Rachunek zbiorów

Algebra zbiorów Pojęcie zbioru jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Jest przy tym pojęciem pierwotnym, czyli niedefiniowalnym. Przedmioty, które należą do danego zbioru nazywamy jego elementami. Jeśli a jest elementem zbioru A to piszemy: a∈A. Kiedy występuje kilka przedmiotów należących do tego samego zbioru często piszemy a, b, c∈A, zamiast a∈A, b∈A, c∈A. Gdy a nie należy do zbioru A, tzn. a nie jest elementem zbioru A, to piszemy: a∉A. Zbiór definiujemy przez określenie jego elementów. Zatem dwa zbiory, które mają te same elementy uważamy za identyczne. Można to zapisać: ∧ x∈A ⇔ x∈B A=B ⇔ x
Elementy zbioru można określić na dwa sposoby: i)
przez bezpośrednie wyliczenie, np. {a, b, c, d} jest zbiorem, którego elementami są przedmioty a, b, c, oraz d, ii)
przez podanie warunku (własności), np. x∈A⇔Φ(x), co oznacza, że zbiór A składa się z tych przedmiotów, które mają własność Φ. Często używany jest w takim przypadku zapis: A={x: Φ(x)} Zbiór, który nie zawiera żadnych elementów nazywamy zbiorem pustym, oznaczamy go symbolem ∅. Jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, to mówimy że A jest podzbiorem B, lub że B jest nadzbiorem A. Mówimy również, że zbiór A zawarty jest w B, lub że B zawiera A. Zapisujemy to następująco: A ⊂ B lub B ⊃ A. Symbol ⊂ nazywamy znakiem inkluzji. Definicję inkluzji można zapisać następująco: ∧ x∈A ⇒ x∈B A ⊂ B⇔ x
Jeżeli A nie jest podzbiorem B to piszemy: A ⊄ B. MB
Algebra zbiorów Z dowolnych dwu zbiorów A i B można utworzyć nowe zbiory: A∪B, A∩B, A\B zwane odpowiednio sumą, iloczynem (przekrojem) i różnicą zbiorów. Zbiory te są określone w następujący sposób: x∈ A∪B ⇔ x∈A ∨ x∈B, x∈ A∩B ⇔ x∈A ∧ x∈B, x∈ A\B ⇔ x∈A ∧ x∉B. Zbiory nazywamy rozłącznymi jeśli A∩B=∅. Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami pewnego zbioru, to zbiór ten nazywamy przestrzenią i oznaczamy przez X. Dopełnieniem zbioru A⊂ X nazywamy zbiór X\A i zapisujemy: A’=X\A Z powyższych definicji wynikają następujące własności: Dla dowolnych zbiorów A, B, C: i) ∅⊂ A ii) A⊂ A iii) A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A⊂ C iv) A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A=B v)
A≠B ⇒ A⊄ B∨ B⊄ A vi)
A ⊂ A∪B, vii)
A ⊂ C ∧ B ⊂ C ⇒ A∪B ⊂ C viii)
A ⊂ B ∧ C ⊂ D ⇒ A∪C ⊂ B∪D ix)
A ⊂ B⇔ A∪B =B x)
A ⊂ B⇔ A∩B =A xi)
A∩B⊂ A xii)
A ⊂ B ∧ A ⊂ C ⇒ A ⊂ B∩C xiii)
A ⊂ B ∧ C ⊂ D ⇒ A∩C ⊂ B∩D xiv)
A\B⊂A xv)
A⊂ B∧ C⊂ D⇒ A\D ⊂ B\C xvi)
C⊂ D⇒ A\D⊂ A\C xvii)
A⊂ B⇔ A\B =∅ 2
MB Algebra zbiorów Najważniejsze prawa działań na zbiorach (algebry zbiorów): i)
Przemienność sumy i przekroju: a. A∩B = B∩A b. A∪B = B∪A ii)
Łączność sumy i przekroju: a. A∪(B∪C)= (A∪B)∪C b. A∩ (B∩C)= (A∩B)∩C iii)
Rozdzielność sumy i przekroju: a. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) iv)
Prawa tautologii: a. A∪A=A b. A∩A=A v)
Prawa de Morgana (dla różnicy): a. A\( B∪C)=(A\B) ∩ (A\C) b. A\( B∩C)=(A\B) ∪ (A\C) vi)
Prawa Boole’a a. A∪A’=X b. A∩A’=∅ vii)
Prawa de Morgana (dla dopełnienia) a. (A∪B)’=A’∩B’ b. (A∩B)’=A’∪B’ viii)
Działania ze zbiorem pustym: a. ∅∪A=A b. ∅∩A=∅ c. ∅\A=∅ d. A\∅=A 3
MB Algebra zbiorów Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych takich, że: X×Y={(x,y): x∈ X∧ y∈ Y} Zatem iloczyn kartezjański nie jest przemienny. Przemienność zachodzi w jednym przypadku, gdy X=Y. Jeśli jeden ze zbiorów w iloczynie kartezjańskim jest pusty to cały iloczyn jest zbiorem pustym, co zapisujemy: X=∅ ∨ Y=∅ ⇒ X×Y=∅ Własności iloczynu kartezjańskiego: i)
Prawa rozdzielności: a. (A∪B)×C=(A×C)∪ (A×B) A×(B∪C)= (A×B)∪(A×C) b. (A/B)×C=(A×C)\ (B×C) A×(B/C)= (A×B)\(A×C) c. (A∩B)×C=(A×C) ∩ (B×C) ii)
A×(B∩C)=(A× B)∩(A×C) monotoniczność: zakładamy, że dany jest zbiór C≠∅ wtedy: A ⊂ B⇔ A×C⊂ B×C⇔ C×A⊂ C×B 4
MB