Teoria spektralna jednowymiarowych procesów Lévy`ego na

Teoria spektralna
jednowymiarowych procesów Lévy'ego
na póªprostej i odcinku
Prezentacja wyników rozprawy habilitacyjnej
Mateusz Kwa±nicki
Warszawa
25 pa¹dziernika 2012
[A]
Spectral properties of the Cauchy process on half-line and interval
[B]
Spectral analysis of subordinate Brownian motions on the half-line
[C]
Eigenvalues of the fractional Laplace operator in the interval
Proc. London Math. Soc., 2010
(wspóªautorzy: T. Kulczycki, J. Maªecki, A. Stós)
Studia Math., 2011
J. Funct. Anal., 2012
Odcinek
Póªprosta
Cz¦±¢ 1
Wst¦p: szeregi Fouriera
Opis rozwa»anej klasy operatorów
Sformuªowanie problemu
Wzór asymptotyczny dla odcinka
Zastosowania
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Wst¦p: szeregi Fouriera
Niech
D
= (0, π).
Twierdzenie RieszaFischera
Je±li
f
∈
2 (D ),
L
to
f (x )
2
przy czym ci¡g an =
π
Przez ∆ oznaczamy
Z
0
=
π
∞
X
n=1
a
n sin(nx ) (zbie»no±¢ w
f (x ) sin(nx )dx
operator Laplace'a
nale»y do
l
2 (D )),
L
2.
, ∆f (x ) = f 00 (x ).
Obserwacja
Przy odpowiednich zaªo»eniach:
∞
∞
X
X
2
je±li f (x ) =
an sin(nx ),
to −∆f (x ) =
n an sin(nx ).
n =1
n =1
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Wst¦p: szeregi Fouriera
Przypomnijmy: D = (0, π). Oznaczmy przez ∆|D operator
Laplace'a na L2 (D ) z warunkiem brzegowym Dirichleta.
Wyniki z poprzedniej strony mo»na podsumowa¢ nast¦puj¡co:
Wniosek
Funkcje fn (x ) = sin(nx ) tworz¡ zupeªny ukªad ortogonalny funkcji
wªasnych −∆|D , odpowiadaj¡cych warto±ciom wªasnym λn = n2 .
Celem jest badanie analogicznych funkcji i warto±ci wªasnych dla
operatorów ψ(−∆)|D . Szczególnie wa»nym przypadkiem jest
α/2 | dla α ∈ (0, 2).
uªamkowy operator Laplace'a (−∆)
D
Uwaga
Operator ψ(−∆)|D jest czym innym ni» ψ(−∆|D ). W przypadku
tego drugiego problem si¦ trywializuje.
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Opis rozwa»anej klasy operatorów
Operator ψ(−∆) to nielokalny operator na
zdeniowa¢ za pomoc¡:
L
2 (R),
który mo»na
• transformaty Fouriera (teorii spektralnej −∆);
• procesów Lévy'ego;
• rozszerze« harmonicznych;
• podporz¡dkowania póªgrup operatorów (w sensie Bochnera).
Omówimy krótko pierwsze trzy metody.
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Opis rozwa»anej klasy operatorów
Denicja (przez transformat¦ Fouriera)
Okre±lamy
dla
f
(ψ(−∆)f )ˆ(ξ) = ψ(ξ 2 )fˆ(ξ)
∈ L2 (R), dla których funkcja po prawej stronie jest w
2 (R).
L
Ponadto zakªadamy, »e jest ψ jest zupeªn¡ funkcj¡ Bernsteina,
albo inaczej funkcj¡ operatorowo monotoniczn¡, tj.:
Dodatkowe zaªo»enie
Dla pewnego b ≥ 0 i pewnej miary Radona µ na (0, ∞) zachodzi
Z
z
µ(ds )
ψ(z ) = bz +
.
s
(0,∞) z + s
Dla (−∆)α/2 :
b
= 0, µ(ds ) = cα s α/2 .
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Opis rozwa»anej klasy operatorów
Denicja (przez procesy Lévy'ego)
Operator −ψ(−∆) jest generatorem procesu Lévy'ego Xt , którego
wykªadnik Lévy'ego-Chinczyna to ψ(ξ 2 ). Innymi sªowy,
Ef (x + Xt ) − f (x )
−ψ(−∆)f (x ) = lim+
t
t →0
Z ∞
= b∆f (x ) + pv
(f (x + z ) − f (x ))ν(dz ),
przy czym
−∞
E exp(i ξ Xt ) = e −t ψ(ξ ) .
2
Dodatkowe zaªo»enie
Miara Lévy'ego ν (mierz¡ca intensywno±¢ skoków Xt ) ma g¦sto±¢,
która jest funkcj¡ caªkowicie monotoniczn¡ na (0, ∞).
Dla (−∆)α/2 : ν(dz ) = |zcα|1dz
+α , Xt symetryczny proces α-stabilny.
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Opis rozwa»anej klasy operatorów
Denicja (przez rozszerzenia harmoniczne)
Operator ψ(−∆) jest zwi¡zany z pewnym zagadnieniem rozszerzenia
harmonicznego w górnej póªpªaszczy¹nie:
2 ∂2
+ a(y ) ∂∂y 2 h(x , y ) = 0
(x ∈ R, y > 0);
∂x 2
h (x , 0)
=f
−ψ(−∆)f (x ) =
∂
∂ y h(x , 0)
(x ∈ R);
(x ∈ R).
Aby w ten sposób uzyska¢ wszystkie zupeªne funkcje Bernsteina ψ ,
trzeba rozwa»a¢ bardzo osobliwe a(y ) (uogólnione dyfuzje albo
spektralna teoria strun Kreina).
Zwi¡zek pomi¦dzy ψ oraz a(y ) zazwyczaj jest niejawny.
Dla (−∆)α/2 : a(y ) = cα y 2−2/α .
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Sformuªowanie problemu
Niech
D
b¦dzie odcinkiem (ogólniej: obszarem w Rd ).
Operator ψ(−∆)|D to operator ψ(−∆) na
zewn¦trznym Dirichleta.
2 (D )
L
z
warunkiem
Twierdzenie HilbertaSchmidta
Funkcje wªasne fn operatora ψ(−∆)|D tworz¡ zupeªny ukªad ortogonalny na L2 (D ). Mo»na je uszeregowa¢ tak, by odpowiadaj¡ce im
warto±ci wªasne speªniaªy 0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ . . .
Nieco nieformalnie,
ψ(−∆)fn (x ) = λn fn (x )
n (x ) = 0
f
Problem
Zbada¢ wªasno±ci λn oraz fn .
(x ∈ D );
(x ∈
/ D ).
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Wzór asymptotyczny dla odcinka
Twierdzenie ([A], [C])
= (0, π) oraz dla operatora (−∆)α/2 |D , α ∈ (0, 2):
α
+ O( n1 ).
λn = n − 2−α
4
Gdy α ≥ 1, zachodzi λ1 < λ2 < λ3 < . . .
Dla
D
W [A] rozwa»ano α = 1, [C] dotyczy α ∈ (0, 2).
Twierdzenie odpowiada ψ(z ) = z α/2 . Metoda jest do±¢
√ ogólna:
obecnie znane s¡ bardzo dokªadne wyniki dla ψ(z ) = z + 1 − 1,
trwaj¡ prace nad ogólniejszymi funkcjami.
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Wzór asymptotyczny dla odcinka
Dowód wykorzystuje funkcje wªasne Fµ na póªprostej.
Funkcji Fµ odpowiada warto±¢ wªasna ψ(µ2 ) = µα .
Bada si¦ nast¦puj¡ce przybli»enia funkcji wªasnych:
f˜n (x ) = Fµn (x )
(x ∈ (0, π3 ));
(2−α)π
2−α
f˜n (x ) ≈ sin (n −
(x ∈ ( π3 , 23π ));
4 )x +
8
f˜ (x )
n
= (−1)n−1 Fµn (π − x )
Tu µn = n −
2−α
4 .
(x ∈ ( 23π , π)).
√
Wzory na Fµ (x ) wyprowadzone s¡ w [A] dla ψ(z ) = z (tj. α = 1)
oraz w [B] dla ogólnych zupeªnych funkcji Bernsteina ψ .
Odcinek
Póªprosta
Cz¦±¢ 2
Funkcje wªasne na póªprostej
Twierdzenie spektralne
Zastosowania
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Funkcje wªasne na póªprostej
Uwaga
Gdy D jest ograniczony, operatory exp(−t ψ(−∆)|D ) s¡ zwarte
i przez to ψ(−∆)|D ma funkcje wªasne (tw. HilbertaSchmidta).
Dla
D
= (0, ∞) widmo ψ(−∆)|D jest ci¡gªe.
Twierdzenie ([A], [B])
Dla
= (0, ∞) oraz µ > 0 istnieje funkcja Fµ ∈ L∞ (D ) taka, »e
ψ(−∆)|D Fµ = ψ(µ2 )Fµ
przy odpowiednim rozszerzeniu denicji ψ(−∆)|D .
(cdn.)
D
Jak poprzednio, nieco nieformalnie,
ψ(−∆)Fµ (x ) = ψ(µ2 )Fµ (x )
Fµ (x )
=0
(x > 0);
(x ≤ 0).
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Funkcje wªasne na póªprostej
Twierdzenie ([A], [B]; cd.)
Funkcja
ma transformat¦ Laplace'a
Z ∞
µ
1
ξ
ψ 0 (µ2 )(µ2 − ζ 2 )
LFµ (ξ) = 2
dζ
exp
log
µ + ξ2
π 0 ξ2 + ζ 2
ψ(µ2 ) − ψ(ζ 2 )
Fµ
i ponadto
Fµ (x )
gdzie ϑµ ∈ [0, 2 ), za±
π
= sin(µx + ϑµ ) − Gµ (x ),
Gµ
jest caªkowicie monotoniczna.
(cdn.)
Zauwa»my, »e dla ψ(z ) = z , tj. dla operatora −∆|D ,
Fµ (x ) = sin(µx )
w istocie jest funkcj¡ wªasn¡ o warto±ci wªasnej ψ(µ2 ) = µ2 .
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Funkcje wªasne na póªprostej
Przypomnijmy:
Fµ (x )
= sin(µx + ϑµ ) − Gµ (x ).
Twierdzenie ([A], [B]; cd.)
Zachodzi ponadto:
Z
µ
ψ 0 (µ2 )(µ2 − ζ 2 )
1 ∞
log
dζ
ϑµ = −
π 0 µ2 − ζ 2
ψ(µ2 ) − ψ(ζ 2 )
oraz
Z
∞
Gµ (x )
gdzie
1
γµ (d ξ) =
π
=
0
e
−x ξ
γµ (d ξ),
µψ 0 (µ2 )
×
ψ(µ2 ) − ψ + (−ξ 2 )
Z
1 ∞
ξ
ψ 0 (µ2 )(µ2 − ζ 2 )
× exp −
log
d ζ d ξ.
π 0 ξ2 + ζ 2
ψ(µ2 ) − ψ(ζ 2 )
Im
Odcinek
Póªprosta
Funkcje wªasne na póªprostej
Elementy dowodu:
• transformaty Fouriera, Laplace'a i Stieltjesa;
• metoda WieneraHopfa;
• teoria zupeªnych funkcji Bernsteina;
• twierdzenie PaleyWienera;
• S -sploty dystrybucji;
• operator charakterystyczny Dynkina.
Zastosowania
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Funkcje wªasne na póªprostej
Dla (−∆)α/2 |D :
∞
−µsx
= sin(µx + 8 ) −
e
γ(s )ds ,
0
√
α
2α sin απ
s
2
×
γ(s ) =
2π
1 + s 2α − 2s α cos απ
2
Z ∞
1
1
1 − s αζ α
× exp
log
dζ .
π 0 1 + ζ2
1 − s 2ζ 2
1.0
(2−α)π
Fµ (x )
Z
0.5
Wykres F1 (x )
2
-0.5
-1.0
4
6
8
10
12
dla
α=1
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Twierdzenie spektralne
Przypomnijmy:
D
= (0, ∞), funkcje
Fµ
nie s¡ w
L
2 (D ).
Twierdzenie ([A], [B], [?])
Funkcje Fµ tworz¡ zupeªny ukªad uogólnionych funkcji wªasnych
operatora ψ(−∆)|D , tj. je±li
Z ∞
Πf (µ) =
f (x )Fµ (x )dx ,
0
Z
2 ∞
Π−1 g (x ) =
Fµ (x )g (µ)d µ,
π 0
to zachodzi
Π ψ(−∆)|D f (µ) = ψ(µ2 )Πf (µ).
Dla ψ(z ) = z , tj. dla operatora −∆|D , zachodzi Fµ (x ) = sin(µx ).
Zatem w tym przypadku Π jest transformat¡ sinusów.
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Twierdzenie spektralne
√
α/2 ,
W [A] rozwa»ano
ψ(
z) =
z (tj. α = 1), [B] dotyczy ψ(z ) = z
√
ψ(z ) = z + 1 − 1 i niektórych innych ψ .
Dowód dla ogólnych zupeªnych funkcji Bernsteina ψ jest zawarty w:
[ ?]
M. Kwa±nicki, J. Maªecki, M. Ryznar
First passage times for subordinate Brownian motions
arXiv:1110.0401
Odcinek
Póªprosta
Cz¦±¢ 3
Funkcjonaª supremum
Relatywistyczna mechanika kwantowa
Zastosowania
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Funkcjonaª supremum
Niech Xt b¦dzie procesem Lévy'ego o wykªadniku Lévy'ego-Chinczyna ψ(ξ 2 ). Oznaczmy
Mt = sup Xs .
s ∈[0,t ]
Twierdzenie ([A], [B], [?])
Przy odpowiednich zaªo»eniach na ψ ,
Z s
2 ∞ ψ 0 (µ2 ) −t ψ(µ2 )
P0 (Mt < x ) =
e
Fµ (x )d µ.
π 0
ψ(µ2 )
√
W [A] rozwa»ano
ψ(z ) = z (tj. α = 1), [B] dotyczy ψ(z ) = z α/2 ,
√
ψ(z ) = z + 1 − 1 i niektórych innych ψ , w [?] wymagana jest
minimalna regularno±¢ zupeªnej funkcji Bernsteina ψ w 0 i ∞.
Zastosowanie: oszacowania i rozwini¦cia asymptotyczne.
Odcinek
Póªprosta
Zastosowania
Relatywistyczna mechanika kwantowa
Gdy ψ(z ) =
stycznym
√
+ 1 − 1, operator ψ(−∆) jest kwazirelatywiHamiltonianem swobodnej masywnej cz¡stki.
z
Operator ψ(−∆)|D odpowiada cz¡stce, która zmuszona jest do
pozostania w D przez (niesko«czenie silne) pole elektryczne.
Warto±ci wªasne λn operatora ψ(−∆)|D odpowiadaj¡ poziomom
energetycznym cz¡stki.
Twierdzenie ([†])
Je±li
D
jest odcinkiem, to
λn = |nDπ| − 8|πD | + O( n1 ).
[† ]
K. Kaleta, M. Kwa±nicki, J. Maªecki
One-dimensional quasi-relativistic particle in the box
arXiv:1110.5887