LaTeX: Bulanda Nikodem
Transkrypt
LaTeX: Bulanda Nikodem
§ 2. Funkcje uwikłane Udowodnione twierdzenie jest oczywiście uogólnieniem twierdzenia podanego w ustępie 83. 207. Różniczkowalność funkcji uwikłanej. Wzmocnimy teraz zalożenia dotyczące funkcji F (x, y), dzięki czemu będziemy mogli udowodnić również istnienie pochodnej funkcji y = f (x). Twierdzenie II. Załóżmy, że 1) funkcja F (x, y) jest określona i ciągła w prostokącie D = hx0 − ∆, x0 + ∆ ; y0 − ∆′ , y0 + ∆′ i o środku w punkcie (x0 , y0 ); 2) pochodne cząstokowe Fx′ i Fy′ istnieją i są ciągłe w D; 3) funkcja F (x, y) jest w punkcie (x0 , y0 ) równa zeru: F (x0 , y0 ) = 0; 4) Pochodna Fy′ (x0 , y0 ) jest różna od zera. Wówczas prawdziwe są wnioski a), b) i c) z twierdzenia I i oprócz tego d) funkcja f (x, y) ma ciągłą pochodną. D o w ó d (rys. 113). Niech na przykład Fy′ (x0 , y0 ) > 0; ponieważ pochodna Fy′ (x, y) jest na mocy 2) ciągła, więc można zbudować taki kwadrat hx0 − δ ′ , x0 + δ ′ ; y0 − δ ′ , y0 + δ ′ i (δ ′ < ∆ i δ ′ < ∆′ ), żeby dla wszystkich jego punktów było Fy′ (x0 , y0 ) > 0 (3 ). Dla tego kwadratu spełnione są wszystkie założenia twierdzenia I, monotoniczność funkcji F (x, y) względem y dla x=const wynika mianowicie z tego, że Fy′ > 0 [132]. Tym samym wnioski a), b) i c) można uważać za udowodnione. Przechodzimy do dowodu tezy d). Przez y będziemy teraz oznaczali tę funkcję uwikłaną y=f (x), która jest określona równaniem (1) i spełnia je tożsamościowo. Nadajmy zmiennej x przyrost ∆x; powiększonej wartości x + ∆x odpowiada wartość y + ∆y = f (x + ∆x), która wraz z x + ∆x spełnia równanie(1), F (x + ∆x, y + ∆y) = 0. Oczywiście przyrost ∆F (x, y) = F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x, y) = 0. Przedstawiając ∆F według wzoru (1) z ustępu 178 otrzymujemy 0 = ∆F (x, y) = Fx′ (x, y)∆x + Fy′ (x, y)∆y + α∆x + β∆y 3 Dla funkcji wielu zmiennych jest bowiem prawdziwe twierdzenie analogiczne do lematu z ustępu 80, udowodnionego dla funkcji jednej zmiennej. 5 6 VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowanie α i β zależą od ∆x i ∆y i dążą do zera, gdy ∆x i ∆y jedocześnie dążą do zera. Stąd F ′ (x, y) + α ∆y = − x′ . ∆x Fy (x, y) + β Niech ∆x dąży do zera; wobec udowodnionej już ciągłości funkcji y = f (x) (patrz b)) musi przy tym także ∆y dążyć do zera, a zatem również α → 0 i β → 0. Ponieważ Fy′ 6= 0, istnieje granica prawej strony, a tym samym istnieje pochodna y względem x (3) F ′ (x, y) ∆y = − x′ . ∆x→0 ∆x Fy (x, y) f ′ (x) = y ′ = lim Podstawiając f (x) zamiast y otrzymujemy f ′ (x) = − Fx′ (x, f (x)) . Fy′ (x, f (x)) Ponieważ w liczniku i mianowniku występują tu funkcje ciągłe funkcji ciągłych i przy tym mianownik jest różny od zera, wynika stąd, że f ′ (x) jest także funkcją ciągłą. Twierdzenie jest zatem udowodnione. Jest godne uwagi, że z własności danej bezpośrednio funkcji F (x, y) możemy sądzić o własności funkcji y=f (x), której bezpośredniego przedstawienia nie mamy. 208. Funkcje uwikłane wielu zmiennych. Podobnie jak równaie (1) można rozpatrywać równanie z wiekszą liczbą zmiennych (4) F (x1 , x2 , . . . , xn , y) = 0. Przy pewnych założeniach równanie to określa y jako funkcję uwikłaną n zmiennych x1 , x2 , . . . , xn : y = f (x1 , x2 , . . . , xn ), która na ogół jest wieloznaczna. Jeżeli podstawić ją zamiast y, to otrzymuje się równość F (x1 , x2 , . . . , xn , f (x1 , x2 , . . . , xn )) = 0 będącą tożsamością względem x1 , x2 , . . . , xn . Będziemy mówili, że w (n + 1)-wymiarowym prostopadłościanie (a1 , b1 ; a2 , b2 ; . . . ; an , bn ; c, d) równanie (4) określa y jako jednoznaczną funkcję zmiennych x1 , x2 , . . . , xn , jeżeli dla dowolnego punktu (x1 , x2 , . . . , xn ) leżącego w n-wymiarowym prostopadłościanie (a1 , b1 ; a2 , b2 ; . . . ; an , bn )