8. Twierdzenie o wzajemności

Rozdział VIII
Twierdzenie o wzajemności
Twierdzenie o wzajemności dla niesprzężonych zadań termosprężystości
ma postać podaną przez W. M. Majziela
∫ Pi ui dA + ∫ ρ Fi ui dV + γ ∫ Θ ε kk dV = ∫ Pi ui dA + ∫ ρ Fi ui dV + γ ∫Θ ε kk dV
'
A
'
'
V
'
V
A
'
'
V
V
W równaniu tym występują dwa układy przyczyn: podstawowy {ρ Fi , Pi , ρ r , Θ } oraz pomocniczy - ρ Fi ' , Pi ' , ρ r ' , Θ ' , które wywołują skutki
{
czyli pola przemieszczeń i temperatur {ui , Θ },
}
{ Θ }.
ui' ,
'
ui’
Pi
dA
B
B ui
Θ A ui
Pi’
ρFi’ A
ρFi
ui’
Θ’
V
Rys. 8.0 Twierdzenie o wzajemności
Twierdzenie to posłuży nam do przedstawienia kilku interesujących,
ogólnych własności rozwiązań zadań sprężystych i lepkosprężystych.
ZADANIE 8.1.
Należy określić zmianę objętości ∆V izotropowego ciała sprężystego pod
działaniem sił masowych i powierzchniowych.
Rozwiązanie:
Analizować będziemy dwa układy przyczyn i skutków. W pierwszym
zadaniu wystąpi hydrostatyczne ciśnienie p a pole przemieszczeń ui ma postać
323
ui' = Axi → ε ij' = Aδ ij , ε kk' = 3 A
σ ij' = 2G ε ij' + λ ε kk' δ ij =
σ ij' =
E  '
v

ε kk' δ ij 
 ε ij +
1+ v 
1 − 2v

E 
3 Av 
EA
δ ij = p δ ij
 A+
 δ ij =
1+ v 
1 − 2v 
1 − 2v
Naprężenia są więc stałe (ciśnienie hydrostatyczne) stąd σ ij′ , j ≡ 0 .
p(1 − 2v )
.
E
Ostatecznie pole przemieszczeń i naprężeń określają zależności
Stała A wynosi A =
ui' =
1 − 2v
pxi ,
E
σ ij' = p δ ij ,
ε ij' =
1 − 2v
p δ ij
E
Wypisując twierdzenie o wzajemności dla pewnego dowolnego układu
przyczyn {Pi , ρ Fi }oraz hydrostatycznego ciśnienia ui' , σ ij' = p δ ij - jako
{
}
zadanie z primami otrzymamy

 1 − 2v
p = ∫ p ε kk dV + 0
 ∫ Pi xi dA + ∫ ρ Fi xi dV 
 A
 E
V
V
ślad tensora deformacji ε kk jest równy przyrostowi objętości ∆V , stąd
∫ ε kk d V = ε kk ∫ dV = ∆V ⋅ V
sr
V
V
Przyrost objętości wynosi
∆V =

1 − 2v 
 ∫ Pi xi dA + ∫ ρ Fi xi dV 
EV  A

V
Wzór ten określa przyrost objętości ciała w wyniku działania dowolnych sił
Pi i ρFi.
324
ZADANIE 8.2.
Należy określić zmianę objętości (globalną) wywołaną tylko przyrostem
temperatury ρFi = 0, Pi = 0, Θ ≠ 0, ρFi ' = 0, Pi′ = 0, Θ ' ≠ 0 .
(
)
Rozwiązanie:
Równanie twierdzenia o wzajemności ma wówczas postać
γ ∫Θ ⋅
V
3p
(1 − 2v ) dV = ∫ σ ij' ε ij dV = ∫ pδ ij ε ij dV = p ∫ ε ii dV = p∆V ⋅V →
E
V
V
V
→ ∆V =
γ
Θ
V∫
V
gdzie
3(1 − 2v)
dV ,
E
 E

3vE
E
 = α T
+
1 − 2v
 1 + v (1 + v)(1 − 2v) 
γ = α T (2 µ + 3λ ) = α T 
Ostatecznie
3α T
E 3(1 − 2v )
1
∆V = α T
⋅
∫ Θ dV → ∆V = V ∫ Θ dV
V
E
1 − 2v
V
V
Wynik ten jest niezależny od mechanicznych stałych materiałowych.
ZADANIE 8.3.
Należy określić średnią wartość skrócenia warstwy sprężystej o grubości h,
dowolnie obciążonej siłami masowymi i powierzchniowymi.
A
P=[P1(x2,x3),0,0]
∆h
h
x2
x1
ρF=[ρF1(x1,x2,x3),0,0]
x3
V
Rys. 8.3a Układ podstawowy
325
Rozwiązanie:
Analizować będziemy pomocnicze zadanie określające jednoosiowe
rozciąganie. Problem ten określa układ równań na przemieszczenie ui’
x3
P’=[p,0,0]
x2
u 2’
u 3’
u 1’
x1
Rys. 8.3b Zadanie pomocnicze
u1' =
p
pv
pv
x3
x1 , u 2' = −
x 2 , u3' = −
E
E
E
0
1 0
 p 0 0
p
p

'
'
ε = 0 − v 0  , ε kk = (1 − 2v ), σ ij =  0 0 0
E
E
0 0 − v 
 0 0 0
'
ij
(
σ 11' =

E p
v
p
 +
(1 − 2v )  = p
1 + v  E (1 − 2v ) E

'
σ 22
=

E  pv
v
p
'
 −
+
(1 − 2v )  = 0 = σ 33
1 + v  E (1 − 2v ) E

(
)
Twierdzenie o wzajemności dla dowolnego układu obciążeń ui , σ ij i pól
σ
ui' ,
'
ij
) przyjmie formę
∫ σ ijε ij dV = ∫ σ 11ε11dV = p ∫ ε11dV = pε11V
'
V
sr
'
V
V
326
oraz
∆ h = ε11sr h
ε 11sr =
1   p
pv
pv 
x 2 − P3
x3  dA +
 ∫  P1 x1 − P2
pV  A  E
E
E


p
pv
pv 

+ ∫  ρF1 x1 − ρF2
x 2 − ρF3
x3  dV 
E
E
E


V
Ostatecznie średnia wartość skrócenia warstwy sprężystej wynosi
∆h =
h 
 (P1 x1 − vP2 x 2 − vP3 x3 ) dA +
VE  ∫A

+ ∫ (ρ F1 x1 − vρ F2 x 2 − vρ F3 x3 ) dV 

V
Otrzymany wzór ma charakter ogólny i dotyczy każdego przypadku
obciążeń warstwy, prowadzącego do jednoosiowego stanu naprężenia.
ZADANIE 8.4.
Poszukujemy średniej wartości kąta odkształcenia postaciowego ε12
powstałego przy działaniu obciążeń powierzchniowych i sił masowych w
izotropowym ciele sprężystym.
x2
x1
x3
γ3
2ε12
x3
'
Rys. 8.4. Odkształcenie ε12
w zadaniu pomocniczym
Rozwiązanie:
W celu rozwiązania problemu analizujemy zadanie pomocnicze określone
327
przez pole przemieszczeń ui’, odkształceń εij’ i naprężeń σij’
2u1' = Ax 2 , 2u 2' = Ax1 , u3' = 0
 0 A 0
ε ij′ =  A 0 0, ε kk′ = 0, σ ij′ = 2G
 0 0 0
 0 A 0
 A 0 0, σ ′ = 0 , 2GAn = p '
`1
2
ij , j


 0 0 0
Równanie twierdzenia o wzajemności przyjmie tu formę
∫ σ ijε ij dV = ∫ (σ 12ε 12 + σ 21ε 21 )dV = 2GA∫ (ε 12 + ε 21 ) dV = 2GAγ 3 V
'
'
V
sr
'
V
V
stąd
γ 3sr =
=

1 
'
'
=
p
u
dA
+
F
u
dV
ρ
i
i
i
i
∫

2GA  ∫A
V


1 
 ∫ ( p1x2 + p2 x1 )dA + ∫ ( ρF1 x2 + ρF2 x1 )dV 
4GV  A
V

ZADANIE 8.5.
Należy wyznaczyć średnią wartość odkształceń postaciowych w ośrodku,
czyli
ε12+ε13+ε23 wywołaną działaniem dowolnego układu sił
powierzchniowych i objętościowych w ciele sprężystym.
x3
V’=V
x1
V
x2
Rys. 8.5. Symetryczne odkształcenia postaciowe
328
Rozwiązanie:
Będziemy analizować
przemieszczeń
zadanie
pomocnicze
określone
przez
pole
2u1' = A ( x 2 + x 3 ), 2u 2' = A ( x1 + x3 ), 2u3' = A ( x 2 + x3 )
 0 A A
ε ij =  A 0 A, σ ij = 2G
 A A 0 
 0 A A
 A 0 A, σ = 0
ij , j


 A A 0 
Równania twierdzenia o wzajemności dają relacje łączące siły z
odkształceniami postaciowymi
L = ∫ Pi ui' dA + ∫ ρFi ui' dV =
A
V
A
 P1 ( x 2 + x3 ) + P2 ( x1 + x3 ) + P3 ( x1 + x 2 ) dA +
2  ∫A

+ ∫ ρF1 ( x 2 + x3 ) + ρF2 ( x1 + x3 ) + ρF3 ( x1 + x 2 ) dV 

V
P = 2GA ∫ (ε 12 + ε 13 + ε 23 ) dV = 2GA γ srV
V
czyli średnia wartość odkształceń postaciowych przyjmie postać
γ sr =
1 
 P1 ( x 2 + x3 ) + P2 ( x1 + x3 ) + P3 ( x1 + x 2 ) dA +
4GV  ∫A

+ ∫ ρF1 ( x 2 + x3 ) + ρF2 ( x1 + x3 ) + ρF3 ( x1 + x 2 ) dV 

V
Oczywiście zmiany postaciowe w analizowanych przypadkach nie mogą być
wywołane przez zmiany temperatur. Istotnie, w obu zadaniach ε kk = 0 , stąd i
całka γ ∫ Θ ε kk dV = 0 , a to oznacza, że przyrost temperatur nie wywoła zmian
V
postaciowych w izotropowym ciele sprężystym, czego się należało spodziewać.
Zauważmy, że zadanie 8.5 jest złożeniem trzech odkształceń elementarnych
przedstawionych w zadaniu 8.4.
329
ZADANIE 8.6.
Należy określić średni kąt skręcenia wokół ustalonej osi (x3) w dowolnym
izotropowym ciele sprężystym.
ni
u 2’
a)
b)
x2
x2
Pi
u 1’
V
x1
ρFi
x2
x3
x3
x1
ϕ3
x1
Rys. 8.6. Układ podstawowy (a) i pomocniczy (b) do wyznaczania średniego
skręcenia
Rozwiązanie:
Pole przemieszczeń ui' ma tu postać analogiczną, jak przy skręcaniu pręta
kołowego u1' = − Ax 2 x3 , u 2' = Ax1 x 3 , u3' = 0
Wyznaczymy współrzędne tensorów ε ij' , σ ij' .



ε ij' = 

−

0
0
0
0
Ax 2
2
+
Ax 2 
2 
 0
Ax1 
'
, σ ij = GA  0
+

2 
 − x 2
0 

−
Ax1
2
0
0
x1
− x2 
x1 , σ ij,j ≡ 0

0 
{
}
Wypisujemy z kolei twierdzenie o wzajemności dla stanu ui' , Pi ' i {ui , Pi }.
L = ∫ Pi ui' dA + ∫ ρFi ui' dV =
A
V


= A ∫ (− P1 x 2 x3 + P2 x1 x3 )dA + ∫ (− ρF1 x 2 x3 + ρF2 x1 x 3 )dV 
V
A

'
P = ∫ σ ij ε ij dV = GA∫ (− x 2ε 13 + x1ε 23 − x 2ε 31 + x1ε 32 ) dV = 2ϕ srVGA
V
V
średni kąt skręcenia wokół osi x3 wynosi
330
ϕ sr =
1
2GV


 ∫ (− P1 x 2 x3 + P2 x1 x3 )dA + ∫ (ρF1 x 2 x3 + ρF2 x1 x3 )dV 
 A

V
Oczywiście podobnie jak poprzednio przyrost temperatury nie zmieni
wartości średniego kąta skręcenia ośrodka.
ZADANIE 8.7.
Wykazać, że pole przemieszczeń postaci ui = ε ijk x j a k dla dowolnego,
stałego wektora ak opisywać może jedynie sztywny obrót.
Rozwiązanie:
Pole przemieszczeń u1, u2, u3 po rozpisaniu ma postać
u1 = (x 2 a 3 − a 2 x 3 ), u 2 = − (x1a 3 − x3 a1 ), u3 = (x 2 a1 − x1a 2 )
Obliczając następnie współrzędne tensora odkształceń εij stwierdzamy, że
ε ij ≡ 0 .
Zadania lepkosprężyste
Zadania z tego zakresu stanowią uogólnienie zadań sprężystych poprzednio
analizowanych. Interesujące są też współzależności między analogicznymi
zadaniami sprężystymi a lepkosprężystymi.
Twierdzenie o wzajemności dla anizotropowych dystorsji lepkosprężystych
o
ε kl opisanych równaniami fizycznymi
σ ij = E ijkl ∗ d (ε kl − ε klo )
ma postać
'
'
o
o'
∫ Pi ∗ dui dA + ∫ ρFi ∗ dui dV + ∫ Eijkl ∗ dε kl ∗ dε ij dV =
A
V
V
= ∫ Pi ∗ dui dA + ∫ ρFi ∗ dui dV + ∫ Eijkl ∗ dε klo ' ∗ dε ijo dV
'
A
'
V
V
Analizowano w tym przypadku dwa układy pól
Pi , ρ i , ui , εijo , Pi' , ρ i' , u'i , εijo'
{
} {
}
331
działających na ciało lepkosprężyste, w którym oprócz obciążeń mechanicznych
Pi=σijnj ,ρFi , występują też pola dystorsyjne ε ijo , które mogą być wywołane
zarówno wpływami pól temperatur Θ
ε ijo = α ijT Θ ,
dyfundujących składników c
ε ijo = α ijc c ,
defektów struktury opisanych tensorem uszkodzeń ϕij
s
ε ijo = α ijkl
ϕ kl
jak i polem elektrycznym Ek
ε ijo = α ijkE E k
w powyższych zależnościach tensory
s
E
α ijT , α ijc , α ijkl
, α ijk
są zmianami
odkształceń wywołanymi odpowiednio przez jednostkowy przyrost
temperatury, stężenia, tensora uszkodzeń oraz pola elektrycznego Ek. Podane
tutaj twierdzenie o wzajemności dotyczy ogólnego przypadku dystorsji w
ośrodku anizotropowym. Istnieją więc jego przypadki szczególne odnoszące się
m.in. do materiałów ortotropowych, transwersalno-izotropowych, izotropowych
itp.
ZADANIE 8.8.
Korzystając ze wzorów na wszechstronne ściskanie σ ij' = pδ ij należy
wyznaczyć zmianę objętości w ośrodku lepkosprężystym
Rozwiązanie:
Pole przemieszczeń ma postać
A 0 0 
ui′ = A(t ) xi → ε ij′ =  0 A 0  ,


 0 0 A 
p
′ = 3 A , σ ij′ =  0
ε kk

 0
332
0
p
0
0
0

p 
Tensor naprężeń wyznaczymy z równań fizycznych
E
v
E 
3v



′ =
∗  dε ij +
dε kk δ ij  → σ 11
∗  dA +
dA  →
1+ v 
1 − 2v
1+ v 
1 − 2v 

E
1
 1+ v 
′ =
′ =
→ σ 11
∗
E ∗ dA ale σ 11 = pδ 11 = p
 dA → σ 11
1 + v  1 − 2v 
1 − 2v
σ ij′ =
"stała" A(t) określona jest zależnością
E ∗ dA = (1 − 2v ) p
związek między ciśnieniem hydrostatycznym p a polem przemieszczeń ui ma
formę
du i′ = dAxi → E ∗ du i′ = E ∗ dAxi → E ∗ du i′ = (1 − 2v) pxi
Twierdzenie o wzajemności wypisujemy w tym przypadku dla dowolnego
układu obciążeń oraz hydrostatycznego ciśnienia w ciele lepkosprężystym.
∫ Pi ∗ dui dA + ∫ ρFi ∗ dui dV = ∫ σ ij ∗ dε ij dV
'
'
A
V
∗E
'
V
mnożąc splotowo stronami równanie to przez funkcję relaksacji E(t)
otrzymujemy
∫ Pi ∗ E ∗ dui dA + ∫ ρFi ∗ E ∗ dui dV = ∫ E ∗σ ij ∗ dε ij dV
'
A
'
V
'
V
(1 − 2v ) ∫ Pi ∗ pxi dA + (1 − 2v ) ∫ ρFi ∗ pxi dV = ∫ E ∗ p ∗ dε ii dV
A
V
V
1
∫ Pi xi dA + ∫ ρFi xi dV = 1 − 2v ∫ E ∗ dε ii dV
A
V
V
Ostatecznie wzór na zmianę objętości ma formę


(1 − 2v ) E −1 ∗  ∫ Pi xi dA + ∫ ρFi xi dV  = ∫ dε iiv − e dV
V
A
 V
gdzie E −1 ∗ E = δ .
333
∗ E -1
Tutaj E-1 oznacza retransformatę z odwrotności transformaty Laplace'a
funkcji relaksacji E, a δ jest deltą Diraca.
Zauważmy, że w zadaniu sprężystym analogiczny wzór przyjmie postać

1 − 2v 
 ∫ Pi xi dA + ∫ ρFi xi dV  = ∫ ε iie dV


E A
V
 V
Porównując wzory na zmianę objętości w (e) i (v-e) otrzymamy
1
1
E ∗ dε iiv − e dV =
Eoε iie dV → ∫ E ∗ dε iiv − e dV = ∫ Eoε iie dV
∫
1 − 2v V
1 − 2v V∫
V
V
Wynika stąd ważny wniosek, że ten sam układ sił działający na ciało
sprężyste (e) i lepkosprężyste (v-e) wywołuje różne zmiany objętości określone
zależnościami
1
v−e
∫ ε ii dV = ∫ Eo E ∗ dε ii
e
V
dV
V
ZADANIE 8.9.
Należy określić zmianę objętości w transwersalno-izotropowym ciele
sprężystym i lepkosprężystym wywołaną dowolnymi obciążeniami
powierzchniowymi i masowymi.
Rozwiązanie:
Jako układ pomocniczy (z primami) przyjmiemy ciśnienie hydrostatyczne
'
σ ij = pδ ij , które w ciele transwersalno-izotropowym prowadzi do pola
przemieszczeń ui postaci
A 0 0
= A(t ) x1 ,
= A(t ) x 2 ,
= B (t ) x3 , stąd ε ij =  0 A 0 


 0 0 B 
Składowe tensora naprężeń σij mają formę
u1'
u2'
u3'
σ 11' = c11 ∗ dε 11 + c12 ∗ dε 22 + c13 ∗ dε 33 = ( c11 + c12 ) ∗ dA + c13 ∗ dB = p
334
'
σ 11' = σ 22
'
σ 33
= c13 ∗ dε 11 + c13 ∗ dε 22 + c33 ∗ dε 33 = 2c13 ∗ dA + c33 ∗ dB = p
gdzie c11, c12, c13, c33 są funkcjami relaksacji materiału.
Funkcje A i B wyznaczymy z równań
[c33 ∗ (c11 + c12 ) − 2c13 ∗ c13 ] ∗ dA = (c33 + c13 ) ∗ p → A(t ) = α (t ) ∗ p
[ 2c13 ∗ c13 − c33 ∗ (c11 + c12 )] ∗ dB = (2c13 − c11 − c12 ) ∗ p → B(t ) = β (t ) ∗ p
gdzie α (t ) i β (t ) należy wyznaczyć wykorzystując transformacje całkowe
Laplace'a.
Ostatecznie pole przemieszczeń ma postać
'
u1' = α (t ) ∗ px1 , u2' = α (t ) ∗ px 2 , u13
= β (t ) ∗ px3
Wypiszemy teraz twierdzenie o wzajemności dla dowolnego pola obciążeń i
układu z primami, które dotyczą ciśnienia hydrostatycznego.
∫ [P1 ∗ d (α (t ) ∗ px1 ) + P2 ∗ d (α (t ) ∗ px2 ) + P3 ∗ d (β (t ) ∗ px3 )] dA +
A
+ ∫ [ρF1 ∗ d (α (t ) ∗ px1 ) + ρF2 ∗ d (α (t ) ∗ px2 ) + ρF3 ∗ d (β (t ) ∗ px3 )] dV =
V
= ∫ p ∗ dε kk dV
V
Przyjmując średni przyrost objętości w formie
∆V
V
∆V
V
= ∫ dε kk dV uzyskamy
V
= ∫ [P1 ∗ dα (t ) x1 + P2 ∗ dα (t ) x 2 + P3 ∗ dβ (t ) x3 ] dA +
A
+ ∫ [ρF1 ∗ dα (t ) x1 + ρF2 ∗ dα (t ) x 2 + ρF3 ∗ dβ (t ) x 3 ] dV
V
Wzór ten pozwala obliczyć przyrost objętości transwersalno-izotropowego
ciała o objętości V, polu powierzchni A w którym występują siły masowe ρFi i
powierzchniowe Pi, natomiast funkcje czasu α(t) i β(t) wyznaczymy na
podstawie znajomości funkcji relaksacji c11, c12, c13, c33.
Podobne rozważania można przeprowadzić dla transwersalno-izotropowej
warstwy sprężystej lub lepkosprężystej.
335
ZADANIE 8.10.
Analizować będziemy ogólny przypadek liniowego, anizotropowego ciała
sprężystego, w którym występują siły powierzchniowe Pi i objętościowe ρFi.
Jako zadanie z primami przyjmiemy pole przemieszczeń postaci ui' = Axi .
Należy zbadać współzależności między obu polami, tj. dowolnym polem
obciążeń w ośrodku oraz polem ui' odpowiadającym izotropowemu
wydłużeniu.
Rozwiązanie:
Pole przemieszczeń ui' = Bxi prowadzi do pola odkształceń
ε ij' = Bδ ij
oraz pola naprężeń
σ ij' = Eijkl ε kl' = Eijkl Bδ kl = Eijkk B
(
)
Pole naprężeń σ ij' spełnia równania równowagi wewnętrznej σ ij' , j ≡ 0 oraz
naprężeniowe warunki brzegowe
σ ij' n j = Pi ' → Eijkk B n j = Pi '
Wypiszmy teraz twierdzenie o wzajemności dla dowolnego pola obciążeń
ρFi , ui } oraz pola Pi ' , ui'
{
{Pi ,
}
∫ Piui dA + ∫ ρFiui dV = ∫ σ ijε ij dV
'
A
'
V
'
V
Będzie
∫ Pi xi B dA + ∫ ρFi xi B dV = ∫ Eijkk Bε ij dV
A
V
V
stąd
∫ Pi xi dA + ∫ ρFi xi dV = ∫ Eijkk ε ij dV
A
V
V
336
Zależność powyższa stanowi uogólnienie wzorów pozwalających na
określenie przyrostów objętości w ciele izotropowym.
Prześledzimy jeszcze analogiczne rozważania w przypadku ciał
lepkosprężystych. Pole przemieszczeń ma wówczas postać ui' = B (t ) xi , stąd
ε ij' = B (t )δ ij . Tutaj B jest pewną funkcją czasu.
σ ij' = Eijkl ∗ dε kl' = Eijkk ∗ dB
Postępując analogicznie jak poprzednio otrzymamy
∫ Pi ∗ d u'i dA + ∫ ρFi ∗ d u'i dV = ∫ σ ij ∗ dε ij dV
'
A
V
V
stąd
∫ Pi ∗ dBxi dA + ∫ ρFi ∗ dBxi dV = ∫ (Eijkk ∗ dB )∗ dε ij dV
A
V
V
oraz
∫ Pi xi dA + ∫ ρFi xi dV = ∫ Eijkk ∗ dε ij dV
A
V
V
Porównując wzory wynikające z twierdzenia o wzajemności w zadaniach
sprężystych i lepkosprężystych stwierdzamy, że w przypadku dwóch ośrodków
o takiej samej konfiguracji poddanych identycznym obciążeniom, lewe strony
relacji wynikających z twierdzenia o wzajemności są takie same, stąd
v−e
∫ Eijkk ε ij dV = ∫ Eijkk ∗ dε ij
e
V
dV
V
ZADANIE 8.11.
Należy określić średnią wartość odkształceń postaciowych w izotropowym
ciele sprężystym i lepkosprężystym o objętości V, tj. należy wyznaczyć
wielkość
ϕo =
1
(ε 12 + ε 13 + ε 23 ) dV
V V∫
Rozwiązanie:
Jako zadanie pomocnicze (z primami) analizować będziemy pole
przemieszczeń postaci
337
u1' = A ( x 2 + x3 ), u2' = A ( x1 + x3 ), u3' = A ( x1 + x 2 )
tensory odkształceń ε ij' i naprężeń σ ij' mają postać
ε ij' = A (ei e j − δ ij ), ε ii' = 0 i σ ij' = 2G ε ij' = 2GA ( ei e j − δ ij )
lub
 0 A A
2ε =  A 0 A ,


 A A 0 
0 1 1 
σ = GA 1 0 1
1 1 0
'
ij
'
ij
gdzie ei ej jest iloczynem tensorowym wersorów ei i ej.
Wypisując twierdzenie o wzajemności dla dowolnego pola obciążeń i pola
pomocniczego (z primami) otrzymamy
A∫ [P1 ( x 2 + x3 ) + P2 ( x1 + x3 ) + P3 ( x1 + x 2 )] dA +
A
+ A∫ [ρF1 ( x 2 + x3 ) + ρF2 ( x1 + x3 ) + ρF3 ( x1 + x 2 )] dV =
V
= 2GA∫ (ei e j − δ ij ) ε ij dV = 2GA∫ 2 (ε 12 + ε 13 + ε 23 ) dV = 4GAVϕ o
V
V
stąd średnia wartość odkształceń postaciowych ϕ wynosi
ϕo =
1 
 [P1 ( x2 + x3 ) + P2 ( x1 + x3 ) + P3 ( x1 + x2 )] dA +
4GV  ∫A

+ ∫ [ρF1 ( x2 + x3 ) + ρF2 ( x1 + x3 ) + ρF3 ( x1 + x2 )] dV 

V
Podobnie jak w przypadku zmian objętościowych można i tu wykazać, że
odkształcenia postaciowe w dwóch analizowanych zadaniach sprężystych i
lepkosprężystych łączy zależność całkowa
∫ G (ε 12 + ε13 + ε 23 )
V
(e)
dV = ∫ G ∗ (ε 12 + ε 13 + ε 23 ) ( v − e ) dV
V
w której odkształcenia w lewej całce dotyczą zadania sprężystego, zaś w prawej
lepkosprężystego.
338