Rozkład normalny

L.Kowalski-ROZKŁAD NORMALNY
Rozkład normalny, N(m, σ).
Gęstość
f ( x) =
1
e
σ 2π
−
( x −m )2
2σ
x∈R ,
2
m ∈ R , σ ∈(0, + ∞)
funkcja gęstości ma punkty przegięcia dla
x = m ±σ
W tablicy dla x ∈ [0; 5) podano wartości dystrybuanty Φ rozkładu N(0, 1)
Φ(-x) = 1 - Φ(x)
X - N(m, σ) ⇒ Y = (X - m)/σ - N(0, 1) (standaryzacja)
Funkcja charakterystyczna
ϕ (t ) = e
imt −
σ 2t 2
2
Parametry
EX = m;
D2X = σ2
a=0
k = 3 , k’ = 0
x0,5 = m
d=m
mk = m ⋅ mk −1 + (k − 1)σ 2 mk −2
gdy k − nieparzyste
0
µk =  k
σ ( k − 1)!! gdy k − parzyste
1
L.Kowalski-ROZKŁAD NORMALNY
Prawo trzech sigm
Jeśli X ma rozkład N(m, σ) to
P(m − σ < X < m + σ ) = 0,683 ,
P ( m − 2σ < X < m + 2σ ) = 0,955 ,
P(m − 3σ < X < m + 3σ ) = 0,997
Ostatnia równość świadczy o tym, że chociaż rozkład normalny ma gęstość różną od zera na
całej prostej to praktycznie niemal wszystkie realizacje skupiają się w przedziale
( m − 3σ , m + 3σ )
własność tą nazywamy prawem trzech sigm.
m
m– 3σ
m+ 3σ
2
L.Kowalski-ROZKŁAD NORMALNY
Interpretacja graficzna parametrów rozkładu N(m, σ)
Generowanie liczb losowych o rozkładzie N(0, 1):
Sposób 1.
ui – liczby losowe o rozkładzie równomiernym w (0, 1).
n – ustalone (dostatecznie duże), zwykle n = 12.
Wtedy
12  n
n
xi =
 ∑ ui − 
2
n  i =1
3
ma rozkład N(0, 1)
L.Kowalski-ROZKŁAD NORMALNY
Sposób 2.
ui – liczby losowe o rozkładzie równomiernym w (0, 1).
Wtedy
xi = − 2 ln ui sin(2πui +1 )
lub
xi = − 2 ln ui cos(2πui +1 )
mają rozkład N(0, 1) i są niezależne.
Sposób 3.
ui – liczby losowe o rozkładzie równomiernym w (-1, 1), takie, że ui2 + ui2+1 ≤ 1 .
Wtedy
(
− 2 ln ui2 + ui2+1
ui2 + ui2+1
xi = ui
)
lub
xi +1 = xi
ui +1
ui
mają rozkład N(0, 1) i są niezależne.
Generowanie liczb losowych o rozkładzie N(m, σ):
xi – liczby losowe o rozkładzie N(0, 1).
Wtedy yi = m + σxi
ma rozkład N(m, σ).
Przybliżenia dla wartości dystrybuanty Φ rozkładu N(0, 1), x ≥ 0.
Sposób 1.
1
Φ ( x) ≈ 1 −
e
2π
−
x2
2
(a t + a t
1
2
4
2
+ a3t 3
)
(dokładność: 10-5)
L.Kowalski-ROZKŁAD NORMALNY
t=
a1 = 0,4361836;
1
1 + 0,33267x
a2 = -0,1201676;
a3 = 0,9372980;
Sposób 2.
2
(
1 − x2
Φ( x) ≈ 1 −
e b1t + b2t 2 + b3t 3 + b4t 4 + b5t 5
2π
t=
b1 = 0,319381530;
)
(dokładność: 7,5·10-8)
1
1 + 0,2316419x
b2 = -0,356563782;
b3 = 1,781477937;
b4 = -1,821255978; b5 = 1,330274429;
Sposób 3. (bez funkcji wykładniczej lecz z mniejszą dokładnością)
(
Φ( x) ≈ 1 − 0,5 1 + c1x + c2 x + c3 x + c4 x
2
(dokładność: 2,5·10-4)
c1 = 0,196854; c2 = 0,115194;
c3 = 0,000344; c4 = 0,019527;
5
3
)
4 −4
L.Kowalski-ROZKŁAD NORMALNY
Sposób 4. (bez funkcji wykładniczej lecz z dobrą dokładnością)

i
Φ( x) ≈ 1 − 0,51 − ∑ di x 
 i=1

6
−16
(dokładność: 1,5·10-7)
d1 = 0,0498673470;
d2 = 0,0211410061;
d3 = 0,0032776263;
d4 = 0,0000380036;
d5 = 0,0000488906;
d6 = 0,0000053830;
Przybliżenia dla wartości kwantyla rzędu p rozkładu N(0, 1).
Sposób 1.
2,30753 + 0,27061t
u ( p) ≈ t −
1 + 0,99229 t + 0,04481t 2
(dokładność: 3·10-3)
t = − 2 ln(1 − p )
Sposób 2.
2 ,515517 + 0 ,802853 t + 0 , 010328 t 2
u( p) ≈ t −
1 + 1, 432788 t + 0 ,189269 t 2 + 0 ,001308 t 3
t=
− 2 ln( 1 − p )
(dokładność: 4,5·10-4)
L.Kowalski
6
28.10.2008