7. ←↑→ 7. ELEMENTY PŁYTOWE [Ke]=∫

7. ELEMENTY PŁYTOWE
7.
1

7. ELEMENTY PŁYTOWE
Rys. 7.1. Element płytowy
Aby rozwiązać zadanie płytowe należy:
•
zdefiniować geometrię płyty,
•
dokonać podziału płyty na elementy,
•
zdefiniować węzły,
•
wprowadzić obciążenie,
•
ustalić więzy (warunki brzegowe),
•
wprowadzić odpowiednie funkcje kształtu
{u}=[ N ]⋅{d }
(7.1)
gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu,
•
zdefinować odkształcenia i naprężenia:
{}=[ B]{d }
•
{ }=[ D]{B}{d }
(7.2)
zdefiniować macierz sztywności:
[ K e ]=∫ BT D B dv
V
(7.3)
(jest to macierz osobliwa),
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
7. ELEMENTY PŁYTOWE
•
dokonać transformacji macierzy sztywności (z układów lokalnych do układu globalnego)
[ K eG ] [ K e ]
•
2
(7.4)
zagragować macierz sztywności – zapewnia to nierozdzielność przemieszczeń węzłów:
A K eG  [ K ]
(7.5)
[ K ]{D}={P }
(7.6)
gdzie A oznacza operator,
•
postawić problem jako równanie:
[K] – macierz sztywności, będąca na tym etapie nadal osobliwą,
•
wprowadzić warunki brzegowe,
•
rozwiązać równanie:
{D}=[ K ]−1⋅{P }
(7.7)
w wyniku którego otrzymujemy szukane przemieszczenia,
•
przetransformować obliczone przemieszczenia do układów lokalnych,
•
odtworzyć interesujące nas stany odkształceń, naprężeń i przemieszczeń.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
7. ELEMENTY PŁYTOWE
3
7.1. Płyty cienkie
Płyta cienka to obiekt dwuwymiarowy, w którym wymiary w kierunku osi x i y są wielokrotnie
większe niż jego grubość.
z,w
y,v
x,u
t
2
dz
Qx
z
Mx
Mx
y
x
t
2
dy
dx
Rys. 7.1. Płyta cienka
Załóżmy, że ugięcia występują w jednym kierunku i mamy dwa kąty obrotu:
tego kąta obrotu nie
uwzględniamy
ugięcie (pionowo w dół)
po kierunku z
z
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
7. ELEMENTY PŁYTOWE
4
Odkształcenia w płaszczyźnie warstwy płyty opisane są wzorami:
 x=
∂u
∂x
 y=
∂v
∂y
∂u ∂v

∂y ∂x
(7.8)
∂w
∂y
(7.9)
 x=
Przemieszczenia dowolnego punktu:
u=−z
gdzie
∂w
∂x
v=−z
∂w
jest kątem obrotu. Po podstawieniu wzorów 7.9 do 7.8 otrzymujemy:
∂x
 x =−z
∂2 w
∂ x2
 y =−z
∂2 w
∂ y2
2
 x=−2 z
∂ w
∂x∂ y
(7.10)
Zależność między naprężeniami a odkształceniami dla warstwy płyty jest taka sama jak dla płaskiego
stanu naprężenia, mamy więc:
{}=[ D]{}
(7.11)
gdzie
D=
[ ]
1  0
E
1−

1 0 , =
2
2
1−
0 1 
(7.12)
Wektor naprężeń uogólnionych odpowiada wartościom momentów zginających:
T
[ M ]=[ M xx M yy M xy ]
(7.13)
E
 x   y 
1−2
(7.14)
Jeśli
 x=
to uogólnione naprężenie Mxx wynika z całkowania wyrażenia
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
7. ELEMENTY PŁYTOWE
t
2
M xx =−∫  x⋅z dz=
t
−
2
E
t 3 ∂2 w
∂2 w
 2 

2
1− 12 ∂ x
∂ y2
5
(7.15)
W podobny sposób uzyskujemy pozostałe składowe wektora uogólnionych naprężeń:
M yy =
E
t 3 ∂2 w
∂2 w



2
2
1− 12 ∂ y
∂ x2
(7.16)
E t3
∂2 w
2
121−  ∂ x ∂ y
(7.17)
M xy =
Wektor uogólnionych odkształceń będzie postaci:
[  ]=[  xx
T
T
 yy  xy ] =[ W , xx W , yy 2 W , xy ]
(7.18)
Wówczas uogólniony operator D dla naprężeń i odkształceń wynosi:
D=D
t3
12
(7.19)
A zatem otrzymujemy relację:
[ M ]=D [  ]
(7.20)
7.2. Rodzaje elementów płytowych
•
niedostosowany element prostokątny, zwany MZC (nie spełnia warunków ciągłości pochodnych na
brzegu elementu). Stopnie swobody są postaci:
[
∂w ∂w
[ d i ] = w i ∂ yi − ∂ x i
]
T
(7.21)
Obciążenie węzłowe wynosi natomiast:
[ pi ]=[ p zi
T
M xi M yi ]
, gdzie
i=1, ... , 4
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(7.22)
AlmaMater
7. ELEMENTY PŁYTOWE
6
Funkcja aproksymacyjna będzie postaci:
w=c1c 2 c 3 c 4 2c 5 c6 2c 7 3c 8 2 c 9 2c10 3c11 3 c12  3
(7.23)
Występujące 12 stałych to pełen zestaw z trójkąta Pascala (dla czterech pierwszych wierszy} wraz z
dodatkiem x3y oraz xy3. Macierz sztywności dla takiego elementu otrzymamy w następującej postaci:
[ K e ]=
E t3
12 1−2 
 [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] 

1
2
3
(7.24)
4
macierz niezależna od przemieszczeńelementów
[Ke] jest również macierzą niezależną od przemieszczeń elementów, co oznacza, że mamy zadanie
liniowe.
•
dostosowany element prostokątny, zwany BFS. Stopnie swobody są postaci:
T
[ d i ]=[ [ d i1 ][ d i2 ][ d i3 ][ d i4 ] ]
[
= wi
∂ wi ∂ wi
−
∂y ∂x
∂2 w i
∂x∂ y
]
T
, gdzie
i=1, ... , 4
(7.25)
Funkcję przemieszczeń opisuje równanie przedstawione poniżej:
przy czym dla czterech stopni swobody ograniczamy się do wyrazów rozwinięcia położonych
powyżej przekątnej.
Przykładowym elementem prostokątnym dostosowanym może być element czterowęzłowy (z węzłami
położonymi w narożnikach). Dla takiego przypadku odpowiednio dobieramy funkcje kształtu (tu z czterema
stopniami swobody). Jeśli stosujemy więcej punktów Gaussa, należy odpowiednio dobrać też funkcje
kształtu.
Z uwagi na długi czas potrzebny na całkowanie funkcji kształtu, korzystniej jest nam przyjąć większą
liczbę stopni swobody z odpowiadającymi prostymi funkcjami kształtu, niż mało punktów stopni swobody a
skomplikowane funkcje kształtu.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater