AB i rdzenia

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
1, 16 (1978)
N APRĘ Ż ENA I KRYTYCZNE WOLN OPOD PARTYCH Ś CINANYCH PŁYT PRZEKŁADKOWYCH
FRANCISZEK R O M AN Ó W (WROCŁAW)
Oznaczenia
a, b t, 2c E, G, v Eu, G„, v„ m, n długość i szerokość pł yty,
grubość okł adziny i rdzenia,
moduł Younga, Kirchhoffa i liczba Poissona dla okładziny,
odpowiednio dla rdzenia,
ilość półfal w kierunku osi x i y,
firn 20.
a
mi
o =
Et3
D = b
r = alb
q jednostkowe naprę ż enia tną ce,
T naprę ż enia tną ce,
W ugię cie okł adziny w kierunku osi z,
W u przemieszczenie rdzenia w kierunku osi z,
— sztywność okł adziny na zginanie,
12(1—v2 )
2(1—1',,)
1. Wstę p
Zagadnieniom obliczania naprę ż eń krytycznych ś cinanych pł yt przekł adkowych poś wię cono dotychczas wiele prac. Przedstawione tam metody mogą być jednak stosowane
tylko do tzw. cienkich pł yt przekł adkowych [1, 2], które speł niają warunek
a 2 < J ( l v)
Podstawowym uproszczeniem, jakie przyjmowane jest w tych pracach, to nieodkształ calność mię kkiego rdzenia w kierunku prostopadł ym do powierzchni pł yty. To zał oż enie
nie uwzglę dnia naprę ż eń ś cinają cych w rdzeniu i uniemoż liwia opracowanie ogólniejszej
metody oraz projektowanie pł yt w oparciu o noś ność graniczną . Zasadniczym kryterium
wytrzymał oś ciowym tych pł yt jest utrata statecznoś ci cał ej pł yty (tzw. ogólna forma utraty
statecznoś ci), przy której obcią ż enia krytyczne są n a ogół mniejsze od noś noś i cgranicznej.
200
F. ROMANÓW
Z ekonomicznego punktu widzenia interesują ce są grubsze pł yty, w których naprę ż enia krytyczne są zbliż ane do granicy plastycznoś ci okł adziny. Wychodzą c z zał oż enia,
że ugię cie okł adziny opisane jest szeregiem
(1.2)
w = -
Cm Sln
" ~
. nyn
b~'
sin
w pracy [5] rozwią zano zagadnienie statecznoś ci krótkich pł yt przekł adkowych, dla których (ajb ^ 2). Jednak doś wiadczenia wykazał y, że teoretyczne naprę ż enia krytyczne
w stosunku do wyników badań są znacznie zawyż one. D latego dalsze poszukiwania doprowadził y do przyję cia nieco innej funkcji od równania (1.2) która dokł adniej opisuje
ugię cia wolnopodpartych, ś cinanych, prostoką tnych pł yt przekł adkowych i w konsekwencji daje dokł adniejsze rozwią zania. Rzeczywisty obraz odkształ conej pł yty, uzyskany
na drodze doś wiadczalnej, przedstawiony jest na rys. 1.
Rys. 1. Forma utraty statecznoś ci płyt prz:kł adkowych
Przeprowadzone rozważ ania i otrzymane wnioski są sł uszne przy nastę pują cych zał oż eniach :
— okł adziny wykonane z jednakowego, izotropowego materiał u posiadają taką samą
gruboś ć,
— rdzeń wykonany z mię kkiego izotropowego materiał u, dla którego obowią zuje
zależ ność E u • cjEt < 0,1. Oznacza to, że sztywność rdzenia w pł aszczyź nie pł yty w sto;.'
sunku do sztywnoś ci okł adzin jest dużo mniejsza. NAPRĘ Ż ENI
A KRYTYCZNE WOI.NOPODPARTYCH PŁYT
20J
Moż emy wię c przyją ć, że obcią ż enia leż ą ce w pł aszczyź nie pł yty przenoszą tylko okł adziny. Rdzeń natomiast równomiernie podpiera okł adziny i przenosi siły tną ce oraz sił y
normalne prostopadł e do powierzchni pł yty.
W oparciu o powyż sze zał oż enia moż emy przyją ć, że lekki rdzeń charakteryzuje się
nastę pują cymi wł asnoś ciami: E x • » E y = Gxy = 0; Gxz = Gyz = Gu i E, = E„,
2. Pł yta nieskoń czeni
e długa
N a począ tek przeanalizujmy problem naprę ż eń krytycznych dla pł yt teoretycznie nieskoń czenie dł ugich. Podobnie jak w teorii cienkich pł yt przyjmiemy, że ugię cie okł adziny
opisuje zależ ność
(2.1)
W — A sin — sin — (x—ay).
D la wolnopodpartej pł yty funkcja ta speł nia tylko czę ś ciowo warunki brzegowe [3].
N a krawę dziach pł yty (y = 0, y = b) ugię cia równają się zeru, zaś momenty są róż ne
2
2
od zera, gdyż 8 W/ 8y Ą= 0. Jednak dla uzykania chociaż przybliż onego rozwią zania
bę dziemy w dalszym cią gu korzystać z tej zależ noś . ci G raficzne przedstawienie ugię cia
pł yty pokazane jest na rys. 2, gdzie s oznacza dł ugość pół fali, a charakteryzuje nachylenie
linii wę zł owych, dla których x—ay/ s jest liczbą cał kowitą i A jest amplitudą .
Rys. 2. Schemat odkształ conej nieskoń czeni
e długiej płyty przekł adkowej
Przemieszczenie rdzenia w kierunku prostopadł ym do powierzchni pł yty został o określone w ogólnym przypadku w pracy [4] jako funkcja trzech zmiennych
cosh[p(c—z)]
cos hpc
(2.2)
"(x
gdzie
82W 8x
* 2
8 2W
dy2 W • +
l- 2r„
2(1 - v„ )
Jak wynika z zależ nośi c(2.2), q> jest tylko funkcją zmiennej z, a ugię cie W funkcją x i y.
Aby to zał oż enie był o speł nione, zależ ność (2.3) bę dziemy traktować jako parametr,
6 M ech. Teoretyczna i Stosowana 2/ 78
202
F . ROMANÓW
który w konkretnym przypadku ugię cia okł adziny posiada stał ą wartoś ć. Wielkość tego
współ czynnika dla niektórych funkcji ugię cia okł adziny podan o w tablicy 1.
Tablica 1
Parametr/ ; 2
Funkcja ugię cia okładziny W
A a sin
00 / nm \ 2
tixm
a
00
v- i r ) , nxm . nym
} } /(„„sin sin- - - —
ZJ Z J a b
n = 1 « = 1
. .. ny . n
b s
Asm — s i n — (JC—ay)
DO 00
r i r i , . nxm . nyn n
y y /4„,„sin sm—• — cos — (y—ax)
~- j —/ a b a
111= 1 7 1 = 1
1 mp \ 2 r I a \ 2 1
\ a 1 L \ 6 / .1
Mają c okreś lone przemieszczenie rdzenia moż emy teraz za pomocą metody energetycznej znaleźć naprę ż enia krytyczne.
W zwią zku z tym, iż okł adzina traktowana jest jako cienka izotropowa pł yta, jej energia
odkształ cenia sprę ż ystego okreś lona jest wzorem [3]
a b
D r r\ 82w 82w
- 4/ J
+
8x2
[
8y2
o o
Opierają c się na przedstawionych we wstę pie zał oż eniach odnoś nie rdzenia i korzystają c
z ogólnego równania na energię sprę ż ystą ciał a izotropowego, energię sprę ż ystą da się
opisać zależ noś ą ci
Praca wykonana przez zewnę trzne sił y ś cinają ce pł ytę wyraża się wzorem
\\
Uwzglę dniają c dalej równania (2.1) i (2.2) ostatecznie otrzymamy:
(2A) \ L + ł ± ^ 2 , ( 1 + «2)2"
4A2Dab
A -
8 (2.5) n2G
Ar=
<-
I 6 4 s2b2
A2ab
l^^\ 8 , <
2
2 T
\ b ' s ^ / 2
(2.6)
2
7r ^ aaA
4?
;;c
N AP R Ę Ż E N A I KRYTYCZN E WOLN OPOD PARTYCH PŁYT 203
N ieznane jednostkowe naprę ż enia tną ce q obliczymy z zależ nośi c
AK+Ar+Az (2.7) = 0,
W dalszym cią gu interesuje nas najmniejsza wartość q, czyli naprę ż enia krytyczue.
Ż ą dan
ą wartość otrzymamy z warunku
(2.9) - jr- = 0 - —• = 0 .
i Z równania (2.9) przy zał oż eniu, że mamy do czynienia tylko z cienką pł ytą (bez rdzenia c = 0) otrzymamy znane rozwią zania [3]
<x0 = 0,7071; s0 = 1,2247 6
i najmniejszą wartość naprę ż eń
q0 = 5,7
u
Rozwią zanie równań (2.9) najł atwiej przeprowadzić metodą numeryczną . Dla szczególnych przypadków pł yt moż na stosunkowo ł atwo okreś lić naprę ż enia krytyczne metodą
analityczną . D la dostatecznie cienkich pł yt przekł adkowych moż na przyją ć, że
tgh/ JC « pc,
wtedy z równania (2.8), poprzez wykorzystanie równań (2.9) otrzymamy:
V =
tutaj
Ci = - ]/ c4(2 +
CA =
+ Cj
Ca =
2
n D •
Podstawiają c skr i a^,. do równania (2.8) ostatecznie otrzymamy jednostkowe naprę ż enia
krytyczne.
Porównują c s0 z skI oraz a 0 z akI, moż na ł atwo wykazać, że sk[ < s0 i a k r > a 0 . Oznacza
to, że pł yta przekł adkowa fał duje się w ten sposób, że dł ugość pół fali jest mniejsza od dł ugoś ci pół fali dla takiej samej cienkiej pł yty (bez rdzenia).
6*
204
F . ROMANÓW
3. Pł yty prostoką tn
e
Jak już wspomniano we wstę pie w pracy [5] rozwią zano problem statecznoś ci krótkich pł yt przekł adkowych przy zał oż eniu, że ugię cie okł adziny opisane jest zależ noś ąci
(1.2). Schemat takiej pł yty przedstawiono na rys. 3. Póź niejsze dociekania doprowadzają
do wniosku, że dokł adniej ugię cie okł adziny moż na opisać nastę pują ą c zależ noś cią
:
. nyn (3.i) W
=- 2J2JC sin
n ,
s
sin —= — cos — (v — ax).
a ba
Wyraż enie to, podobnie jak zależ ność (2.1), nie speł nia wszystkich warunków brzegowych,
gdyż na krawę dziach pł yty ugię cia są równe zeru, zaś momenty nie są równe zeru.
J*. s^— **
J
Rys. 3. Pł yta prostoką tna wolnopodparta na cał ym obwodzie obcią ż on
a na krawę dziach naprę ż eniam
i
tną cymi
u zostanie wykazane, iż ten fakt dla pł yt przekł adkowych w. przeciW dalszym cią g
wień stwi
e do pł yt bez rdzenia nie jest zbyt istotny. Wykorzystując zależ ność (2.2) i (3.1),
a nastę pnie postę pują , podobnie jak c
w p . 2, otrzymamy wzory n a energię sprę ż yst
ą i pracę
sił zewnę trznych.
Energia gię ci
a okł adziny
(3.2)
A, = —
H
mna. 11
1
I «- (£[<
\ XlXl +
~2
- ZT ) \ X1X2+- ^X4Xs + XsXii) +
:7 - 2 x 5 x 9 + 4 x 1 1 x ] 2 )
I
N APRĘ Ż ENI \ KRYTYCZNE WOLNOPODPARTYCH PŁYT 205
Energia sprę ż ysta rdzenia
co co
(3.3) Ar - - ?
i " i f—' *
' c o sh ^ c / U 2 L P 2 \ p am ,
1H
' 2
1 , , \ s 1 / 1
H- .v5(>Xi4 —X10JJ + - —j" l ^ a ^ n + ^ i^ g —^- .VV1
W równaniach tych przez x oznaczono nastę pują ce cał ki:
/' a j 1 / 1 2 rca , 2nm c o s 2 —^ s r a 2 xdx = — 1 + - TT— oJ a a 4 [ 2 K \ S a \ .
5 T sin27ra = xu
a 2 —m 2 /
6
rai / sir
, 7r , 6 6 2 a / , \ . „ b
oo
b
f . 2n . 2nn , I sin — . ' a VSHA —
2
«a 6
2n{p - —ainA) i
b f . 2n . 27in . I ^ b b sin ysm2~r- ydy = COS2TJ: a oJ a b \ a " a
\ \ \ a I
a \
1) h
r ~ "\ b2—a2n2
/ An I[47t\
r
. 2na . - 4 nm , a 2a . , . , 1 .
r-2 (cos27ra— lH —( l- c o s2 jr a ) = .v5,
xax = - 3— I —= sm Jtsm" a a An \ _ ar—m
b
J
. , n . nn b a I b2 , \ . .
b
sm*—y cos* —r- yay =* —r — 1- 5—\ - rz 5—, + 1 sin 2jt ~ — x 7 )
a o 4 I oTt \ b —a n I a
L x
o . '
C , on . . nn , / b2 6 [ #
, \ . ^ . ^ 1
sm 2—ysm 2—r- ydy = T + - 5— T I 2^2 - 1 sin2?r— - x 8 ,
J a b 4 [871 \ i> 2- fl2«2 / flj
b
J a b \
x
a)i^7t\ 2
6
2nn , . n , a2bn / . b 2
2
b — a n ']
,\
9
'
\ 1
206 F . ROMANÓW
(I
. , na /
CtY\ — _ V C 11*1 a a b
. , Tim , a \ a I v/ / y — ___ ( I I a z
2
4 [\ 88jt\
4 7 i ;a
\ a- 2 m
- m 2 a a 1 \ ] .
, I I c i
a/ J
J
a/
n , m , b \ a
cof-2 ycosi- j- ydy = - + | ^
i
. 2jra . 2?rm 2?r , am
sin xsin xflx = • „ , , xr
a a 2n(az- m2)
sin xsin
a
/
a
. , na . 2nm , aa „ „ .
sin 2 —xsin xdx = . . ;, - r- (l- cos2?ra) = ^ 1 6 ,
/
a
(' - 2 na . 2nm , am .. . .
cos jvsin xdx = - .- . 2 „ —5
r ( l— cos2jra) = x 1 7 ,
2 y
J a a 4n(m - a ) ' "'
C . ,na , wm , a \ a / 1 a Yl . „
s m z —x c o s ' ' xdx ~—r — \ - z—\ —i—5 2
5- sin2:n:a = x 1 8 ,
J « a 4 [ 8 j r \ a a - m2/ J
, 7OTZ , a [ a 11 a \ I .
/" , na co s"5 —xco s' ! xdx = - r + - 0— — I — 5 H sm2wa = Xia,
2
2
J a a 4 [87i\ a v. - m )\
o
. 2na , 7im , ,, „ x [ a / 1 a \ 1
sin xcos 2 xdx ~ v(l—cos27ra) - r— 1 - 2 , T2 )\ - x20a a
\ 47i\ a a - m /J
Praca sił zewnę trznych
0 0 (3.4) A, = -
OD OO 00
q y y y y
m= l n= l k= l / = 1
+ i z 4 Z 5 + Z 8 Z 9 j + ^ - [Z 1 3( Z 8 - Z 3 ) + Z 5 ( Z 1 2 - Z 1 1 ) ] +
+ ^- [ Z 4 ( Z 6 - Z 7 ) + Z 2 (Z 9 - Z 1 )] + ^[ yZ 2 Z l 3 - Z 7 Z 1 2 - Z 6 Z 1 1 ] j )
gdzie:
/
, Tiix nfti . nk . u
c o s- ' —- xc o s—xsm —x dx = - r—r ^[l—cosmm+k)] J +
a a a 4n(m + k) NAPRĘ Ż ENIA KRYTYCZNE WOLNOPODPARTYCH PŁYT 207
a a
)— 11+ - r——- ,~
p- x
j- r- [cos7i(2a—m—k
L v
' J Sn(2a- m- k) :
8n(2a+m- k)
n
a
[cosra(2a- m Sn(2a- m- k)
+ fc)- l] - Z lt
C . nn . 2 n . n l , ab \ 12b A , 1
sin—=— ysin vsin- = — ydy — — j — ^ ; r r cosra (- « — / — 1 +
J b ' a b 4n[2b + a(n — /)] \_ \ a /
'2/ 3
~ B+/
4n[2b+a(n+D]
[
(
4m[2b- a(n+I)] [ C 0 S B \ a
b
/ , 26 \ 1 1
a6 [,
11 + - 5—7- 7 ,. « + /H 1—COSJTX
Ł1
a//JJ 8 [ ( + / ) 2 6 ] [
\ a
x (n+ 0 + a
261 fl/ j I", ,
261 _
26
— + o r / FN—?nr 1- cosOTH - /n) = Z 3,
a
C mn . 2raa nk , a ,_ , x
cos *sin .vsm —• xax= - :—— ; - smm2a—k—m) +
K
J a a a 4n(2u- k- m)
1
4 J Z ( 2 «- k+m) """v*»
47z(2a+k+m)
1,
f . mi . 2n nl , ab . lib A
si n - 7 - jsm —je o s- 5 — ydy = - T—^ ^T r- smTi n + l —
b a b 47t(2b — a)[n — l) \ a j
» JJ ab . [2b A ab . (2b
sln jt
l sin n ;—- +n + l) + - r- 7=i—r?—K
n- l) —
\ a J 4n{2b- a)(n+l) \ a
ab . [2b
b
f . nn . ni , n , J 8m - r ^6ł u T j;cos^- y^ = b , _
- ^- ^ m*(n- l)-
/ , 2/3 \ «/3 . / . 26 \
smn n
sm :n :
\\ n- l+— [n- l)- 2b] .T \ ~' V a / +
"b—r?—T
8n[a(»- / )+rr^
26] rr
« ] \ 2*\ a / 8n[a(nl)+2b] \
ab . [ . , . 2 / 3 a /
a
208 F . ROMANÓW
f , T in . ni J b 7t b b .
b
' 4n(n + l)
4n(n4n(n- l)
iy"vy a a'"' ab . I , 2b\ \ a j 8n[a(n- l)- 2b] . 1 x sinn \ ab
8n[a(n-
. 2b\ ab . 1 a I 8n[a(n + l)- 2b] \ ab • 2b\
a )
, 2b\
'Ą n + lĄ = Z 7,
b
^ c o s J ss . m -nn b
ni . , n
-
-
^
0
•
ab , / +. , 2 4 \ | ab
" ' a JJ
x cosTt «- / + • —I - 1 + - s- 7^7 A , Ł 1 COSTI; «- / I. \ « / J &n[a(n- l)- 2b] [ \ « . . , na /
Sin a XCOS •
mn . nk , a 1 - 1 = Z 8 ,
a / J
XSin a a X0X = - j—; _, . , , . ,
rr- 11 — COSJlfm + k)] +
4n(m + k)
TT
I—/c)
8n(2tx—m — k) k) 8T(2a+7?3—A:)
8.T(2a+ 7?3—A:)
a- m + k)- \ ] = Z 9 ,
2a — m+k)
a
f . 7 na . nm . nk . a , , .
sm • *—x sin x s m —x d x = • - .- —. — sm n(m—k) —
J aa a . 4n(m—k)
4n(m
, sh\ n(m+k)- 87r(m- A:+ 2a) v
a
- ? sinji(m- / c- 2a) +
'
= Z u ,
N AP R Ę Ż E N
A I KRYTYCZN E WOLN OP OD P ARTYC H PŁ YT 209
f . nm . nk , na. , a , ,.
z
sin x s m — xcos xax = - r- ~. - ^ smnun—k) —
v
J a a a 4n(ma 4n(m-k)k)
~T—f—- ,rsin?r(/ n+ fc)+ o - > —T — Ą <ń nn(m- k- 2a)
4n(m + k) &n(m — k — 2a)
. sin a +
. ?rw . nk . a
jsm xsm xox = - .- —— r
a a 4n(k + 2a- m)
tutaj
m 7^ A:, n ^ / .
Cał kowita energia pł yty. Korzystając z równania (2.7) przy uwzglę dnieniu równań
(3.2), (3.3) i (3.4) otrzymamy ostatecznie wzór na cał kowitą energię pł yty przekł adkowej
00 (3.5) co co co 00 co
Am J?£
}\ m 1 / c= 1 / =
gdzie:
2n* \ , In2 2 m a / n 2 1 \ 2
H 3 ~ ! ("* + a Jl L2 "I" ~^2'| ( XlX2~ł ~v,5X4.Xs+XsXli) x [xi5(x2~x8) m n a
"n ' + x4(x16~x17)] tc\ ^ j ab i.'- ')- ^ X3 X15 2
- \ 1 \
T ~ I T T "I" ~~Z~2 I
2
+ - — (/ n + a ) [x 3 ( x x 2ab
\\ 4- \ ln2 "
X10 X i 7 — X4.X1 ft J \ ~T~ n I I "«~T~ " r ' -
J 2
[ _\ 6 a^
G,( , / t gh »c 2 \ p \ P
2
cosh pc / 1 a
c
210
F. ROMANÓW
- r2-
(xixl2+ 0,5x5x9+ x7xli) - ^(xL xa- Q,
+
\,
wzór na Bm„ki ma postać:
"ml t
— [ 0 , 5 z 2 z 1 3 - z 7 z 1 2 - z 6
Stosują c metodę Ritza- Timoshenki otrzym am y m równ ań liniowych jedn orodn ych p o st ac i:
3A
= 0 ,
8Cmn
rozwią zują c nastę pnie wyznacznik tego ukł adu równań, otrzymamy ostatecznie wielkość
jednostkowych naprę ż eń tną cych gkI (krytyczne).
W pracy [5] autor wykazał , że dostateczną dokł adność rozwią zania zagadnienia dla
celów praktycznych uzyskuje się , przyjmują c sześć a nawet pię ć skł adników szeregu F ouriera. Toteż w niniejszej pracy ograniczono się do przyję cia m — 1,2, .,., 5 in • » 1, 2, .., , 5.
W celu porównania wielkoś ci naprę ż eń krytycznych dla funkcji ugię cia okł adziny określonej wzorem (1.2) i (3.1) odpowiednie wartoś ci podan o w tablicy 2 i 3.
Tablica 2. q** — Jednostkowe naprę ż enia krytyczne obliczone dla funkcji
wg wzoru (1.2)
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c ^ \ ^
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
5
1.....2
1.....3*
1,...,4
1,...,5
40,42
402,00
746,79
1075,32
1381,95
1662,88
1916,20
2141,74
2340,47
2665,42
33,27
230,91
409,69
573,71
718,95
843,57
947,72
1032,97
1101,65
1199,56
33,17
201,54
342,86
465,74
567,00
646,39
706,18
749,90
781,26
819,19
32,96
196,95
326,61
432,64
512,54
568,27
605,06
628,61
643,47
658,72
U waga: dane w tablicy pomnoż one przez 10- 3 dają wartoś ci q w [M N / m]. G ruboś ci rdzenia c
pomnoż one przez 10- 2 dają wartoś ci w [m].
211
NAPRĘ Ż ENI
A KRYTYCZNE WOLNOPODPARTYCH PŁYT
Tablica 3. g* — Jednostkowe naprę ż enia krytyczne obliczone dla funkcji
wg wzoru (3.1)
Lp.
c 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.....2
1 3
1.....4
1,...,5
55,2
361,45
656,6
937,54
1200
1597,65
1659,45
1855
2028,3
2535
38,85
196,95
341,71
474,0
590,85
719,17
773,81
841,69
896,24
1002,6
36,27
157,89
262,33
352,85
427,42
485,88
529,74
561,72
584,67
614,79
35,98
145,4
232,72
304,1
358,45
397,1
423,3
449,86
451,26
464,4
"'"ť\
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
5
3
Diine w tablicy pomnoż one przez 10- dają wartość q w [MN / m]. G rubość rdzenia c pomno2
- ż ona przez 10- dają wartość w [m],
Z porównania jednostkowych naprę ż eń tną cych wedł ug funkcji (1.2) (wartoś ci z dwoma gwiazdkami w tablicy 2) z naprę ż eniami krytycznymi dla funkcji (3.1) (wartoś ci zjedna
gwiazdką w tablicy 3) m oż na wycią gną ć bardzo ciekawy wniosek:
— D la cienkich jednolitych pł yt c — 0 naprę ż enia q** są znacznie mniejsze od naprę ż eń q*, co oznacza, że funkcja (3.1) daje zawyż one wartoś ci naprę ż eń.
Podstawową przyczyną wzrostu naprę ż eń jest czę ś ciowe niespeł nienie warunków brzegowych, o czym był a mowa wcześ niej.
Widać wię c, że jednolite pł yty (bsz rdzenia) są bardziej «wraż liwe» n a warunki brzegowe.
2
— D la gruboś ci rdzenia c > 0, n p. dla c = 0,5 • 10~ [m] funkcja (3.1) daje dokł adniejsze rozwią zania w stosunku do funkcji (1.2) o okoł o 35%.
Tablica 4. P rocentowy bł ą d wzglę dny A%
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A =
c ^ ~ \ ^
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
5
1.....2
ł,...,3
1.....4
1.....5
- 26,7
11,3
13,7
14,6
15,2
14
15,5
15,7
15,4
15
- 14,4
17,2
19,9
21
21,7
17,2
22,5
22,7
22,8
20
- 8,5
26,4
30,7
32
32,7
33,0
33,2
33,4
33,6
33
- 8,4
35,5
40,3
42,3
42,9
43,1
42,9
42,6
42,6
42
• 100%, g** wg tabl. 2, q* wg tabl. 3
212
F . ROM AN ÓW
D la bardziej przejrzystego zobrazowania róż nicy wielkoś ci naprę ż ń e krytycznych,
na rys. 4 przedstawiono zależ ność tych naprę ż ń e od gruboś ci rdzenia. Z przebiegu tych
krzywych widać, że moż na dobrać taką grubość rdzenia, powyż ej której jego zwię kszanie
nie daje efektywnych przyrostów naprę ż ń e krytycznych, a tylko niepotrzebnie zwię ksza
cię żr pł
a yty.
Przykł adowe obliczenie naprę ż ń e krytycznych wykonano dla pł yty, która charaktery2
2
zował a się nastę pują cym
i param etram i: a = 28,5- 10" [m]; b = 19- 10~ [m]; D =
6
2
2
= 17,02- 10- [M N m]; t = 0,1 • 10~ [m]; £ = 185475, 95 [M N / m ]; 0 . - 2 3 , 5 5
2
2
[M N / m ]; vu = 0,17; v - 0,3 i E„ = 58,81 [M N / m ].
[MN/ rn]
700x10
Rys. 4. Zależ noś
ć naprę ż ń e krytycznych od gruboś ci rdzenia obliczonych dla pię ciu liczb szeregu (1.2) i (3.1)
Dla uł atwienia bardzo ż mudnych obliczeń autor opracował program «M IN Q» na
EM C umoż liwiają y c obliczanie naprę ż ń e krytycznych dla dowolnej liczby wyrazów
szeregu F ouriera.
W oparciu o parametry pł yty, sł uż ą e cjako dane wejś ciowe, otrzymujemy a k r ; S kI ;
qkI ; T kr i krytyczne obcią ż enia
.
Program dostę pny jest w Instytucie Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Politechniki
Wrocł awskiej.
Literatura cytowana w tekś cie
1. A. .51. AnEKCAHflpoB u AP . J Pacnem mpexcnoumix nane/ ieu, MocKBa 1960.
2. P. P. BIJLAARD, Analysis of the elastic and elastic stability of sandwich plates by the method of split
rigidities, J. Aeronautical Sci., 18, 5 (1961) 339—349.
3. S. P. TIMOSHENKO, J. M. G ERE, Teoria statecznoś ci sprę ż ystej,
Warszawa 1963.
4. F r. ROMANÓW, Statecznoś ć pł yt dwuwarstwowych, woinopodpartych, przy obcią ż eniu
ś cinają cym.
Konstrukcje Lekkie —• Konferencje N aukowo- Tecł miczne w Instytucie Lotnictwa, Warszawa 1966.
5. F r. ROMANÓW, Wpł yw iloś ci skł adników szeregu Fouriera na dokł adnoś ć obliczeń naprę ż eń
krytycznych
]
w ś cinanych pł ytach przekł adkowych, Prace Instytutu Lotnictwa, 46 (1971).
P e 3 jo M e
KPHTJOTECKHE H AIiPiD KEH H fl CBOEOflHO OIIEPTBIX TPEXCJIOftH BlX
n JI AC TH H PABOTAIOIAHX HA C flBH r
Hcnojifc3yn oH epreTiraecKira MeTOfl penieH a 3aflaqa pacxieTa KpnTiwecKiix HaupameaKpi TpexcrioSHbix roiacTiiH , noflBeprayTbix BO3fleficTBnio cpe3biBaioinnx H arpy SOK. B pe3ynLTaTe yi&ra fledpopMH pyeMOCTH 3anoJiHHTejin n o Bceił ero TonuiHHe npefljioH<eHHbifl Mcrofl — B oTJiH'jHe OT o6meH3BecTHbix
NAPRĘ Ż ENI
A KRYTYCZNE WOLNOPODPARTYCH PŁYT 213
Teopniij HanpHMep [ 1 , 2] —MO>KeT npHMeHwrbcH 6e3 KaKnx- jra5o orpamraeH H H fljm ruiacTHH n poiBsojibHhix reoMeTpH'iecKHX paaiwepoB, B Koropwx 3anojnfflTeJib COCTOHT na jier- KHX H3orpomn>ix neHOo6pa3Hfaix MaTepnaJioB. PacawaTpHBaeMbie nnacTH iibi SLTJIH pacc^HTaHbi MHcneHHfciM MeTOflOM, a pe3yjibTaTbi npuBefleH bi B Ta6rame 1, 2 H n a p u c . 4.
S u m m a r y
CRITICAL STRESSES OF SIMPLY SUPPORTED SAN DWICH PLATES IN SHEAR
Energy method is used to solve the problem of critical stresses in sandwich plates subject to shear
loads. Since the deformation over entire thickness of ths core was taken into consideration (contrary to
the well- known theories [1, 2]), ths present theory can beused without any limitation for the plates of arbitrary dimensions with cores mads of foam- typs isotropic materials. The results of numerical analysis are
given in table 1, 2 and Fig. 4.
POLITECH N IKA WROCŁAWSKA
y
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 25 lipca 1977 r.