Podróże po Imperium Liczb 05 Funkcje Arytmetyczne
Transkrypt
Podróże po Imperium Liczb 05 Funkcje Arytmetyczne
Olsztyn, Toruń, 2008 Podróże po Imperium Liczb 05 Funkcje Arytmetyczne Andrzej Nowicki 1 Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 1.1 Splot Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Funkcje multyplikatywne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Funkcje w pełni multyplikatywne . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Algebraiczne własności pierścienia funkcji arytmetycznych 1.5 Różne fakty i zadania o funkcjach arytmetycznych . . . . . 1.6 Splot Dirichleta i klasyczne funkcje arytmetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 8 10 11 12 14 2 Funkcja Möbiusa 2.1 Definicja i podstawowe własności . . . . . . . . . 2.2 Własności splotowe funkcji Möbiusa . . . . . . . 2.3 Funkcja Möbiusa i funkcje z warunkiem n | f (n) 2.4 Funkcja Möbiusa i część całkowita . . . . . . . . 2.5 Funkcja Möbiusa i kolejne liczby naturalne . . . 2.6 Różne fakty dotyczące funkcji Möbiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 18 20 21 21 3 Funkcja Eulera 3.1 Wzór na obliczanie wartości funkcji ϕ i multyplikatywność 3.2 Funkcja ϕ i splot Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Własności funkcji ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Równanie ϕ(x) = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Równania z funkcją ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Podzielność n − 1 przez ϕ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Funkcja ϕ i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Nierówności z funkcją ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Iteracje funkcji ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Liczby postaci ϕ(n)/n lub n/ϕ(n) . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Różne fakty i zadania z funkcją ϕ . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Funkcja ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 27 28 31 35 36 37 39 39 40 41 42 4 Liczba dzielników naturalnych 4.1 Podstawowe fakty o funkcji τ . . . . . . . 4.2 Przykłady i własności . . . . . . . . . . . 4.3 Funkcja τ i splot Dirichleta . . . . . . . . 4.4 Liczby τ (n2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Liczby τ (n)s . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Kolejne liczby naturalne . . . . . . . . . . 4.7 Nierówności i funkcja τ . . . . . . . . . . 4.8 Ciągi rekurencyjne z funkcją τ . . . . . . 4.9 Suma sześcianów i kwadrat sumy . . . . 4.10 Liczba dzielników i szeregi . . . . . . . . 4.11 Różne fakty i zadania dotyczące funkcji τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 45 45 47 48 49 49 50 51 54 56 56 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Liczby dzielników szczególnej postaci 5.1 Funkcje d4,1 i d4,3 . . . . . . . . . . . . . 5.2 Funkcje d3,1 i d3,2 . . . . . . . . . . . . . 5.3 Funkcje d6,1 i d6,5 . . . . . . . . . . . . . 5.4 Liczba dzielników pierwszych . . . . . . . 5.5 Inne liczby dzielników szczególnej postaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 58 60 61 62 64 6 Suma dzielników naturalnych 6.1 Własności funkcji σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Funkcja σ i splot Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Równanie σ(x) = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Liczby postaci σ(n) − n . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Równanie σ(n) = n + k . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Funkcja σ i kolejne liczby naturalne . . . . . . . . . . 6.7 Funkcja σ i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Nierówności z funkcją σ . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Liczby potęgowe postaci σ(n) . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Liczby postaci σ(n)/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Różne fakty i zadania o sumie dzielników naturalnych 6.12 Funkcja σs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Iloczyn naturalnych dzielników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 66 66 67 67 68 68 68 69 70 71 72 72 73 7 Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne 7.1 Liczby doskonałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Liczby nadmierne i deficytowe . . . . . . . . . . 7.3 Równość σ(n) = sn . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Równość σ(n) = sn±r . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Równości postaci aσ(n) = bn . . . . . . . . . . . 7.6 Liczby zaprzyjaźnione . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Liczby praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 74 76 77 78 79 80 80 8 Różne funkcje arytmetyczne 8.1 Funkcje arytmetyczne zerowe od pewnego miejsca . . . 8.2 Funkcja odwrotna do funkcji g(n) = (−1)n−1 . . . . . . 8.3 Funkcja Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Funkcje multyplikatywne stowarzyszone z nwd i nww . 8.5 Funkcje multyplikatywne stowarzyszone z wielomianami 8.6 Iloczyn dzielników pierwszych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83 84 85 86 87 88 9 Inne 9.1 9.2 9.3 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 90 90 92 92 sploty Splot Abela . . . . Dzielniki unitarne Splot unitarny . . Splot i nww . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, Toruń Olsztyńska Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania, Olsztyn e-mail: [email protected] 2