Niewątpliwie najbardziej popularnymi średnimi używanymi w ana

Niewątpliwie najbardziej popularnymi średnimi używanymi w analizie matematycznej, statystyce, rachunku prawdopodobieństwa oraz
innych działach matematyki są średnie potęgowe. Na przełomie lat 20tych i 30-tych XX wieku niezależnie Kołmogorow, Nagumo oraz de
Finetti wpadli na pomysł nowych średnich będących daleko idącym
uogólnieniem średnich potęgowych. Obecnie przyjęła się dlaP
nich nazwa
−1
średnich quasi-arytmetycznych. Są to średnie postaci f ( f (ai )/n),
gdzie f jest funkcją określoną na odcinku, ciągłą, ściśle monotoniczną,
natomiast (ai )ni=1 jest wektorem argumentów. Dla tak zdefiniowanych
wielkości pojawia się cała lista pytań dotyczących przenoszenia klasycznych wyników znanych dla średnich potęgowych.
Przykładem takiego problemu jest przenoszenie klasycznego faktu
znanego dla średnich potęgowych, mówiącego, że dla dowolnego ustalonego wektora argumentów, przy przebieganiu parametrem wszystkich
wartości rzeczywistych otrzymujemy (dokładnie raz) wszystkie wartości pośrednie pomiędzy najmniejszą i największą składową wektora.
W moim doktoracie podejmuję próbę rozstrzygnięcia, przy użyciu –
wydaje się – dość zaawansowanych metod, kiedy dana rodzina średnich quasi-arytmetycznych posiada wymienioną własność (tzw. własność skali).
Kolejnym kluczowym zagadnieniem jest pytanie, w jaki sposób zmiany funkcji f wpływają na zmianę wartości średniej quasi-arytmetycznej
pochodzącej od f . Pewne wyniki w tym zakresie były uzyskiwane już
w latach 1960-tych (przy pewnych dodatkowych warunkach dot. regularności) przez Cargo oraz Shishę. Problem znalezienia warunków
koniecznych i dostatecznych dla zbieżności w rodzinie średnich quasiarytmetycznych (niedający jakiegokolwiek oszacowania odległości) został rozwiązany przez Pálesa pod koniec lat 1980-tych. Moje dotychczas
uzyskane rezultaty dają nowe oszacowania nawiązujące do prac Cargo
oraz Shishy i równocześnie uogólniające wyniki Pálesa.
Inną klasą problemów badaną w mojej pracy doktorskiej jest lista
pytań związanych ze średnimi Hardy’ego. Początkiem był tu rezultat
Hardy’ego z roku 1920 - odpowiedź na wcześniejsze pytanie Hilberta
z roku 1909. Hardy pokazał, że jeśli Pp jest średnią potęgową rzędu p
1
to, gdy p ∈ (0, 1) oraz (ai )∞
+ ) wtedy ma miejsce nierówność
i=1 ∈ l (R
P∞
2 −1/p P∞
P
(a
,
.
.
.
,
a
)
<
(p
−
p
)
n
n=1 an (Rok później Landau uzyn=1 p 1
skał rezultat z lepszą, optymalną stałą po prawej stronie.) Stanowiło to
jednakże jedynie punkt wyjścia do dalszych badań – aktualnie średnią
M nazywamy Hardy’ego jeśli istnieje stała C > 0 taka, że
∞
X
n=1
M (a1 , . . . , an ) < C
∞
X
an dla dowolnego ciągu a ∈ l1 (R+ ).
n=1
1
2
Naturalnym pytaniem jest, czy dana średnia jest Hardy’ego. W pracy
udowadniam w/w własności dla kilku rodzin średnich, jak również podaję wiele negatywnych dotyczących własności Hardy’ego. Wśród już
uzyskanych wyników są: warunek konieczny i dostateczny dla rodziny
będącej uogólnieniem średniej arytmetyczno-geometrycznej rozważanej
jeszcze przez Gaussa oraz rozwiązanie hipotezy postawionej w 2004 roku przez Perssona oraz Pálesa.