∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ = ∫∫∫ ∫∫∫σ

ENERGIA SPRĘŻYSTA
1
1. BILANS ENERGETYCZNY
1.1. PODSTAWOWE POJĘCIA
•
Układ fizyczny - ciało (lub układ ciał) złożone z punktów materialnych
•
Otoczenie - obszar otaczający układ fizyczny
•
Zmienne stanu termodynamicznego - parametry charakteryzujące stan układu i otoczenia
parametry zewnętrzne (odnoszące się do otoczenia) - obciążenia, temperatura, wilgotność, ...
parametry wewnętrzne (odnoszące się do układu) – naprężenia, odkształcenia, przemieszczenia,
uszkodzenia, gęstość,...
ƒ
ƒ
•
Równanie stanu - funkcja, której zmiennymi są zmienne stanu
•
Proces termodynamiczny – przejście od jednego stanu układu do drugiego w sposób odwracalny
(tzn. taki, który pozwala przywrócić stan początkowy układu i otoczenia) lub nieodwracalny
•
Równowaga termodynamiczna układu – stan układu, w którym parametry stanu nie zależą od
czasu. Oznacza ona równowagę :
mechaniczną (brak niezrównoważonych sił)
chemiczna (zachowana jest stała masa i skład chemiczny)
cieplna (zależna od typu osłony oddzielającej układ od otoczenia np. adiabatycznej)
ƒ
ƒ
ƒ
•
Proces adiabatyczny – proces, w którym nie zachodzi wymiana ciepła między ciałem i jego
otoczeniem, zaś praca sił zewnętrznych L przy przejściu od jednego stanu do drugiego nie zależy od
sposobu przejścia. To oznacza, że istnieje funkcja stanu W nosząca nazwę energii wewnętrznej
układu, której przyrost w czasie jest równy pracy dostarczonej układowi w tym czasie.
1.2. PIERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI
Zgodnie z zasadą zachowania energii, bilans energetyczny dla ciała poddanego działaniu dowolnego
obciążenia, w warunkach procesu adiabatycznego, można zapisać w postaci równania:
&
L& = W
(1)
& w jednostce czasu jest równa pracy L& wykonanej
Prędkość zmian energii wewnętrznej układu W
przez obciążenie zewnętrzne w tej jednostce (czyli mocy obciążenia zewnętrznego).
Energia wewnętrzna może być przedstawiona jako suma energii potencjalnej Wp i energii kinetycznej Wk.
⇒
W = W p + Wk
& =W
& +W
&
W
p
k
(2)
Ograniczając analizę do przypadku bardzo powolnej zmiany układu mechanicznego w czasie (obciążenie
statyczne) można przyjąć, że prędkość zmian energii kinetycznej jest równa zero. Bilans energetyczny ma
zatem postać:
&
L& = W
p
(3)
2. RÓWNANIE STANU, POTENCJAŁ SIŁ WEWNĘTRZNYCH
Przyrost pracy sił zewnętrznych na przemieszczeniach ui (tzn. moc sił zewnętrznych):
L& =
∫∫ q
νi
∫∫∫ X u& dV
u& i dS +
i
S
L& =
∫∫ σ
V
ij
α νj u& i dS +
S
L& =
∫∫∫ X u& dV
i
i
( q νi = σ ij α νj )
V
∂
∫∫∫ ∂ x (σ u& ) dV + ∫∫∫ X u& dV
j
V
L& =
qνi – siły powierzchniowe, Xi – siły masowe
i
ij
i
i
i
tw. Greena
V
∫∫∫ [(σ
ij , j
∫∫∫ σ
u& i , j dV
+ X i ) u& i + u& i , j σ ij ] dV
V
L& =
V
ij
(rów. Naviera
σ ij , j + X i = 0 )
ENERGIA SPRĘŻYSTA
(
2
)
1 &
ui , j + u& j , i = σ ij ε& ij
2
σ ij u& i , j = σ ij
(rów. Cauchy’ego ε ij =
1
(u i , j + u j , i ) )
2
2.1. RÓWNANIE STANU
& = L& =
W
p
∫∫∫ σ
ij ε& ij
&
dV = U
(4)
V
Przyrost pracy sił zewnętrznych L& w jednostce czasu jest równy przyrostowi pracy sił
& )
& (i zarazem równy przyrostowi energii potencjalnej W
wewnętrznych U
p
Równanie (4) wiąże zmienne stanu : zewnętrzne (qνi , Pi) i wewnętrzne (σij , εij) – jest więc równaniem
stanu, w tym przypadku stanu mechanicznego (związek między wyłącznie parametrami mechanicznymi)
2.2. POTENCJAŁ SIŁ WEWNĘTRZNYCH
•
Gęstość energii Φ - energia wewnętrzna na jednostkę objętości
Wp =
∫∫∫ Φ dV
& =
W
p
⇒
v
∫∫∫ Φ& dV
v
& = σ ε&
Φ
ij ij
∂ ε ij
∂Φ
& = ∂Φ
=
ε& ij
Φ
∂ ε ij ∂ t
∂ ε ij
σ ij ε& ij =
σ ij =
∂Φ
ε& ij
∂ ε ij
∂Φ
∂ ε ij
Wniosek : gęstość energii potencjalnej (wewnętrznej) jest potencjałem sił wewnętrznych
2.3. INNA POSTAĆ RÓWNANIA STANU MECHANICZNEGO
& = L& =
W
p
∫∫∫ Tσ T& ε dV
V
& = L& =
W
p
∫∫∫(D σ + A σ ) (D& ε + A& ε ) dV = ∫∫∫(D σ D& ε + A σ A& ε + D σ A& ε + A σ D& ε ) dV
V
V
& =A D
&
Łatwo wykazać, że : D σ A
ε
σ ε = 0.
(
)
& = σ − σ δ ε& δ = σ ε& δ − σ ε& δ δ = σ ε& − 3 σ ε& = 3 σ ε& − 3 σ ε& = 0
np. D σ A
ε
ij
m ij m ij
ij m ij
m m ij ij
kk m
m m
m m
m m
& = L& =
W
p
∫∫∫(D σ D& ε + A σ A& ε ) dV
V
3. ENERGIA POTENCJALNA DLA CIAŁA LINIOWO SPRĘŻYSTEGO
3.1. Prawo Hooke’a
Dσ = 2 G Dε
Aσ = 3K Aε
& = 2 GD
&
D
σ
ε
& = 3K A
&
A
σ
ε
× d dt
3.2. Gęstość energii odkształcenia postaciowego i objętościowego
& = L& =
W
p
 1
∫∫∫  2 G D
V
& = 1
W
p
2G
∫∫∫ D
V
σ
σ
& + 1 A A
& 
D
σ
σ σ  dV
3K

& dV + 1
D
σ
3K
∫∫∫ A
V
σ
& dV
A
σ
ENERGIA SPRĘŻYSTA
& = 1
W
p
2G
Wp =
Wp =
1 d
∫∫∫ 2 d t (D
σ
3
D σ ) dV +
V
1
1 d
∫∫∫ 2 d t (A
∫∫∫ 2 G (D
1
2
∫∫∫D σ D ε dV + 2 ∫∫∫ A σ A ε dV
D σ ) dV +
V
σ
∫
× dt
A σ ) dV
V
1
2
σ
1
2
1
3K
1
∫∫∫ 3 K ( A
σ
A σ ) dV
V
1
V
V
Wprowadźmy definicje gęstości energii odkształcenia postaciowego Φf i odkształcenia objętościowego Φv
Φf =
1
Dσ Dε
2
Φv =
1
Aσ Aε
2
Wp =
∫∫∫ Φ
f
dV +
V
∫∫∫ Φ
v
dV =
V
∫∫∫ Φ dV
v
Φ = Φf + Φv
Wp =
•
1
2
∫∫∫ Tσ Tε dV
V
Gęstość energii odkształcenia postaciowego
(
)(
)
(
)
Φf =
1
1
1
1
Dσ Dε =
Dσ Dσ =
σ ij σ ij − 2 σ ij σ m δ ij + σ m σ m δ ij δ ij
σ ij − σ m δ ij σ ij − σ m δ ij =
4G
2
4G
4G
Φf =
σ
σ σ 
1
1 
1 
1

 σ ij σ ij − 2 σ kk kk + 3 kk kk  =
σ ij σ ij − 2 σ kk σ m + 3σ m σ m =
 σ ij σ ij − σ kk σ kk 

4G
4G 
3
3 3  4G 
3

Φf =
1
1+ ν
2
2
3 σ ij σ ij − σ kk
=
3 σ ij σ ij − σ kk
12 G
6E
Φf =
1+ ν
σx − σy
6E
Φf =
E
εx − εy
6 (1 + ν )
•
(
)
(
)
[(
[(
(
)
)2 + (σ y − σ z )2 + (σ x − σ z )2 + 6 (τ 2xy + τ 2xz + τ 2yz )]
)2 + (ε y − ε z )2 + (ε x − ε z )2 + 6 (ε 2xy + ε 2xz + ε 2yz )]
Gęstość energii odkształcenia objętościowego
(
)(
)
Φv =
1
1
1
1
Aσ Aε =
Aσ Aσ =
σ m δ ij σ m δ ij =
3 σm σm
2
6K
6K
6K
Φv =
3 (1 − 2 ν ) σ kk σ kk
1
1 σ kk σ kk
3 σm σm =
=
6K
2K 3 3
2E
3 3
Φv =
(1 − 2 ν ) 2
σ kk
6E
Φv =
(1 − 2 ν )
σx + σy + σz
6E
)2
Φv =
E
εx + εy + εz
6 (1 − 2 ν )
(
)2
•
(
Gęstość całkowitej energii sprężystej
Φ=
[
(
)
(
1
σ 2x + σ 2y + σ 2z − 2 ν σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z + 2 (1 + ν ) τ 2xy + τ 2xz + τ 2yz
2E
)]
ENERGIA SPRĘŻYSTA
4
4. ENERGIA SPRĘŻYSTA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Zadanie: Wyznaczyć całkowitą energię sprężystą pręta
z
σx =
y
N (x) M (x)
+
z
A
Iy
τ xz = −
x
M
x
1
Φ dV =
2E
∫∫∫
Wp =
v
1
Wp =
2E
∫∫∫
v
∫∫∫
v
I y b ( z)
σ y = σ z = τ xy = τ yz = 0
Q
N
Q ( x ) S y ( z)
Φ=
[
1
σ 2x + 2 (1 + ν ) τ 2xz
2E
]
2
2


 

 N ( x ) + M ( x ) z  + 2 (1 + ν )  Q ( x ) S y ( z)   dV
 A
 I y b ( z)  

Iy

 


2
 M (x) 
1

z  dV +
 Iy

E


∫∫∫
M (x) N (x)
1
z
dV +
Iy
A
2E
∫∫∫
2
1+ ν
 N (x) 

 dV +
E
 A 
∫∫∫
2
 Q ( x ) S y (z) 

 dV
 I y b (z) 


Wp = Wp1 + Wp2 + Wp3 + Wp 4
Wp 2
1
=
E
∫∫∫
1
2E
Wp1 =
∫∫∫
v
n
∑= ∫
Wp1 =
i 1 li
W p3
1
=
2E
∑
∫
=
i 1 li
1+ ν
=
E
Wp 4
µ=
∫∫ b
I 2y
A
l
Wp 4 = µ
∫
0
2
N2 (x)
n
∑∫
i =1 li
1
dV =
2E
A2
∫


2
1
 M (x) 2

z
dA

 dx =
2
2
E
Iy


0A
l
∫ ∫∫


N2 (x) 

dA  dx =

2
A

 A
0
l
∫
∫∫
∫∫∫
(z)
2
 Q ( x ) S y ( z) 

 dV = 1
 I y b ( z) 
2G


l
N2 ( x)
∫ 2E A
∫∫


M2 ( x) 

2
z
dA

 dx =
2
Iy 

0
A
l
∫
∫∫
l
∫
0
M2 (x)
dx
2 E Iy
dx
0
l
∫
0
2


Q 2 ( x )  S y ( z)

dA
 dx

2
2
I y  b (z)

A
∫∫
µ - energetyczny współczynnik ścinania
dA
Q 2 (x)
dx
2G A
Q 2 (x)
∑µ ∫ 2G A
i =1
∫ ∫∫
N2 (x)
dx
2E A
n
Wp 4 =


M (x) N (x) 

 z dA  dx = 0
Iy
A 

0
A
l
M2 (x)
dx
2 E Iy
S 2y ( z)
A
Wp =
2


1
 M (x) N ( x)

z
dA  dx =

Iy
A
E


0A
l
 M ( x) 
1

z  dV =
 Iy

2
E


∫∫∫
m
W p3 =
M (x) N (x)
1
z
dV =
Iy
A
E
dx
li
M2 ( x )
dx +
2 E Iy
m
∑∫
i = 1 li
N2 (x)
dx +
2E A
n
Q 2 (x)
∑µ ∫ 2G A
i =1
li
dx
1. Pojęcia podstawowe
układ fizyczny
ciało
Zmienne Stanu Wewnętrzne
(σ, ε, u, ω, ...)
ciało
RÓWNANIE STANU
funkcja (ZSW, ZSZ)
OTOCZENIE
Zmienne Stanu Zewnętrzne
(obciążenie, T, wilgotność, korozja...)
•
układ fizyczny – ciało lub układ ciał złożonych z punktów materialnych
•
otoczenie - obszar otaczający układ fizyczny
•
zmienne stanu termodynamicznego - parametry charakteryzujące stan
układu i otoczenia
•
parametry zewnętrzne - (odnoszące się do otoczenia) - obciążenia,
temperatura, wilgotność, ...
•
parametry wewnętrzne - (odnoszące się do układu) – naprężenia,
odkształcenia, przemieszczenia, uszkodzenia, gęstość,...
•
równanie stanu - funkcja, której zmiennymi są zmienne stanu
•
proces termodynamiczny - przejście od jednego stanu układu do drugiego
w sposób odwracalny (tzn. taki, który pozwala przywrócić stan początkowy
układu i otoczenia) lub nieodwracalny
•
równowaga termodynamiczna układu – stan układu, w którym
parametry stanu nie zależą od czasu. Oznacza ona równowagę :
•
•
mechaniczną - brak niezrównoważonych sił
•
chemiczną - zachowana jest stała masa i skład chemiczny
•
cieplną - zależna od typu osłony oddzielającej układ od otoczenia np.
adiabatycznej
proces adiabatyczny - proces, w którym nie zachodzi wymiana ciepła
między ciałem i jego otoczeniem, zaś praca sił zewnętrznych L przy przejściu
od jednego stanu do drugiego nie zależy od sposobu przejścia. To oznacza, że
istnieje funkcja stanu W nosząca nazwę energii wewnętrznej układu, której
przyrost w czasie jest równy pracy dostarczonej układowi w tym czasie.
1
PIERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI
Zgodnie z zasadą zachowania energii, w warunkach procesu adiabatycznego, bilans energetyczny
dla ciała poddanego działaniu dowolnego obciążenia opisuje I zasada termodynamiki:
 w jednostce czasu jest równa
Prędkość zmian energii wewnętrznej układu W

pracy L wykonanej przez obciążenie zewnętrzne w tej jednostce (czyli mocy
obciążenia zewnętrznego).

L = W
Energia wewnętrzna może być przedstawiona jako suma energii potencjalnej Wp i energii
kinetycznej Wk.
W = W p + Wk
 = 0 ). Bilans energetyczny ma zatem postać:
Ograniczając analizę do obciążenie statycznego ( W
k

L = W
p
MOC SIŁ ZEWNĘTRZNYCH (przyrost pracy sił zewn. na przemieszczeniach)
L =
∫∫ q
νi
u i dS +
S
∫∫∫ X u dV
i
qνi – siły powierzchniowe, Xi – siły masowe
i
V
- korzystając ze stat. war. brzegowych + tw. Greena + rów. Naviera + przekształcenia
macierzowe, otrzymuje się równanie stan mechanicznego, wiążące zmienne stanu
zewnętrzne (qνi , Pi) i wewnętrzne (σij , εij):
 = L =
W
p
∫∫∫ σ
ij ε ij

dV = U

U
- moc sił wewnętrznych
V
Przyrost pracy sił zewnętrznych L w jednostce czasu jest równy przyrostowi pracy sił
 )
 (i zarazem równy przyrostowi energii potencjalnej W
wewnętrznych U
p
GĘSTOŚĆ ENERGII WEWNĘTRZNEJ Φ - energia wewnętrzna na jednostkę objętości
Wp =
∫∫∫ Φ dV
v
⇒
 =
W
p
∫∫∫ Φ dV
v
 = σ ε
Φ
ij ij
∂ ε ij
∂Φ
 = ∂Φ
Φ
=
ε ij
∂ ε ij ∂ t
∂ ε ij
σ ij ε ij =
σ ij =
∂Φ
ε ij
∂ ε ij
∂Φ
∂ ε ij
WNIOSEK : gęstość energii potencjalnej (wewnętrznej) jest potencjałem sił wewnętrznych
2
DEWIATOROWO-AKSJATOROWA POSTAĆ RÓWNANIA STANU
 = L =
W
p
∫∫∫ σ
∫∫∫ T
ε ij dV =
ij
σ
V
V
∫∫∫(D
 = L =
W
p
 dV
T
ε
 +A
 ) dV =
+ A σ ) (D
ε
ε
σ
V
σ
 +A A



D
ε
σ ε + D σ A ε + A σ D ε ) dV
V
 =A D

Dσ A
ε
σ ε =0
Łatwo wykazać:
∫∫∫(D
 = L =
W
p
∫∫∫(D
σ
 +A A

D
ε
σ ε ) dV
V
ENERGIA POTENCJALNA DLA CIAŁA LINIOWO-SPRĘŻYSTEGO
Prawo Hooke’a
D σ = 2 G D ε prawo zmiany postaci
A σ = 3 K A ε prawo zmiany objętości
 = 2 GD

D
σ
ε
 = 3K A

A
σ
ε
× d dt
Energia potencjalna
 1
∫∫∫  2 G D
 = L =
W
p
σ
V
 + 1 A A
 
D
σ
σ σ  dV
3K

- addytywność całkowania i zasady różniczkowania
∫∫∫ 2 d t (D
 = 1
W
p
2G
σ
D σ ) dV +
V
1
2
∫∫∫ 2 G (D
1
2
∫∫∫D
Wp =
Wp =
1 d
1
σ
D σ ) dV +
V
σ
D ε dV +
V
1
2
1
2
∫∫∫ A
1
3K
∫∫∫ 2 d t (A
1 d
σ
A σ ) dV
V
∫∫∫ 3 K (A
1
σ
∫
× dt
A σ ) dV
V
σ
A ε dV = Wf + Wv
V
energia potencjalna = energia odkszt. postaciowego + energia odkszt. objętościowego
przekształcenia
∫∫∫ T
σ
Tε dV =
V
∫∫∫ (D
σ
+ A σ ) (D ε + A ε ) dV =
V
∫∫∫ (D D
σ
ε
+ D σ A ε + A σD ε + A σ A ε )dV
V
Dσ A ε = A σ Dε = 0
1
2
∫∫∫ T
σ
Tε dV =
V
Wp =
1
2
∫∫∫ T
σ
1
2
1
∫∫∫D D dV + 2 ∫∫∫ A A dV
σ
V
ε
σ
ε
V
Tε dV
V
3
Gęstość energii odkształcenia postaciowego Φf
Wf =
1
2
∫∫∫D
σ
∫∫∫ Φ
D ε dV =
f
dV
⇒
Φf =
V
V
1
Dσ Dε
2
 1 + ν [(σ − σ )2 + (σ − σ )2 + (σ − σ )2 + 6 (τ2 + τ2 + τ2 )]
x
y
y
z
x
z
xy
xz
yz
 6 E
Φf = 
E

[(ε − ε y )2 + (ε y − ε z )2 + (ε x − ε z )2 + 6 (ε2xy + ε2xz + ε2yz )]
 6 (1 + ν ) x
Gęstość energii odkształcenia objętościowego Φv
Wv =
1
2
∫∫∫ A
σ
A ε dV =
∫∫∫ Φ
v
dV
⇒
Φv =
V
V
1
Aσ Aε
2
 (1 − 2 ν ) (σ + σ + σ )2
x
y
z
 6 E
Φv = 
E
2

(
εx + εy + εz )
 6 (1 − 2 ν )
Gęstość całkowitej energii sprężystej Φ
∫∫∫ Φ dV
Wp =
v
Wp = Wf + Wv =
∫∫∫ Φ
dV +
f
V
∫∫∫ Φ
v
dV =
V
∫∫∫ (Φ
f
+ Φ v ) dV
V
Φ = Φf + Φv
Φ=
1
[σ2x + σ2y + σ2z − 2 ν (σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z ) + 2 (1 + ν ) (τ2xy + τ2xz + τ2yz )]
2E
ENERGIA SPRĘŻYSTA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
z
σx =
y
N (x) M (x)
+
z
A
Iy
τ xz = −
x
M
x
Wp =
∫∫∫
v
Wp =
µ=
N
1
Φ dV =
2E
n
∑∫
A
I2y
i=1 l
i
M2 ( x )
dx +
2 E Iy
S2y (z)
∫∫ b
A
2
(z )
dA
Φ=
2
v
I y b ( z)
σ y = σ z = τ xy = τ yz = 0
Q
∫∫∫
Q ( x ) S y ( z)
[
1
σ 2x + 2 (1 + ν ) τ 2xz
2E
]
2
 N ( x ) M ( x ) 
 Q ( x ) S y (z )  
  dV
+
z  + 2 (1 + ν ) 


Iy

 Iy b (z)  
 A
m
∑∫
i=1 l
i
N2 ( x )
dx +
2E A
n
∑ ∫
i=1
µ
li
Q2 ( x )
dx
2G A
µ - energetyczny współczynnik ścinania
4