Część I
Transkrypt
Część I
– Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Logika i zbiory 1. Logika i zbiory 1. Elementy logiki. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie, któremu możemy przypisać wartość logiczną prawdy (zazwyczaj oznaczanej „1”) lub fałszu (oznaczanej „0”). Na zdaniach logicznych p, q możemy określić operacje logiczne: negacja (∼ p), alternatywa (p ∨ q), koniunkcja (p ∧ q), implikacja (p ⇒ q). Definiujemy te operacje, podając wartość logiczną zdań będących rezultatem operacji dla wszystkich możliwych wartości logicznych zdań p oraz q. Poniższe tabele określają omawiane wartości logiczne: p 1 0 ∼p 0 1 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p∨q 1 1 1 0 p∧q 1 0 0 0 p⇒q 1 0 1 1 Dwa zdania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają tę samą wartość logiczną. Twierdzenie Niech p, q, r będą zdaniami logicznymi. Wtedy: a) (p ∨ q) jest równoważne (q ∨ p) (przemienność alternatywy), b) (p ∧ q) jest równoważne (q ∧ p) (przemienność koniunkcji), c) (p ∨ q) ∨ r jest równoważne p ∨ (q ∨ r) (łączność alternatywy), d) (p ∧ q) ∧ r jest równoważne p ∧ (q ∧ r) (łączność koniunkcji), e) (p ∨ q) ∧ r jest równoważne (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (rozdzielność koniunkcji względem alternatywy), f) (p ∧ q) ∨ r jest równoważne (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) (rozdzielność alternatywy względem koniunkcji), g) (∼ (p∨q)) jest równoważne (∼ p ∧ ∼ q) (zaprzeczenie alternatywy, pierwsze prawo de Morgana), h) (∼ (p ∧ q)) jest równoważne (∼ p ∨ ∼ q) (zaprzeczenie koniunkcji, drugie prawo de Morgana), i) ∼ (p ∧ ∼ p) jest zawsze prawdziwe (prawo wyłączonego środka), j) ∼ (∼ p) jest równoważne p (prawo podwójnego zaprzeczenia), k) ∼ (p =⇒ q) jest równoważne (p ∧ ∼ q) (zaprzeczenie implikacji), l) (p =⇒ q) jest równoważne (∼ q =⇒ ∼ p) (prawo kontrapozycji), m) (p =⇒ q) jest równoważne (∼ p ∨ q) (postać normalna implikacji), n) (p jest równoważne q) jest równoważne [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p )]. Kwantyfikatory Symbol ∀ nazywamy dużym kwantyfikatorem i czytamy „dla każdego”. Intuicyjnie można powiedzieć, że ∀ jest uogólnieniem koniunkcji. Symbol ∃ nazywamy małym kwantyfikatorem i czytamy „istnieje”. Nawiązuje on do alternatywy. Zapis „∀x∈A W (x)” czytamy: „dla każdego x należącego do zbioru A zdanie W (x) jest prawdziwe”, natomiast zapis „∃x∈A W (x)” czytamy: „istnieje x należące do zbioru A takie, że zdanie W (x) jest prawdziwe”. 1 Logika i zbiory Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów. a) ∼ ∀x∈A W (x) jest równoważne ∃x∈A ∼ (W (x)). b) ∼ ∃x∈A W (x) jest równoważne ∀x∈A ∼ (W (x)). 2. Zbiory. Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (lub zbiór B zawiera zbiór A) i piszemy A ⊂ B, jeżeli dla dowolnego a zachodzi implikacja: jeśli x ∈ A, to x ∈ B, tzn. ∀x x ∈ A =⇒ x ∈ B . Zbiory A i B są równe, jeśli A ⊂ B oraz B ⊂ A. Wówczas piszemy A = B. Jeśli mamy dane dwa zbiory A, B, to określamy ich sumę (∪), iloczyn (∩) i różnicę (\): A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}, A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}, A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ / B}. Twierdzenie Jeśli A, B, C są dowolnymi zbiorami, to: a) A ∪ B = B ∪ A (przemienność sumy zbiorów), b) A ∩ B = B ∩ A (przemienność iloczynu zbiorów), c) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (łączność sumy zbiorów), d) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (łączność iloczynu zbiorów), e) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (rozdzielność sumy zbiorów względem iloczynu zbiorów), f) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (rozdzielność iloczynu zbiorów względem sumy zbiorów), g) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)(pierwsze prawo de Morgana dla zbiorów), h) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) (drugie prawo de Morgana dla zbiorów). Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A i B, to zbiór uporządkowanych par (x, y), w którym x ∈ A oraz y ∈ B. Symbolicznie można to zapisać w postaci: A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}. 3. Wzory skróconego mnożenia. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 − b2 = (a + b)(a − b) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) 2 Logika i zbiory Zadania Sprawdzić, czy poniższe zdanie jest tautologią: 1. ∼ [(p ∧ q) =⇒ (p∧ ∼ q)] =⇒∼ (p∧ ∼ q). 6. ∼ [(p ∧ q) =⇒ (p∧ ∼ q)] ∧ (p∧ ∼ q). 2. (p =⇒ q) ⇐⇒ [(p ∧ q) ⇐⇒ p]. 7. ∼ (p∧ ∼ q) ∧ [(p ∧ q) =⇒ (p∧ ∼ q)]. 3. ∼ (p∧ ∼ q) ∧ [(p ∧ q) =⇒ (p∧ ∼ q)]. 8. p ∧ [(∼ p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)]. 4. [(p ∨ q) ∧ (∼ p)] =⇒ p. 9. [(p =⇒ q) =⇒ p] =⇒ p. 5. ∼ [(p ∧ q) =⇒ (p∧ ∼ q)] =⇒∼ (p∧ ∼ q). 10. [(p ∨ q) =⇒ (p∨ ∼ q)] =⇒ (∼ p ∨ q). Obliczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A oraz narysować A × B, B × A: 11. A = (−5, 4], B = [1, 2) ∪ {3}. 12. A = (−1, 1] ∪ (2, 3), B = [1, 2]. Dla danych zbiorów A = [−1, 2), B = [1, 3], C = (0, 2] zaznaczyć w R2 zbiór: 13. (A × B) ∩ (A × C). 16. (A ∪ B) × C. 14. (A ∩ B) × C. 17. (B \ A) × C. 15. B × (C \ A). 18. A × (B ∩ C). Dla zbiorów A = [−3, 5), B = (0, 5], C = [−2, +∞) wyznaczyć zbiory: 19. A ∪ B. 21. A \ C. 23. B \ C. 25. (A ∩ B) ∩ C. 20. A ∩ C. 22. A ∩ B. 24. (A ∪ B) ∩ C. 26. C \ (A ∩ B). Wyznaczyć zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, jeśli: 27. A = [−1, 3], B = (0, +∞). 28. A = (−∞, 2), B = (−3, 1). Uprościć wyrażenie: 29. 5x(2x − 3y) − (3x − 2y)2 . 33. x4 −y 4 x3 −y 3 30. (5x − 4y)(5x + 4y) − 14 (10x − 2y)2 . √ √ √ 31. ( 2 + a)(a − 2) + (−2 3 + 2a)2 . √ 32. (x + 2)3 − ( 3x − 1)2 . 34. 1 x−y 35. x x2 −25 : − x2 +y 2 x2 −y 2 . 3xy x3 −y 3 − y−x x2 +xy+y 2 . 1 x−5 − x 5+x . − Usunąć niewymierność z mianownika: 36. 37. 1 √ . 3 2−1 2√ √ . 3 2+ 3 3 38. 39. √1 √ . 7+ 2+ 3 √ √ √2−√3 . 2+ 3 √ 40. √ √2+ 2√ . 2 5−3 2 41. √ 3 √ . 3+2 5 3