Prosty związek pomiędzy natężeniem ( ciśnieniem akustycznym ) a

Superpozycja fal akustycznych ; efekty związane z odległością i ruchem
1z8
file:///D:/dydakta/akustyka/New_tasks/N_2016/December_14/Compli.htm
Prosty związek pomiędzy natężeniem ( ciśnieniem akustycznym ) a poziomem tego natężenia ( poziomem
ciśnienia akustycznego ) dotyczy tylko fal akustycznych emitowanych przez duże, rozciągłe ( o wymiarach
porównywalnych z odległością od źródła ) źródło tej fali, mające w dodatku charakter pulsującej "tłokowo"
płaskiej membrany ( lub płyty drgającej ). Nasuwa się w tym miejscu szereg pytań :
1. A co będzie, jeżeli tych źródeł będzie więcej i będą rozmieszczone w dostatecznej odległości od
siebie ?
2. A co będzie, jeżeli ten układ wielu źródeł stanowić będą głośniki zasilane ze wspólnego generatora, a
co będzie w przypadku źródeł naprawdę niezależnych ?
3. A co będzie, jeżeli pojedyncze źródło lub układ wielu źródeł będą rozmieszczone tak dalece od
obserwatora, że ta odległość będzie dużo większa od rozmiarów źródła ?
4. A co będzie, jeżeli pojedyncze źródło lub jedno z układu wielu źródeł znajdzie się w ruchu względem
obserwatora ?
W toku dwóch bieżących wykładów postaramy się udzielić przynajmniej cząstkę odpowiedzi na każde
z tak postawionych pytań. Na początek zajmijmy się dwoma efektami : interferencją i dudnieniami
związanymi ze superpozycją dwóch fal akustycznych ( przypadek tylko dwóch fal jest najłatwiejszy
do analizy matematycznej ). Superpozycję rozpatrujemy w konkretnym miejscu ( punkcie )
przestrzeni, zatem zagadnienie superpozycji dwóch fal sprowadza się do zagadnienia superpozycji
dwóch drgań.
Na początek przyda się przypomnienie paru przydatnych tożsamości trygonometrycznych :
Wzory te będą przydatne czy użyteczne podczas dalszego wyprowadzania wzoru na kwadrat
wypadkowego ciśnienia akustycznego ( dla przypomnienia : natężenie fali akustycznej jest wprost
proprocjonalne do tego kwadratu ). Rozpatrzymy zatem superpozycję dwóch drgań sinusoidalnych o
tych samych amplitudach ciśnienia akustycznego p 0 i przesuniętych w fazie względem siebie o ∆ φ ;
wzajemne przesunięcie fazy może wynikać choćby ze zróżnicowanych odległości źródeł od
obserwatora. Przed laty budowano sztuczne urządzenia opóźniające wykorzystujące fakt, że fale
akustyczne propagują się ze znacznie mniejszymi prędkościami niż inne rodzaje fal. Te dawne
urządzenia opóźniające to : rtęciowe linie opóźniające oraz tzw. pogłos sprężynowy .
Przejdźmy zatem do opisu dwóch drgań ( dwóch fal w punkcie odbioru ) przesuniętych względem
siebie w fazie :
p 1 ( t ) = p 0 * sin ( ω * t + ∆ φ / 2 )
p 2 ( t ) = p 0 * sin ( ω * t - ∆ φ / 2 )
Dzięki takiemu zapisowi wypadkowe przesunięcie fazowe pozostanie równe zadanej wartości,
natomiast zyskujemy na symetrii obu wzorów. Dodajmy teraz do siebie oba ciśnienia akustycznego i
wyznaczmy wartość kwadratu wypadkowego ciśnienia akustycznego p W 2 ; można tego dokonać na
dwa przynajmniej sposoby. W pierwszym z tych sposobów odłożymy na plan dalszy ( na razie )
tożsamości trygonometryczne i skorzystamy raczej z algebraicznego wzoru opisującego kwadrat
dwumianu. Oto obliczenia przeprowadzone tym sposobem :
2015-12-09 13:08
Superpozycja fal akustycznych ; efekty związane z odległością i ruchem
2z8
file:///D:/dydakta/akustyka/New_tasks/N_2016/December_14/Compli.htm
Drugi sposób wyprowadzenia wzoru końcowego polega na skorzystaniu na samym początku z
odpowiedniej tożsamości trygonometrycznej ( ze wzoru na sumę dwóch sinusów ), a dopiero w dalszej
kolejności - na podniesieniu uzyskanego wyniku do kwadratu. Oto ten drugi ze sposobów :
Oba zastosowane sposoby prowadzą do uzyskania identycznego wzoru końcowego ; przypomnijmy
jego postać już po obustronnym spierwiastkowaniu :
p W ( t ) = p 0 * √ [ 2 * ( cos ∆ φ + 1 ) ] * sin ω t
2015-12-09 13:08
Superpozycja fal akustycznych ; efekty związane z odległością i ruchem
3z8
file:///D:/dydakta/akustyka/New_tasks/N_2016/December_14/Compli.htm
Zatem przebieg wynikowy drga również sinusoidalnie z częstotliwością ω , ale z amplitudą
wypadkową p a zależną od względnego przesunięcia fazy :
p a = p 0 * √ [ 2 * ( cos ∆ φ + 1 ) ]
Ze wzoru tego wynika, że przy zerowym przesunięciu fazowym uzyskujemy podwojenie amplitudy ;
natomiast przy przesunięciu fazowym równym 180 o amplituda wynikowa staje się równa zeru, co w
praktyce oznacza zanik drgań wypadkowych. Efekt ten nazywamy interferencją .
Do bardzo podobnego wzoru doprowadzimy, jeżeli założymy superpozycję dwóch przebiegów
nieznacznie różniących się częstotliwościami drgań :
p 1 ( t ) = p 0 * sin [ ( ω 0 + ∆ ω / 2 ) * t ]
p 2 ( t ) = p 0 * sin [ ( ω 0 - ∆ ω / 2 ) * t ]
Po przeprowadzeniu analogicznych obliczeń jak poprzednio otrzymamy :
p W 2 ( t ) = p 0 2 * 2 * [ cos ( ∆ ω * t ) + 1 ) ] * sin 2 ω t
Jeżeli powyższy wzór pomnożymy obustronnie przez impedancję akustyczną Z , to otrzymamy
przebieg zmienności natężenia w czasie. Natężenie to będzie zmieniać się z okresowo zmienną
amplitudą wg wzoru :
I a ( t ) = I 0 * 2 * [ cos ( ∆ ω * t ) + 1 ) ]
Innymi słowy, amplituda wypadkowego natężenia będzie zmieniać się okresowo z częstotliwością
"różnicową" ∆ ω ; przy czym ta zmienna w czasie amplituda natężenia wypadkowego będzie
okresowo zanikać. Efekt taki nazywamy dudnieniami .
Oto jeszcze inna strona WWW poświęcona dudnieniom :
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Beats/Beats.html
W dotychczasowych rozważaniach amplitudy obu przebiegów, dla których dokonuje się superpozycji,
były identyczne. Nasuwa się zatem pytanie : co będzie, jeśli te amplitudy nie będą sobie równe ?
Aby spróbować na to pytanie, przypomnijmy jeszcze raz wzór :
p 2 W ( t ) = 2 p 0 2 * sin 2 ( ω * t ) * ( 1 + cos ∆ φ )
Z tego przypomnianego wzoru wynika, że w przypadku przesunięcia fazy ∆ φ o π / 2 kwadrat
wypadkowej amplitudy będzie równy podwojonemu kwadratowi amplitudy przebiegu składowego :
p 2 W ( t ) = 2 p 0 2 * sin 2 ( ω * t )
Oznacza to, że po spierwiastkowaniu otrzymamy :
p Wo = p 0 * √ 2
Jeżeli obie fale dokonujące superpozycji propagują się w jednorodnym środowisku o stałej impedancji
Z , to analogiczny wzór można również zapisać dla prędkości ruchu drgającego cząstki akustycznej :
v Wo = v 0 * √ 2
Oznacza to, że w przypadku superpozycji dwóch fal akustycznych o jednakowych amplitudach
2015-12-09 13:08
Superpozycja fal akustycznych ; efekty związane z odległością i ruchem
4z8
file:///D:/dydakta/akustyka/New_tasks/N_2016/December_14/Compli.htm
prędkości, lecz przesuniętych w fazie o π / 2 , obie prędkości składowe dodają się wektorowo.
Możemy takie podejście uogólnić na przypadek innych przesunięć fazowych zaproponować wzór
zwany "sumą harmonik" :
v W = √ ( v 2 1 + 2 * v 1 * v 2 * cos ∆ φ + v 2 2 )
Wzór ten wynika z odpowiednio zastosowanego twierdzenia Carnota przy budowie wektorowego
równoległoboku prędkości. Jeżeli nadal dwie fale akustyczne dokonują superpozycji w jednorodnym
środowisku o stałej impedancji akustycznej, to analogiczny wzór można również zastosować w
przypadku ciśnień akustycznych :
p W = √ ( p 2 1 + 2 * p 1 * p 2 * cos ∆ φ + p 2 2 )
W przypadku równości obu amplitud ( p 1 = p 2 = p 0 ), wzór ten sprowadza się do wzoru
wyprowadzanego wcześniej w inny sposób :
p W = p 0 * √ [ 2 * ( 1 + cos ∆ φ ) ]
Jeżeli ∆ φ jest równe zeru, wówczas cosinus tego kąta przyjmuje wartość 1 , a zatem osiągamy
wówczas maksymalną wartość wypadkowego ciśnienia akustycznego p W . Mówimy wówczas, że
zachodzi przypadek tzw. interferencji konstruktywnej .
Jeżeli ∆ φ jest równe π , wówczas cosinus tego kąta przyjmuje wartość -1 , zatem wypadkowe
ciśnienie akustyczne p W przyjmie wówczas wartość minimalną, czyli równą zeru. Zajdzie wówczas
interferencyjne wygaszanie się fal, czyli przypadek tzw. interferencji dekonstruktywnej .
Wypadkowe ciśnienie akustyczne w przypadku fal akustycznych pochodzących od źródeł
niekoherentnych
Z pozoru mogłoby się wydawać, że dotychczasowe wzory wyczerpują opisy wszelkich możliwych
sytuacji, tj. zarówno wszelkich możliwych różnic fazowych, jak i wszelkich możliwych różnic
częstotliwości pomiędzy dwoma przebiegami, dla których zachodzi superpozycja. Bardzo często
zachodzi jednak sytuacja, kiedy nie posiadamy informacji o aktualnej wartości różnicy faz pomiędzy
dwoma przebiegami. Załóżmy, że mamy do czynienia z dwoma identycznymi głośniczkami
podłączonymi do dwóch identycznych generatorów ( "fabrycznie identycznych" ). W momencie startu
oba generatory generują np. ton sinusoidalny o tej samej częstotliwości i o tej samej fazie początkowej
( nie ma podstaw, aby zakładać, że fazy początkowe mogłyby się różnić ). Czy jednak po kilku, a tym
bardziej - po kilkunastu godzinach nieprzerwanej pracy obu generatorów możemy cokolwiek
powiedzieć o chwilowej różnicy faz pomiędzy przebiegami generowanymi przez obydwa generatory ?
Raczej nie. Każdy generator, zwłaszcza wykonany w technice analogowej, cechuje tzw. "stabilność
częstotliwości". Wielkość ta określa, o jaki procent może ( średnio ) odchylić się ( w górę lub w dół )
częstotliwość generowanego przez to urządzenie przebiegu sinusoidalnego lub prostokątnego.
Najlepsze generatory, wykazujące najwyższą "stabilność częstotliwości", czyli generujące stosunkowo
małe tego typu odchyłki, zazwyczaj są wykonywane w specjalnej technice, np. wykorzystują
rezonatory kwarcowe . Niemniej nawet i przy tego rodzaju technologii nie uda się całkowicie
zlikwidować zjawiska "płynięcia częstotliwości" ; można je tylko co najwyżej zminimalizować. Może
zatem się zdarzyć, że w ciągu dostatecznie długiego przedziału obserwacji częstotliwości obu
generatorów zdążą się ( nawet ) dość znacznie rozstroić, a po upływie dalszego czasu powrócą do
pierwotnej "identyczności" obu częstotliwości. Ale ta ponowna identyczność obu częstotliwości wcale
nie musi oznaczać powrotu do tej samej różnicy faz, jaka cechowała oba generatory w momencie
startu.
Innymi słowy, w praktyce możemy dość często spotykać się z sytuacją, kiedy nie potrafimy nic
powiedzieć o różnicy faz pomiędzy dwoma przebiegami, dla których zachodzi superpozycja. Jak
wówczas szacować np. wypadkowe ciśnienia akustyczne ?
2015-12-09 13:08
Superpozycja fal akustycznych ; efekty związane z odległością i ruchem
5z8
file:///D:/dydakta/akustyka/New_tasks/N_2016/December_14/Compli.htm
Jeżeli owo wypadkowe ciśnienie akustyczne ma być czymś w rodzaju "średniej" odniesionej do
bardzo długiego interwału uśredniania, to można zauważyć, że w ciągu dostatecznie długiego
przedziału "obserwacji - uśredniania" kąt ∆ φ zdąży przyjąć wszelkie możliwe wartości z przedziału od
0 do 2 π ; natomiast cosinus tego kąta zdąży przyjąć wszelkie możliwe wartości pomiędzy -1 a 1 .
Uśrednianie tych wartości funkcji cosinus powinno dać w efekcie wartość 0 lub przynajmniej wartość
bliską 0. Może to zobrazować poniższy schemat uśredniania ( dla połówki okresu ) :
Jako wynik uśredniania wychodzi bardzo mała liczba, rzędu 8 * 10 -7 , czyli praktycznie równa (
prawie ) zeru. O dwóch drganiach lub o dwóch falach, których różnica faz zmienia się w sposób
niekontrolowany ( losowy ), mówimy, że są one niekoherentne . Zatem w przypadku fal dla
wszystkich wzorów opisujących wypadkowe ciśnienie akustyczne, funkcję cos ∆ φ zastąpimy po
prostu przez 0 . Zatem uogólniony wzór na ciśnienie wypadkowe w przypadku różnych amplitud
ciśnień akustycznych drgań lub fal składowych przyjmie uproszczoną postać :
p W2= p 12+ p 22
( gdzie p W 2 jest ciśnieniem wypadkowym ( tzn. jego amplitudą bądź wartością skuteczną ), natomiast
p 1 2 oraz p 2 2 są ciśnieniami akustycznymi ( odpowiednio : amplitudami bądź wartościami skutecznymi
) fal lub drgań składowych. Jeżeli wszystkie ciśnienia we wzorze powyższym odnoszą się do wartości
skutecznych, to możemy powyższy wzór podzielić obustronnie przez impedancję akustyczną Z :
Zatem w przypadku superpozycji fal lub drgań niekoherentnych ( niespójnych ) natężenie wypadkowe
równe jest sumie natężeń fal składowych :
I W= I 1 + I 2
Dość ciekawe spostrzeżenia rysują się w sytuacji, kiedy oba składowe ciśnienia akustyczne są sobie
równe, tj. kiedy p 1 = p 2 = p e :
p W2= 2 * p e2
W przypadku drgań koherentnych ( spójnych ) o równych amplitudach ciśnienia akustycznego i
różnicy faz pomiędzy nimi równej zeru otrzymamy wzór podobny :
p W2= 4 * p e2
2015-12-09 13:08
Superpozycja fal akustycznych ; efekty związane z odległością i ruchem
6z8
file:///D:/dydakta/akustyka/New_tasks/N_2016/December_14/Compli.htm
Jeżeli oba powyższe równania obustronnie podzielimy przez p 0 , obustronnie zlogarytmujemy i
obustronnie pomnożymy przez 10 ( wyprowadzając przy okazji potęgi przed operator logarytmu ), to
otrzymamy :
20 * log ( p W ⁄ p 0 ) = 10 * log ( 2 ) + 20 * log ( p e ⁄ p 0 )
Wzór ten dotyczy superpozycji dwóch drgań ( fal ) niekoherentnych o identycznych amplitudach ;
wyrażenia typu "logarytm ze stosunku dwóch ciśnień" możemy zastąpić w tym wzorze odpowiednimi
poziomami wyrażonymi w decybelach :
L W = L e + 3 [ dB ]
W przypadku superpozycji dwóch identycznych drgań ( fal ) koherentnych o równych fazach
początkowych otrzymamy podobną parę wzorów :
20 * log ( p W ⁄ p 0 ) = 10 * log ( 4 ) + 20 * log ( p e ⁄ p 0 )
Po przejściu do poziomów wyrażanych w decybelach otrzymamy :
L W = L e + 6 [ dB ]
Zatem w przypadku superpozycji dwóch identycznych fal ( drgań ) niekoherentnych wypadkowy
poziom wzrośnie o 3 [ dB ] względem poziomu każdego z drgań składowych ; natomiast w przypadku
superpozycji dwóch identycznych drgań ( fal ) koherentnych o jednakowych fazach początkowych
poziom wypadkowy będzie o 6 [ dB ] większy od poziomu każdego z drgań składowych.
Dlaczego fale akustyczne pochodzące od dwóch identycznych źródeł mogłoby się różnić
amplitudami bądź częstotliwościami ?
Fale akustyczne dochodzące od dwóch identycznych źródeł, ale usytuowanych w różnej odległości od
obserwatora ( od odbiornika ) mogą różnić się wartościami ciśnień akustycznych, jeśli ich rozmiary są
dużo mniejsze od obu odległości. W przypadku małego źródła fali akustycznej ( o rozmiarach dużo
mniejszych od odległości owego źródła od obserwatora lub od odbiornika ) sam kształt tego źródła
przestaje być istotny. Dla zachowania symetrii dalszych rozważań możemy przyjąć założenie, że
owym źródłem nie jest pulsujący fragment płaszczyzny ( np. membrana lub raczej - płyta drgająca ,
lecz np. niewielka rozmiarami ( w stosunku do odległości od odbiornika lub od obserwatora )
pulsująca kulka, np. niewielki balon wypełniony gazem i domknięty pulsującą przegrodą. Energię fali
akustycznej wypromieniowaną w przestrzeń przez ową pulsującą kulkę możemy w pełni odzyskać,
jeśli ową małą kulkę stanowiącą źródło fali akustycznej otoczymy dużo większą kulą, którą od
wewnętrznej strony wyłożoną powłoką wykonaną np. z materiału piezoelektrycznego . Wówczas
żadna porcja energii nie ucieknie i zostanie wychwycona w odległości r od ( środka ) owej pulsującej
kulki. Oczywiście im większy promień r większej z kul tym mniejsza powierzchniowa gęstość
odbieranej energii, tzn. tym mniej energii przypada na jednostkę powierzchni ( ale zarazem ową
energię zbiera się z większej powierzchni "dużej" kuli ). Wypadkowa wielkość odebranej ( zebranej )
energii nie będzie zatem zależeć od promienia owej 'dużej' kuli. Ponieważ mamy tylko dwie kule (
małą - nadawczą i dużą - odbiorczą ), a sama piezoelektryczna powłoka pokrywająca wewnętrzną
powierzchnię dużej kuli nie posiada żadnej zdolności do jakiegokolwiek magazynowania energii,
zatem owe rozważania możemy odnieść nie tylko do energii, ale również do mocy ( akustycznej )
promieniowanej do wnętrza dużej kuli przez pulsującą małą kulę i odbieranej przez piezoelektryczną (
na przykład ) powierzchnię wewnętrzną dużej kuli. Zatem im większy promień r dużej kuli, tym
mniejsza "powierzchniowa gęstość" odbieranej mocy, czyli - tym mniejsze natężenie odbieranej fali
akustycznej. Ponieważ owa fala akustyczna jest odbierana w taki sam sposób, przez każdy fragment
powierzchni owej kuli ( panuje pełna symetria ), zatem natężenie owej fali padającej na wewnętrzną
powierzchnię dużej kuli możemy wyznaczyć, dzieląc moc akustyczną W źródła ( czyli pulsującej małej
2015-12-09 13:08
Superpozycja fal akustycznych ; efekty związane z odległością i ruchem
7z8
file:///D:/dydakta/akustyka/New_tasks/N_2016/December_14/Compli.htm
kuli ) przez pole powierzchni dużej kuli "odbiorczej" ; w efekcie uzyskujemy wzór o postaci :
I =W ⁄ ( 4 *π *r 2)
Ponieważ natężenie fali akustycznej jest wprost proporcjonalne do kwadratu ciśnienia akustycznego,
zatem ciśnienie akustyczne w przypadku fali akustycznej emitowanej przez źródło punktowe maleje
odwrotnie proporcjonalnie do odległości od źródła owej fali :
p=√(W*Z⁄π)⁄(2r)
( gdzie Z jest impedancją akustyczną )
Zatem wszystkie współczynniki można zebrać w jeden parametr A i napisać :
p(r)=A/r
Można wprowadzić pomocniczą wielkość zwaną mocą odniesienia :
W 0=I 0* S0
( gdzie S 0 jest jednostkową powierzchnią odniesienia i wynosi 1 [ m 2 ] ; zatem moc odniesienia
wynosi również 10 -12 [ W ]. )
Zatem podstawowy wzór wiążący moc akustyczną, natężenie fali akustycznej oraz odległość
odbiornika od źródła możemy przedstawić w postaci bardziej skomplikowanej :
I ⁄ I 0=( W ⁄ W 0) * ( S0⁄ 4 πr 2)
To rozbudowane wyrażenie możemy teraz obustronnie zlogarytmować uzyskując :
10 * log ( I ⁄ I 0 ) = 10 * log ( ( W ⁄ W 0 ) ) + 10 * log ( S 0 ⁄ 4 π r 2 )
Dwa pierwsze składniki ( składnik po lewej stronie wyrażenia i pierwszy składnik po prawej stronie
wyrażenia ) możemy nazwać odpowiednimi poziomami :
L I = L W - 10 * log ( 4 π r 2 ⁄ S 0 )
( gdzie L W nosi nazwę poziomu mocy akustycznej i jest wielkością proporcjonalną do logarytmu z
ilorazu mocy akustycznej źródła fali przez moc odniesienia W 0 . )
W przypadku superpozycji wielu fal niekoherentnych pochodzących od źródeł identycznych i
rozmieszczonych w jednakowej odległości od obserwatora lub od przyrządu pomiarowego ( sonometru
) poziom wypadkowy wyrazi się wzorem następującym :
L I = 10 * log ( N * W / W o ) - 10 * log ( 4 π r 2 ⁄ S 0 )
( gdzie N jest liczbą owych źródeł niekoherentnych )
Wzór powyższy da się łatwo przekształcić do postaci "ostatecznej" :
L I = L W - 10 * log ( 4 π r 2 ⁄ S 0 ) + 10 log ( N )
W ogólnym przypadku superpozycji wielu fal niekoherentnych pochodzących od źródeł identycznych,
ale pracujących w różnych odległościach od obserwatora ( od sonometru ) , wypadkowy poziom
natężenia wyrazi się wzorami następującymi :
2015-12-09 13:08
Superpozycja fal akustycznych ; efekty związane z odległością i ruchem
8z8
file:///D:/dydakta/akustyka/New_tasks/N_2016/December_14/Compli.htm
L I = L W - 10 log ( 4 π ) + 10 log ( ∑ 1 ⁄ r j 2 )
Obliczając logarytm ze stałej π można wzór powyższy przekształcić do postaci:
L I = L W - 11 + 10 log ( ∑ 1 ⁄ r j 2 )
Zatem przy rozmieszczeniu pewnej liczby identycznych źródeł fali akustycznej w przestrzeni w taki
sposób, że odległość każdego z tych źródeł od obserwatora lub odbiornika będzie inna, trzeba
uwzględnić fakt, że każda z fal składowych będzie mieć inne natężenie przy dotarciu do punktu
odbioru. Sprawę może komplikować dodatkowo ruch przynajmniej jednego ze źródeł względem
obserwatora lub punktu, w którym usytuowano odbiornik fali. Jeżeli owo ruchome źródło emituje ton
sinusoidalny ( tzw. "ton prosty" ) , to częstotliwość owego tonu może ulec zmianie wskutek ruchu
owego źródła. Zjawisko to nosi nazwę efektu Dopplera i może powodować, że w przypadku
superpozycji fal pochodzących z wielu źródeł, z których część jest ruchoma, trzeba będzie również
uwzględnić efekt dudnień. Informacje o efekcie Dopplera można znaleźć w poniższym opracowaniu (
wykładzie ) na temat owego efektu :
2015-12-09 13:08