Wykład 13 o obliczaniu błędu dyskretyzacji

Oszacowanie błędu dyskretyzacji
Witold Cecot
e-mail: [email protected]
Jerzy Pamin
e-mail: [email protected]
Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej
Strona domowa: www.L5.pk.edu.pl
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Błąd dyskretyzacji
Popełniane błędy
I
Błąd modelowania
I
Błąd dyskretyzacji (w aproksymacji MES)
I
Błąd rozwiązania
Metody oceny błędu dyskretyzacji
I
hierarchiczna (Runge)
I
jawna residualna (niejawna tu pominięta)
I
oparta na wygładzaniu (Zienkiewicza-Zhu)
I
analiza błędu interpolacji (nie rozważana w wykładzie)
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Aproksymacja MES z użyciem funkcji liniowych
Problem przykładowy
Rozwiąż problem brzegowy stosując 4 elementy liniowe
−u00 + u = f , f = x3 − 6x2 + 12 ,
x ∈ (0, 5)
bcs: u(0) = 0 , u(5) = 5
Rozwiązanie analityczne:
uanalit = x3 − 6x2 + 6x
Rozwiązanie approksymacyjne uh (h - rozmiar elementu)
uh
4
x
uh
0
0
1
0.938
def
2
-4.797
Miara błędu: e = u − uh
4
9.153
5
5
1
2
3
−4
−8
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 4
x
Metoda hierarchiczna eH ≈ uh/2 − uh
uh/2
uh
x
uh
uh/2
uh/2 −uh
ηiH =
qR
0
0
0
0
0.5
0.469
1.647
1.178
1
0.938
1.000
0.062
1.5
-1.930
-1.179
0.751
2
-4.797
-4.138
0.660
3
-6.975
-9.324
-2.349
4
-9.153
-8.299
0.855
xi+1
xi
4.5
-2.077
-3.543
-1.467
(uh/2 − uh )2 dx → η1H = 0.69, η2H = 0.59, η3H = 1.70, η4H = 0.79
||eH ||2 ≈ ||uh/2 − uh ||2 =
||uh/2 ||2 =
R5
0
R5
0
(uh/2 − uh )2 dx → ||eH || ≈ 2.08
(uh/2 )2 dx → ||uh/2 || = 12.35 →
||eH ||
||uh/2 ||
≈ 17%
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 5
5
5
0
Oszacowanie błędu oparte na residuum (wersja jawna)
Residuum równania różniczkowego
−u00 + u = f, f = x3 − 6x2 + 12 → R(x) = f − (−u00h + uh )
Residuum dostarcza oszacowania błędu o góry
||e|| ¬ C||R||
W 2D (J - skok pierwszej pochodnej)
||e||2 ¬ C(h2 ||R||2 + h||J||2 )
Wskaźnik błędu w jednowymiarowym elemencie i
qR
xi+1 2
ηiR = hi
R dx, u00h = 0 → R = x3 − 6x2 + 12 − uh
xi
Podstawienie interpolacji za uh , np.
qR
1
η1R = 1 0 {x3 − 6x2 + 12 − [0(x − 1) + 0.938x]}2 dx = 9.94
Obliczenie normy błędu względnego
η1R
||f ||
≈ 33%
i porównanie jakości rozwiązania w elementach
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015 Oszacowanie błędu oparte na wygładzaniu eS = ũ0h − u0h
u0h
ũ0h
13
8
4
1
1
−2
2
3
4
x
−5
Wygładzona pochodna rozwiązania ũ0h (przez punkty na brzegach elementów)
2
d
y = h1h+h
(d1 − d2 )
2
d −d
0
y
1
2
d
+ d2 h1h+h
ũ = d2 + y = d1 h1h+h
2
2
d
+d
0
h
h
If h1 = h2 then ũ = 1 2 2
1
1
2
2
1
2
ũ01 = 4.2 (ekstrapolacja do węzła 1),
0
0
0
ũ02 = −2.4,
q ũ3 = −4.5, ũ4 = 8.7, ũ5 = 19.6
ηiS =
η1S =
R xi+1
xi
qR
(ũ0h − u0h )2 dx
1
0
{[4.2(1 − x) + (−2.4)x] − 0.94}2 dx = 1.93
η2S = 2.35, η3S = 8.09, η4S = 3.14
R5
P
||eS ||2 = 0 (ũ0h − u0h )2 dx = i (ηiS )2 →
||eS ||
||ũ0 ||
≈ 57%
h
c P.Pluciński
Metody obliczeniowe, 2015