Lista 02 - wmiRepo

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI
Prof. Ryszard Szekli
Instytut Matematyczny
Pl. Grunwaldzki 2/4
50-384 Wrocław
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A, LISTA ZADAŃ 2/2012.
1. Urna zawiera 1000 losów ponumerowanych od 1 do 1000. Wybieramy
losowo 1. Bookmacher oferuje wypłacić 30 zł każdemu, kto mu wpłaci
20 zł, jeśli wylosowany numer jest podzielny przez 2 lub 3 lub 5. Jeśli
numer nie jest podzielny przez te liczby, tracimy 20 zł. Czy opłaca się
robic taki zakład? (policz szansę na wygraną).
2. (Lotto). Wybieramy 6 liczb ze zbioru {1, ..., 54} 1 nagroda to 6 trafionych, 2 nagroda to 5 trafionych, 3 nagroda 4 trafione. Jakie sa̧ prawdopodobieństwa zdobycia tych nagród?
3. (Kontrola jakości). Wyprodukowano M żarówek, w tym N wadliwych.
Testujemy n żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie
testowane żarówki sa̧ dobre?
4. (Wnioskowanie o wielkości populacji). Student biologii złowił w stawie
60 wodnych chrza̧szczy, oznaczył farba̧ i wypuścił. Po pewnym czasie
wrócił i złowił 50 chrza̧szczy, w tym znajduja̧c 12 oznaczonych farba̧.
Jak można oszacować wielkość populacji chrza̧szczy w tym stawie?
5. Urna zawiera 6 czerwonych i 6 czarnych kul. Wybieramy kule, po kuli
aż do chwili natrafienia na kule, czerwona., Niech K oznacza liczbe,
kul wybranych, (może przyjać
, wartość K = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Policz
P (K = k) dla k = 1, . . . , 7. Czy znalezienie zwiazku
miedzy
P (K = k)
,
,
i P (K = k − 1) może uprościć obliczenia?
6. Urna zawiera n kul białych i n czerwonych. Dwie kule są wybrane
jednocześnie z urny.
a. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych,
b. jakie jest prawdopodobieństwo, że kule są różnych kolorów
c. policz pradopodobieństwo, że kule są tego samego koloru i policz
granicę tej wartości gdy n dąży do nieskończoności.
7. Przypuśćmy, że A i B są niezależne oraz B i C są niezależne. Czy A i
C muszą być niezależne? Czy B jest niezależne od A ∪ C? Czy B jest
niezależne od A ∩ C? Uzasadnij.
8. Przypuśćmy, że A i B są niezależne, czy A i B c są niezależne? Uzasadnij.
9. Rzucamy n razy symetryczna, moneta., Dla każdego k < n, niech Ak
oznacza zdarzenie: wynik w k-tym rzucie i (k + 1)-ym rzucie jest inny.
Pokaż, że Ak dla 1 ¬ k < n sa, niezależne.
10. Niech A1 , . . . , An bed
, a, niezależne. Pokaż, że
P(
[
i
Ai ) = 1 −
Y
(1 − P (Ai )).
i
11. Pokaż, że
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B | A)P (C | A ∩ B).
12. Użyj wzoru Bayesa aby pokazać, że P (A | B) > P (A) wtedy i tylko
wtedy, gdy P (B | Ac ) < P (B | A). To znaczy warunkowanie wzgledem
,
B zwieksza
prawdopodobieństwo
A
wtedy
i
tylko
wtedy,
gdy
B
ma
,
wieksze
prawdopodobieństwo,
gdy
A
zajdzie,
niż
gdy
nie
zajdzie.
,
13. Robimy test na wykrycie rzadkiej choroby, która występuje 1 raz
na 100000 w populacji. Test pokazuje, że jesteś chory w rzeczywistym przypadku choroby z prawdopodobienstwem 0.95. Jeśli nie jesteś chory, test może pokazać, że jesteś chory z prawdopodobieństwem
0.005. Jeśli test pokazuje, że jesteś chory, jakie jest prawdopodobieństwo, że diagnoza jest słuszna?
14. We wsi zamieszkanej przez 50 osób pewna osoba przekazała plotke,
drugiej osobie, która nastepnie
przekazała ja, losowo jednej z osób z tej
,
wsi, itd. W każdym kroku osoba wysłuchujaca
plotki jest wybierana
,
losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że plotka zostanie przekazana
8 razy bez natrafienia na osobe,
, która już ja, słyszała?