Zagadnienie nieliniowości geometrycznej na przykładzie płyt

Transkrypt

M. Guminiak Metody obliczeniowe mechaniki nieliniowej
nr alb. 77482
Zagadnienie geometrycznie nieliniowe - duŜe przemieszczenia
W przypadku duŜych lub umiarkowanie duŜych przemieszczeń równania równowagi
naleŜy formułować w przemieszczeniach konfiguracji, która jest aktualnie nieznana i którą
trzeba wyznaczyć. Jest to podstawowa cecha nieliniowości geometrycznej.
DuŜym
przemieszczeniom
mogą
towarzyszyć
małe
lub
duŜe
odkształcenia.
W pierwszym przypadku zaleŜność między przemieszczeniem a odkształceniem jest
nieliniowa, w drugim zaleŜność ta równieŜ jest nieliniowa. Stan napręŜenia określany jest na
konfiguracji zdeformowanej. RozróŜnienie wielkości przemieszczeń i odkształceń jako duŜych
lub małych jest umowne i nie posiada ścisłego kryterium. W teorii liniowej korzysta się ze
składowych całkowitego przemieszczenia i składowych całkowitego napręŜenia i odkształcenia
w punkcie obliczanych bezpośrednio od danego obciąŜenia. W zagadnieniach nieliniowych
geometrycznie obciąŜenie rośnie aŜ do końcowej wartości i wyznacza przyrostowe zmiany
napręŜenia i odkształcenia [1].
1. Opis stanu odkształcenia
1.1. Współrzędne materialne i współrzędne przestrzenne
Do opisu stanu odkształcenia kontinuum materialnego wprowadza się dwa układy
współrzędnych :
O X1 X2 X3 – stały nieruchomy w czasie, kartezjański,
o x1 x2 x3 - konwekcyjny, współobrotowy, odpowiadający uśrednionemu obrotowi ciała przy
przejściu z jednej konfiguracji do drugiej, sztywno związany z bryłą, kartezjański.
Wprowadzanie dwóch róŜnych układów współrzędnych ma znaczenie tylko w teorii
nieliniowej. Jeśli stan przemieszczenia, odkształcenia i napręŜenia odnosi się do układu Xi, tzn.
u = u (Xi), ε = ε (Xi), σ = σ (Xi), to opisuje się zagadnienie wg. Lagrange’a we współrzędnych
materialnych. Jeśli u = u (xi), ε = ε (xi), σ = σ (xi), wtedy opisuje się zagadnienie wg. Eulera we
współrzędnych przestrzennych. Stan przemieszczenia, odkształcenia i napręŜenia w danym
punkcie jest obiektywny i nie zaleŜy od wyboru układu współrzędnych. W teorii duŜych
przemieszczeń oba opisy mają zastosowanie [1].
Wprowadza się oznaczenia:
X – wektor wodzący punktu materialnego P(Xi) w konfiguracji początkowej
x - wektor wodzący punktu materialnego P(Xi) w konfiguracji zdeformowanej
u - wektor wodzący przy przejściu ciała ze stanu początkowego do zdeformowanego
Wektory X i x moŜna zapisać dokonując rozkładu:
[1] M. Kmiecik, M. Wizmur, E. Bielewicz: Analiza nieliniowa tarcz i płyt, Politechnika Gdańska 1995
1
nr alb. 77482
X = X1I1 + X2I2 + X3I3 = XKIK , (współrzędne materialne)
x = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xkek , (współrzędne przestrzenne)
Wzajemna orientacja obu układów współrzędnych jest określona wektorem b oraz kosinusami
kierunkowymi między osiami układów, które są iloczynami skalarnymi wersorów obu układów
ek·IK = IK· ek = nkK = nKk
(1.1)
Wektor przemieszczenia u moŜna rozłoŜyć w obu układach
U = UKIK ,
(1.2)
u = ukek ,
(1.3)
po wymnoŜeniu skalarnym równości (1.1) przez IK otrzymuje się
oraz
ek = nkKIK ,
(1.4)
u = uknkKIK ,
(1.5)
U = u, stąd
otrzymuje się prawo transformacji współrzędnych wektora przemieszczenia z układu
współrzędnych przestrzennych do układu współrzędnych materialnych
UK = nkKuk .
(1.6)
Punkty materialne ciała doznającego narastającej deformacji poruszają się po torach
będących ciągiem punktów w przestrzeni o współrzędnych Xi lub xk (i=k=1,2,3) [1]. Dlatego
ruch moŜe być opisany na dwa sposoby, za pomocą wektora wodzącego punktu materialnego X
lub x. Pierwszy sposób opisuje ruch punktu za pomocą wektora xi = xi(X,t). Wektor wodzący x
punktu P w konfiguracji odkształconej jest funkcją wektora X. Mówi się wtedy o opisie
stacjonarnym Lagrange’a. Drugi sposób, to opis ruchu punktu za pomocą wektora X = Xi(x,t).
Mówi się wtedy o opisie Eulera. Wzajemne zaleŜności między współrzędnymi obu układów są
funkcjami wzajemnie jednoznacznymi i róŜniczkowalnymi dowolną liczbę razy. Warunkiem
koniecznym i dostatecznym tego postulatu jest aby wyznacznik det(xk,K) był róŜny od zera:
 ∂x1

 ∂X 1
 ∂x
det  2
∂X
 1
 ∂x3
 ∂X 1
∂x1
∂X 2
∂x2
∂X 2
∂x3
∂X 2
∂x1 

∂X 3 
∂x2 
= det( xk , K ) ≠ 0 .
∂X 3 

∂x3 
∂X 3 
Do opisu deformacji ciała w układach współrzędnych materialnym i przestrzennym
wprowadza się pojęcie gradientów deformacji i przemieszczenia. Materialnym gradientem
deformacji nazywa się tensor o walencji dwa:
F=
∂xi
ei ⊗ I K ,
∂X K
(1.7)
2
nr alb. 77482
Reprezentacją macierzową tego tensora jest
FiK =
∂xi
= xi , K
∂X K
 ∂x1

 ∂X 1
 ∂x
= 2
∂X
 1
 ∂x3
 ∂X 1
∂x1
∂X 2
∂x2
∂X 2
∂x3
∂X 1
∂x1 

∂X 3 
∂x2 
,
∂X 3 

∂x3 
∂X 1 
(1.8)
ZaleŜnością odwrotną jest przestrzenny gradient deformacji
H=
∂X K
I K ⊗ ei ,
∂xi
(1.9)
którego reprezentacją macierzową jest
 ∂X 1

 ∂x1
 ∂X
H= 2
∂x
 1
∂
 X3
 ∂x1
∂X 1
∂x2
∂X 2
∂x2
∂X 3
∂x2
∂X 1 

∂x3 
∂X 2 
.
∂x3 

∂X 3 
∂x3 
(1.10)
Macierze FiK i HKi związane są relacją
∂xi ∂X J
⋅
= δiK ,
∂X J ∂xk
(1.11)
H = F −1 .
(1.12)
co pozwala zapisać
Materialny gradient przemieszczenia Y
Y=
∂U I
II ⊗ IK ,
∂X K
(1.13)
stosując zapis wskaźnikowy
YIK = U I , K ,
(1.14)
Przestrzenny gradient przemieszczenia
K=
∂ui
ei ⊗ ek ,
∂xk
(1.15)
w zapisie wskaźnikowym
Kik = ui, k ,
(1.16)
RóŜniczkując równanie u = x – X względem współrzędnych materialnych otrzymuje się
Y=
∂xi
ei ⊗ I K − δIK I I ⊗ I K = F − I ,
∂X K
(1.17)
3
nr alb. 77482
gdzie I jest tensorem metrycznym o reprezentacji macierzowej jako macierz jednostkowa i
moŜe być opisany deltą Kroneckera. RóŜniczkowanie równania u = x – X względem
współrzędnych przestrzennych prowadzi do wyniku
K = δikei ⊗ ek −
∂X I
II ⊗ ek = I − H .
∂xk
(1.18)
1.2 Miary odkształcenia
Przyjęto pokrywające się układy współrzędnych [1]. MoŜna wtedy stosować jednolite
wskaźniki. Definiuje się kwadrat długości wektora dX
(dX)2 = dX⋅ dX = dXidXi = δijdXidXj ,
(1.19)
róŜniczka zupełna i-tej współrzędnej wynosi
dXi =
∂X i
dx j ,
∂x j
(1.20)
po rozpisaniu
dX1 = X1,1dx1 + X1,2dx2 + X1,3dx3
dX2 = X2,1dx1 + X2,2dx2 + X2,3dx3 ,
(1.21)
dX3 = X3,1dx1 + X3,2dx2 + X3,3dx3
lub
dX = Hdx ,
(1.22)
Kwadrat długości (dX)2 moŜna przedstawić takŜe jako iloczyn zaleŜności (1.20) przez siebie:
(dX)2 = ∂X k ∂X k dxj dxi ,
gdzie Cij =
∂X k ∂X k
∂xi ∂x j
∂x j ∂xi
(1.23)
C = HT H ,
(1.24)
oraz
ZaleŜność (2.24) jest definicją tensora deformacji Cauchy’ego.
Kwadrat długości w konfiguracji zdeformowanej (dx)2 wynosi
(dx)2 = dx ⋅ dx = δijdxidxj ,
dxi =
∂xi
dX j ,
∂X j
dx = F ⋅ dX ,
(1.25)
(1.26)
(1.27)
4
(dx)2 = ∂xk
∂xk
dXidXj ,
∂Xi ∂X j
Gij =
∂xk ∂xk
lub inaczej
∂Xi ∂X j
nr alb. 77482
(1.28)
G = FT F .
(1.29)
RóŜnica kwadratów (dx)2 – (dX)2 jest równa:


∂xk
− δij dXi dX j ,

 ∂Xi ∂X j

(dx)2 − (dX)2 =  ∂xk
(1.30)
jeśli wprowadzimy oznaczenie:
Lij =

1  ∂xk ∂xk
− δij  ,

2  ∂X i ∂X j

(1.31)
to
(dx)2 − (dX)2 = 2LijdXidX j = dXT 2LdX .
(1.32)
Tensor L o składowych Lij przy wprowadzeniu materialnego gradientu deformacji przyjmie
postać:
L=
(
)
1 T
1
F F − I = (G − I ) ,
2
2
(1.33)
i nazywa się tensorem odkształceń skończonych Lagrange’a – Greena. RóŜnicę kwadratów
moŜna wyrazić równieŜ przez związki (1.23) i (1.25)


2
∂xi ∂x j 
(dx)2 − (dX)2 = 1  δij − ∂Xk ∂Xk dxidxj ,
(1.34)
1
∂X ∂X k 
Eij =  δij − k
dxi dx j ,
2 
∂xi ∂x j 
(1.35)
(dx)2 − (dX)2 = 2Eijdxidxj = dxT2Edx .
(1.36)
oznaczając
otrzymuje się zaleŜność:
Tensor E o składowych Eij przy wprowadzeniu przestrzennego gradientu deformacji opisany
jest zaleŜnością
E=
(
)
1
1
I − HT H = (I − C) ,
2
2
(1.37)
i nazywa się tensorem odkształceń skończonych Eulera – Almansiego. Odnosi on zmianę
długości rozpatrywanego odcinka PQ do układu związanego z ciałem.
5
nr alb. 77482
Z zaleŜności x k = u k − X k otrzymuje się równość:
∂x k
∂u
= k + δ ki ,
∂X i ∂X i
(1.38)
a po podstawieniu do (1.35) otrzymamy:
Lij =
oraz
∂u j
∂u k
δ kj =
,
∂X i
∂X i

∂u
∂u
1  ∂u k ∂u k
+ k δ kj + k δ ki + δ ki δ kj − δ ij  ,

∂X j
2  ∂X i ∂X j ∂X i

(1.39)
∂u k
∂u
δ ki = i i δ kj = δ ki ,
∂X i
∂X j
stąd
Lij =
1
(U i, j + U j,i + U k ,iU k , j ) ,
2
(1.40)
RóŜniczkując zaleŜność X k = x k − u k po „xi” i „xj” otrzymuje się relacje
∂X k
∂u
= δ ki − k
∂x i
∂x i
Eij =
oraz
∂X k
∂u
= δ kj − k ,
∂x j
∂x j
stąd
1
(ui, j + u j ,i − u k ,i u k , j ) ,
2
(1.41)
lub zapisane inaczej
E=
(
)
1
K + KT + KT K ,
2
(1.42)
W mechanice nieliniowe dokonuje się rozkładu tensorów odkształceń skończonych na część
liniową i nieliniową. Składowe tensorów tworzą sumę:
Lij = lij + ηij ,
(1.43)
E ij = eij + η ij ,
(1.44)
1.3 Opis stanu napręŜenia
Opis stanu napręŜenia prowadzony jest w konfiguracji zdeformowanej ciała [1]. Na
elementarną powierzchnię da otaczającą punkt P, zorientowaną jednostkowym wektorem
normalnej zewnętrznej n = ni ei działa elementarna siła kontaktowa df = df i ei , to
t (n) =
∂f
,
∂a
(1.45)
jest napręŜeniem Cauchy’ego w punkcie P(x1, x2, x3). Przez punkt P moŜna poprowadzić
nieskończenie wiele przekrojów i na kaŜdym z nich określić elementarną powierzchnię da oraz
6
nr alb. 77482
określić wektor t(n). Zbiór wszystkich par (t, n) definiuje stan napręŜenia w punkcie P.
Wystarczy wybrać trzy wzajemnie prostopadłe przekroje aby zdefiniować jednoznacznie stan
napręŜenia w punkcie P. Stan napręŜenia w punkcie moŜna zdefiniować przez wprowadzenie
tensora napręŜenia Cauchy’ego σ ij . W teorii duŜych przemieszczeń istotny jest dobór
konfiguracji ciała. Stan napręŜenia w punkcie określany jest na nieznanej konfiguracji ciała po
deformacji. NaleŜy wtedy odnieść stan napręŜenia w konfiguracji zdeformowanej do
konfiguracji początkowej, która jest znana.
RozwaŜa się powierzchnię dA w konfiguracji
początkowej C0, która w wyniku deformacji przechodzi w da. Jednostkowy wektor N staje się
w konfiguracji C1 wektorem n. Wprowadza się siły kontaktowe:
T ( N ) dA = t ( n ) da ,
(1.46)
Między polami dA i da zachodzi związek
nda = JH T NdA ,
(1.47)
t ( n ) = Tn = σ ij n j ei ,
(1.48)
gdzie J = det F
Tensor napręŜenia w konfiguracji początkowej C0 I tensor Pioli-Kirchhoffa
T ( N ) = T (1) N = t ij(1) N j I I ,
(1.49)
Po podstawieniu (1.48) i (1.49) do (1.46) i wykorzystaniu zaleŜności (1.47) moŜna określić
związek między I tensorem Pioli-Kirchhoffa a tensorem Cauchy’ego
T (1) = JTH T ,
(1.50)
zapisany inaczej
t ij(1) = JH jk σ ki ,
(1.51)
Pierwszy tensor Pioli-Kirchhoffa jest obiektem niesymetrycznym z uwagi na niesymetryczność
przestrzennego gradientu deformacji H. MoŜna zdefiniować zaleŜność odwrotną
σ ij = J −1 Fik t (jk1) ,
(1.52)
Pochodna tensora napręŜenia Cauchy’ego obliczana w konfiguracji zdeformowanej przyjmuje
postać
∂
∂ (1)
σ ij = J −1
t ij ,
∂x j
∂X j
(1.53)
RóŜniczkowanie tensora t ij(1) odbywa się w konfiguracji początkowej C0. Równania równowagi
moŜna zapisywać w konfiguracji początkowej C0
t ij(1,)j + ρ 0 Fi = 0 ,
(1.54)
7
nr alb. 77482
gdzie ρ 1 = ρ 0 J −1 .
W teorii duŜych deformacji ma zastosowanie równieŜ II tensor Pioli-Kirchoffa, który
jest opisany zaleŜnością
T ( 2) = JHTH T ,
(1.55)
t ij( 2) = JH ik σ kl H lj ,
(1.56)
lub inaczej
II tensor Pioli-Kirchhoffa występuje w równaniu pracy wirtualnej zapisanemu w konfiguracji
zdeformowanej, która jest przeniesiona do konfiguracji początkowej
∫σ
ij
δ ε ij dV (1) =
V (1)
∫t
( 2)
ij
δLij dV ( 0) ,
(1.57)
V (0)
I i II tensor Pioli-Kirchhoffa związane są zaleŜnością
T (1) = FT ( 2 ) ,
(1.58)
t ij(1) = Fik t kj( 2 ) ,
(1.59)
lub inaczej
gdzie
Fik =
∂xi
∂u i
=
+ δ ik ,
∂X k ∂X k
(1.60)
2. Zginanie płyt cienkich
2.1. Analiza geometrycznie nieliniowa
Przy duŜych deformacjach punkty płaszczyzny środkowej doznają przemieszczeń w, u
oraz v, gdzie przemieszczenia u i v wywołane są stanem tarczowym. Przemieszczeniom tym
odpowiadają napręŜenia równomiernie rozłoŜone po grubości płyty σx, σy i τxy. Siły
przekrojowe opisujące stan tarczowy:
Nx = σ x ⋅t ,
Ny = σ y ⋅t ,
(2.1)
N xy = τ xy ⋅ t ,
Miarą duŜego przemieszczenia moŜe być grubość płyty t. RozwaŜa się umiarkowanie duŜe
przemieszczenia. Na stan sił w płycie o duŜych przemieszczeniach składają się Mx, My, Mxy
oraz Nx, Ny i Nxy. Siły tarczowe mogą być rezultatem obciąŜenia zewnętrznego stycznego
8
nr alb. 77482
przyłoŜonego wzdłuŜ kierunków osi x i y lub wynikiem ugięć większych niŜ 10 do 20 %
grubości płyty. Wartości tych sił rosną w miarę narastania ugięć płyty [1].
∂N yx 

 N yx +
dy dx
∂y


∂N y 

 N y +
dy dx
∂y


∂N xy 

 N xy +
dx dy
∂x


N xy dy
y
∂N x 

dx dy
 Nx +
∂x


N x dy
N yx dx
N y dx
x
z
Rys. 2.1
Po zsumowaniu rzutu sił Nx na kierunek osi z
∂ (w + w0 )
∂N x   ∂ (w + w0 ) ∂ 2 (w + w0 ) 

− Nx
∂y +  N x +
dx dy
+
dx  ,
∂x
∂x
∂x
∂x 2

 

(2.2)
Po pominięciu wartości wyŜszego rzędu otrzymuje się składowe pionowe sił tarczowych
Nx
∂ 2 (w + w0 )
∂ 2 (w + w0 )
∂ 2 ( w + w0 )
,
N
oraz
2
N
. Zakłada się, Ŝe Nxy = Nyx. Składowe
y
xy
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
pionowe sił membranowych dodaje się do prawej strony równania płyty
 ∂ 4w
∂ 2 ( w0 + w)
∂ 2 ( w0 + w)
∂ 2 (w + w0 )
∂ 4w
∂4w 
2
, (2.3)
D 4 + 2 2 2 + 4  = p z + N x
+
N
+
N
y
xy
∂x∂y
∂x ∂y
∂y 
∂x 2
∂y 2
 ∂x
gdzie D jest sztywnością płyty D =
Et 3
, pz jest obciąŜeniem rozłoŜonym po powierzchni
12(1 − ν 2 )
płyty na kierunku osi z. Zakłada się, Ŝe istnieje funkcja F ( x, y ) taka, Ŝe
σ xm =
σ ym =
Nx ∂2F
= 2 ,
t
∂y
Ny
t
=
∂2F
,
∂x 2
(2.4)
9
τ xym =
N xy
t
=−
nr alb. 77482
∂2F
,
∂x∂y
wtedy
 ∂ 4w
∂4w
∂4w 

D 4 + 2 2 2 + 4  = p z +
∂x ∂y
∂y 
 ∂x
 ∂ 2 (w + w0 ) ∂ 2 F ∂ 2 (w + w0 ) ∂ 2 F
∂ 2 (w + w0 ) ∂ 2 F 
,
+ t 
+
−2
∂x∂y
∂x∂y 
∂y 2
∂y 2
∂x 2
 ∂x∂y
(2.5)
W równaniu (2.5) są dwie niewiadome: funkcja ugięcia w i funkcja napręŜeń F. Wykorzystuje
się związek nierozdzielności odkształceń dla płaszczyzny środkowej płyty
2
∂ 2ε xy
∂ 2ε x ∂ ε y
+
−2
= 0,
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
(2.6)
do którego naleŜy podstawić składowe tensora odkształceń Lagrange’a. W przypadku duŜych
ugięć płyty długość elementarnego odcinka powierzchni środkowej w płaszczyźnie x – z wynosi
2
 1  ∂w0  2 
 ∂w0 
ds 0 = dx 1 + 
 ≈ dx1 + 
 ,
 2  ∂x  
 ∂x 


(2.7)
2
 1  ∂ ( w + w0 )  2 
 ∂ ( w + w0 ) 
ds = dx 1 + 
 ≈ dx1 + 
 ,

∂
x
2
∂
x



 

(2.8)
po ugięciu
część nieliniowa tensora odkształcenia w płaszczyźnie x – z
ds − ds 0 ∂w0 ∂w 1  ∂w 
ηx =
=
+   ,
ds 0
∂x ∂x 2  ∂x 
2
2
∂w ∂w 1  ∂w 
ηy = 0
+   ,
∂y ∂y 2  ∂y 
η xy =
(2.9)
∂w0 ∂w ∂w0 ∂w ∂w ∂w
,
+
+
∂y ∂x
∂x ∂y ∂x ∂y
stąd
∂u ∂w0 ∂w 1  ∂w 
+
+   ,
∂x ∂x ∂x 2  ∂x 
2
Lx = l x + η x =
2
∂v ∂w0 ∂w 1  ∂w 
Ly = l y + η y =
+
+   ,
∂y ∂y ∂y 2  ∂y 
2 L xy = l xy + η xy =
(2.10)
∂u ∂v ∂w0 ∂w ∂w ∂w
,
+
+
+
∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
10
nr alb. 77482
W płaszczyźnie środkowej płyty odkształcenia te wywołane są tylko siłami tarczowymi
Lx =
1 m
1  ∂2F
∂2F 
σ x − νσ ym =  2 − ν 2  ,
E
E  ∂y
∂x 
Ly =
∂2F 
1 m
1  ∂2F
σ y − νσ xm =  2 − ν 2  ,
E
E  ∂x
∂y 
(
2 L xy =
(
)
)
(2.11)
2(1 + ν ) m
2(1 + ν ) ∂ 2 F
τ xy = −
,
E
E ∂x∂y
Wprowadzenie związków (2.10) i (2.11) do równania nierozdzielności odkształceń (2.6)
prowadzi do zaleŜności
 ∂4F
∂4F
∂4F 
 4 + 2 2 2 + 4  =
∂x ∂y
∂y 
 ∂x
 ∂ 2 w  2 ∂ 2 w ∂ 2 w   ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w
∂ 2 w0 ∂ 2 w  
0
0
 − 2

= E 
−
+
−
2

  , (2.12)
∂x∂y ∂x∂y  
∂y 2 ∂x 2
∂x ∂y 2   ∂x 2 ∂y 2
 ∂x∂y 


ZaleŜności (2.5) i (2.12) są równaniami nieliniowej teorii duŜych ugięć płyt w zakresie
spręŜystym materiału. Ścisłe rozwiązania ogólne tych równań nie istnieją. Gdy ugięcia płyty są
małe równania (2.5) i (2.12) rozprzęgają się stając się niezaleŜnymi. Związek (2.12) przechodzi
w równanie biharmoniczne tarczy a (2.5) staje się klasycznym równaniem płyty cienkiej.
2.2 Zastosowanie metody elementów skończonych
Do analizy numerycznej wykorzystano prostokątny element powierzchniowy (płytowo-tarczowy) o pięciu stopniach swobody w węźle. Element powłokowy jest złoŜeniem elementu
tarczowego czterowęzłowego o dwóch stopniach swobody w węźle z elementem płytowym o
trzech stopniach swobody w węźle.
2.3 Opis prostokątnego czterowęzłowego elementu tarczowego
Pole przemieszczeń wewnątrz elementu moŜe być aproksymowane za pomocą
wielomianów:
u = a1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy
v = a5 + a 6 x + a 7 y + a8 xy
(2.13)
11
nr alb. 77482
y
l
k
b
x'
b
i
j
x
a
a
Rys. 2.2
W zapisie macierzowym
u  1 x y
u= =
 v  0 0 0
xy 0 0 0
0 1 x y
 a1 
.
0   
 .  = Pa ,
xy   
.
 
a8 
(2.14)
Po podstawieniu do związków (2.13) znanych współrzędnych węzłów (i-tego węzła, i=1,2,3,4 )
u i = a1 + a 2 xi + a 3 y i + a 4 xi y i
vi = a5 + a 6 xi + a 7 y i + a8 xi y i ,
(2.15)
w zapisie macierzowym
r = Ca ,
(2.16)
moŜna obliczyć nieznane współczynniki ai
a = C −1 r ,
(2.17)
gdzie r jest wektorem stopni swobody węzłów (przemieszczeń węzłowych). Stąd
u = Pa = PC −1r = Nr ,
(2.18)
N jest macierzą funkcji kształtu opisujących pole przemieszczeń wewnątrz elementu w funkcji
przemieszczeń węzłów. Funkcje kształtu są postaci
x 
y

N i = 1 − 1 −  ,
 2a  2b 
Nk =
x y
,
2a 2b
Nj =
x 
y
1 −  ,
2a  2b 
x  y

N l = 1 −  ,
 2a  2b
(2.19)
12
nr alb. 77482
Innym podejściem, jest sformułowanie izoparametryczne, gdzie funkcje kształtu są wyraŜone
we współrzędnych znormalizowanych ξ ,η . Wtedy za pomocą tych samych funkcji kształtu
moŜna przedstawić przemieszczenia u i v oraz zmienne x i y.
l

x
N α' xα
=
∑

α =i
,

l
 y = ∑ N α' yα

α =i
(2.20)
l

u
=
N α' uα
∑

α =i
,

l
 v = ∑ N α' vα

α =i
(2.21)
oraz
Te same funkcje kształtu opisują pole przemieszczeń wewnątrz elementu oraz jego geometrię.
2.4 Opis prostokątnego czterowęzłowego elementu płytowego
y
l
b
η
θy
k
b
x
ξ
j
i
θx
z
a
a
i
pz, w
Rys. 2.3
KaŜdy węzeł posiada trzy stopnie swobody wα , θ xα , θ yα (α = i, j , k , l ) . Wektor przemieszczeń
węzłowych elementu ma postać
{r } = {w
b T
i
θ xi θ yi . . . wl θ xl θ yl } ,
T
(2.22)
Pole przemieszczeń moŜna opisać wielomianem
w = a1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x 2 + a5 xy + a 6 y 2 + a 7 x 3 +
+ a8 x 2 y + a9 xy 2 + a10 y 3 + a11 x 3 y + a12 xy 3 ,
(2.23)
13
nr alb. 77482
W zapisie macierzowym
[
w= 1
x
x2
y
xy
y2
x3
x2 y
xy 2
y3
x3y
 a1 
 . 
 
xy 3  .  = Pa ,
 . 
 
 a12 
]
(2.24)
uwzględniając związki
w, x = θ y ,
w, y = −θ x ,
(2.25)
oraz podstawiając do (2.23) i (2.25) przemieszczenia węzłowe rαb moŜna wyznaczyć nieznane
wartości a i
r b = Ca ,
(2.26)
a = C −1 r b ,
(2.27)
stąd
Macierz funkcji kształtu będzie wynosiła
N b = PC −1 ,
(2.28)
gdzie
[
N b = N bi
{N }
b T
α
N bj
N bk
]
N bl ,
(ξ 0 + 1)(η 0 + 1)(2 + ξ 0 + η 0 − ξ 2 − η 2 )
1

aξα (1 + ξ 0 ) 2 (ξ 0 − 1)(η 0 + 1)
= 
,
2
2


bηα (1 + ξ 0 )(ξ 0 + 1) (η 0 − 1)


(2.29)
(2.30)
gdzie ξ 0 = ξ ⋅ ξ α , η 0 = η ⋅ ηα , α = i, j , k , l .
Zgodnie z hipotezą Kirchhoffa otrzymuje się zaleŜności
u = −z
∂w
= − zN, bx r b
∂x
v = −z
∂w
= − zN, by r b ,
∂y
(2.31)
Macierz liniowa funkcji kształtu odkształceń ma postać
 − zN, bxx 


B bL =  − zN, byy  ,
 − 2 zN , b 
xy 

(2.32)
14
nr alb. 77482
Dla duŜych ugięć płyty oraz przy uwzględnieniu ugięcia początkowego naleŜy uwzględnić
składowe nieliniowe

 ∂w
0 

∂w
 
 ∂x
∂w0   ∂x  1 
0
 +
∂y   ∂w  2 
 ∂w
∂w0   ∂y 


∂x 
 ∂y
 ∂w0

η xb   ∂x
 
η b = η by  =  0

η b  
xy
 
∂w
 0
 ∂y

0  ∂w
 
∂w   ∂x 
 ,
∂y   ∂w 
∂w   ∂y 

∂x 
(2.33)
Jeśli pole przemieszczeń początkowych opisze się za pomocą tych samych funkcji kształtu,
które opisują ugięcia powstałe od działających obciąŜeń, wówczas wektor nieliniowych
odkształceń η b będzie miał postać
1
η b = B 0b r b + B bNL r b ,
2
( ) (N, )
 rb
 0
b
B0 = 
 b
 r0
T
b T
x
(2.34)

 N, bx 
b T 
N, y   b  ,
T  N , y 

N, bx  
0
(r ) ( )
( ) (N, ) (r ) ( )
0
T
b T
y
b T
0
b T
0
(2.35)
Macierz B bNL ma taką samą postać jak macierz B b0 . Przy małych ugięciach płyty wartości
elementów macierzy B bNL są pomijalnie małe w porównaniu z B bL .
Pole przemieszczeń wewnątrz elementu powłokowego, który ma zastosowanie
w analizie duŜych ugięć płyty jest opisane przez zsumowanie pola przemieszczeń elementu
tarczowego i płytowego
m
 u  N
  
v  =  0
 w  0
  
0
Nm
0
− zN, by  rxm 
 
− zN, bx  r ym  = Nr ,
N b   r b 
(2.36)
Macierz funkcji kształtu odkształceń dla elementu powłokowego jest sumą macierzy funkcji
kształtu odkształceń tarczy i płyty
 L x   l xm   l xb  η xb 
 
  

 
L =  L y  =  l ym  +  l yb  + η by  ,
2 L  2l m  2l b  η b 
 xy   xy   xy   xy 
1
L = B m r m + B bL r b + B b0 r b + B bNL r b = Br ,
2
(2.37)
(2.38)
gdzie
15

B = B m

nr alb. 77482
1 b 
 b
b
 B L + B 0 + B NL  ,
2


(2.39)
r m 
r =  b ,
r 
(2.40)
N, mx

Bm =  0
N, my

0 

N, my  ,
N, mx 
(2.41)
2.5 Sformułowanie wariacyjne przyrostowych równań równowagi
w zakresie geometrycznie nieliniowym
Równanie pracy wirtualnej ma postać:
∫ δL σdV − ∫ δd
T
V
T
bdV − ∫ δd T tdA = 0 ,
V
(2.42)
At
gdzie d = Nr , L = B(r )r = L(r ) , stąd
δ d = Nδ r
oraz δL =
∂L
δr wówczas równanie
∂r
(2.42) moŜna zapisać w postaci
T
 ∂L 
∫V  ∂r  σdV − p = 0 ,
(2.43)
p = ∫ N T bdV + ∫ N T tdA ,
(2.44)
V
At
macierz p jest wektorem sił węzłowych. W zakresie spręŜystym przy załoŜeniu, Ŝe istnieją
napręŜenia początkowe σ 0 wartość wektora napręŜenia wynosi
σ = DL + σ 0 ,
(2.45)
Jeśli zdefiniuje się przyrost liniowy ∆p
 ∂L  T

T  ∂L 
∆p = ∫ 
 ∆σ + σ ∆
dV ,
 ∂r 
 ∂r 
V 
(2.46)
oraz ∆σ taki, Ŝe
∆σ =
∂σ (L) ∂L
∂L
∆r = D e − p
∆r ,
∂L ∂r
∂r
(2.47)
wówczas otrzymuje się
2 
  ∂L  T e − p ∂L

T ∂L
∆p = ∫ 
D
+
σ
dV


∆r ,
∂r
∂r 2  
V  ∂r 
(2.48)
16
nr alb. 77482
Macierz D e− p jest macierzą styczna stałych spręŜystości w zakresie spręŜysto-plastycznym
materiału. Dla materiału w zakresie liniowo spręŜystym macierz D e− p przechodzi w macierz
stałych spręŜystości D. Równanie (2.48) stanowi ogólna przyrostową postać stanu równowagi
ciała przy załoŜeniu fizycznej i geometrycznej nieliniowości. Łącząc element tarczowy i
płytowy moŜna zapisać
[
∂L
= Bm
∂r
]
[B bL + B b0 + B bNL ] ,
(2.49)
]
(2.50)
[
∂ 2L
= 0 [(B bNL ), r ] ,
2
∂r
( )
 N, b
 x
b
(B NL ), r =  0
 b
 N, y
T
0
(N, )
( ) (N, )
b T
y
b T
T
x

 N, bx 
 b  ,
 N, y 

(2.51)
Po podstawieniu (2.49), (2.50) i (2.51) do (2.48) otrzymuje się
[

 ∫ Bm

V
] [
T
[B bL + B b0 + B bNL ] D B m
]
[
]

[B bL + B b0 + B bNL ] dV + ∫ σ T 0 [(B bNL ), r ] dV ∆r − ∆p = 0
V

(2.52)
Inaczej zapisane równanie (2.52) ma postać
K T ∆r − ∆p = 0 ,
(2.53)
gdzie K T = K 1 (r ) + K 2 (σ ) . Macierz K T nosi nazwę stycznej macierzy sztywności.
[
K 1 (r ) = ∫ B m
] [
T
[B bL + B b0 + B bNL ] D B m
]
[B bL + B b0 + B bNL ] dV ,
(2.54)
V
[
]
K 2 (σ ) = ∫ σ T 0 [(B bNL ), r ] dV ,
(2.55)
V
Przy załoŜeniu małych ugięć i braku ugięć początkowych macierz styczna K T przechodzi
w liniową macierz sztywności K . Składnik K 2 (σ ) moŜe być pominięty, gdy składowe
membranowe wektora napręŜenia są równe zero. Warunek ten zachodzi przy małych ugięciach
i braku napręŜeń tarczowych.
3 Przykłady obliczeń
Analizowanym przykładem jest płyta cienka, kwadratowa z otworem. Analizę nieliniową
przeprowadzono przy uŜyciu programu metody elementów skończonych ABAQUS. Obszar
płyty podzielono na elementy skończone powłokowe czterowęzłowe o pięciu stopniach
17
nr alb. 77482
swobody i czterech punktach Gaussa. Element ten stanowi połączenie elementu tarczowego i
płytowego opisanych w p. 2.2. Podział na elementy skończone oraz wymiary płyty pokazano na
rys. 3.1. W pobliŜu krawędzi otworu zagęszczono siatkę elementów skończonych. Przyjęto
następujące własności materiałowe: moduł Younga E = 205 GPa, współczynnik Poissona
ν = 0.3 oraz grubość płyty h = 2.0.
a
D
4
1
C
20.0
b
2
2
5
3
3
20.0
20.0
y
A
40.0
1
60.0
5
4
60.0
B
x
Rys. 3.1
Warunki brzegowe: krawędzie A-D oraz B-C są podparte swobodnie z blokadą
przemieszczeń na kierunkach x i y (u = v = w = 0). Krawędzie A-B i C-D oraz krawędzie
otworu są swobodne.
3.1. Płyta z otworem poddana obciąŜeniu równomiernie rozłoŜonemu
Płyta została poddana obciąŜeniu równomiernie rozłoŜonemu o intensywności q =
5kN/m2. Na rys. 3.1.1-3.1.6 przedstawiono ugięcia płyty w przekrojach zaznaczonych na rys.
3.1 otrzymane na drodze analizy geometrycznie nieliniowej oraz odpowiadające im rozwiązanie
liniowe klasycznej teorii płyt. Na rys. 3.1.7-3.1.10 podano przemieszczenia membranowe u i v.
Na rys. 3.1.7-3.1.10 podano przemieszczenia membranowe u i v a na rys. 3.2.11-3.2.20 wykresy
momentów zginających
i skręcających w postaci warstwic. Tabela 3.1 przedstawia
maksymalne ugięcia oraz napręŜenia σ x i σ y .
18
nr alb. 77482
Ugięcie
Ugię cie kra w ę dzi A-B
0,4
0,35
0,3
0,25
inc 1
inc 2
inc 4
0,2
0,15
0,1
0,05
0
inc 6
ln
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160
Dysta ns [x ]
Rys. 3.1.1
Ugię cie w prze kroju 1-1
0,3
inc 1
Ugięcie
0,25
0,2
inc 2
0,15
inc 4
0,1
inc 6
0,05
ln
0
0
10
20
30
40
50
60
Dysta ns [y]
Rys. 3.1.2
0,3
inc 1
Ugięcie
0,25
0,2
inc 2
0,15
inc 4
0,1
inc 6
0,05
ln
0
0
10
20
30
40
Dysta ns [x ]
Rys. 3.1.3
19
nr alb. 77482
0,35
inc 1
0,3
Ugięcie
0,25
inc 2
0,2
inc 4
0,15
inc 6
0,1
0,05
ln
0
0
10
20
30
40
50
60
Dysta ns [x ]
Rys. 3.1.4
Ugięcie
0,35
0,3
inc 1
0,25
inc 2
0,2
inc 4
0,15
inc 6
0,1
0,05
ln
0
0
10
20
30
40
50
60
Dysta ns [y]
Rys. 3.1.5
Ugięcie w przekroju 5-5
Ugięcie
rozw. liniowe
inkrement 6
Odległość [y]
Rys. 3.1.6
20
nr alb. 77482
Przemieszczenie v krawędzi A-B
Przemieszczenie
0,0003
0,00025
inc 1
0,0002
inc 2
0,00015
inc 4
0,0001
0,00005
inc 6
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Dystans [x]
Rys. 3.1.7
Przemieszczenie u w przekroju 1-1
Przemieszczenie
0,0006
inc 1
0,0005
0,0004
inc 2
0,0003
inc 4
0,0002
0,0001
inc 6
0
0
10
20
30
40
50
60
Dystans [y]
Rys. 3.1.8
Przemieszczenie
0,00045
0,0004
0,00035
0,0003
0,00025
0,0002
0,00015
0,0001
0,00005
0
inc 1
inc 2
inc 4
inc 6
0
10
20
30
40
50
60
Dystans [y]
Rys. 3.1.9
21
nr alb. 77482
Przemieszczenie
inkrement 6
Odległość [y]
Rys. 3.1.10
Tabela 3.1
Rozwiązanie liniowe
wD/pa2b2 [-]
σx [N/m2]
σy [N/m2]
0,113876
3,1405 ⋅107
-3,1405 ⋅107
3,8098 ⋅106
-3,8098 ⋅106
Rozwiązanie nieliniowe
war. brzeg. wg. rys. 3.1
uB-C≠0 i vB-C≠0
0,105337
3,1803 ⋅107
-2,6233 ⋅107
2,3886 ⋅106
-4,7754 ⋅106
0,113876
3,1341 ⋅107
-3,1404 ⋅107
3,8252 ⋅106
-3,7992 ⋅106
3.2. Płyta z otworem poddana obciąŜeniu rozłoŜonemu liniowo wzdłuŜ
krawędzi swobodnych
Na płytę przyłoŜono obciąŜenie rozłoŜone równomiernie liniowo wzdłuŜ zewnętrznych
krawędzi o intensywności q = 15 kN/m. Na rys. 3.2.1-3.2.6 przedstawiono ugięcia płyty w
przekrojach zaznaczonych na rys. 3.1 otrzymane na drodze analizy geometrycznie nieliniowej
oraz odpowiadające im rozwiązanie liniowe klasycznej teorii płyt. Na rys.3.2.7-3.2.10 podano
przemieszczenia membranowe u i v a na rys. 3.2.11-3.2.20 wykresy momentów zginających
i skręcających w postaci warstwic.
Tabela 3.2 przedstawia maksymalne ugięcia
oraz
napręŜenia σ x i σ y .
22
nr alb. 77482
Ugięcie kraw ędzi A-B
0,03
inc 1
Ugięcie
0,025
0,02
inc 2
0,015
inc 4
0,01
inc 6
0,005
ln
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Dystans [x]
Rys. 3.2.1
0,025
inc 1
0,02
Ugięcie
inc 2
0,015
inc 4
0,01
inc 6
0,005
ln
0
0
10
20
30
40
50
60
Dystans [y]
Rys. 3.2.2
0,025
inc 1
0,02
Ugięcie
inc 2
0,015
inc 4
0,01
inc 6
0,005
ln
0
0
10
20
30
40
Dystans [x]
Rys. 3.2.3
23
nr alb. 77482
0,03
inc 1
Ugięcie
0,025
0,02
inc 2
0,015
inc 4
0,01
inc 6
0,005
ln
0
0
10
20
30
40
50
60
Dystans [x]
Rys. 3.2.4
Ugięcie w przkroju 4-4
0,03
inc 1
Ugięcie
0,025
0,02
inc 2
0,015
inc 4
0,01
inc 6
0,005
ln
0
0
10
20
30
40
50
60
Dystans [y]
Rys. 3.2.5
Ugięcie
rozw. liniowe
inkrement 6
Rys. 3.2.6
Odległość [y]
24
nr alb. 77482
Przemieszczenie v krawędzi A-B
0,0000025
Przemieszczenie
inc 1
0,000002
0,0000015
inc 2
0,000001
inc 4
0,0000005
inc 6
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Dystans [x]
Rys. 3.2.7
Przemieszczenie
0,000004
0,0000035
inc 1
0,000003
0,0000025
0,000002
0,0000015
inc 2
inc 4
0,000001
0,0000005
0
inc 6
0
10
20
30
40
50
60
Dystans [y]
Rys. 3.2.8
Przemieszczenie
0,000003
0,0000025
inc 1
0,000002
inc 2
0,0000015
inc 4
0,000001
0,0000005
inc 6
0
0
10
20
30
40
50
60
Dystans [y]
Rys. 3.2.9
25
nr alb. 77482
Przemieszczenie
inkrement. 6
Odległość [y]
Rys. 3.2.10
Tabela 3.2
Rozwiązanie liniowe
2 2
wD/pa b [-]
σx [N/m2]
σy [N/m2]
0,009171
2,4643 ⋅ 106
-2,4643 ⋅ 106
1,9175 ⋅ 105
-1,9175 ⋅ 105
war. brzeg. wg. rys. 3.1
uB-C≠0 i vB-C≠0
0,009167
2,7472 ⋅ 106
-3,5914 ⋅ 106
1,9213 ⋅ 105
-1,9213 ⋅ 105
0,009173
2,464 ⋅ 106
-2,462 ⋅ 106
1,9175 ⋅ 105
-1,9211 ⋅ 105
Dla przyjętego warunku brzegowego w postaci blokady przemieszczeń u, v i w na obu
przeciwległych krawędziach rozwiązanie geometrycznie nieliniowe daje mniejsze wartości
ugięć niŜ rozwiązanie liniowe. Przyczyną tego są napręŜenia membranowe widoczne przy
ugięciach płyty bliskich wartości 20 % jej grubości. Schodzące się krawędzie płyty przy
otworze są miejscem koncentracji napręŜeń. Maksymalne ugięcia otrzymano w przekroju 5-5.
Wartości podano w tabelach 3.1 i 3.2.
Literatura i materiały źródłowe
[1] Roz. 1 i 2 M. Kmiecik, M. Wizmur, E. Bielewicz : Analiza nieliniowa tarcz i płyt Politechnika
Gdańska 1995
[2] Roz. 1 W. Barański, Z. Więckowski: Metody obliczeniowe mechaniki nieliniowej-wykłady dla
studium doktoranckiego
[3] Roz. 1 J. Rakowski: Teoria spręŜystości i plastyczności-materiały dydaktyczne Politechniki
Poznańskiej
26

Zagadnienie nieliniowości geometrycznej na przykładzie płyt

Transkrypt

Podobne dokumenty

tabelka najwięksi detaliści

rozwiązano spór patentowy z LumaSense!

Programista/Informatyk C++

Ju¿ nied³ugo

NIBCO – dobry partner biznesowy

3.2 Innowacyjna maszyna do produkcji rdz[...]

BisBlock - Matadent

Polish Polskie Jeśli Ty lub osoba, do której

Produkty strukturyzowane