1 Zasady elektromechanicznego przetwarzania energii

Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
WYKŁAD 1
ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO
PRZETWARZANIA ENERGII
1.1. Zasada zachowania energii.
Punktem wyjściowym dla analizy przetwarzania energii i mocy w pewnym przedziale czasu t
jest zasada zachowania energii
 Wwe   Wwy   Wak
(1.1)
gdzie Wwe - przyrost energii wejściowej (dopływającej z zewnątrz) do urządzenia,
Wwy - przyrost energii wyjściowej (wypływającej na zewnątrz) z urządzenia,
Wak - przyrost energii akumulowanej w urządzeniu.
Każda z wyżej wymienionych energii może być przesyłana bądź akumulowana na drodze
elektrycznej, mechanicznej, cieplnej, hydraulicznej etc., w zależności od rodzaju obiektu.
Jeśli w kolejnych przedziałach czasu t energia akumulowana nie zmienia się, czyli Wak=0,
to mówimy o quasi-ustalonym stanie pracy urządzenia. W dalszym ciągu wykładu
ograniczymy się do analizy tego właśnie stanu. Intensywność wydzielania się bądź przesyłu
energii charakteryzuje pojęcie mocy średniej P zdefiniowane jako
 W  P t
(1.2)
Przy czasie t dążącym do zera otrzymujemy definicję mocy chwilowej p(t)
p t  
d W t 
dt
(1.3)
Wzajemne powiązanie mocy średniej i chwilowej jest określone definicyjnie jako
t
P
1
p(t ) dt
 t 0
(1.4)
W urządzeniach elektrycznych mamy do czynienia zasadniczo z trzema postaciami mocy:
-
elektryczną Pel,
-
mechaniczną Pme,
-
termiczną (cieplna) Pte.
Pomijając urządzenia grzewcze, moc cieplna jest związana z tą częścią mocy doprowadzonej,
która nie została przetworzona na moc wyjściową i uległa rozproszeniu do otoczenia na ciepło.
1
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Zwyczajowo jest ona określana jako straty mocy i oznaczana P. Jest ona proporcjonalna do
przyrostu temperatury średniej urządzenia w stosunku do otoczenia. Straty mocy są związane
z wyraźnie wyodrębnionymi objętościami urządzenia (np. uzwojenia, rdzeń magnetyczny,
łożyska). Rozpływ mocy można schematycznie przedstawić za pomocą tzw. wykresu Sankey’a,
na którym wydzielono dwa składniki strat mocy
przetwornik
Moc
dostarczana
Pwy
Pwewn
Pwe
Pwe
Moc
odbierana
Pwy
Moc strat
zamieniana na ciepło
Rys.1.1 Schemat rozpływu mocy Sankey’a
Pwe, Pwy – straty mocy odpowiednio po stronie wejściowej i wyjściowej;
Pwewn – moc wewnętrzna.
Każda z mocy chwilowych jest definiowana jako iloczyn dwóch wielkości
nazywanych zmiennymi stanu
pel (t )  u (t ) i(t )


F(t )  v(t )
pme (t )   

M(t )  Ω(t )
dla ruchu liniowego
(1.5)
dla ruchu obrotowego
gdzie u – napięcie,
i – natężenie prądu,
F – siła,
M – moment siły,
v – prędkość liniowa,
 – prędkość kątowa.
 
W zdecydowanej większości maszyn elektrycznych wektory prędkości v, Ω mają jedną składową
(układ jednowymiarowy – 1D, np. =2n, gdzie n jest prędkością obrotową, [obr/s]), stąd
w równaniu (1.5) można pominąć notację wektorową
pel(t)  u(t) i(t)
F(t)v(t)
pme(t)  
M(t)Ω(t)
dla ruchu liniowego 1D
(1.6)
dla ruchu obrotowego 1D
2
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
W zależności od rodzaju przetwornika zarówno moc wejściowa jak i wyjściowa może być
elektryczna jak i mechaniczna. Zestawiono to w tablicy 1.1.
Tablica 1.1.
Zestawienie rodzajów przetworników
Typ
przetwornika
Moc
wejściowa
Moc
wyjściowa
transformator
elektryczna
elektryczna
silnik elektryczny
elektryczna
mechaniczna
prądnica
mechaniczna
elektryczna
reduktor mechaniczny
mechaniczna
mechaniczna
Moce wejściową i wyjściową wiąże pojęcie sprawności

Pwy
Pwe
1
 P
Pwe
(1.7)
przy czym dla transformatora operuje się w praktyce nie sprawnością lecz stratami mocy, ze
względu na inną definicję mocy znamionowej niż w maszynach wirujących.
3
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
1.2. Prawa elektromagnetyzmu.
Działanie wszystkich urządzeń elektrycznych, niezależnie od ich budowy i sposobu zasilania,
jest opisane za pomocą kilku podstawowych praw, które w zależności od postaci zapisu
matematycznego (różniczkowego bądź całkowego) i stopnia przyjętych uproszczeń są
określane nazwiskami ich odkrywców. Najogólniejszą postać sformułował James Maxwell w
postaci dwu praw nazywanych odpowiednio I i II równaniem Maxwella. Wykorzystują one
całkowe lub różniczkowe operatory wektorowe, których zapis wynika z przyjętego układu
współrzędnych, będącego jednocześnie definicją iloczynu wektorowego. Stosując tzw.
prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich (rys.1.2) mamy
x y z
y  xz
(1.8)
Wyrażenia te definiują również dodatni zwrot współrzędnej kątowej , np. w płaszczyźnie 0xy.
y

0
x
z
Rys.1.2. Prawoskrętny układ współrzędnych
I prawo Maxwella jest w postaci
rot H  J 
D
t
(1.9)
gdzie H – wektor natężenia pola magnetycznego, [A/m];
J – wektor gęstości prądu przewodzenia, [A/m2];
D – wektor indukcji dielektrycznej.
Gęstość tzw. prądu pojemnościowego wynikającego z pochodnej czasowej indukcji D jest
pomijalna dla technicznych częstotliwości rzędu setek Hz w stosunku do gęstości prądu
przewodzenia, tym niemniej przy zasilaniu z układów przekształtnikowych zawierających
składowe o częstotliwości kilkunastu kHz jej wpływ może być już zauważalny. W dalszym
ciągu wykładu składnik ten będzie pomijany, a I równanie Maxwella jest najczęściej
stosowane w postaci całkowej nazywanej prawem Ampere’a
 H  dl   J  dS   N
l(S )
S (l )
k
i
k k
(1.10)
4
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
gdzie l(S) – kontur brzegowy otwartej powierzchni S
Nk – zwojność k-tej wiązki przewodów wiodących prąd o natężeniu ik
Rys.1.3. Ilustracja prawa Ampere’a.
II prawo Maxwella jest w postaci
rot E  
dB
dt
(1.11)
które sprowadzone do postaci całkowej (prawo Faraday’a) zapisuje się jako
e (t ) 
d
 E  dl   d t  B  dS
l(S )

S (l )
d
dt
(1.12)
gdzie e – siła elektromotoryczna;
E – wektor natężenia pola elektrycznego, [V/m];
B – wektor indukcji magnetycznej;
 – strumień magnetyczny.
dS
l
B
e
Rys.1.3. Ilustracja prawa Faraday’a.
Należy pamiętać, że równanie (1.10) dotyczy pojedynczego zwoju, a całkowanie indukcji B
jest wykonywane w układzie współrzędnych nieruchomym względem tego zwoju.
Wyznaczając siłę elektromotoryczną (SEM) indukowaną w cewce czy paśmie cewkowym
trzeba wykonać odpowiednie sumowanie po wszystkich zwojach, zależnie od struktury
geometrycznej uzwojenia.
Wektory gęstości prądu J oraz gęstości strumienia magnetycznego (indukcji
magnetycznej) B spełniają warunek bezźródłowości
div B  div J  0
(1.13)
5
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
który w postaci całkowej nosi nazwę I prawa Kirchoffa
 J  dS   i
k
0
k
S (V )
 B  dS    k  0
(1.14)
k
S (V )
S(V)
2
i1
i3
i2
1
S(V)
3
a.
b.
Rys.1.4. Ilustracja całkowego sformułowania I prawa Kirchoffa.
a. sumowanie strumieni magnetycznych w węźle rdzenia transformatora;
b. sumowanie prądów w trójfazowym obwodzie.
Własności materiałów wiodących prąd elektryczny czy strumień magnetyczny są
wprowadzane zależnościami:
J  E
(1.15)
gdzie  – konduktywność elektryczna, [S/m].
B   0  r H  H
(1.16)
gdzie  – przenikalność magnetyczna próżni, [H/m].
r – względna przenikalność magnetyczna, dla ferromagnetyków Fe, Ni, Co
r=(103–104) i silnie zależy od wartości pola H w materiale; dla pozostałych
materiałów r=1.
6
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
B [T ]
2.5
M6
2
M19
1.5
1
0.5
0
0
10000
20000
30000
40000
H [A/m ]
Rys.1.5. Charakterystyki magnesowania blach M6 i M19.
1.3. Reprezentacja sygnałów sinusoidalnych za pomocą liczb zespolonych
Liczbą zespoloną z nazywamy wyrażenie
𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏
(1.17)
gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi a j =-1. Liczbę z można przedstawić w postaci
trygonometrycznej
2
𝑧 = √𝑎2 + 𝑏 2 (cos 𝜑 + 𝑗 sin 𝜑) = √𝑎2 + 𝑏 2 𝑒 𝑗𝜑
w której kąt (faza)  spełnia
(1.18)
𝑏
𝑑𝑙𝑎 𝑏 > 0
𝑎
(1.19)
𝑏
𝜑 = π + atan 𝑑𝑙𝑎 𝑏 < 0
𝑎
Liczby a, b noszą nazwę, odpowiednio, części rzeczywistej a=Re(z) i urojonej b=Im(z) liczby
z. Liczby zespolone przedstawia się na płaszczyźnie wytyczonej przez osie Re oraz Im co
pokazano na rys.1.6.
𝜑 = atan
Re
z=a+jb
a
ϕ
b
Im
+jb
0
-jb
Rys.1.6. Płaszczyzna liczb zespolonych.
7
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Liczba zespolona sprzężona z* ma fazę przeciwnego znaku niż z
𝑧 ∗ = 𝑎 − 𝑗𝑏
(1.20)
2
Stąd kwadrat amplitudy z oblicza się jako
𝑧 ∗ 𝑧 = (𝑎 − 𝑗𝑏)(𝑎 + 𝑗𝑏) = 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑧 2
Zależność (1.18) pozwala na wzajemne powiązanie
i eksponencjalnych. Sumując liczby z i z* mamy
(1.21)
funkcji
trygonometrycznych
𝑧 + 𝑧 ∗ = 2𝑧 cos 𝜑 = 𝑧(𝑒 +𝑗𝜑 + 𝑒 −𝑗𝜑 )
(1.22)
co daje natychmiast
𝑒 +𝑗𝜑 + 𝑒 −𝑗𝜑
2
Analogicznie, odejmując te liczby otrzymuje się
cos 𝜑 =
(1.23)
𝑒 +𝑗𝜑 − 𝑒 −𝑗𝜑
sin 𝜑 =
2𝑗
(1.24)
Liczby zespolone są okresowe
𝑧(𝜑 ± 𝑘 2𝜋) = 𝑧(𝜑)
𝑘 = 1,2, …
(1.25)
Powyższe własności umożliwiają reprezentację sygnałów sinusoidalnie zmiennych w czasie
za pomocą liczb zespolonych. Zastępując kąt  w (1.23) przez iloczyn t, gdzie t jest czasem
a =2f nazywana jest pulsacją (częstością) i f jest częstotliwością, możemy przedstawić
wybraną wielkość, na przykład napięcie u(t), kosinusoidalnie zmienne w czasie jako sumę
dwóch tzw. wskazów wirujących na płaszczyźnie zespolonej w przeciwnych kierunkach
𝑈𝑚 +𝑗𝜔𝑡 𝑈𝑚 −𝑗𝜔𝑡
𝑒
+
𝑒
= 𝑅𝑒(𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 )
2
2
Graficznie przedstawiono to na rys.1.7 dla t=.
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 cos 𝜔𝑡 =
napięcie
+Um
(1.26)
Re
Re(Ume )
j
0.5Ume 
j
0

t
2
 
0.5Ume-j
Im
- Um
Rys.1.7. Sygnał w dziedzinie czasu i jego równoważnik na płaszczyźnie zespolonej.
8
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Dwa sygnały a(t) i b(t) mające tę samą częstotliwość mogą być przesunięte w fazie o
pewien kąt . Matematycznie otrzymuje się to poprzez wymnożenie przez ej
𝑎(𝑡) = 𝐴𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑏(𝑡) = 𝐵𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗∆𝜑 = 𝐵𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+∆𝜑)
(1.27)
Mówimy, że b(t) wyprzedza a(t) o kąt  - maksimum sygnału b(t) występuje wcześniej niż
maksimum a(t). Przy porównywaniu sygnałów mających tę samą częstotliwość chwila t=0 nie
jest istotna, gdyż zawsze można wprowadzić nowy pomiar czasu przesunięty o dowolny kąt
fazowy. Natomiast przesunięcie fazowe jest niezależne od wyboru chwili początkowej.
1.4. Moce w urządzeniach prądu przemiennego, systemy oznaczeń.
Rozpatrzmy prosty obwód elektryczny składający się z szeregowego połączenia rezystancji R
i indukcyjności L zasilanych sinusoidalnym napięciem u(t)=2Usin(t). Zakładając, że parametry
obwodu są stałe (niezależne od prądu, to do opisu jego właściwości można zastosować algebrę
liczb zespolonych. Prąd pobierany z sieci wynosi
𝐼𝐿 =
𝑈
𝑈
(𝑅 − 𝑗𝑋𝐿 )
= 2
𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 𝑅 + 𝑋𝐿2
(1.28)
Ponieważ składowa urojona Im(IL) jest ujemna to prąd ten spóźnia się względem napięcia o kąt
𝜑𝐿 = atan
𝐼𝑚(𝐼𝐿 )
−𝑋𝐿
= atan
<0
𝑅𝑒(𝐼𝐿 )
𝑅
(1.29)
Natężenie prądu w postaci eksponencjalnej zapisuje się jako
𝐼𝐿 =
𝑈
√𝑅 2
+
𝑋𝐿2
𝑒 𝑗𝜑𝐿 = 𝐼𝑒 𝑗𝜑𝐿
(1.30)
Napięcie i prąd o wartościach skutecznych U, I w tym obwodzie są określone wzorami

u (t )  2 U cos( t )  Re 2 U e j 0


i(t )  2 I cos( t   L )  Re 2 I e j L

(1.31)
gdzie
U  U e j t
I  I e jt
(1.32)
Na płaszczyźnie zespolonej o dodatnim kącie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek
zegara wielkości te zaznacza się następująco
9
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Re
U
L
I=I ejL
0
Im
Rys.1.8. Wskazy prądu i napięcia na płaszczyźnie zespolonej.
Iloczyn zespolonych wartości U oraz I* (asterisk oznacza tu liczbę sprzężoną) nazywany jest
zespoloną mocą pozorną
𝑆 = 𝑈𝐼 ∗𝐿 = 𝑈𝐼𝑒 −𝑗𝜑𝐿 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑈𝐼[cos(−𝜑𝐿 ) + 𝑗 sin(−𝜑𝐿 )]
(1.33)
Składowa rzeczywista P jest mocą czynną a urojona Q określana jest mocą bierną. Należy
pamiętać, że każda z tych mocy ma inną jednostkę: [S]=VA, [P]=W, [Q]=VAr.
Aby lepiej zrozumieć rolę jaką odgrywają składowe P, Q mocy rozpatrzmy bardziej
szczegółowo przebieg czasowy p(t). Niech napięcie zasilające u(t) będzie w postaci
u(t)=√2Ucos(t).
Wówczas
wartość
chwilowa
natężenia
prądu
i(t)
wyniesie
i(t)= √2Icos(t+L) – pamiętamy, że kąt L jest w odbiorniku RL ujemny (1.29). Moc
chwilowa jest więc równa
𝑝(𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑖(𝑡) = 2𝑈𝐼 cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝐿 )
(1.34)
a przebieg w czasie przedstawiono na rys.1.9.
p(t)
UI cos(L)
u(t)
L

i(t)
t
2
Rys.1.9 Przebiegi czasowe napięcia, natężenia prądu i mocy w odbiorniku RL, L= -/6.
10
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Widzimy, że moc pobierana z sieci w pewnych przedziałach czasu ma wartość ujemną, co
oznacza, że jest zwracana niej. Przekształcając zależność trygonometryczną (1.34)
otrzymujemy
𝑝(𝑡) = 𝑈𝐼[cos 𝜑𝐿 (cos 2𝜔𝑡 + 1) + sin(−𝜑𝐿 ) sin 2𝜔𝑡]
(1.35)
𝐼𝑅𝑒 = 𝐼 cos 𝜑𝐿
𝐼𝐼𝑚 = 𝐼 sin 𝜑𝐿
(1.36)
𝑝(𝑡) = 𝑈𝐼𝑅𝑒 (cos 2𝜔𝑡 + 1) − 𝑈𝐼𝐼𝑚 sin 2𝜔𝑡
(1.37)
Oznaczając
mamy
Pierwszy składnik jest zawsze dodatni i reprezentuje moc pobraną z sieci o wartości średniej
UIcos(L) i zamienioną na inny rodzaj – mechaniczny lub cieplny. Nazwany został mocą
czynną P. Drugi składnik ma wartość średnią równą zeru i przedstawia moc elektryczną
oscylacyjnie wymienianą pomiędzy siecią i odbiornikiem RL. Nazwaliśmy go mocą bierną Q,
która jest niezbędna do wytworzenia pola magnetycznego przez indukcyjność L.
u(t)i(t)
u(t)iRe (t)
u(t)iIm (t)

t
2
Rys.1.10. Przebiegi czasowe składników mocy elektrycznej dla odbiornika RL, L=-/6.
Wykres wskazowy może być wykonany w odniesieniu do napięcia – jak pokazano w
zależnościach (1.35), bądź natężenia prądu. Wówczas kąt przesunięcia fazowego jest
mierzony w przeciwnym kierunku niż poprzednio i uzyskujemy
𝑈𝑅𝑒 = 𝑈 cos(−𝜑𝐿 ) = 𝐼𝑅
𝑈𝐼𝑚 = 𝑈 sin(−𝜑𝐿 ) = 𝐼𝑋𝐿
Wykresy wskazowe dla obydwu przypadków pokazano na rys.1.11.
(1.38)
11
Paweł Witczak
Materiały pomocnicze do wykładu Maszyny Elektryczne i Transformatory
Re
U
U
Re
Im(U)
Re(U)
IL
Re(I
)
L
L
L
IL
Im
Im(I )
L
Im
a.
b.
Rys.1.11. Dwa rodzaje wykresów wskazowych odbiornika RL wykonane
a. względem napięcia zasilającego,
b. względem natężenia prądu.
Bilans składowych napięcia zapisany za pomocą liczb zespolonych jest w postaci
𝑈 = 𝑈𝑅𝑒 + 𝑗𝑈𝐼𝑚 = 𝐼𝐿 𝑅 + 𝑗𝐼𝐿 𝑋𝐿 = 𝐼𝐿 𝑅 + 𝐸
(1.39)
Spadek napięcia na reaktancji nazywamy siłą elektromotoryczną indukowaną (SEM), tu SEM
indukcji własnej.
12