Kinematyka płynów - teoria

Kinematyka płynów - teoria
Kinematyka zajmuje się ruchem bez odwoływania się do sił, czyli przyczyn, które wywołują ten ruch.
Oznaczmy przez ⃗ wektor położenia cząstki w chwili początkowej t = 0, a przez ⃗ wektor położenia tej
cząstki w chwili t. Poniższe równanie określa prawo ruchu:
⃗ = ⃗( ⃗ , )
niech:
= ⃗+ ⃗+
⃗
⃗ = ⃗+ ⃗+ ⃗
Równanie można rozpisać na składowe:
=
( , , , )
=
( , , , )
=
( , , , )
Jeżeli położenie cząstki ⃗ jest ustalone, to powyższe równanie określa tor cząstki, która w chwili
początkowej znajdowała się w punkcie ⃗ , a więc:
⃗ = ⃗( ⃗ , 0)
(dla t = 0 ⃗ jest przekształceniem tożsamościowym)
Jeśli ustalona jest chwila to równanie to określa przekształcenie obszaru zajmowanego przez ciecz w
chwili początkowej w obszar, który zajmuje ciecz w chwili t.
Zakłada się, że cząstki od chwili początkowej przez cały czas ruch do chwili końcowej pozostają
rozróżnialne, czyli tory cząstek nie mogą się przecinać. Oznacza to, że dla omawianej funkcji istnieje
odwzorowanie odwrotne:
⃗ = ⃗ ( ⃗, )
Warunkiem istnienia ciągłego (i różniczkowalnego) odwzorowania odwrotnego jest wyznacznik J
macierzy Jacobiego różny od zera:
=
≠0
Jeżeli omawiane równanie określa ruch płynu nieściśliwego, to J = 1. Opis ruchu i właściwości płynu
za pomocą zmiennych (X,Y,Z,t) nazywa się opisem zmiennych Lagrange’a lub w zmiennych
materialnych, a zmienne (X,Y,Z,t) nazywa się zmiennymi Lagrange’a. W praktyce częściej opisuje się
przepływ szukając zależności funkcyjnych w ustalonym punkcie w przestrzeni ⃗, np. dla gęstości
( ⃗, ), prędkości ( ⃗, ), ciśnienia ( ⃗, ). Opis ruchu za pomocą zmiennych ( ⃗, ) nazywa się opisem
w zmiennych Eulera lub zmiennych przestrzennych.
Prędkość i przyspieszenie w zmiennych Lagrange’a określimy jako:
⃗ ⃗,
=
⃗ ⃗,
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - teoria
⃗ ⃗,
Dowolna wielkość F (a więc np.
( ⃗, ),
⃗ ⃗,
=
( ⃗, )) wyrażoną w zmiennych Eulera można poprzez
odwzorowanie omawianego równania wyrazić w zmiennych Lagrange’a (za ⃗ należy podstawić
⃗ = ⃗( ⃗ , ). Przyspieszenie w zmiennych Eulera wyraża się następująco:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+ ⃗∙
( ⃗)
w zapisie wektorowym:
⃗=
⃗
⃗
=
lub
⃗
⃗=
+ (⃗ ∙ ) ∙⃗
gdzie:
( ⃗) =
Równanie ciągłości wyrażające prawo zachowania masy, w zmiennych Lagrange’a ma postać:
= ∙
gdzie:
=
( ⃗) oznacza gęstość płynu w chwili początkowej. W zmiennych Eulera równanie
ciągłości przedstawiono w dwóch równaniach postaciowych:
( ⃗) = 0
+
lub
+ ∙
( ⃗) = 0
gdzie:
( ⃗) =
+
+
Linią prądu σ(s) (s – zmienna rzeczywista) nazywamy linię, która w każdym swoim punkcie, w
ustalonym czasie t, jest styczna do wektora prędkości, czyli równanie linii prądu ma postać:
( ⃗)
( , , , )
=
=⃗
,
( , , , )
( ⃗)
=
( , , ,
)
=
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Kinematyka płynów - teoria
W ruchu ustalonym, a więc gdy:
⃗/
= 0 tor cząstki pokrywa się z liniami prądu.
Strumień objętości przez powierzchnię S wyraża się wzorem:
=
gdzie
= ⃗ ∙ ⃗ ( ⃗ - wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni), jest składową prędkości
prostopadłą do powierzchni.
Bazując na twierdzeniu Gaussa-Ostrogradzkiego powyższe równanie można wyrazić całką po
objętości V ograniczoną powierzchnią S:
=
( ⃗)
Pole wektorowe, dla którego dywergencja równa się zeru, nazywa się bezźródłowym. W mechanice
płynów
( ⃗) = 0 oznacza nieściśliwość płynów.
Wektor wirowości ⃗ pola prędkości wyraża się następująco:
=
−
=
−
=
−
lub w postaci wektora:
⃗=
⎡
( ⃗) = ∙ ⃗= ⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Cyrkulacja prędkości C to całka krzywoliniowa wektora prędkości wzdłuż zamkniętego konturu Γ.
=
⃗
⃗
Bazując na twierdzeniu Stokesa cyrkulacja po konturze Γ równa się strumieniowi wirowości przez
powierzchnię ograniczoną tym konturem:
⃗
Jeżeli
⃗=
( ⃗ ∙ ⃗)
⃗ = 0 to pole wirowe jest bezźródłowe.
Dowolne pole wektorowe (ciągłe i różniczkowe) w otoczeniu pewnego punktu
wyraxić na podstawie wzoru Taylora:
( ⃗ ∙ ⃗) + (| ⃗| )
⃗( ⃗) = ⃗( ) +
Tensor
( ⃗) można rozłożyć na część symetryczną i asymetryczną:
( ⃗) =
+
gdzie:
= 1/2 ∙
( ⃗) +
( ⃗)
= 1/2 ∙
( ⃗) −
( ⃗)
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
⃗, ⃗ = ⃗ + ⃗ można
Kinematyka płynów - teoria
ndeks T oznacza transpozycję macierzy.
Za pomocą rachunku bezpośredniego można śtwierdzić, że:
0
1
=
2 −
,
,
−
0
−
0
–składowe wektora:
⃗=
1
2
( ⃗)
( ⃗) = ⃗
ω – jest prędkością kątową ciała sztywnego
⃗( ⃗) = ⃗( ) +
1
∙ ⃗ + ∙ ⃗ ∙ ∙ ⃗ + (| ⃗| )
2
Tensor D nazywany jest tensorem deformacji, a iloczyn
∙ ⃗ prędkością deformacji. Powyrzsze
równanie wyraża pierwsze twierdzenie Helmholtza o rozłożeniu ruchu płynu: ruch elementu płynu
składa się z ruchu translacyjnego, deformacji elementu i ruchu obrotowego.
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń