Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat

Rozdzial 1. Podstawowe elementy teorii krat
§1. Zbiory czȩściowo uporza̧dkowane
Definicja.
Relacjȩ binarna̧ ≤ określona̧ na zbiorze A nazywamy relacja̧
czȩściowo porza̧dkuja̧ca̧, gdy ≤ jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia
na A.
Wówczas parȩ <A, ≤> nazywamy zbiorem czȩściowo uporza̧dkowanym.
Twierdzenie 1.1: Niech <A, ≤> bȩdzie zbiorem czȩściowo uporza̧dkowanym
oraz B ⊆ A. Wówczas relacja ≤ ∩ (B × B) jest relacja̧ czȩściowo porza̧dkuja̧ca̧
na zbiorze B.
Dowód: Jest oczywiste, że warunki zwrotności, antysymetrii oraz przechodniości sa̧ spelnione dla relacji ≤ ∩ (B × B), gdy sa̧ one spelnione dla relacji ≤
(nawet gdy B = ∅; relacja ∅ na zbiorze ∅ jest czȩściowo porza̧dkuja̧ca). 2
Uwaga: Gdy <A, ≤> jest zbiorem cz. up. oraz B ⊆ A, to zbiór cz. up.
<B, ≤ ∩ (B × B)> nazywamy podzbiorem zbioru cz. up. <A, ≤>. Oznaczamy
go w skrócie w postaci: <B, ≤>. Ponadto zamiast pisać <x, y> ∈ ≤, piszemy
x ≤ y.
Definicja.
Niech < A, ≤> – zbiór cz. up. Element a ∈ A nazywamy
najwiȩkszym (najmniejszym) w <A, ≤>, gdy ∀x ∈ A, x ≤ a (∀x ∈ A, a ≤ x).
Element a ∈ A nazywamy maksymalnym (minimalnym) w < A, ≤>, gdy
∀x ∈ A(a ≤ x ⇒ a = x) (∀x ∈ A(x ≤ a ⇒ x = a)).
Twierdzenie 1.2: W dowolnym zbiorze cz. up. <A, ≤> istnieje co najwyżej
jeden element najwiȩkszy i co najwyżej jeden element najmniejszy.
Dowód: Zalóżmy, że a, b ∈ A sa̧ elementami najwiȩkszymi w < A, ≤>.
Wówczas ∀x ∈ A, x ≤ a oraz ∀x ∈ A, x ≤ b. Zatem b ≤ a oraz a ≤ b, co
wobec antysymetrii relacji ≤ daje a = b. Analogicznie dla wykazania jedyności
elementu najmniejszego. 2
Twierdzenie 1.3: Jeżeli w zbiorze cz. up. <A, ≤> istnieje element najwiȩkszy (najmniejszy), to jest on jedynym elementem maksymalnym (minimalnym)
w <A, ≤>.
Dowód: Niech a bȩdzie elementem najwiȩkszym w <A, ≤>. Zalóżmy, że a ≤ x
dla jakiegoś x ∈ A. Ponieważ x ≤ a, wiȩc z antysymetrii relacji ≤, a = x co
dowodzi, że a jest elementem maksymalnym w < A, ≤>.
Zalóżmy, że b jest elementem maksymalnym w <A, ≤>. Z definicji elementu
najwiȩkszego mamy: b ≤ a, zatem z zalożenia b = a czyli a jest jedynym
elementem maksymalnym w <A, ≤>. Analogicznie dla elementu najmniejszego.
2
§1. Zbiory czȩściowo uporza̧dkowane
2
Przyklad:
d◦
@
@
◦e
@
@c◦
@
@
a◦
@
@◦b
Diagram Hassego dla skończonego zbioru cz. up.
Elementy d, e sa̧ elementami maksymalnymi zaś a, b – minimalnymi w zbiorze
cz. up. <{a, b, c, d, e}, ≤>, gdzie relacja ≤ jest określona diagramem w sposób
nastȩpuja̧cy: dla dowolnych różnych elementów x, y tego zbioru, x ≤ y wtw z
punktu x można “przejść” do punktu y wzdluż lamanej, kieruja̧c siȩ na każdym
jej odcinku z dolu do góry. Zatem a ≤ c, a ≤ e oraz a ≤ d. Identycznie dla
elementu b (zamiast a). Natomiast ¬(a ≤ b). Ponadto ¬(c ≤ a) itd. Zaklada
siȩ, czego diagram nie uwidacznia, że każdy z elementów a, b, c, d, e jest sam ze
soba̧ w relacji ≤.
Znanym przykladem relacji czȩściowo porza̧dkuja̧cej jest relacja inkluzji określona na zbiorze potȩgowym danego zbioru:
Twierdzenie 1.4: Dla dowolnego zbioru U, < P (U ), ⊆> jest zbiorem czȩściowo uporza̧dkowanym, w którym U jest elementem najwiȩkszym oraz ∅ jest
elementem najmniejszym.
Dowód: Oczywisty na mocy twierdzeń: dla dowolnych X, Y, Z ∈ P (U ), X ⊆
X, (X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X) ⇒ X = Y, (X ⊆ Y ∧ Y ⊆ Z) ⇒ X ⊆ Z oraz
∀X ∈ P (U )(X ⊆ U ∧ ∅ ⊆ X). 2
Innym znanym przykladem relacji czȩściowo porza̧dkuja̧cej jest relacja wyznaczona na zbiorze ilorazowym danego zbioru wzglȩdem relacji równoważności
indukowanej przez dana̧ relacjȩ zwrotna̧ i przechodnia̧, jak nastȩpuje:
Twierdzenie 1.5: Dla dowolnej relacji zwrotnej i przechodniej ρ na zbiorze
A, ρ ∩ ρ∼ jest relacja̧ równoważności na A.
Relacja ≤ określona na zbiorze ilorazowym A/(ρ ∩ ρ∼ ) nastȩpuja̧co: dla
dowolnych x, y ∈ A, [x] ≤ [y] wtw <x, y> ∈ ρ, jest relacja̧ czȩściowo porza̧dkuja̧ca̧.
Dowód: Niech ρ bȩdzie zwrotna oraz przechodnia na A. Wówczas dla dowolnego x ∈ A, <x, x> ∈ ρ oraz <x, x>∈ ρ∼ , zatem ρ ∩ ρ∼ jest zwrotna. Zalóżmy,
że <x, y>, <y, z> ∈ ρ ∩ ρ∼ dla jakichś x, y, z ∈ A. Wówczas <x, y>, <y, z> ∈ ρ
oraz <y, x>, <z, y> ∈ ρ. Zatem z przechodniości relacji ρ mamy: <x, z> ∈ ρ
oraz <z, x> ∈ ρ, czyli <x, z> ∈ ρ∼ i ostatecznie <x, z> ∈ ρ ∩ ρ∼ , co oznacza, że
§2. Elementy maksymalne, lańcuchy
3
ρ∩ρ∼ jest przechodnia. W celu wykazania symetrii, zalóżmy, że <x, y> ∈ ρ∩ρ∼ .
Wówczas <x, y> ∈ ρ oraz <x, y> ∈ ρ∼ , zatem <y, x> ∈ ρ oraz <y, x> ∈ ρ∼ .
Ostatecznie, <y, x> ∈ ρ ∩ ρ∼ , tzn. ρ ∩ ρ∼ jest symetryczna.
Aby dowieść drugiej czȩści twierdzenia, najpierw wykażmy, że relacja ≤ jest
dobrze określona na zbiorze ilorazowym A/(ρ ∩ ρ∼ ), tzn. nie zależy od wyboru
reprezentantów klas abstrakcji. Niech wiȩc [x] = [a] oraz [y] = [b] dla pewnych
a, b ∈ A. Wykażemy, że na mocy definicji relacji ≤ zachodzi: [x] ≤ [y] wtw
[a] ≤ [b]. Zalóżmy wiȩc, że [x] ≤ [y]. Wówczas z definicji relacji ≤, <x, y> ∈ ρ.
Ponieważ z zalożenia, [x] = [a], wiȩc <x, a> ∈ ρ ∩ ρ∼ , ska̧d <x, a> ∈ ρ∼ , czyli
<a, x> ∈ ρ. Z przechodniości relacji ρ, <a, y> ∈ ρ. Jednakże również [y] = [b],
czyli <y, b> ∈ ρ ∩ ρ∼ . Sta̧d <y, b> ∈ ρ. Zatem z przechodniości ρ otrzymujemy:
<a, b> ∈ ρ, czyli [a] ≤ [b]. Odwrotna̧ implikacjȩ dowodzimy analogicznie.
Rozważmy dowolny element [x] ∈ A/(ρ ∩ ρ∼ ). Wówczas [x] ≤ [x] skoro
<x, x> ∈ ρ wobec zwrotności relacji ρ. Zatem relacja ≤ jest zwrotna. Zalóżmy,
że [x] ≤ [y] oraz [y] ≤ [x]. Wówczas < x, y > ∈ ρ oraz < y, x > ∈ ρ, czyli
<x, y> ∈ ρ∼ , zatem <x, y> ∈ ρ ∩ ρ∼ , a sta̧d [x] = [y], co dowodzi antysymetrii
relacji ≤. W celu wykazania przechodniości relacji ≤ zalóżmy, że [x] ≤ [y] oraz
[y] ≤ [z]. Wówczas < x, y > ∈ ρ oraz < y, z > ∈ ρ, zatem z przechodniości
ρ, <x, z> ∈ ρ co daje [x] ≤ [z]. 2
§2. Elementy maksymalne, lańcuchy
Twierdzenie 1.6: Dowolny niepusty skończony zbiór cz. up. posiada element
maksymalny.
Dowód: Udowodnimy indukcyjnie wyrażenie:
(1) Dla każdego n ≥ 1, w dowolnym n-elementowym zbiorze cz. up. <A, ≤>
istnieje element maksymalny.
Dla n = 1: oczywiście dowolny zbiór cz. up. jednoelementowy posiada
element maksymalny.
Weźmy dowolne n ≥ 1. Zalożenie indukcyjne:
(2) w dowolnym n-elementowym zbiorze cz. up. < A, ≤> istnieje element
maksymalny.
Mamy wykazać:
(3) w dowolnym (n + 1)-elementowym zbiorze cz. up. <A, ≤> istnieje element
maksymalny.
Rozważmy zatem dowolny zbiór cz. up. <A, ≤>, (n + 1)-elementowy. Niech
x ∈ A. Wówczas <A − {x}, ≤> jest zbiorem cz. up. n-elementowym. Na mocy
(2), niech a bȩdzie jego elementem maksymalnym. Naturalnie a 6= x. Zachodzi:
a ≤ x lub ¬(a ≤ x).
Jeśli a ≤ x, to x jest elementem maksymalnym w <A, ≤>. Bowiem gdyby
istnial y ∈ A taki, że x ≤ y oraz x 6= y, to wobec przechodniości relacji ≤
byloby: a ≤ y. Ponadto a 6= y, gdyby bowiem a = y, to wobec antysymetrii
relacji ≤, a = x, co jest niemożliwe. Zatem wobec maksymalności elementu a
w <A − {x}, ≤>, byloby: y 6∈ A − {x}, tzn. y = x, sprzeczność.
§2. Elementy maksymalne, lańcuchy
4
Jeśli zaś nie jest tak, że a ≤ x, to oczywiście a jest elementem maksymalnym
w <A, ≤>. 2
Definicja. Niech < A, ≤> – zbiór cz. up. Elementy x, y ∈ A nazywamy
porównywalnymi w <A, ≤>, gdy x ≤ y lub y ≤ x. Zbiór cz. up. <A, ≤>, w
którym dowolne dwa elementy sa̧ porównywalne nazywamy lańcuchem.
Zbiór cz. up. <A, ≤>, w którym relacja ≤ jest spójna nazywamy zbiorem
liniowo uporza̧dkowanym, zaś relacjȩ ≤ – relacja̧ liniowo porza̧dkuja̧ca̧.
Twierdzenie 1.7: Zbiór cz. up. <A, ≤> jest lańcuchem wtw jest on liniowo
uporza̧dkowany.
Dowód: Warunek spójności: ∀x, y ∈ A(x ≤ y lub y ≤ x lub x = y), jest
równoważny warunkowi porównywalności: ∀x, y ∈ A(x ≤ y lub y ≤ x). 2
Przyklad: Zbiór cz. up. <N, ≤>, gdzie N – zbiór liczb naturalnych oraz ≤
jest relacja̧ bycia liczba̧ mniejsza̧ lub równa̧, jest lańcuchem maja̧cym element
najmniejszy – liczbȩ 0, oraz nie maja̧cym elementu najwiȩkszego.
Liniowo uporza̧dkowany zbiór <N, ≤> ma ponadto nastȩpuja̧ca̧ wlasność:
dowolny jego niepusty podzbiór posiada element najmniejszy.
Twierdzenie 1.8: Jeżeli w lańcuchu <A, ≤> istnieje element maksymalny
(minimalny), to jest on elementem najwiȩkszym (najmniejszym).
Dowód: Niech a bȩdzie elementem maksymalym w lańcuchu <A, ≤>. Weźmy
x ∈ A. a, x sa̧ zatem porównywalne, tzn. x ≤ a lub a ≤ x. Gdy a ≤ x,
to wobec maksymalności a: a = x, czyli x ≤ a wobec zwrotności relacji ≤.
Ostatecznie x ≤ a, co dowodzi, wobec dowolności wyboru x, że a jest elementem
najwiȩkszym w <A, ≤>. Analogicznie dla elementu minimalnego. 2
Wniosek: Dowolny niepusty skończony lańcuch posiada elementy najwiȩkszy
i najmniejszy.
Dowód: Oczywisty na mocy Twierdzeń 1.6, 1.8 w przypadku stwierdzania istnienia elementu najwiȩkszego. Aby uzasadnić istnienie elementu najmniejszego
można poslużyć siȩ dualna̧ wersja̧ Tw.1.6: dowolny niepusty skończony zbiór
cz. up. posiada element minimalny, której dowód jest analogiczny do dowodu
Tw.1.6. 2
Definicja. Niech <A, ≤> bȩdzie zbiorem cz. up. oraz niech X ⊆ A. Element
a ∈ A nazywamy ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru X w <A, ≤>, gdy dla
każdego x ∈ X, x ≤ a (dla każdego x ∈ X, a ≤ x).
Zbiór wszystkich ograniczeń górnych (dolnych) zbioru X bȩdziemy oznaczać
Og(X) (Od(X)), czyli
Og(X) = {a ∈ A : ∀x ∈ X, x ≤ a},
Od(X) = {a ∈ A : ∀x ∈ X, a ≤ x}.
§2. Elementy maksymalne, lańcuchy
5
Przyklad: Dla zbioru cz. up. < {a, b, c, d, e}, ≤> określonego powyżej diagramem, Og({c, d, e}) = ∅, Od({c, d, e}) = {c, a, b}.
Lemat Kuratowskiego-Zorna: Niech <A, ≤> bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli
dla dowolnego niepustego lańcucha L ⊆ A istnieje w <A, ≤> ograniczenie górne
(tzn. Og(L) 6= ∅), to w <A, ≤> istnieje element maksymalny.
Lemat Kuratowskiego-Zorna (sformulowanie szczególowe): Niech <A, ≤>
bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla dowolnego niepustego lańcucha L ⊆ A istnieje
w <A, ≤> ograniczenie górne, to dla każdego a ∈ A w <A, ≤> istnieje element
maksymalny x taki, że a ≤ x.
Twierdzenie 1.9: Oba sformulowania lematu Kuratowskiego-Zorna sa̧ sobie
równoważne.
Dowód: Jest oczywiste, że sformulowanie szczególowe implikuje sformulowanie pierwsze. Aby dowieść odwrotnej implikacji zalóżmy, że zachodzi pierwsze
sformulowanie lematu oraz że w jakimś ustalonym zbiorze cz. up. <A, ≤> dla
dowolnego niepustego lańcucha L ⊆ A : Og(L) 6= ∅. Niech a ∈ A. Rozważmy
zbiór cz. up. < Og({a}), ≤>, aby zastosować dla niego pierwsze sformulowanie
lematu. Niech wiȩc L ⊆ Og({a}) bȩdzie niepustym lańcuchem. Wówczas L jest
lańcuchem w <A, ≤>, bo Og({a}) ⊆ A. Zatem z zalożenia istnieje ograniczenie
górne zbioru L w <A, ≤>. Niech b bȩdzie tym ograniczeniem górnym. Skoro
L 6= ∅, wiȩc dla jakiegoś x ∈ L mamy: a ≤ x (bo L ⊆ Og({a})) oraz x ≤ b,
zatem a ≤ b, czyli b ∈ Og({a}), tzn. b jest ograniczeniem górnym lańcucha L w
<Og({a}), ≤>. Wobec dowolności wyboru lańcucha L w <Og({a}), ≤>, stosuja̧c pierwsze sformulowanie lematu dla zbioru cz. up. <Og({a}), ≤> otrzymujemy: w <Og({a}), ≤> istnieje element maksymalny. Niech z bȩdzie tym
elementem maksymalnym. Jest oczywiste, że a ≤ z. Pozostaje wykazać, że z
jest elementem maksymalnym w <A, ≤>. Przypuśćmy że z nie jest elementem
maksymalnym w <A, ≤>. Wówczas dla jakiegoś y ∈ A, z ≤ y oraz z 6= y.
Jednakże wtedy a ≤ y, tzn. y ∈ Og({a}). Zatem z nie bylby maksymalny w
<Og({a}), ≤>. 2
Lemat Kuratowskiego-Zorna jest użyteczny w stwierdzaniu istnienia elementów maksymalnych w nieskończonych zbiorach cz. up. Jednakże “pracuje”
on również dla skończonych zbiorów cz. up. Mianowicie można go zastosować
do dowodu Tw.1.6. W tym celu należy wykazać prawdziwość poprzednika
implikacji pierwszego sformulowania lematu, tzn. zdania: “w dowolnym niepustym skończonym zbiorze cz. up. każdy niepusty lańcuch ma ograniczenie górne”. Można tego dokonać natychmiast w oparciu o Wniosek z Tw.1.8.
Rozważaja̧c bowiem jakiś niepusty lańcuch w skończonym zbiorze cz. up.,
wobec skończoności tego lańcucha istnieje w nim element najwiȩkszy, zatem
jego ograniczenie górne. Naturalnie, użycie tu Wniosku z Tw.1.8 zaklada, że
jest on wcześniej uzasadniony nie w oparciu o Tw.1.6 i Tw.1.8, ale inaczej – na
przyklad dziȩki prostemu dowodowi indukcyjnemu.
§3. Kraty zupelne
6
§3. Kraty zupelne
W dalszym cia̧gu elementy najwiȩkszy oraz najmniejszy danego zbioru cz.
up. <A, ≤>, o ile te elementy istnieja̧, bȩdziemy oznaczać odpowiednio 1 oraz
0.
Twierdzenie 1.10: Niech <A, ≤> bȩdzie zbiorem cz. up. Wówczas
(1) Jeżeli w <A, ≤> istnieje element najwiȩkszy 1, to Og(A) = {1},
(2) Jeżeli w <A, ≤> nie istnieje element najwiȩkszy, to Og(A) = ∅,
(3) Jeżeli w <A, ≤> istnieje element najmniejszy 0, to Od(A) = {0},
(4) Jeżeli w <A, ≤> nie istnieje element najmniejszy, to Od(A) = ∅,
(5) Og(∅) = Od(∅) = A.
Dowód: dla (1): Zalóżmy, że 1 jest elementem najwiȩkszym w <A, ≤>.
(⊆): Niech a ∈ Og(A), czyli ∀x ∈ A, x ≤ a. Zatem a jest elementem
najwiȩkszym w <A, ≤>, czyli na mocy Tw.1.2, a = 1, tzn. a ∈ {1}.
(⊇): Ponieważ ∀x ∈ A, x ≤ 1, wiȩc 1 ∈ Og(A).
dla (2): Zalóżmy, że w < A, ≤> nie ma elementu najwiȩkszego. Gdyby
Og(A) 6= ∅, to dla jakiegoś a ∈ A byloby a ∈ Og(A), zatem ∀x ∈ A, x ≤ a czyli
a bylby elementem najwiȩkszym wbrew zalożeniu.
dla (3): Analogicznie jak dla (1).
dla (4): Analogicznie jak dla (2).
dla (5): Jest oczywiste, że Og(∅) ⊆ A. Aby wykazać odwrotna̧ inkluzjȩ
zalóżmy, że a ∈ A. Ponieważ a ∈ Og(∅) wtw ∀x(x ∈ ∅ ⇒ x ≤ a) oraz warunek
∀x(x ∈ ∅ ⇒ x ≤ a) jest prawdziwy, wiȩc a ∈ Og(∅). Identycznie dla Od(∅). 2
Definicja. Niech < A, ≤> bȩdzie zbiorem cz. up. oraz X ⊆ A. Element
najmniejszy w <Og(X), ≤> nazywamy kresem górnym zbioru X w <A, ≤> i
oznaczamy: supX (supremum zbioru X). Element najwiȩkszy w < Od(X), ≤>
nazywamy kresem dolnym zbioru X w <A, ≤> i oznaczamy: inf X (infimum
zbioru X).
Przyklad: Dla rozważanego powyżej przykladu zbioru cz. up. zadanego
diagramem, sup{c, d, e} nie istnieje, zaś inf {c, d, e} = c.
Twierdzenie 1.11: Niech < A, ≤> bȩdzie zbiorem cz. up. Wówczas
(1) Jeżeli w <A, ≤> istnieje element najwiȩkszy 1, to supA = 1 oraz inf ∅ =
1,
(2) Jeżeli w <A, ≤> nie istnieje element najwiȩkszy, to nie istnieje supA
oraz nie istnieje inf ∅,
(3) Jeżeli w <A, ≤> istnieje element najmniejszy 0, to inf A = 0 oraz sup∅ =
0,
(4) Jeżeli w <A, ≤> nie istnieje element najmniejszy, to nie istnieje inf A
oraz nie istnieje sup∅,
(5) Dla dowolnego x ∈ A, sup{x} = inf {x} = x,
(6) Dla dowolnych x, y ∈ A, x ≤ y wtw sup{x, y} = y wtw inf {x, y} = x,
§3. Kraty zupelne
7
(7) Jeżeli A ma wiȩcej niż jeden element, to dla dowolnego X ⊆ A, jeżeli
istnieja̧ kresy supX, inf X w <A, ≤>, to X 6= ∅ wtw inf X ≤ supX.
Dowód: dla (1): Na mocy Tw.1.10(1), Og(A) = {1}, zatem elementem
najmniejszym w <{1}, ≤>, czyli supA jest element 1. Na mocy Tw.1.10(5),
Od(∅) = A, zatem najwiȩkszym elementem w <Od(∅), ≤>, czyli inf ∅ jest element 1.
dla (2): Zalóżmy, że w <A, ≤> nie ma elementu najwiȩkszego. Wówczas
na mocy Tw.1.10(2), Og(A) = ∅, zatem w < Og(A), ≤> nie ma elementu
najmniejszego, bo nie ma tam żadnego elementu. Dlatego supA nie istnieje.
Również na mocy Tw.1.10(5), Od(∅) = A, zatem w <Od(∅), ≤> nie ma elementu najwiȩkszego czyli nie istnieje inf ∅.
dla (3): Analogicznie na mocy Tw.1.10(3),(5).
dla (4): Analogicznie na mocy Tw.1.10(4),(5).
dla (5): Niech x ∈ A. Ponieważ x ∈ Og({x}) (relacja ≤ jest zwrotna) oraz
∀y ∈ Og({x}), x ≤ y, wiȩc x jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru
{x}, zatem x = sup{x}. Analogicznie wykazujemy, że x = inf {x}.
dla (6): Niech x, y ∈ A.
(⇒): Zalóżmy, że x ≤ y. Ponieważ y ≤ y, wiȩc y ∈ Og({x, y}). Niech
z ∈ Og({x, y}). Wówczas y ≤ z, zatem y jest najmniejszym ograniczeniem
górnym zbioru {x, y}, czyli y = sup{x, y}.
(⇐): Zalóżmy, że y = sup{x, y}. Ponieważ sup{x, y} ∈ Og({x, y}), wiȩc
x ≤ sup{x, y}, sta̧d x ≤ y.
Analogicznie dowodzimy drugiej równoważności.
dla (7): Niech A ma wiȩcej niż jeden element. Rozważmy X ⊆ A dla którego
istnieja̧ kresy górny i dolny w <A, ≤>.
(⇒): Zalóżmy, że X 6= ∅. Niech wiȩc a ∈ X. Ponieważ inf X jest ograniczeniem dolnym zbioru X, wiȩc inf X ≤ a. Analogicznie: a ≤ supX. Zatem z
przechodniości relacji ≤ uzyskujemy: inf X ≤ supX.
(⇐): Zalóżmy, że inf X ≤ supX oraz nie wprost, że X = ∅. Wówczas z
(2) i (1): inf X = 1, oraz z (4) i (3): supX = 0, gdzie 1, 0 sa̧ odpowiednio
najwiȩkszym i najmniejszym elementem w <A, ≤>. Z zalożenia mamy wiȩc:
1 ≤ 0. Oczywiście, 0 ≤ 1, zatem z antysymetrii relacji ≤ uzyskujemy: 0 = 1.
Jednakże wówczas, wbrew zalożeniu, A jest zbiorem 1-elementowym, bowiem
dla dowolnego a ∈ A, 0 ≤ a oraz a ≤ 0 (skoro 0 = 1), co implikuje a = 0. 2
Definicja. Zbiór cz. up. <A, ≤>, w którym A 6= ∅ oraz dla każdego X ⊆ A
istnieja̧ kresy supX, inf X nazywamy krata̧ zupelna̧.
Twierdzenie 1.12: Dla dowolnego zbioru U , zbiór cz. up. <P (U ), ⊆> jest
krata̧ zupelna̧.
S
S
Dowód: Niech R ⊆ P (U ). Wykażemy, że R = supR.
S Naturalnie R ∈
P (U ), bo skoro
S R ⊆ P (U
S ), tzn. ∀A ∈ R, A ⊆ U , wiȩc R ⊆ U . Ponieważ
∀A ∈ R, A ⊆ R, wiȩc
Y ∈ Og(R) czyli ∀A ∈ R, A ⊆ Y .
S R ∈ Og(R). Niech
S
Wówczas naturalnie R ⊆ Y , zatem R jest najmniejszym ograniczeniem
§4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporza̧dkowane
8
S
górnym zbioru R, tzn. R = supR.
Gdy R = ∅, to T
zgodnie z Tw.1.11(1) oraz Tw.1.4,
inf (R) = U . Niech R =
6
T
∅. Wykażemy,
że
R
=
inf
(R).
Naturalnie
R
∈
P
(U
),
bo
dla
dowolnego
T
T
T
A ∈ R, R ⊆ A, zaś A ⊆ U . Ponieważ ∀A ∈ R, R ⊆ A, wiȩc R
T ∈ Od(R).
Niech
Y
∈
Od(R),
tzn.
∀A
∈
R,
Y
⊆
A.
Wówczas
naturalnie
Y
⊆
R, zatem
T
T
R jest najwiȩkszym ograniczeniem dolnym zbioru R, czyli R = inf R. 2
Twierdzenie 1.13:
najmniejszy.
W każdej kracie zupelnej istnieje element najwiȩkszy i
Dowód: Niech < A, ≤> bȩdzie krata̧ zupelna̧. Istnieje wiȩc supA. Zatem
na mocy Tw.1.11(2) w < A, ≤> istnieje element najwiȩkszy. Ponieważ inf A
również istnieje, wiȩc na mocy Tw.1.11(4) istnieje w < A, ≤> element najmniejszy. 2
Okazuje siȩ, że wystarczy stwierdzić istnienie kresów jednego rodzaju dla
wszystkich podzbiorów danego zbioru cz. up., aby uznać go za kratȩ zupelna̧:
Twierdzenie 1.14: Niech <A, ≤> bȩdzie zbiorem cz. up. Jeżeli dla każdego
X ⊆ A istnieje w <A, ≤> kres dolny inf X, to <A, ≤> jest krata̧ zupelna̧.
Dowód: Zalóżmy, że dla dowolnego X ⊆ A istnieje inf X. Aby dowieść
twierdzenia wystarczy wykazać, że dla każdego X ⊆ A istnieje supX w <A, ≤>.
Rozważmy wiȩc dowolny X ⊆ A. Wykażemy, że z zalożenia istnieja̧cy w <A, ≤>
inf Og(X) (bo Og(X) ⊆ A) jest kresem górnym zbioru X w <A, ≤>.
Wykażmy najpierw, że inf Og(X) ∈ Og(X) tzn. że ∀x ∈ X, x ≤ inf Og(X).
Niech wiȩc x ∈ X. Wówczas ∀a ∈ Og(X), x ≤ a, zatem x jest ograniczeniem dolnym zbioru Og(X); wobec tego x ≤ inf Og(X), bo inf Og(X) jest
najwiȩkszym ograniczeniem dolnym zbioru Og(X).
Niech teraz y ∈ Og(X). Naturalnie inf Og(X) ∈ Od(Og(X)), zatem
inf Og(X) ≤ y, co dowodzi, że inf Og(X) jest najmniejszym ograniczeniem
górnym zbioru X, zatem inf Og(X) = supX. 2
Analogicznie można dowieść twierdzenia mówia̧cego o istnieniu kresów górnych, jako warunku wystarczaja̧cym na to, by zbiór cz. up. byl krata̧ zupelna̧.
§4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporza̧dkowane
Definicja. Niepusty zbiór cz. up. <A, ≤> nazywamy krata̧, gdy dla dowolnych x, y ∈ A istnieja̧ kresy inf {x, y}, sup{x, y}.
Naturalnie każda krata zupelna jest krata̧.
Twierdzenie 1.15: Każdy niepusty lańcuch <A, ≤> jest krata̧.
Dowód: Niech < A, ≤> bȩdzie niepustym lańcuchem. Ponieważ ∀x, y ∈
A (x ≤ y lub y ≤ x), wiȩc na mocy Tw.1.11(6), ∀x, y ∈ A(sup{x, y} = y
§4. Kraty jako zbiory czȩściowo uporza̧dkowane
9
oraz inf {x, y} = x) lub (sup{x, y} = x oraz inf {x, y} = y). 2
Przyklad: <N, ≤>, gdzie N – zbiór liczb naturalnych oraz ≤ – relacja bycia
liczba̧ mniejsza̧ lub równa̧, jest krata̧, choć nie jest krata̧ zupelna̧ (nie istnieje w
< N, ≤> element najwiȩkszy – porównaj Tw.1.13).
Przyklad: Rozważmy na zbiorze N − {0} konwers relacji podzielności |
określony nastȩpuja̧co: ∀x, y ∈ N − {0}, x |∼ y wtw ∃k ∈ N − {0}, y = xk
(tzn. x |∼ y wtw y jest podzielne przez x). Wówczas <N − {0}, |∼ > jest krata̧,
w której dla dowolnych x, y ∈ N − {0}, inf{x, y} = nwp(x, y) (najwiȩkszy
wspólny podzielnik liczb x, y) oraz sup{x, y} = nww(x, y) (najmniejsza wspólna
wielokrotność liczb x, y).
Twierdzenie 1.16: Niech < A, ≤> bȩdzie krata̧. Wówczas dla dowolnego
niepustego skończonego zbioru X ⊆ A istnieja̧ inf X oraz supX.
Dowód: Zalóżmy, że <A, ≤> jest krata̧. Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnego n = 1, 2, . . ., dla dowolnych x1 , x2 , . . . , xn ∈ A istnieje sup{x1 , x2 , . . . , xn }
w <A, ≤>.
Dla n = 1: naturalnie dla dowolnego singletonu {x} ⊆ A istnieje sup{x}
(Tw.1.11(5)).
Zalóżmy, że dla jakiegoś n, dla dowolnych x1 , x2 , . . . , xn ∈ A istnieje
sup{x1 , x2 , . . . , xn }.
Mamy wykazać, że dla dowolnych x1 , . . . , xn , xn+1 ∈ A, istnieje
sup{x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 }.
Rozważmy wiȩc dowolne x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ∈ A. Z zalożenia istnieje kres
sup{x1 , x2 , . . . , xn }. Wykażemy, że sup{x1 , . . . , xn , xn+1 } = sup{sup{x1 , . . . ,
xn }, xn+1 } (ponieważ <A, ≤> jest krata̧, wiȩc sup{sup{x1 , . . . , xn }, xn+1 } musi
istnieć, jeśli tylko istnieje sup{x1 , . . . , xn }). Oznaczmy a = sup{sup{x1 , . . . , xn },
xn+1 }. Ponieważ dla każdego i = 1, 2, . . . , n, xi ≤ sup{x1 , . . . , xn } ≤ a oraz
xn+1 ≤ a, wiȩc a ∈ Og({x1 , . . . , xn , xn+1 }). Zalóżmy teraz, że x ∈ Og({x1 , . . . ,
xn , xn+1 }). Wówczas x ∈ Og({x1 , . . . , xn }), zatem sup{x1 , . . . , xn } ≤ x. Naturalnie xn+1 ≤ x. Zatem x ∈ Og({sup{x1 , . . . , xn }, xn+1 }). Sta̧d a ≤ x, co
dowodzi, że a = sup{x1 , . . . ,n , xn+1 }.
Analogicznie wykazujemy odpowiednik dowodzonego wyrażenia dla kresów
dolnych:
dla dowolnego n = 1, 2, . . ., dla dowolnych x1 , x2 , . . . , xn ∈ A istnieje
inf {x1 , x2 , . . . , xn } w <A, ≤>. 2
Wniosek: Każda krata skończona jest krata̧ zupelna̧.
Dowód: Ponieważ każdy podzbiór kraty skończonej jest skończony, wiȩc wobec
Tw.1.16 wystarczy wykazać, że w kracie skończonej istnieja̧ sup∅ oraz inf ∅.
Niech < A, ≤> bȩdzie krata̧ skończona̧. Wówczas istnieje supA. Zatem
na mocy Tw.1.11(2), w < A, ≤> istnieje element najwiȩkszy 1. Sta̧d wedlug
Tw.1.11(1), inf ∅ = 1, zatem inf ∅ istnieje. Ponadto w <A, ≤> istnieje inf A.
§5. Kraty jako algebry
10
Zatem na mocy Tw.1.11(4) w <A, ≤> istnieje element najmniejszy 0. Sta̧d,
zgodnie z Tw.1.11(3), sup∅ = 0, zatem sup∅ istnieje. 2
W dalszym cia̧gu, gdy bȩdzie to potrzebne, kratȩ zdefiniowana̧ powyżej (jako
pewien zbiór czȩściowo uporza̧dkowany) bȩdziemy nazywać p-krata̧.
§5. Kraty jako algebry
Niech bȩdzie dany niepusty zbiór A. Dla dowolnej liczby naturalnej n, symbolem An oznacza siȩ zbiór wszystkich n-wyrazowych cia̧gów elementów zbioru
A. Jest to szczególny przypadek notacji, wedlug której dla dowolnych zbiorów
A, B, symbolem AB oznacza siȩ zbiór wszystkich funkcji przeksztalcaja̧cych
zbiór B w zbiór A. Ponieważ w interpretacji teoriomnogościowej dowolna liczba
naturalna n = {0, 1, . . . , n − 1}, przy czym 0 = ∅, wiȩc An = A{0,1,...,n−1} jest
zbiorem wszystkich funkcji przeksztalcaja̧cych zbiór {0, 1, . . . , n − 1} w zbiór A,
zaś każda taka funkcja jest z definicji cia̧giem n-wyrazowym elementów zbioru
A. W szczególności, zbiór wszystkich cia̧gów 0-wyrazowych jest jednoelementowy: A0 = A∅ = {∅} (formalnie dowolna funkcja f ∈ AB jest relacja̧ binarna̧
f ⊆ B × A spelniaja̧ca̧ warunki:
∀x ∈ B ∃y ∈ A, < x, y > ∈ f ,
∀x ∈ B ∀y, z ∈ A (< x, y >, < x, z > ∈ f ⇒ y = z),
zatem dla B = ∅ istnieje dokladnie jedna funkcja f przeksztalcaja̧ca zbiór B w
A, mianowicie f = ∅).
Definicja. Dla każdej liczby naturalnej n, dowolna̧ funkcjȩ o : An −→ A,
nazywamy n-argumentowa̧ operacja̧ na zbiorze A.
Zbiór A1 wszystkich 1-wyrazowych cia̧gów elementów zbioru A utożsamiamy ze zbiorem A (tzn. każdy 1-wyrazowy cia̧g, którego jedynym wyrazem
jest element zbioru A utożsamiamy z tym elementem). Zatem każda funkcja
przeksztalcaja̧ca zbiór A w zbiór A jest operacja̧ 1-argumentowa̧ na zbiorze A.
Każda operacja 0-argumentowa o na zbiorze A jest naturalnie funkcja̧ postaci:
o : {∅} −→ A, i jest utożsamiana ze swoja̧ jedyna̧ wartościa̧: o(∅), postrzegana̧
jako wyróżniony element ze zbioru A.
Definicja. Cia̧g (A, o1 , . . . , on ), gdzie A jest niepustym zbiorem oraz o1 , . . . , on
sa̧ operacjami na zbiorze A (o dowolnej argumentowości) nazywany jest algebra̧
(uniwersalna̧ lub abstrakcyjna̧).
Mówimy, że algebry A = (A, o1 , . . . , om ), B = (B, o01 , . . . , o0k ) sa̧ podobne lub
tego samego typu, gdy m = k oraz dla każdego i = 1, . . . , m, τ (oi ) = τ (o0i ), gdzie
dla dowolnej operacji o na danym zbiorze, τ (o) jest ilościa̧ argumentów operacji
o (cia̧g (τ (o1 ), . . . , τ (om )) jest nazywany typem algebry A).
§5. Kraty jako algebry
11
Definicja. Algebrȩ (A, ∧, ∨) typu (2,2) taka̧, że dla dowolnych x, y, z ∈ A
spelnione sa̧ równości:
(1) x ∧ x = x, x ∨ x = x,
(2) x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y = y ∨ x,
(3) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z,
(4) x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x,
nazywamy krata̧ (gdy jest to potrzebne, nazywamy ja̧ a-krata̧).
Twierdzenie 1.17: Jeżeli < A, ≤> jest p-krata̧, to algebra (A, ∧, ∨), w której
operacje sa̧ określone nastȩpuja̧co: ∀x, y ∈ A, x ∧ y = inf {x, y}, x ∨ y =
sup{x, y}, jest a-krata̧.
Dowód: Wykazujemy że spelnione sa̧ pierwsze z równości wystȩpuja̧cych w (1)
- (4) (drugie równości dowodzi siȩ analogicznie).
Równość (1) jest spelniona na mocy Tw. 1.11(5). Równość (2) zachodzi
na podstawie definicji operacji. Wykazujemy równość (3): inf {x, inf {y, z}} =
inf {inf {x, y}, z}. Najpierw dowodzimy, że
(*) dla dowolnych x, y, z ∈ A : inf {x, inf {y, z}} = inf {x, y, z}.
W tym celu oznaczmy: a = inf {x, inf {y, z}} i zauważmy, że a ≤ x, a ≤
inf {y, z} oraz inf {y, z} ≤ y, inf {y, z} ≤ z, zatem z przechodniości ≤: a ≤ y
i a ≤ z, czyli a ∈ Od({x, y, z}). Niech teraz u ∈ Od({x, y, z}). Wówczas u ≤ x
oraz u ≤ inf {y, z}, tzn. u ∈ Od({x, inf {y, z}), zatem u ≤ a. Ostatecznie,
a = inf {x, y, z}.
Niech teraz x, y, z ∈ A. Wówczas z (*) mamy: inf {inf {x, y}, z} =
inf {z, inf {x, y}} = inf {z, x, y} = inf {x, y, z} = inf {x, inf {y, z}}.
Wykazujemy równość (4): inf {x, sup{x, y}} = x. Naturalnie x ≤ x oraz
x ≤ sup{x, y}. Gdy u ∈ Od({x, sup{x, y}}), to oczywiście u ≤ x. Ostatecznie,
x = inf {x, sup{x, y}}. 2
Twierdzenie 1.18: Dla dowolnej a-kraty (A, ∧, ∨) zbiór cz. up. < A, ≤>,
gdzie ∀x, y ∈ A, x ≤ y wtw x ∧ y = x, jest p-krata̧, w której dla dowolnych
x, y ∈ A, inf {x, y} = x ∧ y, sup{x, y} = x ∨ y.
Dowód: Niech algebra (A, ∧, ∨) bȩdzie a-krata̧. Zwrotność relacji ≤ wynika z
równości (1), antysymetria z równości (2). Aby dowieść przechodniości zalóżmy,
że x ≤ y i y ≤ z. Zatem x ∧ y = x, y ∧ z = y. Sta̧d x ∧ z = (x ∧ y) ∧ z =
x ∧ (y ∧ z) = x ∧ y = x, na mocy równości (3), zatem x ≤ z.
Ponieważ wedlug (1),(2),(3): (x ∧ y) ∧ x = x ∧ y oraz (x ∧ y) ∧ y = x ∧ y,
wiȩc x ∧ y ≤ x oraz x ∧ y ≤ y. Niech teraz dla jakiegoś u ∈ A bȩdzie: u ≤ x i
u ≤ y, tzn. u ∧ x = u i u ∧ y = u. Wówczas u ∧ (x ∧ y) = (u ∧ x) ∧ y = u ∧ y = u,
zatem u ≤ x ∧ y. Ostatecznie, x ∧ y = inf {x, y}.
Zanim wykażemy, że wartość operacji ∨ na sekwencji elementów x, y jest
kresem górnym zbioru {x, y}, udowodnimy iż w a-kracie (A, ∧, ∨), dla dowolnych
x, y ∈ A,
(5) x ∧ y = x wtw x ∨ y = y.
§6. Kraty z zerem i jedynka̧, kraty dystrybutywne
12
(⇒): Zalóżmy, że x ∧ y = x. Wówczas na mocy równości (4): x ∨ y =
(x ∧ y) ∨ y = y. Implikacjȩ (⇐) dowodzi siȩ analogicznie.
Ponieważ wedlug równości (4) zachodzi: x ∧ (x ∨ y) = x oraz y ∧ (x ∨ y) = y,
wiȩc x ≤ x ∨ y oraz y ≤ x ∨ y. Niech teraz element u ∈ A bȩdzie taki, że x ≤ u
i y ≤ u. Wówczas z definicji relacji ≤ na mocy (5) mamy: x ∨ u = u oraz
y ∨ u = u. Zatem (x ∨ y) ∨ u = x ∨ (y ∨ u) = x ∨ u = u, dlatego, na mocy (5) i
definicji ≤: x ∨ y ≤ u. Ostatecznie x ∨ y = sup{x, y}. 2
W dalszym cia̧gu nie bȩdziemy odróżniać p-kraty od a-kraty. Albowiem,
po pierwsze, dysponuja̧c dana̧ p-krata̧ < A, ≤>, na mocy Tw.1.17 otrzymujemy
z niej a-kratȩ (A, ∧, ∨) taka̧, że x ∧ y = inf {x, y}, x ∨ y = sup{x, y}, zaś z
tejże a-kraty, na mocy Tw.1.18 otrzymujemy p-kratȩ < A, ≤1 > taka̧, że x ≤1 y
wtw x ∧ y = x wtw inf {x, y} = x wtw x ≤ y, na mocy Tw.1.11(6), oraz
inf1 {x, y} = x ∧ y = inf {x, y}, sup1 {x, y} = x ∨ y = sup{x, y}, tzn. p-krata
< A, ≤1 > jest tożsama z wyjściowa̧ p-krata̧ < A, ≤>. Po drugie, dysponuja̧c
dana̧ a-krata̧ (A, ∧, ∨), na mocy Tw.1.18 otrzymujemy z niej p-kratȩ < A, ≤>
taka̧, że x ≤ y wtw x ∧ y = x oraz inf {x, y} = x ∧ y, sup{x, y} = x ∨ y,
zaś z tej p-kraty, na mocy Tw.1.17 otrzymujemy a-kratȩ (A, ∧1 , ∨1 ) taka̧, że
x ∧1 y = inf {x, y} = x ∧ y, x ∨1 y = sup{x, y} = x ∨ y, tzn. a-krata (A, ∧1 , ∨1 )
jest tożsama z wyjściowa̧ a-krata̧ (A, ∧, ∨).
Relacjȩ ≤, wyjściowa̧ w p-kracie lub definiowana̧ w a-kracie, nazywamy kratowym porza̧dkiem w tej kracie.
§6. Kraty z zerem i jedynka̧, kraty dystrybutywne
Definicja. Algebrȩ (A, ∧, ∨, 0, 1) typu (2,2,0,0) nazywamy krata̧ z zerem: 0
i jedynka̧: 1, gdy (A, ∧, ∨) jest krata̧ oraz dla każdego x ∈ A spelnione sa̧
równości:
(6) x ∧ 1 = x, x ∨ 0 = x.
Naturalnie kratȩ z 0 i 1 można traktować jako p-kratȩ z elementami
najwiȩkszym: 1 i najmniejszym: 0.
Można również rozważać kratȩ z zerem: (A, ∧, ∨, 0), w której zachodzi: x ∨
0 = x, ba̧dź kratȩ z jedynka̧: (A, ∧, ∨, 1), w której zachodzi: x ∧ 1 = x.
Twierdzenie 1.19: W dowolnej kracie z zerem i jedynka̧ (A, ∧, ∨, 0, 1) spelnione
sa̧ równości: x ∨ 1 = 1, x ∧ 0 = 0.
Dowód: Oczywisty na podstawie równości (6) i (5). 2
Twierdzenie 1.20: W dowolnej kracie (A, ∧, ∨), dla dowolnych x, y, z ∈ A :
(x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ≤ x ∧ (y ∨ z).
Dowód: Naturalnie x ∧ y ≤ x oraz x ∧ y ≤ y ≤ y ∨ z, zatem x ∧ y ≤ x ∧ (y ∨ z).
Analogicznie, x ∧ z ≤ x oraz x ∧ z ≤ z ≤ y ∨ z, zatem x ∧ z ≤ x ∧ (y ∨ z).
Ostatecznie wiȩc, (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ≤ x ∧ (y ∨ z). 2
§6. Kraty z zerem i jedynka̧, kraty dystrybutywne
13
Definicja. Krata (A, ∧, ∨) jest dystrybutywna, gdy dla dowolnych x, y, z ∈ A :
x ∧ (y ∨ z) ≤ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), tzn. wobec Tw.1.20, gdy spelniona jest równość:
x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
Twierdzenie 1.21: W dowolnej kracie dystrybutywnej (A, ∧, ∨) zachodzi równość: (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) = x ∨ (y ∧ z).
Dowód: Z dystrybutywności kraty, (4), (3) i (2) mamy: (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) =
((x ∨ y) ∧ x) ∨ ((x ∨ y) ∧ z) = (x ∧ (x ∨ y)) ∨ (z ∧ (x ∨ y)) = x ∨ ((z ∧ x) ∨ (z ∧ y)) =
(x ∨ (x ∧ z)) ∨ (z ∧ y) = x ∨ (y ∧ z). 2
Twierdzenie 1.22: Każdy niepusty lańcuch jest krata̧ dystrybutywna̧.
Dowód: Niech < A, ≤> bȩdzie niepustym lańcuchem. Wówczas < A, ≤> jest
krata̧ (Tw.1.15). Niech x, y, z ∈ A. Wówczas y ≤ z lub z ≤ y. Niech y ≤ z.
Wtedy x ∧ (y ∨ z) = x ∧ z ≤ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Gdy z ≤ y, to x ∧ (y ∨ z) = x ∧ y ≤
(x ∧ y) ∨ (x ∧ z). 2
Przyklady krat niedystrybutywnych:
◦x
@
◦1
@
@
◦ y @◦ z
@
@◦ 0
x ∧ (y ∨ z) = x,
(x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = 0,
x ◦
◦1
@
@
@
@◦ z
y ◦H
HH
◦0
x ∧ (y ∨ z) = x,
(x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = y
§7. Specjalne elementy w kratach
14
§7. Specjalne elementy w kratach
Definicja. Niech (A, ∧, ∨, 0) bȩdzie krata̧ z zerem. Dla dowolnego a ∈ A,
najwiȩkszy element w zbiorze cz. up. < {x ∈ A : a ∧ x = 0}, ≤> (gdzie ≤ jest
kratowym porza̧dkiem) nazywamy pseudo-uzupelnieniem (lub ∧-uzupelnieniem,
lub dolnym uzupelnieniem) elementu a w tej kracie.
Niech (A, ∧, ∨, 1) bȩdzie krata̧ z jedynka̧. Dla dowolnego a ∈ A, najmniejszy
element w zbiorze cz. up. < {x ∈ A : a∨x = 1}, ≤> nazywamy ∨-uzupelnieniem
lub górnym uzupelnieniem) elementu a w tej kracie.
Niech (A, ∧, ∨, 0, 1) bȩdzie krata̧ z zerem i jedynka̧. Dla dowolnego a ∈ A
element, który jest jednocześnie pseudo-uzupelnieniem i ∨-uzupelnieniem elementu a, nazywamy uzupelnieniem elementu a.
Niech (A, ∧, ∨) bȩdzie krata̧. Dla dowolnych a, b ∈ A, element najwiȩkszy
w zbiorze cz. up. < {x ∈ A : a ∧ x ≤ b}, ≤> nazywamy relatywnym pseudouzupelnieniem elementu a wzglȩdem b.
Twierdzenie 1.23: W dowolnej kracie z zerem, dla dowolnego jej elementu,
jego pseudo-uzupelnienie jest jego relatywnym pseudo-uzupelnieniem wzglȩdem
zera.
Dowód: oczywisty. 2
Przyklady.
◦1
@
@
◦ b @◦ c
◦a
@
@
@◦ 0
{x : a∧x = 0} = {b, c, 0}, zatem pseudo-uzupelnienie elementu a nie istnieje,
{x : a ∨ x = 1} = {b, c, 1}, zatem górne uzupelnienie elementu a nie istnieje,
{x : a ∧ x ≤ c} = {b, c, 0}, zatem relatywne psudo-uzupelnienie elementu a
wzglȩdem c nie istnieje.
◦1
HHH
a ◦
◦d
b ◦H
◦c
HH ◦0
{x : a ∧ x = 0} = {0, c, d}, zatem pseudo-uzupelnieniem elementu a jest d,
{x : a ∨ x = 1} = {1, d, c}, zatem górnym uzupelnieniem elementu a jest c,
ponieważ c 6= d, wiȩc nie istnieje uzupelnienie elementu a,
§7. Specjalne elementy w kratach
15
{x : a ∧ x ≤ c} = {0, c, d}, zatem relatywnym pseudo-uzupelnieniem elementu a wzglȩdem c jest d.
◦1
@
@
@◦ b
a◦
@
@
@◦ 0
{x : a ∧ x = 0} = {0, b}, zatem pseudo-uzupelnieniem elementu a jest b,
{x : a ∨ x = 1} = {1, b}, zatem ∨-uzupelnieniem elementu a jest b,
b jest wiȩc uzupelnieniem elementu a,
latwo sprawdzić, że uzupelnieniem elementu b jest a.
Twierdzenie 1.24: W dowolnej kracie z jedynka̧ i zerem, uzupelnieniem jedynki jest zero, zaś uzupelnieniem zera jest jedynka.
Dowód: Niech 1, 0 bȩda̧ odpowiednio jedynka̧ i zerem kraty (A, ∧, ∨, 0, 1).
Ponieważ dla dowolnego elementu x ∈ A : 1 ∧ x = x, wiȩc {x ∈ A : 1 ∧ x =
0} = {0}, zatem 0 jest pseudo-uzupelnieniem elementu 1. Ponieważ, wedlug
Tw.1.19, dla dowolnego x ∈ A, 1 ∨ x = 1, wiȩc {x ∈ A : 1 ∨ x = 1} = A, zatem
0 jest ∨-uzupelnieniem elementu 1. Ostatecznie 0 jest uzupelnieniem elementu
1. Analogicznie wykazuje siȩ, że 1 jest uzupelnieniem elementu 0. 2
Twierdzenie 1.25: W dowolnej kracie (A, ∧, ∨, 0, 1), dla dowolnych a, b ∈ A,
jeżeli b jest uzupelnieniem elementu a oraz istnieje uzupelnienie elementu b, to
jest nim element a.
Dowód: Zalóżmy, że a ∧ b = 0 i a ∨ b = 1 oraz niech c bȩdzie uzupelnieniem
elementu b. Ponieważ c jest ∧-uzupelnieniem elementu b, wiȩc a ≤ c. Skoro zaś
jednocześnie c jest ∨-uzupelnieniem elementu b, wiȩc c ≤ a. Ostatecznie, c = a.
2
Uwaga: W ogólności może być tak, że w kracie (A, ∧, ∨, 0, 1) jakiś element b jest
uzupelnieniem pewnego elementu a, lecz nie istnieje uzupelnienie elementu b.
Na przyklad w kracie na rysunku poniżej choć a jest ∨-uzupelnieniem elementu
b, to jednak nie istnieje pseudo-uzupelnienienie elementu b i w konsekwencji nie
istnieje jego uzupelnienie.
◦˙
˙˙
◦ 1
@
@
◦
@
@
@◦ b
a ◦
@
@
@
@
@◦ 0
§7. Specjalne elementy w kratach
16
Twierdzenie 1.26: W dowolnej kracie dystrybutywnej z zerem i jedynka̧
(A, ∧, ∨, 0, 1), dla dowolnych a, b ∈ A : b jest uzupelnieniem elementu a wtw
a ∧ b = 0 oraz a ∨ b = 1.
Dowód: Zalóżmy dystrybutywność kraty.
(⇒): oczywisty.
(⇐): Zalóżmy, że a ∧ b = 0 oraz a ∨ b = 1. Niech x ∈ A bȩdzie taki, że
a ∧ x = 0. Wówczas, x ∨ b = 1 ∧ (x ∨ b) = (a ∨ b) ∧ (x ∨ b) = (a ∧ x) ∨ b = 0 ∨ b = b,
zatem x ≤ b, czyli b jest pseudo-uzupelnieniem elementu a.
Weźmy teraz pod uwagȩ taki x ∈ A, że a ∨ x = 1. Wówczas, x ∧ b =
0 ∨ (x ∧ b) = (a ∧ b) ∨ (x ∧ b) = (a ∨ x) ∧ b = 1 ∧ b = b, zatem b ≤ x, tzn. b jest
∨-uzupelnieniem elementu a. Ostatecznie, b jest uzupelnieniem elementu a. 2
Wniosek: W kracie dystrybutywnej z zerem i jedynka̧, dla dowolnych elementów
a, b : b jest uzupelnieniem elementu a wtw a jest uzupelnieniem elementu b.
Dowód: oczywisty na podstawie Tw.1.26. 2
Twierdzenie 1.27: W dowolnej kracie (A, ∧, ∨), jeżeli dla pewnego a ∈ A
istnieje relatywne pseudo-uzupelnienie a wzglȩdem a, to jest ono elementem
najwiȩkszym w tej kracie.
Dowód: Zalóżmy, że b jest relatywnym pseudo-uzupelnieniem elementu a wzglȩdem a, tzn. elementem najwiȩkszym w zbiorze: {x ∈ A : a ∧ x ≤ a}. Niech
x ∈ A. Skoro a ∧ x ≤ a, wiȩc x ≤ b. 2
Twierdzenie 1.28: W kracie z jedynka̧ (A, ∧, ∨, 1) dla dowolnego a ∈ A,
(i) 1 jest relatywnym pseudo-uzupelnieniem a wzglȩdem a,
(ii) 1 jest relatywnym pseudo-uzupelnieniem a wzglȩdem 1,
(iii) a jest relatywnym pseudo-uzupelnieniem 1 wzglȩdem a.
Dowód: (i) wynika z faktu: a ∧ 1 ≤ a.
(ii) wynika z faktu: {x ∈ A : a ∧ x ≤ 1} = A,
Dla (iii) : {x ∈ A : 1 ∧ x ≤ a} = {x ∈ A : x ≤ a}, zaś a jest elementem
najwiȩkszym w tym zbiorze. 2