Dlaczego potrzebujemy systemo w opartych na logice rozmytej typu 2

Dlaczego potrzebujemy systemow
opartych na logice rozmytej typu 2
Jerry Mendel, będący ekspertem w dziedzinie systemów opartych na logice rozmytej wyjaśnia
dlaczego potrzebujemy systemów bazujących na logice rozmytej typu 2 w celu modelowania oraz
minimalizowania negatywnych efektów szerokiego zakresu niepewności, który może pojawić się w
systemach wykorzystujących logikę rozmytą.
Logika rozmyta w swojej oryginalnej postaci (ang. Fuzzy Logic), zaproponowanej przez Lotfi
Zadeh’a, istnieje od ponad trzydziestu pięciu lat i wciąż nie posiada odpowiedniego wsparcia dla
niepewności. Jako wsparcie rozumie się modelowanie oraz minimalizowanie negatywnego wpływu
niepewności. Brak wspomnianego wsparcia ze strony oryginalnej logiki rozmytej (typu 1) może
wydawać się paradoksalny, jako że już sama nazwa (logika rozmyta) stanowi konotację dla słowa
niepewność. Rozszerzona logika rozmyta (typu 2) posiada takie wsparcie, ponieważ umożliwia
modelowanie oraz minimalizowanie efektów stosowania niepewności. Jeżeli wyeliminujemy wszelkie
niepewności, logika rozmyta typu 2 redukuje się do logiki rozmytej typu 1, tak jak
prawdopodobieństwo redukuje się do determinizmu gdy wyeliminujemy losowość.
Powstało wiele aplikacji wykorzystujących logikę rozmytą typu 1, jednak dopiero
zastosowanie jej w systemach opartych o reguły miało największy wpływ na pokazanie jak duże
znaczenie ma ona jako metodologia projektowania systemów.
Rysunek 1. System bazujący na logice rozmytej
System bazujący na logice rozmytej (ang. Fuzzy Logic System), oparty na regułach, pokazany
jest na rysunku 1. Jego moduł rozmywający (ang. Fuzzifier), mechanizm wnioskujący (ang. Inference
mechanism) (powiązany z regułami, będącymi sercem systemu) oraz generator wyjścia (ang. Output
processor) wykonują operacje na zbiorach rozmytych, scharakteryzowanych przez funkcje
przynależności. System bazujący na logice rozmytej, wykorzystujący jedynie zbiory rozmyte typu 1,
nazywany jest systemem opartym na logice rozmytej typu 1 (ang. Type-1 Fuzzy Logic System).
Analogicznie, system zdefiniowany z użyciem przynajmniej jednego zbioru rozmytego typu 2
nazywany jest systemem opartym na logice rozmytej typu 2 (ang. Type-2 Fuzzy Logic System).
Generatorem wyjścia dla systemu typu 1 jest mechanizm wyostrzający (ang. Defuzzifier); jego
zadaniem jest przekształcenie zbioru rozmytego typu 1 do postaci liczbowej (zbioru rozmytego typu
0). Generator wyjścia dla systemu typu 2 składa się z dwóch komponentów. Po pierwsze, zbiór
rozmyty typu 2 przekształcany jest do postaci zbioru rozmytego typu 1 za pomocą redukcji typu.
Następnie, zredukowany zbiór przekształcany jest do postaci liczbowej za pomocą mechanizmu
wyostrzania.
Systemy typu 1 nie posiadają bezpośredniego wsparcia dla niepewności zawartych w
regułach, ponieważ korzystają wyłącznie ze zbiorów rozmytych typu 1, które posiadają ostre definicje.
Z drugiej strony, systemy typu 2 są przydatne gdy ciężko jest zdefiniować w dokładny sposób funkcję
przynależności dla zbioru rozmytego; stąd wynika możliwość wykorzystania ich do zdefiniowania
niepewności zawartych w regułach lub niepewności pomiarów.
Systemy typu 2 nadały systemom bazującym na logice rozmytej nowy, niezwykle ważny
kierunek rozwoju. Co to jest za nowy kierunek i dlaczego jest on tak ważny? Żeby odpowiedzieć na to
pytanie w możliwie jak najjaśniejszy sposób, niezbędna jest dygresja w celu omówienia kilku
aspektów, które bez wątpienia są znane.
Teoria prawdopodobieństwa używana jest w celu modelowania losowych niepewności i w
ramach tej teorii zaczniemy od omówienia funkcji gęstości prawdopodobieństwa (ang. Probability
density function), która ucieleśnia wszelkie informacje dotyczące losowych niepewności. W
rzeczywistych aplikacjach niemożliwe jest wyznaczenie funkcji gęstości prawdopodobieństwa, zatem
jest ona możliwa do scharakteryzowania jedynie za pomocą wszystkich jej istniejących momentów.
Jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją Gaussa, wówczas dwa momenty – środek i
zmienność – wystarczają do jej wyznaczenia. Dla większości funkcji gęstości prawdopodobieństwa,
potrzeba nieskończonej liczby momentów. W praktyce obliczana jest taka liczba momentów, która
powinna zagwarantować jak największej ilości informacji z danych. Na końcu używamy środka oraz
zmienności. W niektórych przypadkach używa się momentów wyższych niż drugiego rzędu.
Wykorzystywanie momentów pierwszego rzędu nie byłoby zbyt pożyteczne, ponieważ losowa
niepewność wymaga zrozumienia dyspersji względem środka a ta informacja jest dostarczana poprzez
zmienność. Akceptowalne modelowanie probabilistyczne losowych niepewności, w większości
korzysta z metod, które używają przynajmniej dwóch momentów funkcji gęstości
prawdopodobieństwa. Z tego powodu popularne są projekty bazujące na minimalizowaniu błędu
średniokwadratowego.
Czy moglibyśmy oczekiwać więcej od systemów opartych o logikę rozmytą dla niepewności
zawartych w regułach lub jakiegokolwiek innego typu niepewności? Możemy przyjąć efekt
wyjściowy systemu opartego na logice typu 1 – wynik defuzyfikacji – jako analogię do środka funkcji
gęstości prawdopodobieństwa. (Bez wchodzenia w dyskusję na temat równorzędności pomiędzy
prawdopodobieństwem obiektowym i zbiorami rozmytymi typu 1, analogia pomiędzy wynikiem
defuzyfikacji systemu bazującego na logice rozmytej typu 1 a środkiem funkcji gęstości
prawdopodobieństwa ma być rozumiana jedynie w taki sposób.) Tak samo jak zmienność jest miarą
dyspersji względem środka i jest używana do zdobycia większej ilości informacji na temat
niepewności probablistycznej w systemach rzeczywistych, tak systemy oparte na logice rozmytej
również potrzebują miary rozproszenia, żeby zdobyć więcej informacji na temat niepewności niż
jedną, konkretną liczbę (jest to wcześniej wspomniany nowy kierunek rozwoju systemów). Logika
rozmyta typu 2 zapewnia taką miarę dyspersji i wydaje się być podstawą do projektowania systemów,
zawierających niepewności lingwistyczne lub numeryczne, które tak mają się do reguł oraz
niepewności wejściowych jak zmienność do środka funkcji gęstości prawdopodobieństwa.
Tak jak losowe niepewności przechodzą przez system i ich efekty mogą być oceniane
używając środka oraz zmienności, losowe niepewności lingwistyczne przepływają przez system
bazujący na logice rozmytej typu 2 a efekty mogą być mierzone za pomocą wyniku defuzyfikacji oraz
wartości wyjściowych zredukowanego typu. Tak jak zmienność zapewnia miarę dyspersji względem
środka i jest często używana w standardowych interwałach, tak zredukowane dane wyjściowe mogą
być interpretowane jako zapewnienie miary dyspersji względem zdefuzyfikowanych danych
wyjściowych. Może być to rozumiane jako lingwistyczny interwał pewności. Tak jak wraz ze
wzrostem losowej niepewności, wzrasta zmienność, tak zbiór zredukowany wzrasta wraz ze wzrostem
niepewności losowej lub lingwistycznej. System bazujący na logice rozmytej typu 2 jest analogiczny
do systemu probabilistycznego w pierwszym i drugim momencie, podczas gdy system bazujący na
logice rozmytej typu 1 jest analogiczny jedynie w pierwszym momencie.
Systemy wykorzystujące logikę typu 2 posiadają więcej stopni swobody niż systemy oparte na
logice rozmytej typu 1, ponieważ zbiory rozmyte typu 2 opisane są za pomocą większej liczby
parametrów niż zbiory typu 1. Jest to analogiczne do funkcji gęstości prawdopodobieństwa opisanej za
pomocą większej liczby parametrów (na przykład Gaussowska funkcja gęstości prawdopodobieństwa
opisana jest za pomocą jej środka i odchylenia standardowego) niż jej odpowiednik deterministyczny
(na przykład zdegenerowana Gaussowska funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest jednym z
przypadków, gdzie odchylenie standardowe wynosi 0 i jest definiowana jedynie za pomocą środka).
To sugeruje, że systemy oparte na logice rozmytej typu 2 mają potencjał, żeby przewyższyć systemu
oparte na logice typu 1, z uwagi na ich większą liczbę stopni swobody. Obecnie nie istnieją żadne
dowody matematyczne na poparcie tej teorii, jednakże zdaniem autora, w każdej aplikacji z
wykorzystaniem logiki rozmytej typu 2, zaobserwowano większą wydajność niż z użyciem logiki
rozmytej typu 1.
Podsumowując, potrzebujemy systemów opartych na logice rozmytej typu 2 w celu
modelowania niepewności oraz minimalizowaniu ich efektów, z wykorzystaniem systemu bazującego
na regułach.