Propozycje zadań na konkurs matematyczny

PROPOZYCJE ZADAŃ KONKURSOWYCH Z MATEMATYKI
1. WykaŜ, Ŝe jeŜeli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie jest prostopadła do
ramienia, to ten trójkąt jest równoboczny.
2. Jedno z ramion trójkąta równoramiennego ABC przecięto prostą prostopadłą do podstawy AB, która
po przedłuŜeniu boku AC wyznaczyła punkt K, na ramieniu BC – punkt L, a na podstawie AB –
punkt M. Udowodnij, Ŝe trójkąt KLC jest równoramienny.
3. W trapezie ABCD połączono środek ramienia BC z wierzchołkami A i D. Udowodnij, Ŝe pole
trójkąta AED jest równe połowie pola trapezu.
4. O ile procent robotnik zwiększył wydajność pracy, jeŜeli to, co robił w ciągu 9 godzin, wykonał w
ciągu 8 godzin?
5. W 16 kg nasion znajduje się 10% zanieczyszczeń. Ile trzeba usunąć zanieczyszczeń, aby stanowiły
one 4% nasion?
6. Do suszenia dostarczono 510 kg świeŜych grzybów zawierających 90% wody. Po wysuszeniu
grzyby zawierały 15% wody. Ile kilogramów grzybów suszonych otrzymano?
7. Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Dziadek ma 2 razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, gdy
dziadek miał tyle, ile babcia teraz. Ile lat ma dziadek, a ile babcia?
8. Iloma i jakimi sposobami moŜna zwaŜyć 39 kg, mając do dyspozycji odwaŜniki 5 kg i 2 kg?
9. W rodzinie jest troje dzieci. Jaś jest 2 razy starszy od Teresy, Nela i Teresa mają 2 razy tyle lat co
Jaś. Mama i Jaś mają 2 razy tyle lat co Nela i Teresa razem. Nela, Teresa i babcia mają 2 razy tyle
lat co mama i Jaś. Babcia skończyła właśnie 84 lata. Ile lat ma mama i kaŜde z dzieci?
10. Liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. WykaŜ, Ŝe kwadrat liczby a powiększony o 1 jest
podzielny przez 5.
11. WykaŜ, Ŝe suma trzech kolejnych naturalnych potęg liczby 3 jest podzielna przez 13.
12. Suma dwóch licz naturalnych wynosi 72, ich największy wspólny dzielnik jest równy 8. Co to za
liczby?
13. Dwa zegarki wskazują tę samą godzinę w niedzielę w południe. Następnie jeden spieszy się o 5 min.
na dobę, zaś drugi spóźnia się o 10 min. na dobę. Po ilu dniach, w jakim dniu tygodnia i o której
godzinie zegarki wskaŜą znów tę samą godzinę?
14. Na wieczorku tańczyło 20 osób. Maria tańczyła z siedmioma tancerzami, Olga - z ośmioma, Wiera –
z dziewięcioma i tak dalej aŜ do Niny, która tańczyła z wszystkimi tancerzami. Ilu było tancerzy (
męŜczyzn ) na wieczorku?
15. Znajdź trzy liczby, z których druga jest większa od pierwszej o tyle, o ile trzecia jest większa od
drugiej, oraz wiadomo, Ŝe iloczyn dwóch mniejszych liczb jest równy 85, zaś iloczyn dwóch
większych 115.
16. Z czterech liczb całkowitych utworzono wszystkie moŜliwe sumy po dwie liczby i otrzymano: 1; 2;
5; 9; 12; 13. Znajdź te liczby całkowite.
BEATA ŁATA