PRZESTRZENNE DRGANIA ELEMENTU PRĘ TOWO

M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
4, 13 (1975)
PRZESTRZENNE DRGANIA ELEMENTU PRĘ TOWO- BRYŁOWEGO
WACŁAW P R Z Y B Y Ł O (KRAKÓW)
1. Wstę p
W pracy [7] podan o definicję ukł adu prę towo- brył owego, jako wspólnego modelu
fizycznego do obliczeń nietł umionych, ustalonych, harmonicznych drgań, trzech rodzajów
prefabrykowanych, szkieletowych konstrukcji inż ynierskich — budynków szkieletowych,
ramowych fundamentów pod maszyny o ruchu obrotowym i kopalnianych wież wycią gowych. Wprowadzono poję cia elementu prę towego, tj. prę ta wraz z przestrzennymi, nieważ kimi, liniowymi i ką towymi wię zami sprę ż ystymi na koń cach, oraz elementu prę towobrył owego, tj. ukł adu zł oż onego z elementu prę towego wraz z dwoma brył ami sztywnymi
.przył ą czonymi do jego koń ców
.
W pracy [8], n a podstawie [7], wyprowadzono macierzowe, niejednorodne równanie
transformacyjne elementu prę towego.
W niniejszej pracy rozważ ono przestrzenne, nietł umione, wł asne i wymuszone, ustalone
harmoniczne drgania elementu prę towo- brył owego. Obcią ż enie przyję to w postaci ukł adu
harmonicznych wektorów stanu (wektorów ką ta obrotu, przemieszczenia, momentu i siły)
o jednakowych czę stoś ciach i fazach drgań. N a podstawie [7] i [8] dla elementu prę towobrył owego wyprowadzono macierzowe, niejednorodne równanie transformacyjne metody
przemieszczeń.
Przedstawiony w pracy sposób wyprowadzenia powyż szeg
o równania transformacyjnego
był dla autora podstawą do prostego sformuł owania równań drgań ukł adu prę towo- brył owego [10] oraz równań drgań sprę ż ystego, tł umionego ukł adu brył owego [9] (tzw. metoda
sztywnych elementów skoń czonych, por. n p. [3, 4, 2]).
Wyniki niniejszej pracy mogą być również wykorzystane do znacznego uproszczenia
opisanego w [1] algorytmu analizy tzw. ram krę pych oraz opracowania algorytmu statycznej i dynamicznej analizy przestrzennych ram krę pych.
W pracy stosujemy nastę pują cy sposób oznaczeń. Macierze oznaczamy duż ymi literami
pisanymi tł ustym drukiem, przy czym litery bez kresek poziomych (A, B) oznaczają macierze o wymiarze 3 x 3 lub innym okreś lonym w tekś cie, litery z jedną _kreską poziomą
(A, B) — macierze o wymiarze 6 x6 , a z dwiema kreskami poziomymi (A, B) — macierze
o wymiarze 12 x 12. Wektory (macierze kolumnowe) oznaczamy mał ymi literami pisanymi tł ustym drukiem. Litery bez kreski (a, b) oznaczają wektory o trzech współ rzę dnych
lub o liczbie współ rzę dnych okreś lonej w tekś cie, litery z jedną kreską (a, b) oznaczają
wektory o sześ ciu współ rzę dnych, a z dwiema kreskami ( 1, b) — wektory o dwunastu
współ rzę dnych. Zbiory elementów oznaczamy duż ymi literami pisanymi.
530
W. P R Z YBYŁ O
W szczególnoś ci wektory przemieszczeń liniowych i ką tów obrotu mają nastę pują ce
współ rzę dne:
Ac
(1.1)
(pc
A c =
'Pc
<Pc =
Wektor przemieszczeń uogólnionych punktu C wyraża się nastę pują co:
< pc
(1.2)
u c =
Wektory siły i momentu w punkcie C mają współ rzę dne
(1.3)
Pc
y
Pc = P c
mc
mc
mc.
Ph
Wektor sił uogólnionych w punkcie C ma postać
mci
(1.4)
Pc =
Pc
Wektory przemieszczeń i sił uogólnionych prę ta w punktach Qj i Cjt okreś lamy nastę pują co :
5
) "c = \ ~ },
#
PCy\
PJ
Wektor stanu w punkcie C okreś lamy relacją
(1.6)
ze = \ -
2. D efinicje elementów ukł adu prę towo- brył owego
Rozważ amy ustrój zł oż ony ze zbioru waż kich brył sztywnych, poł ą czonych mię dzy
sobą za pomocą dowolnej liczby jednorodnych, izotropowych, liniowo sprę ż ystych, bisymetrycznych prę tów pryzmatycznych o przekroju zwartym. Prę ty oraz brył y wę zł ów są
dowolnie poł oż one w przestrzeni. Koń ec prę tów poł ą czone są z brył ami wę zł ów przestrzennymi, nieważ kimi, liniowymi i ką towymi wię zami sprę ż ystymi. Peł ną definicję ukł adu
prę towo- brył owego podano w [7]. Tutaj przytoczymy tylko niezbę dne poję cia.
U kł ad prę towo- brył owy % = (- f, #"> jest parą uporzą dkowaną , w której "V jest
ustrojem prę towo- brył owym, a J^ jest zbiorem sił zewnę trznych dział ają cych n a ustrój "f.
U strój prę towo- brył owy "f = (if, 0>, H o > jest trójką uporzą dkowaną , w której
if = <w(: i eJ) jest zbiorem waż kich brył sztywnych, SP = <Qv- r e/ } jest zbiorem
P R Z E STR Z E N N E D RG AN IA ELEMEN TU
531
elementów prę towych, H o = [hp^] jest macierzą przekrojów przywę zł owych, opisują ąc
topologiczne wł asnoś ci poł ą czeń elementów ustroju f. Element macierzy
dla p = 2r- l
dla p = 2r- l
dla
dla
(2.1)
q = i,
qź i,
q = j ,
Wskaź nik r zf jest numerem elementu prę towego pr o począ tku poł ą czonym z brył ą W;
i koń u
c poł ą czonym z brył ą wj. Zbiory / i / są skoń czonymi zbiorami wskaź ników
.
Zbiór sił zewnę trznych SF skł ada się z dwu rozł ą cznych podzbiorów !Ft i 8Fv. D o
zbioru !FX zaliczamy wymuszenia tzw. harmonicznymi wektorami stanu z" [8], przył oż onymi n a dł ugoś ci prę tów. D o zbioru fFp zaliczamy harmoniczne wektory momentów i sił
skupionych p przył oż one do brył wę zł ów
.
Wybierzmy pręt pOr, którego koń ec Cy i Cjt poł ą czone są z punktami Btj- i BSi brył
h sti i sr}- (rys. 1).
wt i Wj 6 if za pomocą wię zów sprę ż ystyc
Rys. 1
Ł ań cuch pr = (sri,pOr, srJ}, zł oż ony z elementów sprę ż ystyc
h sH i ^ oraz zawartego
y p, e 0> okreś lony
mię dzy nimi prę a p
t 0, nazywamy elementem prę towym. Element prę tow
jest cią giem parametrów
(2.2)
, reCJl, A,, Fr,
l
I", / "', E r, vr, yr, S ri, S r y),
t Or wzglę dem przyw którym ictJ i tej, są wektorami wodzą cymi począ tku i koń ac prę a p
ję tego w przestrzeni globalnego, ortogonalnego ukł adu współ rzę dnych (e), Ar jest macierzą
cosinusów kierunkowych wersorów przyję teg
o na prę cie lokalnego ortogonalnego ukł adu
e
współ rzę dnych (sr) (moż emy ją okreś lić n p. za pomocą wektorów r£ (J i x Cjl oraz ką at
obrotu przekroju poprzecznego prę a t wokół jego osi [11]), Fr, I", C", I", Ę v oznaczają pole
oraz momenty bezwł adnoś ci przekroju poprzecznego prę a t wzglę dem ukł adu (s,) [5],
E r, vr, yr oznaczają stał e materiał owe prę ta, Sri(SrJ- ) jest diagonalną macierzą sztywnoś ci
wię zów sprę ż ystyc
h sri(s,j):
( 2- 3) Sn = diagK", tą «r, ,
cf, ch cf],
wzglę dem ukł adu współ rzę dnych (sr).
532
W. P R Z YBYŁ O
Brył a wę zł a wt e ifk c if (rys. 1) okreś lona jest nastę pują cym cią giem parametrów
(2.4) wi - <r5(, oi, T «, yi>,
w którym r j; jest wektorem wodzą cym ś rodka cię ż kośi c ^4; brył y VI>J wzglę dem ukł adu
współ rzę dnych (e), wt jest obję toś cią brył y wt, T 0 ; jest macierzą centralnych, geometrycznych momentów bezwł adnoś ci brył y H>; wzglę dem ukł adu współ rzę dnych (e<) o począ tku
w punkcie At i osiach równoległ ych do osi ukł adu globalnego (e), yt jest cię ż arem wł aś ciwym brył y vi';.
Element prę towo- brył owy sr — (wu pr, wj) jest ł ań cuchem, zł oż onym z brył vi'; i Wj e if
poł ą czonych elementem prę towym pr (rys. 1). U kł ad prę towo- brył owy ^ jest ukł adem
Clapeyrona ([5]). U strój prę towo- brył owy "f jest kinematycznie niezmienny.
Rozważ amy drgania ustalone, zatem dalej bę dziemy rozważ ać amplitudy poszczególnych wielkoś ci fizycznych.
3. Transformacje przemieszczeń i sił w elemencie prę towo- brył owym
Rozważ my element prę towo- brył owy sr = <Wj, prt Wj) (rys. 1). Obecnie okreś limy
wektorowe pole przemieszczeń w brył ach wę zł ów Wj i Wj, sposób transformacji wektorów
przemieszczeń z punktów At i Aj do punktów Btj i BJt oraz transformacje wektorów sił
z punktów 2?y i Bfi do punktów Ai i A}.
3.1. Wektorowe pole przemieszczeń punktów bryły wę zła. W bryle wę zł a if; (rys. 1) okreś lamy
e
wektorowe pole przemieszczeń wywoł ane wektorem przemieszczeń uogólnionych u Ai jej
ś rodka cię ż kośi c At. D owolny punkt brył y wę zł a o wektorze wodzą cym (mimoś rodzie)
wzglę dem punktu At
(3.1)
i!
ma wektor przemieszczenia
(3- 2) 5 | H ( 0 -
m wzorze macierz Cy mimoś rodu pun ktu Bl} wzglę dem pun ktu A- v m a
W powyż szy
postać:
(3.3)
i, o
gdzie Cy=
+ (fiJ
° '
'
0
- cfj,
u
3.2. Transformacje przemieszczeń w bryle wę zła. Korzystają c z relacji (3.2) transformację
wektora u% na wektor u"| przedstawiamy w formie
(3.4)
u | = C r u
w której
(3.5)
Cy,0
o , Cp
01
- U
TO; I
P R Z E STR Z E N N E D RG AN IA ELEMEN TU 533
Transformację wektora "u| na wektor ~u% zapiszemy teraz w postaci
(3.6) T i$ = A, u S,
w której
5 r = diag[Ar , A,, Af> Ar]
(3.7) oznacza blokowo- diagonalną macierz o wymiarze 12 x 12, a blok Ar o wymiarze 3 x 3
jest macierzą cosinusów kierunkowych ukł adu lokalnego (sr) wzglę dem ukł adu globalnego
(e).
N a podstawie relacji (3.4) i (3.6) ł ą czną transformację wektora u^ na wektor Tlf, przedstawiamy wzorem ([6])
1 B = A r C r l ^ = B / 0 ^ ,
(3.8) w którym macierz
(3.9) B r = l r e r ,
czyli
(3.10)
[ D . 0 1 - fAr , 0 1 |"A, D r = £ "' £ , D r i = / ' \ , D „ = ' , 0 1
I.
w punktach 5y i Bj
3.3. Transformacja sil L0 w bryle ,Drj\ wę zł .a Transformację [ArCij,Ar\ wektorów siłLA
rQi,ArJ
z ukł adu lokalnego (sr) do ukł adu globalnego (e) przedstawiamy w postaci
Z kolei transformujemy ^f>% n a ~p^, mianowicie
(3.12) T
^= C, 1^.
N a podstawie powyż szych relacji peł ną transformację wektora f | na wektor ]*5 przedstawiamy relacją ([6])
(3.13) ^= CrTIrrB= BrrB.
4. Równanie transformacyjne elementu prę towo- brylowego
D la elementu prę towego w pracy [8] wyprowadzono nastę pują e c niejednorodne, macierzowe równanie transformacyjne amplitud
(4.1) B = !f s s B + ? g s .
W powyż szym równaniu pf, jest wektorem sił brzegowych w punktach Ą - i Bj
, t, ii| jest
s
wektorem przemieszczeń brzegowych, 'pl jest wektorem wyjś ciowych sił brzegowych
(wywoł anych obcią ż enie
m przył oż onym na dł ugoś ci prę ta), Kjf jest macierzą sztywnoś ci
dynamicznej elementu prę towego pr. N a podstawie [8] wielkoś ci te przedstawiamy następują cymi wzorami:
(4- 2) gdzie macierz
E J - Ł O S r f+ S , . **) - 1 ^ , lub Ę = IP Q ? ,
534 W. P RZ YBYŁ O
W powyż szych relacjach Kr jest macierzą sztywnoś ci dynamicznej prę a t o obu koń cach
sztywno poł ą czonych z wę zł ami,
o ; s^- j ' s
'^- [ o , s ,
są macierzami uwzglę dniają cym
i sztywnoś ci wię zów sprę ż ystyc
h sri i srJ.
Macierze S rai i S r/ ji (S rxJ i S r / y ), wystę pują e c w powyż szych zależ noś ciac
h okreś lone są
przez '
(A < ^\ C 1
H i'
lg
1 v" 4-
L r «f
/ 1( 1
1
5
G C" '
i
i
s
i
1
W
EI '
/
i
/
£ 7W
/
H
/
er
cl
i
G C "'
cf I
s
5
1
/
s
Wektor p2 wyjś ciowych sił brzegowych w punktach wę zł owych wyraża się wzorem
p
(4. / ) PB -
gdzie wektor p$f jest wektorem wyjś ciowych sił brzegowych, wywoł anym przez wymuszają cy wektor stanu Tsf (/ = 1, 2, ...,p) wedł ug relacji
ji, l\
Macierz FJi transformacji wymuszają cego wektora stanu "f f n a wektor ^ f jest okreś lona
relacją [8]
Ę t- Ł OF E^Ł , i
(4.9) w której macierz Fr! jest macierzą transformacji wymuszają cego wektora stanu "zf na wektor wyjś ciowych sił brzegowych "pc? prę a t o obu koń cach sztywno poł ą czonych z wę zł ami
(por. [8]).
D o wyprowadzenia równania transformacyjnego elementu prę towo- brył owego wykorzystamy teraz wzory (3.8), (3.13) i (4.1). Wstawiając W B z (3.8) do (4.1), a nastę pnie TJS
z (4.1) do (3.13), przy wykorzystaniu równoś ci (3.10) mamy relację
(4.10) . r
m = D r l?D P
P o wprowadzeniu oznaczeń
(4.11) (4.12) T
5 r = D r Sf5 r = r
Ć jljKM^
r,
r
T
E w = B r !? ( = C r I r P?„
równanie transformacyjne (4.10) elementu prę towo- brył owego przedstawiamy w formie
(4.13) rA = Gr% + E„1f - e r
gdzie
(4.14) l^f =
P R Z E STR Z E N N E D RG AN IA ELEMEN TU 535
Relację (4.14), okreś lają cą wektor wyjś ciowych sił brzegowych wyprowadzono dla przypadku, gdy prę t pOr poddany jest dział aniu tylko jednego "wymuszają cego wektora stanu f.\
w punkcie o współ rzę dnej x = x ; . G dy na prę t pOr dział a ukł ad wektorów stanu I f (/ =
= 1, 2, • • • • ,'p),
wówczas, korzystają c z zasady superpozycji, wektor wyjś ciowych sił brzegowych wyrazimy równoś cią
(4.i5) 1^} ^ i
G dy prę t pOr nie jest obcią ż ony wymuszają cym wektorem stanu, równanie (4.13) zredukuje się do postaci
Powyż sze równanie podaje transformację przemieszczeń punktów Ax i Aj na siły w tych
punktach. Transformacja ta odbywa się w brył ach wt i wj, poł ą czonych elementem prę towym pr. Równanie (4.16) nazwiemy równaniem fizycznym elementu prę towo- brył owego.
Moż emy je rozpisać nastę pują co:
(417) PŁ
Ek - G
Macierze G y,!, Gy^- , G y^j, G;J,J ( 6x6) są blokami macierzy G r wedł ug równoś ci
(4.18) G, - [§«• "
Korzystają c z relacji (4.11) powyż sze bloki przedstawiamy w postaci nastę pują cych
iloczynów macierzy:
Gy,, = D r r iKf,D H ) G yj = D ^ - D f J - ,
W powyż szych wyraż eniach K«, Ky, K*( ,Ky są blokami ( 6x6) macierzy K? wedł ug
równoś ci
(4.20) K? =
Zauważ my jeszcze, że n a podstawie wzoru (4.11) macierz Gr jest symetryczna.
5. R ównania ukł adu prę towo- brył owego
D o analizy nietł umionych, ustalonych, wł asnych i wymuszonych, harmonicznych drgań
ukł adu prę towo- brył owego, w pracy [10] sformuł owano macierzowe równania cią gł oś ci
przemieszczeń, fizyczne i równowagi kinetostatycznej. W równaniach uwzglę dniono geometryczne i mechaniczne wł asnoś ci elementów, a także topologiczne wł asnoś ci ich wzajemnych poł ą czeń. N a podstawie powyż szych równań wyprowadzono ostateczne macierzowe
536 W. PRZYBYŁ O
równanie kanoniczne metody przemieszczeń ukł adu prę towo- brył owego, które przedstawia
się nastę pują co
:
(5.1) (H C A K(w)Q AL H - w Uju^j = C p^ — r i t A ( ^ .
Poniż ej podajemy znaczenie poszczególnych symboli. H jest macierzą, otrzymaną z macierzy przekrojów przywę zł owych H o , po wstawieniu do niej n a miejsce zer i jedynek
bloków zerowych i jednostkowych o wymiarze 6 x6 .
(5.2) C= diag[C,], (ref)
jest blokowo- diagonalną macierzą mimoś rodów
.
(5.3) A = diag [ I r ] , (ref)
jest blokowo- diagonalną macierzą transformacji z ukł adu globalnego (e) do ukł adów lokalnych (j,),' (r e / ) .
(5.4) K = diag[fr ], (ref)
jest blokowo- diagonalną macierzą sztywnoś ci
.
(5.5) Q* «=• diag[Q£], (re/ ).
jest blokowo- diagonalną macierzą wię zów sprę ż ystych
.
(5.6) B = diag[BJ, (ief)
jest blokowo- diagonalną macierzą bezwł adnoś ci brył wę zł ów. pf> jest wektorem sił wymuszają cych przył oż onych do brył wę zł ów
. C° jest macierzą redukcji wektorów sił wymuszają cych
s
do ś rodków cię ż kośi cbrył wę zł ów
. ą jest l
wektorem wyjś ciowych sił brzegowych, wywoł anych obcią ż eniam
i przył oż onymi n a dł ugoś ci prę tów.
Równanie (5,1) przedstawiamy teraz w postaci
e
(5.7) Z ( »)nJ = p A,
w której Z(a>) jest macierzą dynamicznej sztywnoś ci ukł adu prę towo- brył owego, uA jest
wektorem przemieszczeń uogólnionych ukł adu, p£ jest wektorem sił uogólnionych ukł adu.
P o narzuceniu na czę ć przemieszczeń ś
uogólnionych zerowych warunków kinematycznych, równanie (5.7) przedstawiamy w formie blokowej
(5.8)
z której otrzymamy ukł ad dwu równań macierzowych
(5.9) ztó (ft))<" = p*, e,
(5.10) zpk(co)u\ e =r\ .
e
W powyż szych równaniach niewiadomymi są wektory ujj" — niezerowych przemieszczeń
uogólnionych i r ^ — reakcji podł oża na ukł ad. Wektor ujj" wyznaczamy z równania (5.9),
a nastę pnie obliczamy wektor r ^ z relacji (5.10).
D la przypadku drgań wł asnych musimy rozwią zać równanie jednorodne
(5.11) a
z (o))v^ = 0.
537
PRZESTRZENNE DRGANIA, ELEMENTU
Jak wiadomo, warunkiem istnienia niezerowego rozwią zania powyż szeg
o równania jest
spełnienie relacji
(5.12) d e t ( z *») = 0 .
Równanie (5.12) jest równaniem przestę pnym. Najprostszą i równocześ nie skuteczną
metodą numerycznego rozwią zania tego równania jest metoda bisekcji.
D o powyż szych obliczeń autor wykonał pakiet programów na EMC ODRA 1204
w ję zykach MOST i ALG OL 1204.
6. Przykł ad liczbowy
Rozważ my drgania własne ustroju prę towo- bryłowego, przedstawionego na rys. 2.
Ustrój skł ada się z dwu jednakowych, ruchomych brył wę złów, jednej nieruchomej bryły
tworzą cej podł oż e, oraz 24 prę tów — po 12 mię dzy każ dymi dwoma bryłami. Jako materiał
Rys. 2
2
przyję to ż elbet z betonu marki Rw 200, o module sprę ż ystośi podłuż
c
nej E = 2,9 x 10 Tm~ 2 ,
3
współczynniku Poissona v = 1/6 i cię ż arze właś ciwym y = 2,4 Tm~ . W układzie SI
6
2
powyż sz
e stałe materiał owe mają wartoś ci E = 28,4393 x 10 kN n T , v = 1/6, y =
3
2
= 23,5360 kN m~ . Przyś pieszenie ziemskie g = 9,81 m s" .
2 Mechanika Teoretyczna
538
W. P R Z YBYŁ O
Wszystkie prę ty mają taki sam przekrój o wymiarach: b - 0,25 m, h = 0,35 m (rys. 2c
i 2d). Współ czynniki charakteryzują ce przekrój prę ta mają nastę pują ce wartoś ci: pole
przekroju poprzecznego
F = 6x/ i. = 0,25x0,35 = 0,0875 m 2 ,
momenty bezwł adnoś ci wzglę dem ukł adu lokalnego (rys. 2c i 2d)
'- 8, 9323 xlO- m*
j * , * *
0
'
3
5
*
0
2 5
'
' - 4,5573x 10- * xn*
I" = / "+ / »' = 13,4896 xlO " 4 m 4 ,
współczynnik charakteryzują cy sztywność prę ta na skrę canie [5]
C
.,
- 0,630 + 0,05,
0)254
3 0 3
0,052 x
\Z0,25 ' ! ! - 0,630 +
- '—'- • \ O,35
= 10,2018 xlO - 4 m \
;
Współ czynniki charakteryzują ce wł asnoś ci geometryczne brył ruchomych mają nastę pują ce wartoś ci: obję tość brył y
» = a x c x d = 9 x0 , 5 x18 = 81 m 3 ,
geometryczne momenty bezwł adnoś ci
r =
P =
12
81(18 2 + 0, 5 2 )
= 2188,7 m 4 ,
12
12
81(0,52
12
- = 548,4 in 4 ,
geometryczne momenty dewiacji
Macierz przekrojów przywę zł owych H o przedstawiamy równoś cią
Ho =
, J2, J 2 , J2J)
W której
0,
1,
0
, o, 1, o, 1, o
o, 0, o, o, 0'
o, 1, o, 1, 0
1 0 1 0 i
0, 1, 0, 1, 0, 1
o, o, o, o, o, o_
Macierz tę w sposób skrócony moż emy zapisać w postaci macierzy U :
w której
[2, 2, 2, 2] U
l =
3 3 3 3 ' [1, 1, 1, 1
U
* = 2 2 2 2
Tablica 1
Prsyki'ad nr 1
Obliczenia czę stoś ci drgań wł asnych. I teracje:
t« t » t * t = t = t = t = t = t « t=* t = t«= t« t = t * t*= t * t = t = .000000000000 1 0 +00
.100000000001^+01
.200000000003io+01
,300000000008 1 0 +01
.400000000006,0+01
.500000000007io+01
.6OO0Q5)000013io+01
.7OOOOOOOOOO4io+O1
.799999999995,0+01
.900000000001^+01
.849999999998 1 0 +01
.825000000004 1 B +01
.812500000007 1 0 +01
.818749999998,0+01
.815624999995io+O1
,817187500004 1 0 +01
.817968750001„ +01
.817578124995io+O1
. 8 1 7 7 7 3 4 3 7 4 9 8 ^+0 1
w= w- w> w= w= w= w= w= w«= t-
100000000001,0+02
110000000000^+02
120000000002 w +02
11 5000000002io+02
112500000002io+02
11375OOOOOO110+O2
114375000002,0+02
114062500002 1 0 +02
114218750002 1 0 +02
1 H2 9 6 8 7 5 0 0 0 T O +0 2
114257812501^+02
142
. 11427734 3752,0+02 w=- .252340868666 TO +079
w«- . 977565771267io+078
w= .134244455940,0+079
w« .175679820661 1 0 +078
w= - . 415001799132,o+O78
w= - . 121694724897,0+078
w= .266751282970,0+077
W= - . 4 7 6 1 32861118 1 0 +077
w=~.104919502&49 w +077
w= . 808624823614io+O76
w= - . 120423334788,0+076
3 4 4 6 6 60 +076
6
w= ,344066740462,
. 100^+001
.100,0+001
, 100w+001
.100 TO +001
, 1 0 0 W+0 0 1
.100,0+001
.10010+001
.546618811749io+080
.530418011105™+080
.483705960124,0+080
.411929680243«+080
.323440541518^+080
.22847177235110+080
.137838720648,0+080
.614838189088,0+079
.700947045414«+078
.ioo w +ooi
. IOOTO+ 0 0 1
W= - . 2 1 6 4 6 1 1 5 9 2 5 5 I O + 0 7 9
X*
w=- . 106179339456,0+079
w=- . 263198900558,0+078 w- .198252216424,0+078 w=- .3764252O3399io+O77 w= .790139785538,0+077 w= .203628143192,0+077 w»- .872060559624 TO +076 w= .580092121097,0+076 We- .1464887963O3io+O76 x»
x=
x=
x=
x*
xx«
x«
x=
, 1 0 0 W+ 0 0 1
.100„ +001
.100,0+001
. 1 0 0 ^+0 0 1
.100 TO +001
.100,0+001
.100,0+001
.100,0+001
. 100^+001
. 1 0 0 ^+0 0 1
1« 1 omega[ 1] = . 817.675781254* 01
współ czynnik redukcji" ,100, 0 001
t=
t«
t=
tt«
t-
1= 2 omegaC 2] = .114267578127io 02
współ czyn n ik r e d u k c j i = . 10010 001
Koniec o blic ze ń c z ę st o ś ci drgań wł asnych
Liczba c z e st o sc i = 2
Omega[ 1 ] = . 8 1 7 6 7 5 7 8 1 2 5 4 W 01
OmegaC 2 ] = .114267578127io 02
2*
[539]
x= , 1 0 0 W + 0 0 1
x= . 1 0 0 ^+0 0 1
.100,0+001
.100,0+001
.100,0+001
,100 TO +001
. 1 0 0 ^+0 0 1
.100 1 0 +001
.100,
0 +001
x=
.100 TO +001
. 100,0+001
. 100w+001
Tablica 2
O b li c z e n i a c a e e t O Bc i d r ga ń wł a sn yc h .
.81757812499516+ 01
.817773437493^+ 01
.817675781254,0+ 01
.817724603376 10 + 01
U .817749023444^+ 01
.81773681641018+ 01
.817730712886 10 + 01
.8177337646551O + O1
.817735290525 1B + 01
t .817734527583,0+ 01
t .817734146119.1.+ 01
.8i7733955387it+ 01
.817734O50746W+ P1
i i .817734003O7410+ O1
• 81773402691.0io+ 01
.817734038828^+ 01
..8T77340;3287610+ 01
.817734035845 W + Oi
.81773403734410+ 01
.817734038086 w + 0T
.817734037707^+
01
l
.817734d 37897i 8 + 01
w* .580092121097io+ O.76 x» . 100,0+001
w= - .14648S7963O3i«+ 076
.100,0+001
w« .216675418733- u)+ O76
.100,0+001
w* .350615500230^+ 075
.100„ +00i
w*- .557214971653u+ O75
.100* r+001
w= *.1O331854O757io+ O75.
.100,0+001
w= .123646212846 w + 075
.IOO„ +OQI
w= ,1O16316Oi326 ie + O74
, 1 0 0 , , +o o i
.100«+001
. 46 5 76 7 36 4 H 7 4
. 100w+001
w= - .182077792595i B + 074
. 100* +001
w= - . 40236591404910+ 073
, 1 0 0 ^+0 0 1
w« .30710716858216+ 073
.IOOn+001
4
7
6
2
6
9
7
9
7
7
2
.
997959«
.1OO«+OO1
at.129738309106, 0+ 073
. 1 0 0 ^+0 0 1
4 4i0549426580 i e + Q 72
.100,rt- 001
7
6
. 1 0 0 ^+0 0 1
.1«9057442842ii+
072
.783O84378977io+ O71 x- . 1 0 0 ^+0 0 1
.Ż 42638212
1 COw+0
x» .1OOW+OOT
4 9 6 9 4 9
.1C30.U+001
w= .832;158625278W+ O7O
1 2 3 9 9 4
1= 1 omega[ 1 ]= .817734037998 1 0 01
wsp ó ł c zyn n ik r e d u k c jl = .100 1 0 00.1
K on iec o b l i c z e ń c z ę s t o ś ci d r ga ń wł a sn yc h
L ic zba c ze st o BC i= 1
Omega[ 1 .• ]» .* .817734037998 10 . 01
[540]
Tablica 3
Obliczenia czę stoś i
c drgań własnych. Iteracjet
t- .OOOOOOOOOOOOTO+00
t« ť500000000007«+00
t» .100000000001„+01
t« .150000000004»+01
t« ,200000000003«+01
%m ,25O00OOO0OO5i9+O1
%m .300000000008»+01
t» . 350000000003it>+01
ta .400000000006,0+01
t,« .4500OO000OO9„+01
t - .50000000000710+01
t- . 5500000000 10K,+01
%m , 600000000013n»+01
t» .650000000001«+01
ta .70000O0O00O4«+01
%m ,75O000O0OO07i«+O1
t- . 799999999995K.+01
t« .849999999998„+01
t- .825000000004«+01
t- ,81250OO0OOO7«+01
t» .818749999998»+01
t* .815624999995w+01
t« .817187500004I,+01
t- .817968750001„+01
t» .817578124995»+01
t- .817773437498^4- 01
w« .546618811749w+080
w* .542538631190«+08O
W« .530418011105io+080
w« . 5 1 0 6 1 3 1 5 6 9 5 5 K »+ 0 8 O
w* , 4 8 3 7 0 5 9 6 0 1 2 4 W + 0 8 0
w« . 450486591818«+080
w - . 411929680243»+080
w- .369164599496W+08O
w- .323440541518W+080
w- .27608717O355«+08O
w- . 2 2 8 4 7 1 7 7 2 3 5 1 w + 0 8 0
w* . 181953915663«+080
w» . 1 3 7 8 3 8 7 2 0 6 4 8 ^+0 8 0
w - .97329904924110+079
w« .614838189088,0+079
w - . 311657115O73* +079
w - .700947045414io+078
w — . 1 0 6 1 7 9 3 3 9 4 5 6 ^0 7 9
w—. 2 6 3 1 9 8 9 0 0 5 5 8 +078
w» . 1 9 8 2 5 2 2 1 6 4 2 4 * +0 7 8
w—. 3 7 6 4 2 5 2 0 33S9«+077
w- . 7 9 0 1 3 9 7 8 5 5 3 8 ^0 7 7
w- . 203628143192»+077
w—. 8 7 2 0 6 0 5 5 9 6 2 4 w + 0 7 6
w» .580092121O97»+O76
w«- . 1 4 6 4 8 8 7 9 6 3 0 3 »+0 7 6
1» 1 omega[ 1 ] « .817675781254,0 01
współ czynnik r e d u k c j i * .100« 001
Koniec obliczeń czę stoś ci drgań własnych
Liczba czestoeci= 1
Oaegat 1 ] - . 8 1 7 6 7 5 7 8 1 2 5 4 * 01
[541]
x«
x»
x»
x»
.100^+001
.100^+001
.100,0+001
.100^+001
.100„ +001
,100 W+001
.100t,+001
.100^+001
. 100 w +001
.100,0+001
,100 W+001
.100«+001
.100 W+001
,100«+001
.100,0+001
,100 w +001
.100 W+001
• 100^+001
.100^,+OOt
X* X* X* X- X« x» .100,0+001
.1GQ„+OO1
.100,0+001
.100«+001
. 100 W+001
. 100, +001
x»
x-
x»
x*
io
542 W. PRZYBYŁO
Wyniki obliczeń na EM C ODRA- 1204 dwu najniż szych czę stoś ci drgań wł asnych
przedstawiono w tablicach 1, 2 i 3. Wszystkie obliczenia wykonano dla wielkoś ci wymiarowych okreś lonych w ukł adzie SI.
W tablicy 1 przedstawiono iteracje z począ tkowymi wartoś ciami czę stoś ci drgań m0 =
1
1
— 0 s" i kroku kr = 1 s" . Czę stotliwoś ci odpowiadają ce czę stoś ciom drgań, obliczonym
3
z dokł adnoś cią 10~ s~\ wynoszą
D la porównania w tablicy 2 przedstawiono obliczenia najniż szej czę stoś ci drgań wł asnych z dokł adnoś cią do 10" 9 s"1 , a w tablicy 3 przedstawiono obliczenie najniż szej
czę stoś ci drgań wł asnych z dokł adnoś cią do 10" 3 s"1 z począ tkowymi wartoś ciami czę stoś ci coo = 0 s~ l i kroku kr = 0,5 s"1 .
Ponieważ w powyż szych obliczeniach wartość w — det[z(co)] nie przekraczał a zakresu
liczb zmiennoprzecinkowych, nie stosowano redukcji współ czynników macierzy sztywnoś ci z, zatem współ czynnik redukcji x = 1.
Czas obliczeń jednej iteracji wynosił okoł o 14 s.
7. Uwagi koń cowe
D la elementu prę towo- brył owego prę ta wraz z dwoma brył ami wę zł ów przył ą czonymi
do jego koń ców za pomocą nieważ kich, przestrzennych, punktowych, liniowych i ką towych wię zów sprę ż ystych — w pracy wyprowadzono dynamiczne, macierzowe, niejednorodne równanie transformacyjne metody przemieszczeń. Okreś lono dwie macierze: macierz Gr sztywnoś ci dynamicznej elementu prę towo- brył owego i macierz L r l transformacji
wymuszają cego wektora stanu na wektor wyjś ciowych sił brzegowych, przył oż onych
w ś rodkach cię ż kośi cbrył . Przytoczono równanie metody przemieszczeń ukł adu prę towobrył owego. D la przykł adowego ustroju prę towo- brył owego obliczono dwie najniż sze
czę stoś ci drgań wł asnych.
Peł ny algorytm numerycznej analizy drgań ukł adu prę towo- brył owego, problemy
stabilnoś ci numerycznej oraz opis pakietu programów zostaną przedstawione w oddzielnych opracowaniach.
Literatura cytowana w tekś cie
1. Z. BOROWIEC, Obliczanie sił przywę zlowych w elementach krę pej ramy przestrzennej, Arch. Inż. Lą d., 1,
18 (1972) 87- 101.
2. W. GAWROŃ SKI, J. KRUSZEWSKI, Analiza drgań wymuszonych zł oż onych ukł adów liniowych metodą
sztywnych elementów skoń czonych, Arch. Bud. Masz., 4, 19 (1972), 623 - 641.
3. J. KRUSZEWSKI, Metoda sztywnych elementów skoń czonych w zastosowaniu do obliczeń czę stoś ci drgań
wł asnych zł oż onych ukł adów liniowych, Zeszyty N aukowe Politechniki G dań skiej, nr 165, Mechanika XII,
1970.
PRZESTRZENNE DRGANIA ELEMENTU 543
4. J. KRUSZEWSKI, Zastosowanie metody sztywnych elementów skoń czonych do obliczeń czę stoś ci drgań
wł asnych ustrojów okrę towych, Mech. Teoret. i Stos., 4, 9 (1971) 499 - 516.
5. W. N OWACKI, Mechanika Budowli, P WN , Warszawa t. 1, wyd. 1, 1957, t. 2, wyd. 1, 1960.
6. W. PRZYBYŁO, Algorytm blokowy obliczeń drgań harmonicznych przestrzennych ustrojów prę towych
o niecentrycznych wę zł ach, D ynamika Maszyn, Zbiór prac II Konferencji PAN i RzTPN (Rzeszów,
VI. 1969), Rzeszów 1972, 35 - 43.
7. W. PRZYBYŁO, Ukł ad prę towo- bryIowy jako model fizyczny do analizy drgań przestrzennych konstrukcji
szkieletowych, Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł awskiej, Komunikat nr 145, 1974.
8. W- PRZYBYŁO, Przestrzenne drgania prę ta o sprę ż ystych podparciach koń ców, Arch. Inż. Lą d., 2, 20
(1974) 265 - 278..
9. W. PRZYBYŁO, Automatyzacja obliczeń drgań sprę ż ystych, tł umionych ukł adów brył owych, Arch. Bud.
Masz., 3, 21 (1974) 419- 433.
10. W. PRZYBYŁO, Ustalone drgania ukł adu prę towo- brylowego, Arch. Inż. Lą d. (w przygotowaniu do
druku).
11. J. SZMELTER, M . D ACKO, S. DOBROCIŃ SKT
, M. WIECZOREK, Programy metody elementów skoń czonych,
Arkady, Warszawa 1973.
P e 3 io M e
n P O C T P AH C T BE H H LI E KOJIEEAHHDł 3JTEM EH TA C H C T E M bl COCTO«W[EH H 3
CTEP>KH OH H H E flE O O P M H P yE M BI X M ACC
B p aSo T e paccM aTpH BawTC H n poerpaH C T BeH H bie nefleM CpH poBaH H bie coScTBeH H bie H BŁiH yJKfleniibie
ycTaH OBH BiimecH r a p M o m m e c i a i e KOJie6aH H H OJieM em a c u c ic M b i c o c i o n m e H J M 6n cn M M eTp:m eC Koro
y n p y r o r o n p n 3M a T ir a e c K o r o crep> KH H , KOH IU > I KOToporo c o e fliin e u bi c noiwoiU Łio H eBecoiwbix
H yr n o B b i x y n p y r u x CBH 3eii c flByMH >KecTKHMH m accaiwn. H a r p y3i< a npH H H M anacb B BH fle
rapM OH H ieCKH X BeKTOpOB COCTOHIIHH C OflHIiaKOBblMH tiaCTOTaMH H Cpa3aMH KOJieGaHHH. JlflSl COCTOHiqero
H3 CTepJKHH H MaCC 3JieMeH Ta BbIBOAHTCa MaTpi- MH bie HeOAHOpOflHŁie TpaH,CCpOpMaUHOHHbie ypaBH eH H H
MeTOfla n e p e M e m e n i o i .
S u m m a r y
SPATIAL VIBRATION S OF ROD - BOD Y ELEM EN T
In the paper are considered spatial, undamped, free and forced, steady- state harmonic vibrations of
a rod- body element — the system composed of a bisymmetric, elastic rod the ends of which are connected
with two rigid bodies by means of spatial, weightless supports of both the displacement and rotation types.
The loading is assumed to form a system of harmonic state vectors with identical frequencies and phases
of vibrations. A matrix- type nonhomogeneous transformation equation is derived, based on the displacement method.
POLITECH N IKA KRAKOWSKA
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 3 lipca 1974 r.