Lab1_zbiorniki - Karol Miadlicki

Instytut Technologii Mechanicznej
Techniki symulacji w budowie maszyn
Ćwiczenie laboratoryjne nr 1:
Symulacja zmian poziomu cieczy w zbiorniku oraz układzie
zbiorników
Opracowanie:
Karol Miądlicki, mgr inż.
Część wprowadzająca
1. Modelowanie i symulacja
Modele matematyczne(abstrakcyjne) to zbiór powiązań między zmiennymi, na podstawie,
których można przewidzieć(symulować) w przybliżony sposób jakiś aspekt rzeczywistości.
Modelem matematycznym przedstawiającym układy ciągłe są najczęściej równania
różniczkowe, opisujące jego działanie. W powyższej definicji należy zwrócić szczególną uwagę
na pojęcie „przybliżony”. Ponieważ metody numeryczne wykorzystywane do rozwiązywania
równań lub częściej układów równań różniczkowych zawsze obarczone są błędem, który m.in.
zależy od:
 Wybranej metody numerycznej
 Dokładności programu, w którym przeprowadzamy symulację(ile bitów poświęcanych
jest na przedstawienie liczby dziesiętnej w postaci binarnej)
Odpowiednio zbudowany model matematyczny umożliwia zbadanie działania
układu(modyfikację parametrów, wartości wejściowych, wyznaczenie wyjściowych) bez
potrzeby budowy/przebudowy modelu realnego(fizycznego).
Obliczeniowy proces badania odpowiedzi modelu, o określonych parametrach, na zmianę
wybranych wielkości wejściowych zwykło się nazywać symulacją(komputerową).
Modelowanie i symulacja znalazły szerokie zastosowanie m.in. w projektowaniu układów
sterowania.
2. Model matematyczny zbiornika z odpływem grawitacyjnym
Modele układów hydraulicznych opisują mechanikę ruchu cieczy w strukturach zawierających
zbiorniki i elementy przepływowe w postaci: rur, zaworów, zwężek, pomp. Ciecze poruszają
się w nich pod wpływem sił, np. siły grawitacji lub różnicy ciśnień. Szybkość przepływu cieczy
przez dany przekrój obiektu to natężeniem przepływu 𝑓(𝑡). Może być zdefiniowany, jako:

Jednostka objętości na jednostkę czasu [
𝑚3
𝑠
𝑓(𝑡) =

]
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑘𝑔
Jednostka masy na jednostkę czasu [ 𝑠 ] – jest używana, jeżeli płyn w układzie zmienia
gęstość
𝑓(𝑡) =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
2.1 Zbiornik ze swobodnym wypływem
Zbiorniki o różnych kształtach i sztywnej konstrukcji są głównymi elementami układów
hydraulicznych. Wypływ swobodny polega na tym, że ciecz wylatuje ze zbiornika pod
Commented [KM1]: Dające się opisać funkcją ciągłą.
http://www.matmana6.pl/tablice_matematyczne/studia/fun
kcje_jednej_zmiennej_rzeczywistej/130-ciaglosc_funkcji
wpływem własnego ciężaru. Ilość wypływającej cieczy zależy od pola powierzchni
przekroju wypływu oraz ilości cieczy znajdującej się w zbiorniku. Zyskuje ona energię
kinetyczną kosztem energii potencjalnej cieczy w zbiorniku (równanie Bernoullego).
Rys1. Przykład zbiorników ze swobodnym wypływem
Objaśnienia zmiennych:
𝑓𝑢 (𝑡) = 𝑞𝑤𝑒 – przepływ wejściowy(to, co wpływa do zbiornika)
𝑓𝑦 (𝑡) = 𝑞𝑤𝑦 – przepływ wyjściowy(to, co wypływa ze zbiornika)
Δ𝑓(𝑡) =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
– ilość cieczy w zbiorniku w konkretnej chwili t
𝑉 – objętość cieczy w zbiorniku
𝑉_𝑐 – objętość cieczy wypływającej przez otwór
ℎ – wysokość cieczy w zbiorniku
𝐴 – pole powierzchni dna zbiornika(zależy od kształtu zbiornika)
𝐶 – pole powierzchni przekroju wypływu
v – prędkość wypływającej cieczy
g – przyśpieszenie ziemskie
Aby otrzymać model matematyczny zbiornika w postaci równania różniczkowego najpierw
należy wykonać bilans przepływów:
a) Ilość cieczy w zbiorniku zależy od różnicy między natężeniem przepływów(ile cieczy
wpływa a ile wypływa):
Δ𝑓(𝑡) = 𝑓𝑢 (𝑡) − 𝑓𝑦 (𝑡) =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
(1)
b) Aby otrzymać zależność wysokości cieczy od przepływów należy rozpisać objętość:
Commented [KM2]: Im wyższy poziom cieczy(h) w
zbiorniku tym więcej zgormadzonej w nim energii
potencjalnej. Ta metoda gromadzenia energii jest
wykorzystywana m.in. w elektrowniach szczytowopompowych.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Elektrownia_Wodna_%C5%BBar
nowiec
𝑉 =ℎ∗𝐴
po podstawieniu V do wzoru 1
Δ𝑓(𝑡) = 𝑓𝑢 (𝑡) − 𝑓𝑦 (𝑡) =
𝑑𝑉
𝑑ℎ
=𝐴∗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Commented [KM3]: A jest stałą, więc można wyciągnąć je
przed pochodną
c) Następnie zależy wyznaczyć przepływ wyjściowy:
𝑓𝑦 (𝑡) =
𝑑𝑉𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝑉𝑐
𝑑𝑙
𝑑𝑙
𝑑𝑉𝑐
=𝐶∗
⇨
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶
wykorzystując zasadę zachowania energii:
𝑚𝑣 2
𝑚𝑔ℎ =
→ 𝑣 = √2𝑔ℎ
2
a ponieważ prędkość to pierwsza pochodna przemieszczenia to:
𝑣=
𝑑𝑙
𝑑𝑉𝑐
𝑑𝑉𝑐
=
= √2𝑔ℎ → 𝑓𝑦 (𝑡) =
= 𝐶 ∗ √2𝑔ℎ
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶
𝑑𝑡
d) Zakładamy, że przepływ wejściowy do zbiornika jest stały, więc bilans zbiornika:
Δ𝑓(𝑡) = 𝐴 ∗
𝑑ℎ
= 𝑓𝑢 (𝑡) − 𝐶 ∗ √2𝑔ℎ
𝑑𝑡
𝒅𝒉 𝟏
= ∗ (𝒇𝒖 (𝒕) − 𝑪√𝟐𝒈𝒉)
𝒅𝒕 𝑨
Jak widać z powyższych rozważań natężenie przepływu nie zależy od kształtu zbiornika, ale od
powierzchni otworu wyjściowego i poziomu cieczy. Ponadto dla w przypadku zbiornika
zamkniętego należy jeszcze wziąć pod uwagę ciśnienie cieczy w zbiorniku.
2.2 Układ zbiorników
Rys2. Przykład układu zbiorników ze swobodnym wypływem]
W układzie tym do zbiornika pierwszego o powierzchni A1 dostarczana jest ciecz o natężeniu
dopływ 𝑓𝑢 . Poziom cieczy w zbiorniku jest zmienny i wynosi h1. Do zbiornika drugiego ciecz
Commented [KM4]: dl – przemieszczenie cieczy. Można
porównać do h w zbiorniku, jeśli wypływ przekręcimy o 90
stopni.
Commented [KM5]: W zamkniętym układzie energia
potencjalna równa się energii kinetycznej
przepływa poprzez otwór o powierzchni B z natężeniem 𝑓12 . Powierzchnia drugiego zbiornika
wynosi A2, a poziom cieczy wynosi h2. Ciecz z drugiego zbiornika jest odprowadzana za pomocą
otworu o powierzchni C z natężeniem wypływu 𝑓𝑦 . Wypływ cieczy jest swobodny. Wszelkie
wyprowadzenia są identyczne jak dla jednego zbiornika. Jedyną różnicą jest wspólny przepływ
𝑓12 .
a) Równania bilansu przepływu dla zbiorników:
𝑑𝑉1
𝑑ℎ1
= 𝐴1 ∗
= 𝑓𝑢 (𝑡) − 𝑓12 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑉2
𝑑ℎ2
= 𝐴2 ∗
= 𝑓12 (𝑡) − 𝑓𝑦 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
b) Wyprowadzenie wspólnego przepływu jest bardzo podobne jak dla wypływu
pojedynczego zbiornika. Różnica polega na tym, że szybkość przepływu zależy od
różnicy poziomów ℎ𝑥 w zbiornikach. Ponieważ zbiornik drugi nie posiada innego
dopływu niż ze zbiornika pierwszego poziom wody w nim zawsze będzie niższy niż
w pierwszym.
𝑓12 (𝑡) =
𝑑𝑉𝐵
= 𝐵 ∗ √2𝑔ℎ𝑥 = 𝐵 ∗ √2𝑔|ℎ1 − ℎ2 | ∗ 𝑠𝑔𝑛(ℎ1 − ℎ2 )
𝑑𝑡
c) Po podstawieniach i przekształceniach końcowe równania bilansu są następujące:
𝒅𝒉𝟏
𝟏
=
(𝒇 (𝒕) − 𝑩√𝟐𝒈|𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 | ∗ 𝒔𝒈𝒏(𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 ))
𝒅𝒕
𝑨𝟏 𝒖
𝒅𝒉𝟐
𝟏
=
(𝑩√𝟐𝒈|𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 | ∗ 𝒔𝒈𝒏(𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 ) − 𝑪√𝟐𝒈𝒉𝟐 ))
𝒅𝒕
𝑨𝟐
Commented [KM6]: Pole przekroju przepływu miedzy
zbiornikami
Commented [KM7]: Pod pierwiastkiem muszą znajdować
się wartości dodatnie
Commented [KM8]: Funkcja signum.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Signum
Zadania do ćwiczenia laboratoryjnego
1. Wprowadzić do środowiska Matlab/Simulink następujące równania i przeprowadzić
symulację dla ustawień symulacji Fixed oraz Variable step:
a. sin(𝑥) + cos(𝑥)
b. 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝜋) przy użyciu bloczku „sine wave”
c. 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝜋) przy użyciu bloczku „trigonometric function”
d. 𝑠𝑖𝑛(𝑥/𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑖𝑛(𝑥/𝑧) ) + 𝑥 ∗ 𝑦
2. Zamodelować w środowisku Matlab/Simulink przedstawiony zbiornik. Przy
ustawieniach Fixed-step, Fixed-step size: 10^-4:
3. Dla zamodelowanego zbiornika przeprowadzić po 2 symulacje zmieniając parametry:
A, C, gdzie:
a. 𝑞𝑖𝑛 – const
b. 𝑞𝑖𝑛 – const załączany bloczkiem „manual switch”
c. 𝑞𝑖𝑛 – funkcja sin
d. 𝑞𝑖𝑛 – funkcja sin załączana bloczkiem „manual switch”
4. DODATKOWE: Zamodelować w środowisku Matlab/Simulink przedstawiony układ
zbiorników i a następnie przeprowadzić symulację jak w punkcie 3 uwzględniając
parametry A1, A2, B, C:
Commented [KM9]: Simulink>Simulation>Model
configuration parameters
Bloczki ze środowiska Matlab/Simulink wykorzystywane
na laboratorium
Bloczek
Opis
Uwagi
Oscyloskop –
wyświetla przebieg
sygnału
Po dwukrotnym kliknięciu na bloczek>
parameters(trybik)>history>odznaczyć
opcję „Limit data points to last”
Sumator
Całkowanie
Upper stauration limit: 500
Lower saturation limit: 0
Wzmocnienie
sygnału
Można używać do dzielenia
Mnożenie sygnałów
Funkcja sinus
Sin(x) – x podaje się na wejściu
bloczku
Pierwiastek
Wartość
bezwzględna
Funkcja signum
Generator funkcji sin
Impuls jednostkowy
Multiplekser
sygnałów
Do wyświetlania kilku sygnałów na
jednym „scope”
Dzielenie sygnałów
Stała
Wymagania do sprawozdania
1. Schematy równań z zadania pierwszego i wyniki w postaci wykresów –wyjaśnić skąd
biorą się różnice w wynikach zależnie od metody num i co z tego wynika.
2. Schemat w simulinku zamodelowanego zbiornika. Opisać, co oznacza, która zmienna
oraz dobrać tak parametry, aby parametry i czasy napełniania zbiornika były w miarę
realne.
3. Przeprowadzić symulacje jak w zad 3.
4. Zadanie 4 jest dla chętnych, wpływa tylko pozytywnie na ocenę.
5. We wnioskach proszę uwzględnić jak zmiana każdego z parametrów wpływa na
ustalenie się poziomu w zbiorniku/zbiornikach. Pamiętać o właściwych jednostkach.
6. Sprawozdania muszą być wykonane samodzielnie! Najlepiej jak każdy by przyjął inne
wartości zmiennych i parametrów.
Pytania i uwagi do skryptu proszę kierować na maila lub postawiać w komentarzach na stronie
www. Oceny i uwagi do otrzymanych sprawozdań będę się starał umieszczać na bieżąco w
zakładce „Studenci”.
Commented [KM10]: Sine wave, a trig function
Commented [KM11]: Przepływy, wysokości, przekroje itp.
nie są bezwymiarowe.
Commented [KM12]: Naprawdę widać kiedy są
przerabiane!