p → q

Paweł Łupkowski
Logika I
KPN
(p ↔ q) ↔ (p → q) ∧ (q → p)
(p → q) ↔ ¬p ∨ q
¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q
¬¬p ↔ p
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(p ∧ q) ∨ r ↔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
1. Sprawdź czy podane formuły A i B są sobie inferencyjnie równoważne
(a) A = p ∧ q; B = q ∧ p,
(b) A = p → (q → r); B = p ∧ q → r,
(c) A = p ∧ q; B = ¬(¬p ∨ ¬q),
(d) A = (p ∨ q) ∧ r; B = (p ∧ r) ∨ (q ∧ r),
(e) A = (p ∨ q) ∨ r; B = (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).
2. Czy podana definicja alternatywy elementarnej jest poprawna?
Alternatywy elementarne:
(i) Każda zmienna zdaniowa jest alternatywą elementarną;
(ii) jeżeli A jest alternatywą elementarną i L jest literałem, to wyrażenie postaci (A ∨ L) jest alternatywą elementarną;
(iii) nie ma żadnych innych alternatyw elementarnych poza tymi, które są wymienione w punkcie (i) i tymi, które
można zbudować wedle reguły (ii).
3. Wskaż formuły będące alternatywami elementarnymi:
(a) (((p ∨ q) ∨ ¬r) ∨ p)
(d) ¬p
(g) (p ∨ q ∨ ¬r)
(b) (p ∨ q ∧ ¬r ∨ p)
(e) ((p ∨ q) ∨ r)
(h) s
(c) (p ∨ ¬p)
(f) ((p ∨ q) ∨ ¬r)
(i) (p ∨ q ∨ ¬r ∨ p)
4. Czy podana definicja koniunkcyjnej postaci normalnej jest poprawna?
Koniunkcyjna postać normalna:
(i) Każdy literał jest formułą o koniunkcyjnej postaci normalnej;
(ii) jeżeli A jest dowolną formułą o koniunkcyjnej postaci normalnej, zaś B jest dowolnym literałem, to wyrażenie o
postaci (A ∧ B) jest formułą o koniunkcyjnej postaci normalnej.
5. Sprowadź do koniunkcyjnej postaci normalnej następujące formuły. Które z nich są tautologiami?
(a) p → (q → r)
(h) (¬p → q)
(b) p ∧ q → r
(i) (p → q) → (q → r)
(c) p → (q ∧ r)
(j) ((p → q) → q) → r
(d) p → ((q → q) → r)
(k) p → (q → (q → r))
(e) ((p ∧ q) ∨ r) → s
(l) ¬((r ∧ ¬q) ↔ s) → ¬(p ∨ ¬q)
(f) (p ∧ q) ∨ (q → s)
(m) ((r ∧ ¬q) ↔ s) → ¬(p ∨ ¬q)
(g) ¬(p → q)
(n) ¬(((r ∧ ¬q) → s) → ¬(p ∨ ¬q))