Kolizje punktów materialnych z obszarami zabronionymi

Kolizje punktów materialnych z obszarami zabronionymi
Andrzej P. Kądzielawa
(Dated: 13 IV 2015)
I.
WSTĘP
Będziemy rozważać zderzenie punktu materialnego
(pm) o masie m z dużym (o masie M m) obiektem
(Rys. 1).
II.
Rysunek 2. Prędkość ~
u punktu materialnego po zderzeniem
wzdłuż normalnej ~n. ~
xk oznacza rzut wektora na oś n̂.
UKŁAD ODNIESIENIA
Zderzenie potraktujemy jako problem jednowymiarowy biorąc:
~v = ~vk + ~v⊥ ,
(1)
~vk ≡ vk n̂.
(2)
gdzie
n̂ nazywamy normalną do powierzchni w punkcie zderzenia.
Rysunek 1. Prędkość ~v punktu materialnego przed zderzeniem
wzdłuż normalnej ~n. ~
xk oznacza rzut wektora na oś n̂.
III.
ODBICIE
Naturalnym podejściem będzie odbicie prędkości normalnej
~vk → ~uk = −~vk ,
(3)
gdzie poprzez ~uk oznaczamy nową prędkość w kierunku
normalnej. Możemy jeszcze uwzględnić stratę energii kinetycznej pm na odbicie poprzez współczynnik odbicia
o ∈ [0, 1], gdzie o = 0 odpowiada całkowicie niesprężystemu zderzeniu, a o = 1 całkowicie sprężystemu. Ostatecznie (Rys. 2)
~uk = −o~vk .
(4)
IV.
SIŁA WYPADKOWA
~ - siła zeRysunek 3. Siły działające podczas zderzenia. F
~ - siła reakcji i T~ - siła tarcia.
wnętrzna, R
Pozostaje problem znalezienia wypadkowej siły. Jeżeli
siła zewnętrzna F~ była dotąd siłą wypadkową (zewnętrzną), poprzez III Zasadę Dynamiki Newtona (III ZDN) na
~ Możemy również
pm zaczyna działać nowa siła reakcji R.
(dla lepszej jakości modelu) uwzględnić na tym etapie siłę
tarcia T~ pm o powierzchnię. Ostatecznie
~ + T~ .
F~wypadkowa ≡ F~ + R
A.
(5)
Siła reakcji
~ jest (zgodnie z III ZDN) równa co do
Siła reakcji R
~ z jaką pm działa na
wartości i kierunku sile nacisku N
powierzchnię. Siła ta
2
~ ≡ ~0 jeśli siła F~ jest skierowana “od” powierzchni
1. R
(matematycznie n̂ · F~ > 0,
~ | ≡ 0 jeśli siła F~ jest skierowana “od” powierzch1. |N
ni (matematycznie n̂ · F~ > 0,
~ ≡ −F~k jeśli siła F~ jest skierowana “do” po2. R
wierzchni (matematycznie n̂ · F~ < 0.
~ | ≡ |F~k | jeśli siła F~ jest skierowana “do” po2. |N
wierzchni (matematycznie n̂ · F~ < 0.
B.
Tarcie
V.
Siła tarcia zgodnie z definicją równa jest
~ |v̂⊥ ,
T~ = −µ|N
Po wykryciu zderzenia należy:
(6)
~ to wspomniany nacisk, µ to bezwymiarowy
gdzie N
współczynnik tarcia, a −v̂⊥ to kierunek przeciwny prędkości prostopadłej do normalnej. O ile µ 1 musimy potratować jako dany, pozostałe wartości wynikają wprost:
−v̂⊥ znajdujemy z równania (1) jako
−v̂⊥ = −
~|
natomiast |N
~v⊥
,
|~v⊥ |
PODSUMOWANIE
1. znaleźć normalną w punkcie zderzenia;
2. pobrać prędkość ciała;
3. wyliczyć nową prędkości wzdłuż osi zdarzenia
(patrz (4));
4. policzyć siłę zewnętrzną działającą na ciało
5. wyliczyć nową siłę (patrz (5 – 6)
(7)
6. przecałkować równania ruchu z nowymi prędkościami i nowymi siłami.