Zadania z Elementów probabilistyki Cz esc 1. Zdarzenia losowe

file ppb zadania cz1.tex 9 grudnia 2005
Zadania z Elementów probabilistyki
Cześć
1. Zdarzenia losowe. Zmienne losowe dyskretne
,
1. W urnie znajduja, sie:
otrzymuje 10
,
, 4 kule czerwone, 3 biaÃle i 1 czarna. Grajacy
centów, gdy wyciagnie
kule, czerwona,, nie otrzymuje nic, gdy wyciagnie
kule, biaÃla,, i
,
,
pÃlaci 50 centów, gdy wyciagnie
kule, czarna.,
,
a) Jaka jest oczekiwana wygrana? b) Zmień warunki gry w ten sposób, aby prowadzacy
gre, zyskiwaÃl conajmniej 5 groszy na jednym ciagnieniu
z urny.
,
,
2. W urnie znajduja, sie:
otrzymuje 50
,
, 4 kule czerwone, 2 biaÃle i 4 czarne. Grajacy
groszy, gdy wyciagnie
kule, czerwona,, nie otrzymuje nic, gdy wyciagnie
kule, biaÃla,, i
,
,
pÃlaci 50 groszy, gdy wyciagnie
kul
e
czarn
a.
,
,
,
a) Jaka jest oczekiwana wygrana?
b) Zmień warunki gry w ten sposób, aby prowadzacy
gre, miaÃl zysk z tej gry.
,
3. Wśród biletów na loterii jest 1 los za 500 zl., 5 losów za 100 zÃl, i 50 losów za 10
zÃl. Loteria zawiera ogóÃlem 500 losów. Cena jednego losu wynosi 3 zÃl. a) Oblicz
oczekiwana, wygrana, i b) jej odchylenie standardowe. c) Czy prowadzacy
loterie
,
zyska czy straci na tej loterii?
4. Wśród biletów na loterii jest 5 losów za 100 zÃl, i 50 losów za 10 zÃl. Loteria zawiera
ogóÃlem 500 losów. Cena jednego losu wynosi 3 zÃl. a) Oblicz oczekiwana, wygrana, i b)
jej odchylenie standardowe. c) Czy prowadzacy
loterie zyska czy straci na tej loterii?
,
5. Rzucamy 4 razy uczciwa, moneta,, tj. taka,, dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orÃla wynosi p=0.5.
a) Sprzadzić
wykres zmiennej losowej X oznaczajacej
liczbe, wyrzuconych orÃlów.
,
,
b) Obliczyć p-stwo wyrzucenia 3 lub wiecej
orÃlów.
,
c) Obliczyć, posÃlugujac
, sie, p-stwami wyznaczonymi w punkcie a) wartość oczekiwana,
i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
d) Zaznaczyć na wykresie sporzadzonym
w punkcie a) obliczona, średnia, i odchylenie
,
standardowe.
6. Rzucamy 3 razy niezrównoważona, moneta,, tj. taka,, dla której prawdopodobieństwo
wyrzucenia orÃla wynosi p=0.4.
a) Sprzadzić
wykres zmiennej losowej X oznaczajacej
liczbe, wyrzuconych orÃlów.
,
,
b) Obliczyć p-stwo wyrzucenia mniej niż jednego orÃla.
c) Obliczyć, posÃlugujac
, sie, p-stwami wyznaczonymi w punkcie a) wartość oczekiwana,
i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
d) Zaznaczyć – na wykresie sporzadzonym
w punkcie a) – obliczona, średnia, i odchy,
lenie standardowe.
7. Jak określa sie, zmienna, losowa, dyskretna., Podaj przykÃlady. Ewentualnie zilustruj
swoje przedstawienia konkretnym przykÃladem liczbowym.
8. Podaj definicje, wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego dla zmiennej losowej
dyskretnej. Przedstaw obliczenia tych wskaźników na wybranym przykÃladzie.
9. Na egzamin przygotowano 30 pytań. Student nauczyÃl sie, odpowiedzi tylko na 20
pytań. Na egzaminie losuje sie, 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student
wylosuje takie trzy pytania, na które zna odpowiedzi. Wyjaśnij, co w tym zadaniu
przyjmujesz za zmienna, losowa, i jaki ma ona rozkÃlad.
10. Co to jest rozkÃlad dwumianowy (znany równieź pod nazwa:, rozkÃlad binomialny
lub rozkÃlad Bernoulliego). Jakiemu modelowi doświadczenia odpowiada ten rozkÃlad.
Wyprowadź wzór dla wybranych parametrów.
11. Jak określa sie, prawdopodobieństwo dla zdarzenia losowego. Podaj przykÃlady.
12. Model rozkÃladu dwumianowego zakÃlada, że liczymy liczbe, ’sukcesów’ w serii n niezależnych doświadczeń, przy czym w każdym doświadczeniu może wystapić
’sukces’
,
z prawdopodobieństwem p, gdzie 0 < p < 1.
a) Jaka jest wartość oczekiwana liczby sukcesów w rozważanym rozkÃladzie.
b)Jakim znanym rozkÃladem można przybliżać rozkÃlad dwumianowy, jeżeli n jest duże,
a p umiarkowane, np. zawarte w przedziale 0.1 < p < 0.9
c) Czy potrafisz powiedzieć, jak stosować to przybliżenie i podać przykÃlad liczbowy?
13. Prawdopodobieństwo, że przeprowadzony eksperyment, np. określony rodzaj terapii,
powiedzie sie,
, jest równe p = 0.6.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy dwukrotnym niezależnym powtórzeniu
tego eksperymentu otrzymany conajmniej jeden udany wynik.
b) Ile razy należy powtórzyć eksperyment, aby prawdopodobieństwo chociażby jednego udanego wyniku wynosiÃlo conajmniej P = 0.9
14. W zakladzie opracowano nowy produkt. Jest on wart (można go sprzedać) za 1000$.
Wylansowanie i wprowadzenie na rynek produktu kosztuje 1500$.
Produkt wprowadzony na rynek może
a) odnieść duży sukces – z p-stwem =.2,
b) odnieść umiarkowany sukces – z p-stwem 0.5
c) nie spotkać sie, z źadnym zainteresowaniem – z p-stwem 0.3.
Ocena zysków:
w przypadku a): 10000 $,
w przypadku b): 4000 $,
w przypadku c): –6000 $.
Jaki jest oczekiwany zysk?
Czy zaklad powinien wprowadzać swój produkt na rynek, czy też sprzedać go? Bed
,
, ac
dyrektorem zakÃladu, jaka, podjaÃ,lbyś decyzje?
,
A być moźe, przed podjeciem
ostatecznej decyzji, wolaÃlbyś przeprowadzić dodatkowe
,
badania rynkowe. Te jednak też kosztuja,, i kalkulacja skomplikowaÃla by sie, ...
2
15. Zmienna losowa X przyjmuje tylko dwie wartości:
0, z prawdopodobieństwem 1 − p, oraz
1, z prawdopodobieństwem p.
Jakie wartości może przyjmować parametr p? (dlaczego).
Oblicz wartość oczekiwana, i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
16. Rzucamy 100 razy wyważona, moneta., Niech X oznacza liczbe, wyrzuconych orÃlów.
Oblicz (ewtl. napisz tylko formuÃle)
, prawdopodobieństwo P (X < 41).
Uzasadnij swój sposób obliczania.
17. Liczba bÃledów
popeÃlnianych przez studentów kursu jez.
angielskiego przy dyktandzie
,
,
pewnego testu opisuje sie, rozkÃladem Poissona z parametrem λ = 5.01 .
Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba piszaca
dyktando a) nie popeÃlni żadnego
,
bÃledu,
b) popeÃlni 10 bÃledów
lub wiecej,
c) popeÃlni dokÃladnie 4 lub 5 bÃledów?
,
,
,
,
Możesz skorzystać z wartości rozkÃladu Poissona podanymi w tabelkach poniżej (tabelki zostaÃly obliczone pakietem Winstats dla wartości λ = 2.5 i λ = 5.0).
lambda = 2.5
i prob[x=i] prob[x<=i]
0
0.08208
0.08208
1
0.20521
0.28730
2
0.25652
0.54381
3
0.21376
0.75758
4
0.13360
0.89118
5
0.06680
0.95798
6
0.02783
0.98581
7
0.00994
0.99575
8
0.00311
0.99886
9
0.00086
0.99972
10
0.00022
0.99994
11
0.00005
0.99999
12
0.00001
1.00000
13
0.00000
1.00000
14
0.00000
1.00000
prob[x>i]
0.91792
0.71270
0.45619
0.24242
0.10882
0.04202
0.01419
0.00425
0.00114
0.00028
0.00006
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
lambda = 5.0
i prob[x=i] prob[x<=i]
0
0.00674
0.00674
1
0.03369
0.04043
2
0.08422
0.12465
3
0.14037
0.26503
4
0.17547
0.44049
5
0.17547
0.61596
6
0.14622
0.76218
7
0.10444
0.86663
8
0.06528
0.93191
9
0.03627
0.96817
10
0.01813
0.98630
11
0.00824
0.99455
12
0.00343
0.99798
13
0.00132
0.99930
14
0.00047
0.99977
1
prob[x>i]
0.99326
0.95957
0.87535
0.73497
0.55951
0.38404
0.23782
0.13337
0.06809
0.03183
0.01370
0.00545
0.00202
0.00070
0.00023
Zmienna losowa X ma rozkÃlad Poissona, jeżeli może przyjmować wartości k = 0, 1, 2, . . . z prawdopodobieństwami pk określonymi nastepuj
acym
wzorem:
,
,
pk = P (X = k) =
Wartość λ > 0 jest parametrem rozkÃladu.
3
λk − λ
e
k!
18. Liczba sztuk wadliwych w dużej partii towaru ma rozkÃlad Poissona z wartościa, oczekiwana, równa, λ = 1.0.
(Tablice tego rozkÃladu sa, podane poniżej).
a) Sprzadź
wykres zmiennej losowej X oznaczajacej
liczbe, sztuk wadliwych przy da,
,
nym parametrze λ (możesz sie, posÃlużyć sie, wartościami z tablic).
b) Oblicz, posÃlugujac
, sie, tabelka, rozkÃladu Poissona podanego poniżej, wartość oczekiwana, i odchylenie standardowe rozpatrywanej zmiennej losowej.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia w dostarczonej partii towaru wiecej
niż
,
trzech sztuk wadliwych?
lambda=1.0
i pb[x=i]
pb[x>i]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.367
0.367
0.183
0.061
0.015
0.003
0.000
0
0
0.632
0.264
0.080
0.018
0.003
0.000
0.000
0
0
lambda=1.5
pb[x=i] pb[x>i]
0.223
0.334
0.251
0.125
0.047
0.014
0.003
0.001
0
0.776
0.442
0.191
0.065
0.018
0.004
0.001
0.000
0
lambda=2.0
pb[x=i]
pb[x>i]
0.135
0.270
0.270
0.180
0.090
0.036
0.012
0.003
0.001
0.864
0.593
0.323
0.142
0.052
0.016
0.004
0.001
0.000
19. Liczba sztuk wadliwych w dużej partii towaru ma rozkÃlad Poissona z wartościa, oczekiwana, równa, λ = 1.0.
a) Obliczyć, posÃlugujac
, sie, tabelka, rozkÃladu Poissona podanego w poprzednim zadaniu, wartość oczekiwana, i odchylenie standardowe rozpatrywanej zmiennej losowej.
b) Po przebadaniu caÃlej partii dostarczonego towaru znaleziono w niej 6 sztuk wadliwych. Czy w tej sytuacji liczba sztuk wadliwych może opisywać sie, rozkÃladem
Poissona z parametrem λ = 1? Uzasadnij swoja, odpowiedź.
4