01 Zasady elektromechanicznego przetwarzania energii

Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
WYKŁAD 1
ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO
PRZETWARZANIA ENERGII
1.1. Zasada zachowania energii.
Punktem wyjściowym dla analizy przetwarzania energii i mocy w pewnym przedziale czasu t
jest zasada zachowania energii
Wwe
gdzie
Wwy
Wak
(1.1)
Wwe - przyrost energii wejściowej (dopływającej z zewnątrz) do urządzenia,
Wwy - przyrost energii wyjściowej (wypływającej na zewnątrz) z urządzenia,
Wak - przyrost energii akumulowanej w urządzeniu.
Każda z wyżej wymienionych energii może być przesyłana bądź akumulowana na drodze
elektrycznej, mechanicznej, cieplnej, hydraulicznej etc., w zależności od rodzaju obiektu.
Jeśli w kolejnych przedziałach czasu t energia akumulowana nie zmienia się, czyli Wak=0,
to mówimy o quasi-ustalonym stanie pracy urządzenia. W dalszym ciągu wykładu
ograniczymy się do analizy tego właśnie stanu. Intensywność wydzielania się bądź przesyłu
energii charakteryzuje pojęcie mocy średniej P zdefiniowane jako
W
P t
(1.2)
Przy czasie t dążącym do zera otrzymujemy definicję mocy chwilowej p(t)
(1.3)
Wzajemne powiązanie mocy średniej i chwilowej jest określone definicyjnie jako
t
P
1
p (t ) dt
t0
(1.4)
W urządzeniach elektrycznych mamy do czynienia zasadniczo z trzema postaciami mocy:
-
elektryczną Pel,
-
mechaniczną Pme,
-
termiczną (cieplna) Pte.
Pomijając urządzenia grzewcze, moc cieplna jest związana z tą częścią mocy doprowadzonej,
która nie została przetworzona na moc wyjściową i uległa rozproszeniu do otoczenia na ciepło.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
Zwyczajowo jest ona określana jako straty mocy i oznaczana P. Jest ona proporcjonalna do
przyrostu temperatury średniej urządzenia w stosunku do otoczenia. Straty mocy są związane
z wyraźnie wyodrębnionymi objętościami urządzenia (np. uzwojenia, rdzeń magnetyczny,
łożyska). Rozpływ mocy można schematycznie przedstawić za pomocą tzw. wykresu Sankey’a,
na którym wydzielono dwa składniki strat mocy
Pwy
Pwewn
Pwe
Pwe
Pwy
Rys.1.1 Schemat rozpływu mocy Sankey’a
Pwe, Pwy – straty mocy odpowiednio po stronie wejściowej i wyjściowej;
Pwewn – moc wewnętrzna.
Każda z mocy chwilowych jest definiowana jako iloczyn dwóch wielkości
nazywanych zmiennymi stanu
pel (t )
u (t ) i (t )


F(t ) v(t )


M(t ) Ω(t )
pme (t )
dla ruchu liniowego
(1.5)
dla ruchu obrotowego
gdzie u – napięcie,
i – natężenie prądu,
F – siła,
M – moment siły,
v – prędkość liniowa,
– prędkość kątowa.
 
W zdecydowanej większości maszyn elektrycznych wektory prędkości v, Ω mają jedną składową
(układ jednowymiarowy – 1D, np. =2 n, gdzie n jest prędkością obrotową, [obr/s]), stąd
w równaniu (1.5) można pominąć notację wektorową
pel(t)
pme(t)
u(t) i(t)
F(t)v(t)
dla ruchu liniowego 1D
M(t)Ω(t)
dla ruchu obrotowego 1D
(1.6)
W zależności od rodzaju przetwornika zarówno moc wejściowa jak i wyjściowa może być
elektryczna jak i mechaniczna. Zestawiono to w tablicy 1.1.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
Tablica 1.1.
Zestawienie rodzajów przetworników
Typ
przetwornika
Moc
wejściowa
Moc
wyjściowa
transformator
elektryczna
elektryczna
silnik elektryczny
elektryczna
mechaniczna
prądnica
mechaniczna
elektryczna
reduktor mechaniczny
mechaniczna
mechaniczna
Moce wejściową i wyjściową wiąże pojęcie sprawności
Pwy
Pwe
P
1
(1.7)
Pwe
przy czym dla transformatora operuje się w praktyce nie sprawnością lecz stratami mocy, ze
względu na inną definicję mocy znamionowej niż w maszynach wirujących.
1.2. Prawa elektromagnetyzmu.
Działanie wszystkich urządzeń elektrycznych, niezależnie od ich budowy i sposobu zasilania,
jest opisane za pomocą kilku podstawowych praw, które w zależności od postaci zapisu
matematycznego (różniczkowego bądź całkowego) i stopnia przyjętych uproszczeń są
określane nazwiskami ich odkrywców. Najogólniejszą postać sformułował James Maxwell w
postaci dwu praw nazywanych odpowiednio I i II równaniem Maxwella. Wykorzystują one
całkowe lub różniczkowe operatory wektorowe, których zapis wynika z przyjętego układu
współrzędnych, będącego jednocześnie definicją iloczynu wektorowego. Stosując tzw.
prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich (rys.1.2) mamy
x y z
y x
(1.8)
z
Wyrażenia te definiują również dodatni zwrot współrzędnej kątowej , np. w płaszczyźnie 0xy.
y
z
Rys.1.2. Prawoskrętny układ współrzędnych
0
x
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
I prawo Maxwella jest w postaci
rot H
D
t
J
(1.9)
gdzie H – wektor natężenia pola magnetycznego, [A/m];
J – wektor gęstości prądu przewodzenia, [A/m2];
D – wektor indukcji dielektrycznej.
Gęstość tzw. prądu pojemnościowego wynikającego z pochodnej czasowej indukcji D jest
pomijalna dla technicznych częstotliwości rzędu setek Hz w stosunku do gęstości prądu
przewodzenia, tym niemniej przy zasilaniu z układów przekształtnikowych zawierających
składowe o częstotliwości kilkunastu kHz jej wpływ może być już zauważalny. W dalszym
ciągu wykładu składnik ten będzie pomijany, a I równanie Maxwella jest najczęściej
stosowane w postaci całkowej nazywanej prawem Ampere’a
H dl
l(S )
J dS
N k ik
k
S (l )
(1.10)
gdzie l(S) – kontur brzegowy otwartej powierzchni S
Nk – zwojność k-tej wiązki przewodów wiodących prąd o natężeniu ik
l(S)
Ni11i1
dS
N2i2
Rys.1.3. Ilustracja prawa Ampere’a.
II prawo Maxwella jest w postaci
rot E
dB
dt
które sprowadzone do postaci całkowej (prawo Faraday’a) zapisuje się jako
(1.11)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
e (t )
E dl
l(S )
d
B dS
d t S (l )
d
dt
(1.12)
gdzie e – siła elektromotoryczna;
E – wektor natężenia pola elektrycznego, [V/m];
B – wektor indukcji magnetycznej;
– strumień magnetyczny.
dS
l
B
e
Rys.1.3. Ilustracja prawa Faraday’a.
Należy pamiętać, że równanie (1.10) dotyczy pojedynczego zwoju, a całkowanie indukcji B
jest wykonywane w układzie współrzędnych nieruchomym względem tego zwoju.
Wyznaczając siłę elektromotoryczną (SEM) indukowaną w cewce czy paśmie cewkowym
trzeba wykonać odpowiednie sumowanie po wszystkich zwojach, zależnie od struktury
geometrycznej uzwojenia.
Wektory gęstości prądu J oraz gęstości strumienia magnetycznego (indukcji
magnetycznej) B spełniają warunek bezźródłowości
div B div J
0
(1.13)
który w postaci całkowej nosi nazwę I prawa Kirchoffa
J dS
S (V )
ik
B dS
S (V )
0
k
k
k
0
(1.14)
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
S(V)
2
i1
i2
i3
1
S(V)
3
a.
b.
Rys.1.4. Ilustracja całkowego sformułowania I prawa Kirchoffa.
a. sumowanie strumieni magnetycznych w węźle rdzenia transformatora;
b. sumowanie prądów w trójfazowym obwodzie.
Własności materiałów wiodących prąd elektryczny czy strumień magnetyczny są
wprowadzane zależnościami:
J
E
(1.15)
H H
(1.16)
gdzie – konduktywność elektryczna, [S/m].
B
0
r
– przenikalność magnetyczna próżni, [H/m].
gdzie
r
– względna przenikalność magnetyczna, dla ferromagnetyków Fe, Ni, Co
3
4
r=(10 –10 )
materiałów
i silnie zależy od wartości pola H w materiale; dla pozostałych
r=1.
B [T ]
2.5
M6
2
M19
1.5
1
0.5
0
0
10000
20000
30000
40000
H [A/m ]
Rys.1.5. Charakterystyki magnesowania blach M6 i M19.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
1.3. Moce w urządzeniach prądu przemiennego, systemy oznaczeń.
Zakładając, że wszystkie prądy i napięcia w rozpatrywanym obiekcie są sinusoidalne w czasie,
to do opisu jego właściwości można zastosować algebrę liczb zespolonych. Przyjmując, że
napięcie i prąd o wartościach skutecznych U, I w pewnym obwodzie są określone wzorami
(1.17)
gdzie
U
U ej
I
I ej
t
(1.18)
t
to na płaszczyźnie zespolonej o dodatnim kącie jak na rys.1.2 (przeciwnie do ruchu wskazówek
zegara) wielkości te zaznacza się następująco
Re
U
I=I e-j
Im
0
Rys.1.6. Wskazy prądu i napięcia na płaszczyźnie zespolonej.
Iloczyn zespolonych wartości U oraz I* (asterisk oznacza tu liczbę sprzężoną) nazywany jest
zespoloną mocą pozorną
(1.18)
W zależności od przyjętego systemu oznaczeń – źródłowego lub odbiornikowego, wykres
wskazowy będzie wyglądał inaczej.
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Współczesne maszyny i napędy elektryczne
I
Z
~
R
E
U
źródło
L
odbiornik
Rys.1.7. Przykładowy układ połączeń źródła prądu przemiennego z odbiornikiem RL
Re
Re
U
U
I=I e-j
Im
0
Im
0
I=I ej
a.
b.
Rys.1.8.a. Wykres wskazowy odbiornika RL w odbiornikowym układzie oznaczeń;
b. Wykres wskazowy odbiornika RL w źródłowym układzie oznaczeń.