 1[ n + 2] ∗ δ [ n − 2] = 1[ n ]
Odpowiedź impulsowa całego systemu wynosi:
h [ n ] = (1 − a n ) ⋅ 1[ n ]
Odpowiedź na zadane wymuszenie:
y [ n] = x [ n] ∗ h [ n]
y [ n ] = ( 2 ⋅ δ [ n ] − δ [ n − 1]) ∗ h [ n ]
y [ n ] = 2 ⋅ h [ n ] − h [ n − 1]
y [ n ] = 2 ⋅ (1 − a n ) ⋅ 1[ n ] − (1 − a n −1 ) ⋅ 1[ n − 1]
2006/2007
CPS
15
2006/2007
Przykład:
U
Wyznaczyć odpowiedź układu (dla zerowych warunków początkowych)
-6
x[n]
y[n+2]
y[n]
y[n+1]
Z-1
+
5
na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego.
Rozwiązanie:
U
Równanie różnicowe ze schematu blokowego:
y [ n + 2] = x [ n ] − 6 y [ n ] + 5 y [ n + 1]
lub
y [ n + 2] − 5 y [ n + 1] + 6 y [ n ] = x [ n ]
Wstawiając do równania wymuszenie:
y [ n + 2] − 5 y [ n + 1] + 6 y [ n ] = 1
Metoda klasyczna:
U
Zakładamy rozwiązanie z postaci 2 składowych:
y [ n ] = yw [ n ] + ys [ n ]
Dla składowej swobodnej:
ys [ n + 2] − 5 ys [ n + 1] + 6 ys [ n ] = 0
Z-1
CPS
16
Równanie charakterystyczne
s 2 − 5s + 6 = 0
Pierwiastki równania charakterystycznego:
s1 = 2, s2 = 3
Składowa swobodna będzie miała postać:
ys [ n ] = A1 2n + A2 3n
*)
Składowa wymuszona ma charakter wymuszenia:
yw [ n ] = A
yw [ n + 2] − 5 yw [ n + 1] + 6 yw [ n ] = 1
A − 5A + 6A = 1
A − 5A + 6A = 1
yw [ n ] = A =
1
2
Stałe A 1 i A 2 oblicza się z warunków początkowych dla n=0 i n=1:
B
B
B
B
y [ n ] = y w [ n ] + ys [ n ]
y [ 0 ] = yw [ 0 ] + ys [ 0 ]
y [1] = yw [1] + ys [1]
1
+ A1 ⋅ 20 + A2 ⋅ 30
2
1
0 = + A1 ⋅ 21 + A2 ⋅ 31
2
0=
Stąd stałe:
A1 = −1
A2 =
1
2
2006/2007
CPS
17
2006/2007
Ostatecznie odpowiedź systemu wynosi:
1
2
1
−2n + 3n
2
skl .wymuszona
skl . swobodna
y ⎡⎣ n ⎤⎦ =
Schemat blokowy układu 2 rzędu
U
Schemat przedstawia typowy dyskretny system LTI opisany równaniem różnicowym 2 rzędu:
x[n]
b0
+
w[n]
y[n]
+
z-1
x[n-1]
z-1
b1
+
+
-a1
y[n-1]
z-1
z-1
b2
x[n-2]
-a2
y[n-2]
Sygnał wejściowy jest dwa razy przesunięty w czasie, na wyjściach bloków
opóźniających otrzymuje się sygnały x[n-1] i x[n-2]. Sygnały te są skalowane oraz sumowane
w wyniku czego otrzymuje się sygnał:
w[ n ] = b0 x [ n ] + b1 x [ n − 1] + b2 x [ n − 2]
Następnie możemy napisać dla sygnału wyjściowego y[n] w zależności od w[n]:
y [ n ] = w[ n ] − a1 y [ n − 1] − a2 y [ n − 2]
Stąd:
y [ n ] = b0 x [ n ] + b1 x [ n − 1] + b2 x [ n − 2] − a1 y [ n − 1] − a2 y [ n − 2]
y [ n ] + a1 y [ n − 1] + a2 y [ n − 2] = b0 x [ n ] + b1 x [ n − 1] + b2 x [ n − 2]
lub
2
2
k =0
l =0
∑ ak y [ n − k ] = ∑ bl x [ n − l ]
CPS
18
2006/2007
Alternatywny schemat blokowy dla układu 2 rzędu
U
x[n]
b0
+
+
f[n]
y[n]
z-1
-a1
f[n-1]
+
b1
+
z-1
-a2
b2
f[n-2]
Przykład:
U
System opisany równaniem należy przedstawić w postaci schematu blokowego:
y [ n ] + 12 y [ n − 1] − 13 y [ n − 3] = x [ n ] + 2 x [ n − 2]
Rozwiązanie
x[n]
+
y[n]
+
z-1
z-1
+
z-1
-1/2
z-1
2
z-1
1/3
CPS
19
2006/2007
Równania stanu
Opis systemu w przestrzeni stanu polega na utworzeniu układu równań różnicowych
pierwszego rzędu opisujących przebiegi zmiennych stanu systemu oraz zależności odpowiedzi
systemu od zmiennych stanu i wymuszenia. Równania te przedstawia się w formie
macierzowej.
U
U
Na schemacie blokowym sygnały f[n-1], f[n-2], które znajdują się na wyjściach bloków
opóźniających oznaczymy odpowiednio q 1 [n] oraz q 2 [n]. Wielkości te nazywa się zmiennymi
stanu .
x[n]
y[n]
+
+
B
B
B
B
U
U
z-1
+
-a1
b1
q1[n]
+
z-1
-a2
b2
q2[n]
Wartości zmiennych stanu zgodnie ze schematem blokowym wynoszą:
q1 [ n + 1] = −a1q1 [ n ] − a2 q2 [ n ] + x [ n ]
q2 [ n + 1] = q1 [ n ]
Ze schematu możemy także wyznaczyć zależność odpowiedzi od wymuszenia i zmiennych
stanu:
y [ n ] = x [ n ] − a1q1 [ n ] − a2 q2 [ n ] + b1q1 [ n ] + b2 q2 [ n ]
W formie macierzowej powyższe równania:
⎡ q1 [ n + 1] ⎤ ⎡ −a1
⎢
⎥=⎢
q
n
+
1
[
]
⎣ 2
⎦ ⎣ 1
− a2 ⎤ ⎡ q1 [ n ] ⎤ ⎡1 ⎤
x [ n]
⎢
⎥+
0 ⎥⎦ ⎣ q2 [ n ]⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ q [ n] ⎤
y [ n ] = [b1 − a1 b2 − a2 ] ⎢ 1 ⎥ + [1] x [ n ]
⎣ q2 [ n ]⎦
CPS
20
2006/2007
Definiując wektor stanu jako :
⎡ q [ n] ⎤
Q [ n] = ⎢ 1 ⎥
⎣ q2 [ n ]⎦
Równania stanu zapiszemy:
Q [ n + 1] = AQ [ n ] + bx [ n ]
y [ n ] = cQ [ n ] + Dx [ n ]
gdzie:
⎡ −a
A=⎢ 1
⎣ 1
− a2 ⎤
⎡1 ⎤
,
b
=
⎢0⎥
0 ⎥⎦
⎣ ⎦
c = [b1 − a1 b2 − a2 ] , D = [1]
Opis systemu w przestrzeni stanu wykorzystuje się często w obliczeniach numerycznych.
Przykład:
U
System opisany jest równaniem różnicowym. Wyznacz macierze stanu tego systemu:
y [ n ] + 12 y [ n − 1] − 13 y [ n − 2] = x [ n ] + 2 x [ n − 2]
Rozwiązanie
U
Postać ogólna równania różnicowego:
y [ n ] + a1 y [ n − 1] − a2 y [ n − 2] = b0 x [ n ] + b1 x [ n − 1] + b2 x [ n − 2]
zatem:
⎡ − 12
A=⎢
⎣1
c = [ − 12
⎤
⎡1 ⎤
,
b
=
⎢0⎥
0 ⎥⎦
⎣ ⎦
1
3
2 13 ] , D = [1]