O pewnym zapomnianym twierdzeniu Sierpinskiego
Transkrypt
O pewnym zapomnianym twierdzeniu Sierpinskiego
1 O pewnym zapomnianym twierdzeniu Sierpińskiego Jacek Cha̧dzyński Niech R bȩdzie zbiorem liczb rzeczywistych i X niepustym podzbiorem R. Rozważać bȩdziemy dalej nieskończony cia̧g funkcji fn : X → R, n = 1, 2, . . .. Szeregiem funkcyjnym o wyrazach fn nazywamy symbol f1 + f2 + · · · . (1) Cia̧g funkcji (sn )∞ n=1 , którego n-ty wyraz określony jest wzorem sn = f1 + · · · + fn , nazywamy cia̧giem sum czȩściowych szeregu (1). Mówimy, że szereg (1) jest zbieżny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka, że dla każdego x ∈ X, limn→∞ sn (x) = f (x), tzn. ∀x∈X ∀ε>0 ∃N ∈R ∀n>N |sn (x) − f (x)| < ε. Funkcjȩ f nazywamy suma̧ szeregu (1). Przyklad 1 (Szereg geometryczny). Niech X = (−1, 1), fn (x) = axn−1 dla n = 1, 2, . . ., x ∈ X, a ∈ R. Wtedy, sn (x) = a 1 − xn 1−x i lim sn (x) = n→∞ a . 1−x Zatem funkcja f dana wzorem f (x) = a 1−x jest suma̧ szeregu a + ax + ax2 + · · · . dla x ∈ (−1, 1) 2 Oznaczmy przez N zbiór liczb naturalnych. Niech σ : N → N bȩdzie dowolna̧ funkcja̧ różnowartościowa̧ odwzorowuja̧ca̧ zbiór N na N. Przyjmijmy fn∗ = fσ(n) dla n = 1, 2, . . . . O szeregu f1∗ + f2∗ + · · · mówimy, że powstal z szeregu (1) przez zamianȩ porza̧dku wyrazów. O szeregu (1) mówimy, że jest zbieżny bezwarunkowo, gdy każdy szereg, który powstal z szeregu (1) przez zamianȩ porza̧dku wyrazów ma tȩ sama̧ sumȩ f . O szeregu (1) mówimy, że jest zbieżny bezwzglȩdnie, gdy zbieżny jest szereg |f1 | + |f2 | + · · · . Twierdzenie 1. Szereg (1) jest zbieżny bezwarunkowo dokladnie wtedy, gdy jest on zbieżny bezwzglȩdnie. Wprowadzimy jeszcze jedno pojȩcie odgrywaja̧ce ważna̧ rolȩ w analizie matematycznej. Mówimy, że szereg (1) jest zbieżny jednostajnie, gdy istnieje funkcja f : X → R, że ∀ε>0 ∃N ∈R ∀n>N ∀x∈X |sn (x) − f (x)| < ε. Różnica miȩdzy zbieżnościa̧ szeregu (1) i zbieżnościa̧ jednostajna̧ tego szeregu polega na tym, że w pierwszej definicji liczba N zależy od x i ε, w drugiej zaś zależy tylko od ε i jest wspólna dla wszystkich x. Oczywiste jest Twierdzenie 2. Jeśli szereg (1) jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny. Przyklad 2 (Sierpiński). Niech X = [0, 1] i niech dla x ∈ X l x (1 − x) dla n = 2l − 1, (3) fn (x) = −xl (1 − x) dla n = 2l. 3 Rozważmy szereg o wyrazach fn , tj. szereg (4) x(1 − x) − x(1 − x) + x2 (1 − x) − x2 (1 − x) + · · · . Suma̧ szeregu (4) jest oczywiście funkcja f (x) = 0 dla x ∈ X. Latwo pokazujemy, że dla dowolnego l ∈ N i x ∈ X, |f1 (x)| + · · · + |f2l (x)| < 2. Sta̧d, szereg (4) jest bezwzglȩdnie zbieżny i w konsekwencji jest bezwarunkowo zbieżny. Niech sn oznacza n-ta̧ sumȩ czȩściowa̧ szeregu (4). Nierówność |sn (x)| < 2 , n+3 dla x ∈ X i n = 1, 2, . . . , daje jednostajna̧ zbieżność szeregu (4). Narzuca siȩ pytanie, czy każdy szereg, który powstaje z szeregu (4) przez zamianȩ porza̧dku wyrazów jest również zbieżny jednostajnie. Odpowiedź brzmi - nie. Jeśli zmienimy porza̧dek wyrazów w szeregu (4) wypisuja̧c po każdych dwóch dodatnich wyrazach jeden ujemny, to otrzymamy szereg (4∗ ) x(1 − x) + x2 (1 − x) − x(1 − x) + x3 (1 − x) + x4 (1 − x) − x2 (1 − x) + · · · . Niech s∗n bȩdzie n-ta̧ suma̧ czȩściowa̧ tego szeregu. Nietrudno pokazuje siȩ, że dla dowolnego l ∈ N, r ! 1 ∗ l 1 s3l > √ , 2 4 2 co daje, że szereg (4∗ ) nie jest jednostajnie zbieżny. Twierdzenie, o którym mowa w tytule podaje warunek konieczny i wystarczaja̧cy na to by szereg (1) byl zbieżny jednostajnie po dowolnej zamianie porza̧dku jego wyrazów. 4 Twierdzenie 3 (Sierpiński). Szereg (1) jest zbieżny jednostajnie po dowolnej zamianie porza̧dku jego wyrazów dokladnie wtedy, gdy szereg |f1 | + |f2 | + · · · (6) jest zbieżny jednostajnie. To piȩkne i zapomniane twierdzenie znalazlo ostatnio zastosowanie w podstawach funkcji wielu zmiennych dotycza̧cych rodzin funkcyjnych jednostajnie sumowalnych. Waclaw Sierpiński urodzony 14 marca 1882 w Warszawie zmarl 21 października 1969 w Warszawie. Profesor Waclaw Sierpiński jeden z najwybitniejszych polskich matematyków, twórca warszawskiej szkoly matematycznej, byl autorem 724 prac glównie z teorii liczb, teorii mnogości, topologii i funkcji rzeczywistych oraz autorem 50 monografii i podrȩczników z różnych dzialów matematyki. Byl wspólzalożycielem znanego w świecie czasopisma matematycznego Fundamenta Mathematicae i jego redaktorem ponad 30 lat. Byl pierwszym Polakiem, który wyglosil odczyt plenarny na Kongresie Matematycznym (Zurich 1932). Byl czlonkiem wielu Akademii i Towarzystw Naukowych w tym: Polskiej Akademii Umiejȩtności (1921), Niemieckiej Akademii Nauk (1950), Polskiej Akademii Nauk (1952), Amerykańskiej Akademii Sztuk i Nauk (1959), Akademii Paryskiej (1960), Papieskiej Akademii Nauk (1967). Byl doktorem honorowym miȩdzy innymi Uniwersytetu we Lwowie (1929), Amsterdamie (1931), Sofii (1939), Pradze (1947), Wroclawiu (1947) i Moskwie (1967). 5 Bibliografia [1] W. Sierpiński, Analiza t.1, cz.2: Dzialania nieskończone, Warszawa 1925, §116. [2] W. Sierpiński, O wplywie porza̧dku skladników na zbieżność jednostajna̧, Sprawozdania Towarzystwa Naukowego, Warszawa (1910), 353-357. [3] A. Schinzel, Rola Waclawa Sierpińskiego w historii matematyki polskiej, Wiadomości Matematyczne 26(1) (1984), 1-9. [4] Z. Adamowicz, Wklad Waclawa Sierpińskiego do ogólnej teorii mnogości, ibid. 9-18. [5] R. Engelking, O pracach Waclawa Sierpińskiego z topologii, ibid. 18-24. [6] A. Schinzel, Prace Waclawa Sierpińskiego z teorii liczb, ibid. 24-31.