Zagadnienia na egzamin

Zagadnienia na egzamin z Teorii grafów
w roku akademickim 2013/2014
i sieci
Efekty ksztaªcenia
W wyniku przeprowadzonych zaj¦¢ student:
E1 rozró»nia klasy grafów na podstawie ich wªasno±ci,
E2 zna i potra zastosowa¢ algorytmy grafowe,
E3 potra sformuªowa¢ praktyczne problemy za pomoc¡ poj¦¢ teorii grafów oraz wykorzystuje do nich odpowiednie algorytmy grafowe,
E4 samodzielnie analizuje i stosuje algorytmy grafowe,
E5 potra implementowa¢ algorytmy grafowe w wybranym j¦zyku programowania,
E6 zna wªasno±ci sieci zªo»onych.
Zagadnienia szczegóªowe
1. Podstawowe poj¦cia graf nieskierowany (E1)
• denicja grafu,
• p¦tla, kraw¦d¹ wielokrotna, kraw¦dzie s¡siednie, wierzchoªki s¡siednie, wierzchoªek
incydentny do kraw¦dzi,
• graf prosty, modykacja denicji grafu dla grafu prostego,
• stopie« wierzchoªka, ci¡g stopni, stopie« grafu, wierzchoªek izolowany, ko«cowy, kraw¦dzie szeregowe,
• umiej¦tno±¢ zareprezentowania grafu za pomoc¡ wskazania zbioru wierzchoªków, kraw¦dzi oraz funkcji γ .
2. Podstawowe poj¦cia graf skierowany (E1)
• denicja digrafu,
• stopie« wej±ciowy, stopie« wyj±ciowy, stopie«,
• ¹ródªo i uj±cie.
3. Drogi i cykle (E1)
• droga, dªugo±¢ drogi,
• droga prosta (±cie»ka), droga zamkni¦ta,
• cykl, grafy acykliczne.
4. Reprezentacja komputerowa grafów (E5)
1
• macierz incydencji, wªasno±ci,
• macierz s¡siedztwa, wªasno±ci, twierdzenie o liczbie dróg dªugo±ci k mi¦dzy wierzchoªkami,
• lista kraw¦dzi,
• listy incydencji.
5. Dziaªania na grafach (E1)
• suma, zespolenie, dopeªnienie, graf indukowany.
6. Rodzaje grafów (E1)
• graf prosty, pusty,
• graf peªny (twierdzenia o liczbie kraw¦dzi i stopniu),
• graf regularny (twierdzenie o liczbie kraw¦dzi),
• graf acykliczny (wªasno±ci),
7. Podgrafy (E1)
• poj¦cie podgrafu,
• odejmowanie wierzchoªków i kraw¦dzi,
• graf spinaj¡cy, klika (maksymalna i najwi¦ksza).
8. Spójno±¢ grafu (nieskierowanego) (E1)
• poj¦cie spójno±ci, skªadowa spójno±ci,
• twierdzenia o liczbie kraw¦dzi grafu spójnego i niespójnego,
• algorytm testowania spójno±ci grafu (prezentacja zasady dziaªania). (E2)(E5)
9. Grafy eulerowskie (E2)(E5)
• cykl i droga Eulera, rys historyczny,
• twierdzenia Eulera: o cyklu i drodze,
• algorytm Fleury'ego (umiej¦tno±¢ zastosowania),
• twierdzenie Eulera dla digrafu,
• zadanie chi«skiego listonosza (zarys problemu).
10. Droga i cykl Hamiltona (E2)(E5)
• poj¦cia drogi i cyklu Hamiltona,
• warunek konieczny istnienia cyklu Hamiltona,
• warunek konieczny dla grafu dwudzielnego, warunek konieczny i wystarczaj¡cy dla
grafu peªnego dwudzielnego,
• problem komiwoja»era (zarys problemu).
2
11. Drzewa (E1)
• poj¦cie drzewa,
• warunki konieczne i wystarczaj¡ce na to, aby graf byª drzewem,
• drzewa binarne, regularne drzewa binarne, peªne drzewo binarne,
• wªasno±ci regularnych drzew binarnych,
• twierdzenie Caleya o liczbie drzew, kod Prüfera (kodowanie i rozkodowywanie drzewa)
(E2)(E5)
12. Drzewa spinaj¡ce (E1)
• poj¦cie drzewa spinaj¡cego,
13. Minimalne drzewa spinaj¡ce (E2)(E5)
• sformuªowanie zadania,
• strategia ogólna,
• algorytmy Kruskala, Prima i Boruvki (umiej¦tno±¢ zastosowania),
• maksymalne drzewo spinaj¡ce.
14. Drzewa Steinera (E2)(E6)
• euklidesowe drzewo Steinera, punkty Steinera, iloraz Steinera,
• metryczne drzewa Steinera terminale, punkty Steinera, minimalne drzewo Steinera,
algorytm dokªadny.
15. Sieci przepªywowe (E2)(E6)
• poj¦cie sieci przepªywowej i przepustowo±ci,
• poj¦cie przepªywu i warto±ci przepªywu,
• wªasno±ci przepªywu,
• poj¦cie maksymalnego przepªywu,
• poj¦cie sieci residualnej,
• poj¦cie ±cie»ki powi¦kszaj¡cej,
• poj¦cie przekroju, przepustowo±ci przekroju, przekroju minimalnego,
• zwi¡zek warto±ci przepªywu i przepªywu przez przekrój,
• twierdzenie Forda-Fulkersona,
• algorytm Forda-Fulkersona (umiej¦tno±¢ zastosowania).
Marek Majewski,
8 czerwca 2014
3