Algebra liniowa z geometrią 2 - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Uniwersytet Łódzki
Wydział Matematyki i Informatyki
Algebra liniowa z geometrią 2
I rok matematyki
rok akademicki 2012/2013
Zagadnienia egzaminacyjne
Każdy zestaw egzaminacyjny składa się z czterech pytań, z każdej części I–IV po
jednym.
Warunkiem koniecznym do otrzymania oceny dostatecznej jest poprawna odpowiedź na trzy pytania, w tym pytanie z części III lub IV. Pełna odpowiedź na trzy
pytania, z części I–III, gwarantuje ocenę dostateczną z plusem, a prawidłowa odpowiedź na trzy pytania, z części I–II oraz IV, — ocenę dobrą. Ocenę bardzo dobrą
można otrzymać po spełnieniu warunków na ocene dobrą i prawidłowej odpowiedzi
na jedno pytanie z części V.
Ocena końcowa z przedmiotu jest równa ocenie z egzaminu lub wyższa od niej o
0,5, jeżeli ocena z konwersatorium była co najmniej dobra.
I. Definicje z przykładami
(1) postać trygonometryczna liczby zespolonej
(2) pierwiastek stopnia n z liczby zespolonej
(3) mnożenie macierzy
(4) macierz nieosobliwa
(5) wyznacznik
(6) rząd macierzy
(7) minor macierzy
(8) układ równań liniowych
(9) postać trójkątna zredukowana macierzy
(10) przestrzeń afiniczna
(11) równoległość podprzestrzeni afinicznych
(12) sympleks, pryzma, równoległościan
(13) przekształcenie afiniczne
(14) kąt pomiędzy wektorami
(15) przestrzeń euklidesowa
(16) rzut równoległy, rzut ortogonalny
(17) wyznacznik Grama
(18) kompleks symplicjalny, wielościan
(19) objętość wielościanu
(20) orientacja
(21) iloczyn wektorowy
(22) funkcjonał dwuliniowy, forma kwadratowa
(23) postać kanoniczna, normalna formy kwadratowej
(24) podprzestrzeń niezmiennicza
(25) wartość własna i wektor własny
(26) wielomian charakterystyczny
(27) rozkład krotności wartości własnej
(28) klatka Jordana
(29) symetria
(30) homomorfizm, izomorfizm grup
1
2
II. Własności
(1) liczb zespolonych, w tym zasadnicze twierdzenie algebry
(2) działań na macierzach, w tym własności macierzy elementarnych
(3) wyznacznika, w tym twierdzenie Cauchy’ego
(4) metody rozwiązywania układów równań liniowych, w tym twierdzenie Gaussa
(5) podprzestrzeni i przekształceń afinicznych, w tym twierdzenie Talesa
(6) wyznacznika Grama, w tym jego związek z wyznacznikiem
(7) objętości, w tym tw. o triangulacji równoległościanu
(8) form kwadratowych, w tym tw. Jacobiego
(9) wektorów i wartości własnych, w tym tw. Jordana
(10) grup przekształceń, w tym twierdzenie Mazura–Ulama
III. Fakty z dowodami
(1) mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
(2) łączność i element neutralny mnożenia macierzy
(3) wyznacznik macierzy transponowanej
(4) zbiór rozwiązań układu równań a zbiór rozwiązań układu jednorodnego
(5) V postulat Euklidesa
(6) podprzestrzeń afiniczna a podprzestrzeń liniowa
(7) odległość punktu od podprzestrzeni afinicznej a rzut ortogonalny
(8) związek wyznacznika Grama z wyznacznikiem
(9) redukcja wymiaru objętości układu punktów
(10) zgodna orientacja jest równoważnością
(11) przekształcenie ortogonalne a macierz ortogonalna
(12) grupa izometrii przestrzeni euklidesowej
(13) macierz funkcjonału dwuliniowego w nowej bazie
(14) postać normalna formy kwadratowej
(15) niezmienniczość śladu i wyznacznika endomorfizmu
IV. Twierdzenia z dowodami
(1) wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej
(2) wyznacznik macierzy w postaci blokowej
(3) Cauchy’ego
(4) wyznacznik po zamianie wierszy
(5) Talesa
(6) nierówność Schwarza
(7) wyznacznik Grama a ortogonalność
(8) wzór na odległość punktu od podprzestrzeni afinicznej
(9) istnienie iloczynu wektorowego
(10) standardowy iloczyn wektorowy w Rn
(11) Sylvestera o bezwładności
(12) określoność formy kwadratowej
(13) wartość własna a wielomian charakterystyczny
(14) macierz endomorfizmu o różnych wartościach własnych
(15) o symetrii
V. Twierdzenia dodatkowe z dowodami
(1) Laplace’a
(2) Gaussa
(3) Lagrange’a
(4) niezmienniczości rzędu macierzy ze względu na przekształcenia elementarne
(5) Mazura–Ulama i klasyfikacja izometrii przestrzeni En