Fale, teoria

FALE I AKUSTYKA
Niektóre powody dla których warto zafascynować się tym rodzajem ruchu:
• podobnie jak ruch drgający jest powszechny i to zarówno w wielu działach
fizyki, jak i w życiu codziennym,
• ma zastosowanie praktyczne, np. dzisiejszy przekaz informacji odbywa się
poprzez fale elektromagnetyczne,
• jest łatwy do zaobserwowania a poza tym istnieje wiele efektownych doświadczeń demonstrujących ten rodzaj ruchu,
Określenie ruchu falowego jest bardzo proste...
Ruchem falowym - nazywamy rozchodzące się w ośrodku sprężystym zaburzenie (fala mechaniczna) LUB układ prostopadłych do siebie pól: elektrycznego
i magnetycznego (fala elektromagnetyczna)
... wymaga jednak kilku uwag:
• fale mechaniczne mogą rozchodzić się jedynie w ośrodku sprężystym, natomiast fale elektromagnetyczne mogą rozchodzić się również w próżni,
• zaburzenie inicjujące rozchodzenie się fali może mieć różńą formę:
– pojedynczego impulsu,
– harmoniczną (zmiana zaburzenia w czasie opisana jest funkcją sinus) tym
przypadkiem będziemy się zajmować najczęściej,
– inną (np. zaburzenie prostokątne),
• fala przenosi energię bez przenoszenia masy,
• w przypadku fal mechanicznych należy pamiętać, że amplituda zaburzenia
nie może wywołać takiego naprężenia które przekroczy zakres sprężystości
ośrodka,
• ponadto dla fal mechnicznych założymy, że w ośrodku nie ma tłumienia tzn.
nie następuje zamiana energii drgań na energię wewnętrzną,
Opis ruchu falowego nie jest prosty, co wynika przede wszystkim z faktu, że
nawet dla najprostszego przypadku będziemy mieli do czynienia z funkcją dwóch
zmiennych a takie to funkcji nie są omawiane w programie matematyki.
1
Wprowadźmy najpierw kilka podstawowych pojęć:
1. Źródło fali – miejsce gdzie nastąpiło zaburzenie ośrodka,
2. Powierzchnia falowa – zbiór cząsteczek ośrodka mających tą samą fazę drgań
(będących w tym samym momencie drgań) na rysynku są to koncentryczne
okręgi
3. Czoło fali – najbardziej odległa od źródła powierzchnia falowa
4. Promień fali – prosta prostopadła do powierzchni falowej; przechodząca przez
źródło fali
Powyższe pojęcia można zobrazować wrzucając np. kamień do wody; otrzymamy
wówczas charakterystyczne koncentryczne okręgi
powierzchnia
falowa
promien fali
czolo fali
zrodlo fali
Teraz można już zdefiniować wielkości opisujące propagację (rozchodzenie się)
fali:
1. Amplituda fali (A) – określa maksymalne wychylenie cząsteczek ośrodka z
położenia równowagi, jest to jednocześnie amplituda zaburzenia,
2. Częstotliwość fali (f ) – częstotliwość drgań ośrodka, jest to jednocześnie
częstotliwość zaburzenia
3. Długość fali (λ) – odległość między dwoma sąsiednimi (najbliższymi sobie i
identycznymi) powierzchniami falowymi,
λ
2
4. Prędkość fali (v ) – określona następująco:
λ=v·t→v =
λ
→ v = λf
T
5. Natężenie fali (I ) – określone następująco:
I =
<P >
S
[I] =
W
m2
Gdzie: < P > – średnia moc fali, S – powierzchnia prostopadła do kierunku
rozchodzenia się fali
Gdy fala rozchodzi się we wszystkie strony to powierzchnia S = 4Πr 2 i
wówczas natężenie wynosi:
I =
<P >
4Πr 2
I ≈
1
r2
Można pokazać, że dla fal mechanicznych natężenie obliczmy następująco:
I =
1
2 2
vρω A
2
Gdzie: v – prędkość fali w ośrodku, ρ – gęstość ośrodka, ω – prędkość
kątowa, A – amplituda fali.
W zależności od kształtu czoła fali wyróżniamy:
1. Fale płaskie – czołem fali jest prosta lub odcinek
2. Fale koliste – czołem fali jest okrąg
3. Fale kuliste – czołem fali jest kula,
4. Fale trójkątne i stożkowe – czołem fali jest trójkąt lub stożek, fale takie powstają gdy zaburzenie ma większą prędkość niż prędkość fali w ośrodku (fale
uderzeniowe, np. gdy samolot przekracza prędkość dźwięku czy motorówka
jak szybko płynie po wodzie),
W zależności od geometrii fali wyróżniamy:
1. Fale jednowymiarowe – np. fala w sznurze
3
2. Fale dwuwymiarowe – np. fala na wodzie
3. Fale trójwymiarowe – np. fala uderzeniowa
Podstawowa klasyfikacja fal rozróżnia fale w zależności od orientacji kierunku
zaburzenia względem kierunki rozchodzenia się i mamy:
1. fale podłużne – gdy kierunek zaburzenia jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali,
2. fale poprzeczne – gdy kierunek zaburzenia jest prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali,
Niektóre przykłady ruchu falowego w życiu codziennym:
• fale na wodzie po wrzuceniu kamienia (wbrew pozorom szczegółowy opis tej
fali jest bardzo trudny)
• fala meksykańska na stadionie,
• fale elektromagnetyczne (np. telefonu komórkowego, kuchenki mikrofalowej,
sieci Wi-Fi. Przykłady te zostały podane nieprzypadkowo; częstotliwość fali
jest w nich podobna i wynosi około 2.4GHz)
• fale dźwiękowe,
Prędkość fal w różnych ośrodkach
W napiętych sznurach i prętach prędkość (u) rozchodzenia się fal poprzecznych
zależy od siły napinającej strunę (F ) oraz od gęstości liniowej ρ struny, to znaczy
od masy struny przypadającej na jednostkę długości. Zależność tę zapisuje się
wzorem:
s
F
u=
ρ
Prędkość podłużnej fali sprężystej rozchodzącej się wzdłuż pręta zależy od modułu Younga (E ) materiału pręta oraz od jego gęsości (d) w sposób następujący:
u=
r
E
d
Fale podłużne w cieczach i gazach rozchodzą się z prędkością zależną od
4
ściśliwości ośrodka (κ) i jego gęstości (d) w sposób następujący:
1
u=√
κd
Zjawisko Dopplera
Dotyczy każdego rodzaju fal. Polega ono na zmianie rejstrowanej przez obserwatora częstotliwości (a zarazem długości) fali, gdy jej źródło i obserwator
poruszają się względem siebie, zmiana ta jest następująca:
• zwiększenie się częstotliwości fali – gdy żródło i obserwator zbliżają się do
siebie
• zmniejszenie się częstotliwości fali – gdy źródło i obserwator oddalają się od
siebie
Omawianą zmianę częstotliwości można zilustrować graficznie:
λ
(1)
(2)
(3)
v
v
v=0
o
z
o
z
z
o
Spoczywające źródło fali (z ) emituję falę o długości λ i taka też długość fali (o
częstotliwości f = λv ) odbierana jest przez obserwatora (o) (Rys. 1)
Gdy obserwator i źródło zbliżają się do siebie (Rys. 2) następuje zagęszczenie
powierzchni falowych co obserwator (o) zarejstruje jako zmniejszenie się długości
fali (i zwiększenie się jej częstotliwości bo f = λv )
Gdy obserwator i źródło fali oddalają się od siebie (Rys. 3) następuje rozrzedzenie
powierzchni falowych co obserwator (o) zaobserwuje jako zwiększenie się długości
fali (i zmniejszenie się jej częstotliwości bo f = λv )
Oraz wyprowadzić:
W przypadku gdy źródło i odbiornik spoczywają (rys. 1) odbierana długość fali
λ′ jest równa długości fali emitowanrj przez źródło λ.
Niech teraz źródło zbliża się do obserwatora z prędkością vz (rys. 2) wówczas
rejstrowana przez obserwatora długość fali jest mniejsza o drogę jaką fala
5
przebędzie w czasie równym okresowi emitowanej fali (T ), czyli:
′
λ = λ − vz T
Gdzie vz jest prędkością źródła fali
Podstawiając za λ′ =
vf
,
f′
λ=
vf
f ,
T =
1
f
otrzymamy:
vf
vf
vz
=
−
f′
f′
f
Gdzie vf jest prędkością rozchodzenia się fali w ośrodku
Obliczając z powyższego równania f ′ otrzymamy:
f′ = f
vf
(∗)
vf − vz
Przeprowadzając powyższe rozumowanie dla przypadku gdy źródło oddala się od
obserwatora (rys. 2) otrzymamy:
f′ = f
vf
(∗∗)
vf + vz
Łącząc ze sobą wzory (∗) i (∗∗) otrzymamy i uwzględniając fakt że obserwator
porusza się z prędkością vo otrzymujemy ostateczny wzór opisujący prawo
Dopplera:
vf ± vo
f′ = f
vf ∓ vz
Wzór ten należy czytać następująco: znaki górne (w liczniku + a w mianowniku
−) wstawiamy gdy źródło i odbiornik zbliżają się do siebie, natomiast znaki
dolne (w liczniku − a w mianowniku +) wstawiamy gdy źródło i odbiornik
oddalają się od siebie.
Niektóre zastosowania zjawiska Dopplera: Pomiar prędkości np. samochodu w
radarach policyjnych, Pomiar prędkości krwi np. w tętnicach szyjnych, Analiza
widma światła odległej galaktyki i określenie jej prędkości ucieczki
Płaska fala harmoniczna
6
Przechodzimy teraz do matematycznego opisu ruch falowego, aby zbytnio nie
komplikować zagadnienia rozważymy najprostszy przypadek; falę jednowymiarową
w której zaburzenie jest drganiem sinusoidalnym (y(t) = A sin(ωt)). Fale
taką można wytworzyć np. w sznurze przywiązanym z jednej strony do ściany.
Kolejne etapy propagacji tej fali są przedstawione na rysunku:
x
t=0
1
t=
T
4
t=
t=
1
2
3
4
T
T
x= λ
t= T
t=
5
4
T
t=
3
2
T
t=
7
4
T
t= 2T
x= 2λ
t
Widać tu kolejne etapy tworzenia się płaskiej fali harmonicznej. Wyrażenie które
opisze wychylenie cząstek ośrodka (w naszym wypadku może być to np. sznur
lub struna) zależy zarówno od położenia, jak i od czasu (jest więc w najprostszym
wypadku funkcją dwóch zmiennych); jest to tzw. funkcja falowa fali płaskiej.
Opisuje ona wychylenie cząstek ośrodka w czasie t i w odległości x od żródła
fali. Aby wyznaczyć jej postać zauważmy, że zaburzenie falowe poruszając się z
prędkością v dotrze do danego punku ośrodka x po czasie ∆t = xv a zatem
drganie punków odległych o x od źródła będzie opóźnione o ten czas i wygląda
następująco: x = A sin(ω(t − ∆t)).
7
Korzystając z definicji prędkości fali (v =
ω = 2Π
T mamy że:
ω∆t =
λ
T)
i z definicji prędkości kątowej
2Π x
2Π
2Π x
=
=
x = kx
λ
T v
T T
λ
Zatem ostatecznie równanie falowe będzie mieć postać:
• dla fal biegnących zgodnie z dodatnim kierunkiem osi 0X
y(t, x) = A sin(ωt − kx)
• dla fal biegnących przeciwnie do dodatniego kierunku osi 0X
y(t, x) = A sin(ωt + kx)
gdzie: A – amplituda fali,
Zasada superpozycji
• odnosi się do przypadku gdy w ośrodku rozchodzą się przynamniej dwie fale
• zakładamy, że wychylenie ośrodka wywołane tymi falami są na tyle małe, że
nie został przekroczony zakres sprężystości ośrodka
Wypadkowe wychylenie danej cząstki ośrodka w którym rozchodzą się fale jest
sumą wychyleń wywołanych przez każdą z tych fal osobno.
Zasada superpozycji gwarantuje nam, że na propagacje danej fali nie mają
wpływu inne fale rozchodzące się w tym samym ośrodku.
Zjawiska falowe
Dla opisu zjawisk falowych koniecznym jest poznanie mechanizmu powstawania
tzw. fal elementarnych pokazuje go Zasada Huygensa:
Każda cząstka ośrodka do której dochodzi fala staje się źródłem elementarnej fali kolistej. Elementarne fale koliste nakładając się na siebie dająć falę
wypadkową, którą obserwujemy
Do zjawisk falowych będziemy zaliczali:
8
1. Dyfrakcja,
2. Interferencja,
3. Polaryzacja,
Ad.1 Dyfrakcja
Dyfrakcja polega na uginaniu się fal na przeszkodach których rozmiary porównywalne są z długością fali.
Mechanizm dyfrakcji możemy przedstawić następująco. Zgodnie z zasadą Huygensa każda cząstka ośrodka do której dotarła fala staje się źródłem kulistej fali
elementarnej, fale te nakładają się na siebie w wyniku interferencji dając nowe
czoło fali. Umieszczenie przeszkody powoduje taką modyfikację nakładania się
fal elementarnych, że powstają charakterystyczne ugięcia.
Można przedstawić to na następującym rysunku:
Zależność intensywności uginania się fal w zależności od rozmiaru przeszkody
(a) w stosynku do długości fali (λ) ilustruje następujący rysunek:
(1)
(2)
W przypadku gdy λa ≈ 1 (rys. 1) następuje silne ugięcie, natomiast gdy
(rys. 2) ugięcie jest małe lub do pominięcia.
a
λ
>> 1
Ad.2 Interferencja
Zjawisko interferencji ma miejsce wówczas gdy w danym ośrodku rozchodzą się
9
przynajmniej dwie fale i polega ono na nakładaniu się tych fal w wyniku czego w
rozważanym ośrodku można wyróżnić:
• maksima – miejsca których wychylenie jest największe,
• minima – miejsca w których wychylenie jest najmniejsze,
Aby wyznaczyć tzw. warunek wzmocnienia i osłabiebia fali rozważmy dwie fale
płaskie o jednakowych amplitudach i częstotliwościach, rozchodzące się w tą
samą stronę których źródła są przesunięte o ∆x. Można to sobie wyobrazić w
następującym doświadczeniu.
k
m
k
m
∆x
x
Nad kuwetą z wodą zawieszone są dwa jednakowe wahadła sprężynowe odległe od
siebie o ∆x których masy drgające mogą uderzać w wodę w kuwecie powodując
powstawanie fali płaskiej. Wypadkowe wychylenie w punkcie odległym o x
będzie superpozycją wychyleń spowodowanych przez rozchodzące się fale czyli:
y1(t, x) = A sin(ωt − kx), y2(t, x) = A sin(ωt − k(x + ∆x)).
y(t, x) = y1(t, x)+y2(t, x) = A(sin(ωt−kx)+sin(ωt−kx−k∆x))
Korzystając ze wzoru na sumę sinusów:
α+β
sin(α) + sin(β) = 2sin
2
α−β
cos
2
otrzymamy, że:
2ωt − 2kx − k∆x
y(t, x) = 2A sin
2
10
k∆x
cos
2
Upraszczając i grupując w odpowiedni sposób powyższy wzór, mamy:
k∆x
k∆x
y(t, x) = 2A cos
sin ωt − kx −
≈ A′ sin(ωt − kx)
2
2
Widać, że suma dwóch fal rozchodzących się w ośrodku również ma postać fali
a jej amplituda A′ ma postać:
k∆x
A′ = 2A cos
2
Korzystając z faktu, że funkcja cosinus przyjmuje wartości maksymalne (1 lub
−1) dla k∆x
2 = nΠ otrzymujemy warunek na tzw. maksima interferencyjne:
∆x =
2nΠ
2nΠ
= 2Π = nλ
k
λ
Π
Natomiast wiedząc, że cosinus jest równy zero dla k∆x
=
2
2 + nΠ możemy
wyznaczyć minima interferencyjne:
λ
Π
2Π
2n + 1 = 2Π 2n + 1 =
2n + 1
∆x =
k2
2
λ
Bardzo ciekawym przypadkiem interferencji jest nakładanie się dwóch tych samych fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Z taką sytuacją będziemy mieli
najczęściej do czynienia gdy dana fala odbije się od przeszkody i wracając z
powrotem nałoży się na falę wysyłaną. W takim przypadku nakładające się fale
będą miały postać:
y1(t, x) = A sin(ωt − kx) i y2(t, x) = A sin(ωt + kx)
Dodając te fale i korzystając, jak poprzednio, ze wzoru na sumę sinusów,
otrzymamy:
2ωt
2kx
y(t, x) = A sin
cos
2
2
Po uproszczeniu i pogrupowaniu otrzmamy bardzo ciekawą rzecz:
y(t, x) = A cos(kx) sin(ωt)
11
Okazuje się bowiem że uprościł się czynnik propagacyjny (ωt − kx) i zamiast
biegnącej fali otrzymujemy drganie o modulowanej amplitudzie:
A′ = A cos(kx)(∗)
Jest to tzw. fala stojąca która ma mastępujący wygląd:
wezel
strzalka
Przerywane linie pokazują zmiany amplitudy w czasie przy „rozchodzeniu się” fali
stojącej, widać więc że występują w niej miejsca których amplituda drgań jest
maksymalna; są to strzałki i miejsca które nie drgają w ogóle; są to węzły.
Korzystając ze wzoru (∗) możemy wyznaczyć położenia strzałek z warunku
cos(x) = 1 dla x = nΠ czyli:
kx = nΠ ⇒
2Π
λ
x = nΠ ⇒ x = n
λ
2
oraz położenia węzłów, z warunku: cos(x) = 0 dla x =
kx =
Π
2
+ nΠ czyli:
Π
2Π
1
λ
+ nΠ ⇒
x = Π(2n + 1) ⇒ x = (2n + 1)
2
λ
2
4
Wyznaczmy jeszcze odległości między sąsiednimi strzałkami:
xs (n + 1) − xs (n) = (n + 1)
λ
λ
λ
−n =
2
2
2
pomiędzy sąsiednimi węzłami:
λ
λ
λ
xw (n + 1) − xw (n) = (2(n + 1) + 1) − (2n + 1) =
4
4
2
12
jest to zgodne z tym co widzimy na rysunku. Można jeszcze wyznaczyć odległość
między sąsiednią strzałką i węzłem:
xw (n) − xs (n) = (2n + 1)
λ
λ
λ
−n =
4
2
4
co również jest zgodne z tym co widzimy na rysunku przedstawiającym fale
stojącą.
Korzystając z faktu że odległość między sąsiednimi węzłami czy strzałkami
jest stała można np. zaprojektować doświadczenie w którym poprzez pomiar
odległości między sąsiednimi strzałkami w rurze Kunta wyznaczamy prędkość
dżwięku.
Klasycznym przypadkiem demonstracji zjawiska interferencji jest obserwacja fali
płaskiej na wodzie docierającej do układu dwóch szczelin. Cząsteczki cieczy w
szczelinach stają się żródłem dwóch fal kolistych (zasada Huygensa), a ponieważ
pobudzająca te drgania fala dotarła do obu szczelin jednocześnie to fale wysyłane
przez szczeliny mają tą samą częstotliwość i fazę początkową (mówimy o nich że
są spójne lub koherentne) i zjawisko interferencji jest łatwe do zaobserwowania.
Opisane powyżej rozchodzenie się fal da się przedstawić na rysunku:
Zaś schematyczny rysunek promieni obydwu fal jest następujący:
13
r1
(1)
d
α
α
(2)
P
α
r2
r2 − r1
Punkt P znajduje się dużo dalej większej niż odległość między źródłami fal
zatem powstały trójkąt jest w przybliżeniu równoboczny. Z trygonometrii:
r2 − r1
= sin(α)
d
r2 − r1 = d sin(α)
A zatem z warunek wzmocnienia interferencyjnego: d sin(α) = kλ a osłabienia
interferencyjnego: d sin(α) = (2k + 1) λ2
Zjawisk dyfrakcji i interferencji nie można traktować osobno. Aby mogło zajść dyfrakcyjne ugięcie fali elementarne fale kuliste muszą przecież ze sobą interferować
aby dać wypadkowe czoło nowej fali.
Podobnie aby mogło dojść do interferencji fal np. na 2 szczelinach musi nastąpić
najpierw dyfrakcyjne ugięcie fal.
Ad.3 Polaryzacja
Zjawisko polaryzacji mimo iż możliwe do zaobserwowania dla fal mechanicznych
dotyczy przede wszystkim fal elektromagnetycznych i dlatego bardziej szczegółowo omówimy je w rozdziale „Światło”
Polaryzować możemy tylko fale poprzeczne w których drgania ośrodka odbywają
się nie w jednej a w kilku płaszczyznach.
Zjawisko polaryzacji polega na wyborze z kilku kierunków drgań fali – jednego,
przyrząd który owo „wybieranie” zapewnia nazywa się polaryzatorem
Dla lepszego zrozumienia istoty zjawiska polaryzacji możemy posłużyć się
szczotką do butelek, ponieważ pokazuje nam ona przykład fali niespolaryzowanej.
14
Gdy jednak włożymy taką szczotkę do pionowej szczeliny to jej odkształcony
wygląd pokaże nam falę spolaryzowaną.
fala niespolaryzowana
fala spolaryzowana
AKUSTYKA
Akustyka to dział fizyki zajmujący się opisem zjawisk dźwięku tzn. zarówno od
strony formalnej, obiektywnej – jako pewnwgo rodzaju fali, jak i subiektywnej –
czyli sposobu w jaki człowiek odbiera dźwięki
Fala dźwiękowa – to podłużna fala mechaniczna będąca zbiorem zagęszczeń
i rozrzedzeń; tzw. fala ciśnienia, rozchodząca się w ośrodkach sprężystych. W
zależności od jej częstotliwości wyróżniamy:
• Infradźwięki – gdy częstotliwość jest mniejsza niż 20Hz , jako ciekawostkę
można podać że fale sejsmiczne są infradźwiękami,
• Dźwięki słyszalne – o częstotliwościach od 20Hz do 20kHz , na te
częstotliwości reaguje ucho człowieka,
• Ultradźwięki – o częstotliwościach powyżej 20kHz
W dalszych rozważaniach mówiąc o dźwięku będę miał na myśli dźwięki słyszalne.
Prędkość fali dźwiękowej w powietrzu wynosi: 340 m
s i zależy od temperatury i
ciśnienia.
Źródłem dźwięku może być każdy układ zdolny do wytworzenia fali dźwiękowej;
w zależności od ich pochodzenia źródła dźwięku dzielimy na:
• Naturalne – wytwarzane przez naturę
• Sztuczne – wytwarzane przez działalność człowieka
W zależności od sposobu w jaki dźwięk jest wytwarzany możemy wyróżnić takie
źródła dźwięku jak np:
15
• Ciała wykonujące drgania (np. menbrany, pręty)
• Rezonatory – układy w których powstaje fala stojąca (np. rura organów)
• Układy obracające się (np. syrena alarmowa)
• Układy wykonujące ruch nieuporządkowany (np. wybuch)
Wprowadzając wielkości opisujące dźwięk należy pamiętać że fala dźwiękowa
rejstrowana jest przez zmysł słuchu człowieka i z powodu skomplikowanej i do
dziś nie do końca rozumianej budowy ucha człowieka, dany dźwięk może być
różnie odbierany przez różnych ludzi. Istnieje satem subiektywny opis dźwięku;
który jest jednak powiązany z opisem obiektywnym. Jedną z ciekawszych rzeczy
w akustyce jest zatem próba opisu odczuć człowieka wielkościami fizycznymi.
Ponadto okazuje się, że rozpiętość czy to częstotliwości słyszalnych, czy to
obbieranych przez człowieka natężeń jest tak duża (ucho to bardzo precyzyjny
instrument „pomiarowy”), że stosowanie zwykłej skali liniowej na wykresach
w akustyce jest niemożliwe (nie da się przecież tak dobrać skalę wykresu aby
zaznaczyć na nim np. liczby 20 i 20000 w prezyzyjny sposób). Rozwiązaniem tego
problemu jest skala logarytmiczna na której równe odstępy na osi odpowiadają
kolejnym potęgom liczby np. 10; przykład takiej skali (dla częstotliwości pasma
akustycznego) przedstawiono na poniższym rysunku:
1
10
0
10
10
1
100
10
2
1000
10
3
10000
10
4
100000
10
5
Przedstawiono na nim też liczby od 1 do 10 widać, że skala ta nie jest liniowa;
w sklepach papierniczych można kupić też tzw. papier logarytmiczny na którym
naniesiona jest skala logarytmiczna.
Podstawowe wielkości OBIEKTYWNE opisujące dźwięk to:
1 Natężenie dźwięku i poziom natężenia dźwięku,
2 Częstotliwość dźwięku, okres drgań fali dźwiękowej i jej długość,
3 Charakter zaburzenia które spowodowało powstanie dźwięku i widmo
dźwięku.
Wielkościami SUBIEKTYWNYMI jakimi człowiek opisuje dźwięk są:
16
1 Głośność dźwięku,
2 Wysokość dźwięku,
3 Barwa dźwięku.
Przy czym wprowadzone przeze mnie oznaczenia numeracji pokazują powiązania
pomiędzy tymi wielkościami, które można również przedstawić w formie tabeli:
Obiektywne:
Subiektywne:
Natężenie, poziom natężenia
Głośność
Częstotliwość, okres, długość fali
Wysokość
Charakter zaburzenia, widmo
Barwa
Ad 1. Natężenie fali dźwiękowej poziom natężenia fali dźwiękowej powiązana z
nimi głośność.
Natężenie fali dźwiękowej definiuje się zupełnie analogicznie jak natężenie dowolnej fali; nie będziemy zatem powtarzali poprzedniej definicji natomiast co
jest najciekawsze, okazuje się, że ucho człowieka nie jest jednakowo wrażliwe
na wszystkie częstotliwości z zakresu dźwięków słyszalnych; największą czułość
wykazuje ucho dla dźwięków o częstotliwości 3kHz , dla dźwięków ze skrajów
pasma (tj. 20Hz i 20kHz ) czułość ta jest najmniejsza. Krzywą czułości ucha
przedstawia poniźszy rysunek:
W
Najmniejsza wartość natężem
10
nia dźwięku odbierana przez
człowieka dla częstotliwoobszar slyszalnosci
ści 3kHz wynosi: I0 =
W
10−12 m
2 – jest to tzw.
próg słyszalności. Próg bólu –
−12
czyli natężenie dźwięku które
10
zaczyna wywoływać ból to
3000
f,Hz
W
Imax = 10−1 m
2
Natężenie dźwięku jest bodźcem, który wywołuje u człowieka odczucie głośności;
ogólna zasada mówi, że odczucie jest proporcjonalne do logarytmu bodźca; zatem
wprowadza się:
17
I,
2
−1
Poziom natężenia fali (obiektywna) – definiwanana jako:
A = 10 log(
I
) gdzie I0 = 10−12
I0
Jednostką poziomu natężenia fali akustycznej jest decybel (dB )
Możemy przejść teraz do próby wprowadzenia subiektywnej wielkości – głośności.
Aby to uczynić wybieramy najpierw pewną ilość zdrowych (w sensie niegłuchych)
ludzi; tzw. próbę statystyczną; dla uproszczenia niech ludzie ci będą tej samej
narodowości. Każdy w tej próbie zostaje poddany badaniu które polega na tym że
najperw słyszy dźwięk o częstotliwości 3kHz i pewnym poziomie natężenia (na
początku jest to próg słyszalności; 0dB), następnie zmieniana jest częstotliwość
i zadaniem człowieka jest taka zmiana poziomu natężenia dźwięku aby jego
głośność była taka sama jak początkowa. Opisany eksperyment powtarza się
dla wyższych poziomów natężenia dźwięku a następnie uśrenia się wyniki po
wszyctkich uczestnikach próby i otrzymuje się tzw. izofony – krzywe o stałej
głośności; przedstawiono je na poniższym rysunku:
I,
W
m2
Krzywe te określają głośność, ponieważ mając dźwięk o danym natęzeniu (a co za tym idzie i poziomie natężenia) oraz częstotliwości można jednoznacznie odczytać
pomiędzy jakimi izofonami znajduje się ten dźwięk i tym samym
określić jego głośność.
3kHz
f
Dla uproszczenia daną izofonę opisuje się obrazowo, np. 0dB – cichy szept, 10dB
– cicha rozmowa itd. Zatem dla danego dźwięku który znajduje się pomiędzy
izofonami 0db i 10dB można powiedzieć, że jego głośność jest: „pomiędzy cicym
szeptem a cichą rozmową”.
Poniższy przykład doskonale pokaże charakter skali decybelowej.
Wiedząc, że jeden silnik wytwarza hałas o poziomie natężenia 100dB, oblicz
18
jaki poziom hałasu wytworzy 10 takich samych silników (ustawionych oczywiście w tej samej odległości od obserwatora i przy pominięciu zjawiska odbicia
i interferencji)
Rozwiązanie:
W
Przyjmując poziom słyszalności 10−12 m
2 obliczymy najpierw natężenie dźwięku
emitowanego przez jeden silnik:
A1 = 10 log(
I1
I1
I1
)
⇒
100
=
10
log(
)
⇒
10
=
log(
)
10−12
10−12
10−12
Korzystając teraz z definicji logarytmu (loga(b) = x ⇔ ax = b)
10
10
I1
−2 W
⇒ I1 = 10
=
10−12
m2
Natężenie hałasu wywołanego przez 10 silników jest oczywiście 10 razy większe
czyli:
1
−2
−1 W
I10 = 10 · I1 = 10 · 10 = 10
m2
Korzystając z definicji poziomu natężenia obliczamy poziom natężenia odpowiadający temu natężeniu:
A10
I10
10−1
= 10 log( −12 ) = 10 log( −12 ) = 10 log(1011 ) = 110dB
10
10
Widać więc, że 10 krotne zwiększenie natężenia dźwięku spowodowało wzrost
poziomu natężenia „tylko” o 10dB.
Jako ciekawostkę (mającą jednak ogromne zastosowanie komercyjne) można
podać to że ucho ma swoją bezwładność przy rejstrowaniu dźwięków o dużej
głośności tj. jeżeli po dźwięku głośnym pojawi się cichy to przez pewien czas
ucho nie będzie w stanie go rejstrować. Ta cecha ucha została przede wszystkim
wykorzystana do stworzenia formatu muzyki .mp3.
Ad 2. Częstotliwość dźwięku, okres drgań fali dźwiękowej i jej długość oraz
powiązana z nimi wysokość dźwięku.
Częstotliwość, okres i długość fali zdefiniowana była przy omawianiu fal. Wysokość dźwięku powiązana jest z częstotliwoścą w bardzo prosty sposób:
19
• na dźwięki o dużej częstotliwości człowiek mówi że są „wysokie”,
• na dźwięki o średniej częstotliwości człowiek mówi że są „średnie”,
• na dzwięki o małej częstotliwości człowiek mówi że są „niskie”,
Ad 3. Charakter zaburzenia, widmo dźwięku i związana z nimi barwa.
W zależności od sposobu powstawania dźwięku różny może być charakter zaburzenia które dany dźwięk spowodowało; inaczej wygląda bowiem zaburzenie
powodujące dźwięk cymbałów (pobudzony do drgań pręt) a inaczej zaburzenie powodujące dźwięk (drganie powietrza w piszczałce). W ilościowej analizie
dzwięku pomocne jest następujące twierdzenie Fouriera:
Dowolny przebieg okresowy, da się przedstawić jako superpozycję (złożenie)
wielu przebiegów okresowych, sinusoidalnych
Twierdzenie Fouriera daje nam możliwość złożenia z kilku przebiegów sinusoidalnych przebiegu niesinusoidalnego, okresowego lub „rozbicia” dowolnego przebiegu
na sumę przebiegów sinusoidalnych. Zależność amplitudy tych przebiegów od ich
częstotliwości to widmo dźwięku.
Natomiast to w jaki sposób człowiek odbiera dane widmo dźwięku nazywamy
barwą dźwięku. Dzięki barwie dźwięku możemy np. zidentyfikować znanego nam
wcześniej rozmówcę, czy odróżnić brzmienie dwóch instrumentów, nawet pomimo
iż wysokość wytwarzanych przez nie dźwięków jest jednakowa.
Ze względu na charakter widma dźwięku wyróżniamy:
1. Tony – fale dźwiękowe harmoniczne tj. takie których przebieg jest sinusoidalny. Tonom można przypisać charakterystyczną dla nich częstotliwość
drgań
2. Dźwięki – fale dźwiękowe okresowe ale niesinusoidalne. Dają się przedstawić
jako złożenie układu drgań sinusoidalnych.
3. Szmery – nieokresowe fale dźwiękowe o różnych częstotliwościach
Ad. 1 Ton
Fala dzwiękowa jest prostą falą harmoniczną; tj. dźwięk charakteryzuje JEDNA
częstotliwość rozchodzącego się w przestrzeni drgania a zależność zaburzenia
od czasu jest sinusoidalna. Widmo takiej fali (to może być wyświetlane np. w
20
odtwarzaczu dźwięku typu Winamp), czyli zależność amplitudy zaburzenia od
częstotliwości składa się z jednej składowej. Obydwa wykresy mają następującą
postać:
x
A
A0
A0
t
f
T=1/f0
f0
Wielkości fizyczne opisujące dźwięk dla tonu mają postać:
• Częstotliwość tonu (obiektywna) – będąca częstotliwością zaburzenia rozchodzącej się fali.
• Wysokość tonu (subiektywna) – powiązana z częstotliwością następująco.
Ton wysoki ma częstotliwość większą niż ton niski.
• Widmo tonu (obiektywna) – określa zawartość częstotliwości tworzących ton,
a ponieważ jest tylko jedna częstotliwość to określenie widma jest trywialne;
składa się z tylko jednego „piku” o wysokości równej amplitudzie.
• Barwa tonu (subiektywna) – określa w jaki sposób ucho człowieka odbiera
dane widmo tonu. Z uwagi że widmo takie składa się tylko z jednej częstotliwości nie ma sensu określać barwy tonu.
Ad. 2 Dżwięk
Fala dźwiękowa jest złożeniem (superpozycją) skończonej lub nieskończonej ilości tonów; tj. dźwięk charakteryzuję zbiór wielu częstotliwości rozchodzących się
drgań w których zależności zaburzenia od czasu są sinusoidalne. Wypadkowe
zaburzenie takiej fali NIE JEST sinusoidalne ale JEST okresowe. Widmo takiej
fali, czyli zależności amplitud zaburzeń od częstotliwości składa się z wielu składowych. Na poniższych wykresach przedstawiono przykład dźwięku składającego
się z dwóch tonów.
21
X1
X1 i X2
t
t
X2
X 1+ X 2
t
A
t
f
Wielkości opisujące dźwięk dla dźwięku mają postać:
• Częstotliwość dźwięku (obiektywna) – będąca NAJMNIEJSZĄ częstotliwością zaburzenia rozchodzącej się fali, nazywana jest też częstotliwością
podstawową widma. Częstotliwości będące wielokrotnością częstotliwości
podstawowej nazywają się wyższymi harmonicznymi,
• Wysokość dźwięku (subiektywna) – powiązana z częstotliwością następująco.
Dźwięk wysoki ma częstotliwość większą niż ton niski, ale w przypadku
dźwięku o jego wysokości cecyduje częstotliwość podstawowa,
• Widmo dźwięku (obiektywna) – określa zawartość częstotliwości tworzących
dźwięk, składa się z kilku(nastu) pików o wysokościach równych amplitudzie
poszczególnych przebiegów sinusoidalnych na które można (tw. Fouriera)
rozbić dźwięk,
• Barwa dźwięku (subiektywna) – określa w jaki sposób ucho człowieka odbiera
dane widmo dźwięku. Zależy zarówno od ilości występujących w widmie
składowych i ich częstotliwości, jak i od ich amplitud. Przykładowo dźwięk
saksofonu mający w widmie dużo nieparzystych harmonicznych, odbierany
jest jako „metaliczny”.
Ad. 3 Szmer lub szum
Jest to dźwięk nie posiadający jednoznacznie określonego widma (np. niektóre
22
składowe pojawiają się i znikają w sposób losowy). Przykładami takiego szmeru
jest np. dźwięk uderzających o brzeg fal, czy szum morza. Trochę bardziej
uporządkowaną formą szumu (szmeru) może być dźwięk wytworzony przez
człowieka i przeznaczony np. do badania urządzeń akustycznych; jest to:
• szum biały – sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne
niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) ale z równymi natężeniami (energiami),
• szum różowy – sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne
niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) i w którym natężenie
danej częstotliwości widma jest odwrotnie proporcjonalne do jej wartości,
• szum czerwony – sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne
niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) i w którym natężenie
danej częstotliwości widma jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu jej
wartości,
Wielkości fizyczne opisujące szum nie są możliwe do określenia z uwagi na,
opisany powyżej, charakter tej fali akustycznej. Można co najwyżej mówić o
barwie szumu i o jego głośności ale i te wielkości będą opisywane (bo są przecież
subiektywne) niejednoznacznie.
Fala dźwiękowa, podobnie jak każda podlega zjawiskom falowym takim jak:
dyfrakcja, interferencja, odbicie i załamanie, czy rezonans. Ponadto długości
fal dźwiękowych wynoszą od 2cm do 20m, dlatego też zjawiska te są łatwo
obserwowalne. Zajmniemy się następującymi zjawiskami związanymi z dźwiękiem:
1. Echo
2. Pogłos
3. Dudnienie
4. Rezonans akustyczny
Ad.1
Zjawisko echa polega na takim odbijaniu się dźwięku od przeszkód, że odczuwamy
dwukrotne lub wielokrotne słyszenie tego samego dźwięku. Stanie się tak, gdy
przeszkoda odbijająca dźwięk będzie dostatecznie daleko (minimum to około
23
30m). Klasycznym przykłądem echa jest wrażenie jakie uzyskamy krzycząc w
kierunku oddalonego lasu. Zjawisko echa wykorzystujemy w urządzeniach do
pomiaru odległości (echosonda, sonar)
Ad.2
Gdy opóźnienie odbitego dźwięku jest małe to ucho człowieka nie jest w stanie (jak w przypadku echa) rozróżniać dźwięków odbitych od wysyłanych ale
powstaje wrażenie przedłużania się czasu trwania dźwięku, efekt ten nazywamy
pogłosem. Pogłos występuje najczęściej w zamkniętych pomieszczeniach (aule,
sale koncertowe) i może być zjawiskiem korzystnym (w przypadku sal koncertowych, gdzie ponad 80% docierającego do ucha dżwięku jest efektem pogłosu)
lub niekorzystnym (w przypadku auli wykładowej aby zrozumieć mowę pogłos
musi być jak najmniejszy)
Ad.3
Gdy nakładają się dwie fale dźwiękowe których częstotliwości są bliskie sobie
powstaje fala o częstotliwości będącej średnią arytmetyczną częstotliwości fal
składowych (z uwagi na bliskośc częstotliwośco obu fal, średnia jest równa
częstotliwości jednej z nakładających się fal). Amplituda tej wypadkowej fali
zmienia się z częstotliwością równą połowie różnicy częstotliwości nakładających
się fal (więc bardzo małą, bo przecież częstotliwości obu fal są prawie takie
same). Matematycznie będzie wyglądać to tak; dwie fale docierające do danego
punktu wywołuą jego drgania:
x1 (t) = Asin(ω1t) x2 (t) = Asin(ω2 t)
Wypadkowe wychylenie będzie sumą obu wychyleń składowych:
x = x1 + x2 = Asin(ω1 t) + Asin(ω2 t) = 2A sin(
ω1 + ω2
ω1 − ω2
t) sin(
t)
2
2
Mamy zatem drganie składające się z „modulowanej” amplitudy A′ i częstotliwości ω ′ ≈ ω1 ≈ ω2 (x(t) = A′ sin(ω ′ t)) co można przedstawić na
wykresie:
24
x
2A
ωt
Ad. 4
Rezonans akustyczny – zjawisko polegające na pobudzeniu do drgań danego ciała
przez padającą na nie falę akustyczną której częstotliwość jest równa częstotliwości drgań własnych rozważanego ciała. Następuje wówczas charakterystyczne
wzmocnienie padającej fali
Rezonans akustyczny wykorzystywany jest najczęściej w instrumentach muzycznych w których fala akustyczna powstaje jako fala stojąca w rezonatorach
(przedstawiono je na poniższych rysunkach) a następnie może być wzmacniana
w tzw. pudle rezonansowym (np. gitara)
(1)
(2)
(4)
(3)
(5)
(6)
Doskonałym przykładem pokazującym zastosowanie rezonatorów jest następujący
przykład:
Wyznacz częstotliwość podstawową i trzy harmoniczne rury organów o długości 10m. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 340 m
s
Na rysunku przedstawiono klejne fale stojące mogące pojawiać się w rurze
organów (zamkniętej z jednej strony i otwartej z drugiej)
25
(1)
L
(2)
1
4
λ
(3)
3
4
λ
(4)
5
4
λ
7
4
λ
Z rysunku widać, że kolejne harmoniczne powstające w takiej ruche da się opisać
następującym wzorem rekurencyjnym:
L=
2n + 1
4
λ czyli λ =
L dla n = 0, 1, 2, 3, ...
4
2n + 1
Podstawiając teraz za L = 10m zaś za n = 0 (częstotliwość podstawowa),
n = 1, 2, 3 (wyższe harmoniczne) otrzymujemy kolejne dłogości fal:
λ0 = 40m λ1 =
40
40
m λ2 = 8m λ3 =
m
3
7
I wreszcie korzystając ze wzoru: f =
nych harmonicznych:
v
λ
otrzymujemy częstotliwości poszczegól-
40
40
λ0 = 40m λ1 =
m λ2 = 8m λ3 =
m
3
7
26