10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI

10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
1
10.
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
10.1. Wprowadzenie
Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w postaci:
M d¨ t C d˙ t Kd t =P t
(10.1)
Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej chwili. Jest to odwołanie do
zasady d'Lamberta, która mówi, że dla układu będącego w ruchu równowaga musi być spełniona w każdej
chwili konkretnej przestrzeni czasowej.
Macierz M jest macierzą masową, macierz K - macierzą sztywności. Macierz P t jest macierzą
określającą przyłożone do układu obciążenia zewnętrzne. Natomiast C jest macierzą określającą tłumienie
układu. Macierz tą przyjmujemy najczęściej w postaci tzw. tłumienia proporcjonalnego (zależnego od
macierzy K i M) w postaci
C =1 M 2 K
(10.2)
Współczynniki 1 i 2 wyznaczamy na podstawie udziału poszczególnych postaci drgań własnych.
Jeśli założymy wartość tłumienia i obciążenia zewnętrzne równe zero, otrzymamy równanie
M d¨ t Kd t =0
(10.3)
czyli problem drgań własnych układu. Idąc dalej, stosując podstawienie
d t =d 0 ⋅sin  t
(10.4)
i różniczkując dwukrotnie po czasie t
d˙ t = d 0 ⋅cos  t
d¨ t =−2 d 0 ⋅sin  t
(10.5)
otrzymujemy wartości, które podstawiamy do równania (10.3) i dostajemy
 K −2 M  d 0 =0
(10.6)
Czyli równanie, które definiuje nam uogólniony problem własny. Równanie to ma n równań
rzeczywistych w postaci par: wartości własnej i odpowiadającego jej wektora własnego.
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
2
10.2. Metody całkowania
Jak wiemy równanie ruchu jest równaniem różniczkowym. Zastanówmy się zatem nad sposobami
jego rozwiązywania. Ze względu na pewne własności macierzy K, M i C w analizie ruchu ciała
przedstawionego przy pomocy elementów skończonych zasadniczo stosujemy dwie metody: metodę
całkowania bezpośredniego i metodę superpozycji modalnej.
10.2.1. Metody całkowania bezpośredniego
Metody całkowania bezpośredniego są metodami jawnymi. Polegają ona na tym, że równanie ruchu
jest całkowane krok po kroku. Równanie ma być spełnione tylko w wybranych chwilach „t”, a nie w całym
przedziale całkowania.
Zakładamy, że w chwili t=0 znane nam są przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia (czyli znamy
d 0, d˙0, d¨ 0 ). Rozpatrujemy określony przedział czasowy (0,T), który dzielimy na n równych przedziałów, w
których to poszukujemy naszych nieznanych wielkości. Rozważamy zatem chwile:
0,  t , 2  t , ... , t , t t , ... , T
(10.7)
Zadanie polega na zbudowaniu algorytmu, który pozwoli nam na obliczeniu poszukiwanych wartości
w danym kroku przy wykorzystaniu wyliczonych wartości z kroku poprzedniego. W taki sposób otrzymamy
wartości we wszystkich chwilach czasowych z przedziału (0,T)
Pokażemy na przykładzie, tok postępowania przy rozwiązywaniu zadania z dynamiki przy pomocy
jednej z najbardziej efektywnych metod z grona metod całkowania bezpośredniego, a mianowicie metodą
różnic centralnych.
Zakładamy zmienność w czasie wektorów prędkości i przyspieszeń w postaci
1
d˙ t ≃
2
d t t −d t− t
t
(10.8)
1
d̈ t ≃
 d t t −2 d t d t− t 
 t 2
Jeśli podstawimy operatory różnicowe (10.8) do (10.1) otrzymamy
1
1 d t t −d t− t
d
−2
d
d
M

C Kd t =P t


t
t t
t− t
2
t
 t 2
(10.9)
Z równania (10.9) obliczamy poszukiwany stan przemieszczeń w chwili t t czyli d t t .
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
3
Należy zwrócić uwagę, że rozwiązanie to otrzymujemy na podstawie rozwiązania w chwili t. Stąd też
metodę tę zaliczamy do metod jawnych (explicite). Dużą zaletą tego sposobu rozwiązywania równania
(10.9) jest fakt, iż nie musimy odwracać macierzy sztywności.
Należy zwrócić uwagę, że obliczanie wyników w kolejnych chwilach z wykorzystaniem wyników
otrzymanych w chwilach poprzednich wymaga przyjęcia pewnej procedury startowej. Warto zaznaczyć, że
zakładamy tutaj, iż wektory d 0, d˙0, d¨ 0 są znane w chwili początkowej czyli w chwili t=0. Stąd też
wykorzystując wzory (10.8) możemy wyznaczyć wektor przemieszczenia d w fikcyjnej chwili, która
poprzedzać będzie początek ruchu czyli dla chwili t− t :
d t− t =d 0 − t d˙ 0
t2 ¨
d 0,
2
(10.10)
Zaznaczmy, że metody jawne są tylko warunkowo stabilne, dlatego też wymagane jest zastosowanie
małych kroków całkowania  t przy obliczaniu kolejnych wartości. Krok nie może być dowolnie duży,
lecz musi spełniać poniższą zależność
 t t kr =
Tn
,

(10.11)
gdzie T n jest najmniejszym okresem drgań układu
Niespełnienie warunku (10.11) powoduje narastanie – akumulację błędów całkowania i zaokrągleń w
trakcie rozwiązywania równań ruchu.
Algorytm obliczeń dla metody całkowania jawnego:
•
Obliczamy macierze K, C, M
•
Następnie obliczamy d 0, d˙0, d¨0,
•
Określamy stałe
a 0=
1
t2
a 1=
1
2t
a 2 =2 a 0
a3 =
1
a2
(10.12)
2
•
Obliczamy
•
Wyznaczamy
t ¨
d t− t =d 0 − t d˙0 
d
2 0

M
 =a 0 M a 1 C
M
•
Triangularyzacja macierzy
(10.13)
 przy pomocy wzoru
M
 = L D LT
M
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(10.14)
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
•
4
Obliczenia dla każdego kroku:

- wektora obciążenia efektywnego R

R=R
t − K −a 2 M d t −a 0 M −a 1 C  d t− t
- rozwiązanie równania (10.9) dla chwili
(10.15)
t t

LT DLd t t = R
(10.16)
-obliczenie wektorów prędkości i przyspieszeń:
d˙ t ≃a 1  d t t −d t− t 
(10.17)
d¨ t ≃a 0  d t t −2 d t d t− t 
W przypadku braku tłumienia czyli gdy C =0 , równanie (10.9) upraszczamy do postaci
1
M  d t t = R t
t2
(10.18)
gdzie

 

2
−1

R=R−
K− 2 M d−
M d
t
t2
(10.19)
Jeśli w równaniu (10.18) macierz mas będzie diagonalna, wówczas rozwiązania otrzymujemy poprzez
wykonanie określonego wzorem (10.19) mnożenia
2
i   t

d it
t = Rt
mii
(10.20)
d i
oraz Rit  będą oznaczać i-te składowe wektorów d t t i R t , natomiast mii
t t
odnoszą się do i-tej składowej diagonalnej macierzy mas (należy jednakże spełnić założenie, że mii 0 .
gdzie
Zauważmy, że nie musimy znać macierzy globalnych (zarówno macierzy sztywności K jak i macierzy
mas M). Dzieje się tak dlatego, bo nie rozwiązujemy układu równań liniowych. Macierze K i M mogą być
określone na poziomie elementów.
Wśród metod całkowania jawnego możemy wymienić, oprócz metody różnic centralnych, między
innymi metodę Houbolta, Wilsona i Newmarka. Metody te, pod warunkiem przyjęcia pewnych wartości
współczynników charakterystycznych dla danej metody, należą do metod bezwarunkowo stabilnych.
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
5
10.2.2. Metody superpozycji modalnej
Równanie ruchu ma postać:
M d¨ t C d˙ t Kd t =P t
(10.21)
˙ t Kd t t =P t t
M d̈ t t C d t
(10.22)
˙ t = d˙ t [  1 −  d¨ t  d̈ t t ]  t
d t
(10.23)
2
d t t =d t  d˙ t   t 
[ 
1
− d̈ t  d̈ t t
2
]
ℵ
(10.24)
 ,  - parametry przyjmowane na podstawie rozwiązań dotyczących dokładności i stabilności
1
1
=
otrzymanych rozwiązań =
6
2
Rozwiązując
ℵ względem d̈ t t otrzymamy:
d̈ t t =
2
1
1
d t t −d t − ḋ t  t−  t 
− d̈ t
2
2
 t 
 ]
(10.25)
 

(10.26)
ḋ t t =
[
[




d t t −d t  1− ḋ t  t 1−
d̈

t

2 t
 ]
2
1
1
d t t −d t − ḋ t  t−  t 
− d̈ t ⋅M =P t t
2
2
 t 
Z równania tego obliczamy niewiadomy wektor przemieszczeń
i
(10.27)
d t t i podstawiamy do d̈ t t
ḋ t t
Jeśli liczba kroków i liczba stopni swobody układu jest duża, wówczas efektywność obliczeń
metodami całkowania bezpośredniego jest niesatysfakcjonująca. Należy wtedy posłużyć się innymi
metodami - metodami niejawnymi (implicite), do których można zaliczyć metodę superpozycji modalnej.
Należy tutaj dokonać przekształcenia równania równowagi (10.1) do postaci, która będzie wymagała
od nas mniejszego nakładu pracy.
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
6
Dokonajmy takiego przekształcenia wykorzystując rozwiązanie problemu drgań własnych (a więc
pomijamy obciążenie zewnętrzne i tłumienie)
M d̈ K d =0

(10.28)

Rozwiązaniem równania (10.28) jest n par 2i , i , czyli macierze 2 i  w postaci
[ ]
12
22
2
 =
.
.
,  =[ 1 2 . . . n ]
2
(10.29)
.
2n
Spełniony jest tutaj tzw. warunek M-ortogonalności wektorów własnych
T M =1
(10.30)
T K =2
(10.31)
oraz warunek
Dokonajmy transformacji równania (10.1) stosując podstawienie
d t = X t 
(10.32)
Otrzymujemy w ten sposób równanie ruchu
M  Ẍ C  Ẋ K  X =P
(10.33)
Następnie przemnażamy lewostronnie przez T i otrzymujemy
T M  Ẍ T C  Ẋ T K  X =T P
(10.34)
Jeśli weźmiemy pod uwagę warunki (10.31) i (10.32) dostaniemy ostatecznie
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
7
Ẍ T C  Ẋ 2 X =T P
(10.35)
Uzupełniamy równanie (10.34) warunkami początkowymi
X 0 =T M d 0
(10.36)
X˙ 0 =T M d˙ 0
Z równania (10.34) wynika, że jeżeli przyjmiemy macierz tłumienia równą zero tzn. pominiemy człon
 C  Ẋ to otrzymamy układ równań rozprzężony
T
Ẍ 2 X =T P ,
(10.37)
co możemy zapisać jako n równań skalarnych postaci
ẍ i t i2 x i t =r i t  ,
(10.38)
r i t =Ti P t 
(10.39)
gdzie
Warunki początkowe otrzymujemy z (10.36)
x i0 =Ti M d 0 ,
(10.40)
x˙i0 =Ti M d˙ 0 ,
Zaznaczmy, że rozwiązanie równań (10.38) możemy prowadzić przy wykorzystaniu metod
całkowania bezpośredniego lub przy wykorzystaniu tzw. całki Duhamela
x i t =
1 t
∫ r sin i t− d i sin i ti cos i t
i o i
(10.41)
stałe i i i wyznaczamy z warunków poczatkowych (10.40)
W naszym zadaniu po rozwiązaniu n równań musimy powrócić do transformacji (10.32). Otrzymamy
wówczas ostateczne rozwiązanie
n
d t =∑ i x i t 
(10.42)
i=1
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
8
10.3. Przykłady
Równanie równowagi dynamicznej każdego punktu w każdej chwili:
[ M ] [ d¨ t ][C ] [ d˙ t ][ K ] [ d t ]=[ pt ]
(10.43)
Rozwiązanie tego równania mówi nam, jak dany element przemieścił się w każdej chwili.
Przykłady:
k1
k1
m1
x1
p1
k2
k2
m2
x2
p2
k3
k3
m3
x3
p3
Rys. 10.1. Przykład 1
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
k1
x3
x2
x1
k2
k3
p2
p1
c2
c1
9
p3
c3
tłumik
Rys. 10.2. Przykład 2
Równanie równowagi zapisane macierzowo:
[
k 1k 2 −k 2
0
−k 2 k 2 k 3 −k 3
0
−k 3
k3
]{ } [
x1
c1c 2 −c 2
0
x 2  −c 2 c 2 c 3 −c 3
x3
0
−c 3
c3
]{ } [
ẋ 1
m1 0 0
x˙2  0 m2 0
ẋ 3
0 0 m3
]{ } { }
ẍ 1
P1
x¨2 = P 2
ẍ 3
P3
(10.44)
[ K ]{x}[C ]{ ẋ}[ M ]{ ẍ}={P }
Przykład obliczeniowy:
x2
x1
k1=k
[
3 k −2 k
−2 k 2 k
k2=2k
m1=m
m2=2
m
]{ } [
]{ } { }
x1
m 0

0 2m
x2
Q(t)=0
ẍ 1
0
=
0
x¨2
(10.45)
X 1= A1 sin t
(10.46)
X 2= A2 sin t
(10.47)
Obliczamy drugą pochodną po czasie wyrażeń 10.46 i 10.47
X¨ 1=−A1 2 sin t
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(10.48)
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
X¨ 2=−A2 2 sin t
10
(10.49)
i podstawiamy do równania 10.45, otrzymując
k
Podstawiamy =
[
3 −2
−2 2
]{ }
[ ]{ } { }
A1
1 0
−m 2
0 2
A2
A1
0
=
0
A2
(10.50)
m 2
:
k
[
3−
−2
−2 2−2 
]{ } { }
A1
0
=
0
A2
(10.51)
Przykładowa postać rozwiązania:
1=0,2673
A1=0,732 A 2
2=3,730
(10.52)
A1=−2,735 A2
I postać:
1,0
0,73
10.4. Ekstremalna wartość własna
 [ A ]− [ B ]  [ X ]={0}
(10.53)
−1
[ A ][ X ]= [ B ][ X ]
/[ B ]
−1
−1
[C ]
[I]
(10.54)
B ] [ A ] [ X ]= [
B] [ B][ X ]
[
(10.55)
[ C ][ X ]= [ X ]
(10.56)
Otrzymujemy:
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
[ C ] [ X i ]=[ X i1 ]= [ X i1 ]
11
(10.57)
Dokonujemy iteracji:
[ C ] [ X 0 ]=[ X 1 ]=1 [ X 1 ]
[ C ] [ X 1 ]=[ X 2 ]=2 [ X 2 ]
(10.58)
⋮
[ C ] [ X k −1 ]=[ X k ]=2 [ X k ]
Przykład:
[
•
30 6
5
6 30 9
5 9 30
][ ] [ ][ ]
l
1 0 0 l
m = 0 1 0 m
n
0 0 0 n
(10.59)
iteracje
i=0:
[
]{ } { } { }
(10.60)
]{ } { } { }
(10.61)
30 6 5
6 30 9
5 9 30
0
5
0,166
0 = 9 =30 0,300
l 0 30 i
1,000
l
i=1:
[
30 6
5
6 30 9
5 9 30
0,166
11,780
0,352
0,300 = 18,996 =35,59 0,566
l ,000
35,530
1,000
Następne iteracje powtarzamy do momentu, kiedy otrzymane wartości będą zbliżone:
[
30 6
5
6 30 9
5 9 30
]{ } { }
0,766
0,78
1,000 =43,49 1,00
0,982
0,97
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(10.62)
AlmaMater
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI
12
10.5. Dynamika konstrukcji
W przypadku dynamiki konstrukcji macierz mas wyrażona za pomocą funkcji kształtu i gęstości jest
postaci:
M =∑ ∫ e N eT N e dV e
e
V
J.Gieczewski, M.Kończl, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(10.63)
AlmaMater