Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego
semestr zimowy 2016/17
1
Język
1.1
Sygnatura językowa
Sygnatura językowa: L = ({fi }i∈I , {Pj }j∈J , {ck }k∈K )
• fi - symbol funkcyjny
• Pj - symbol relacji
• ck - symbol stałej
Dodatkowo mamy funkcje:
α : I 7→ N\{0}
β : J 7→ N\{0}
Funkcja fi jest α(i)-arna, a relacja Pj jest β(i)-arna
Sygnatura to L, α, β
Przykład
Teoria ciał uporządkowanych (ciało uporządkowane to np. R ) Jakie symbole
używamy:
• Symbole funkcyjne (+), (·) – funkcje binarne, (−), (−1 ) – funkcje unarne
• Symbol relacyjny ¬ – relacja binarna
• Stałe 0,1
Czyli sygnatura języka ciał uporządkowanych jest następująca:
({+, ·, −,−1 }, {¬}, {0, 1})
α(+) = 2, α(·) = 2, α(−) = 1, α(−1 ) = 1
β(¬) = 2
Dodatkowo mamy symbole:
1
• logiczne: ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∀, ∃, =
• pomocnicze: ), (
• zmiennych: x0 , x1 , x2 , ...
1.2
Termy języka L (o sygnaturze (L, α, β))
Definicja: Zbiór termów TL jest to najmniejszy zbiór spełniający warunki:
• ck ∈ TL , dla każdego k ∈ K
• xn ∈ TL , dla każdego n ∈ N
• jeśli α(i) = n i τ1 , τ2 , ...τn ∈ TL , to fi (τ1 , τ2 , ...τn ) ∈ TL
Przykłady termów w języku teorii ciał uporządkowanych:
0, 1, x, y, z, +(x, y), ·(0, 0), −(+(+(x, y),−1 (z)))
Wersja normalna (notacja infiksowa): (x + y), (0 · 0), −((x + y) + z −1 )
1.3
Formuły języka L
Definicja: Zbiór formuł FL jest najmniejszym zbiorem spełniającym warunki:
• jeśli τ1 , τ2 ∈ TL , to (τ1 = τ2 ) ∈ FL
• jeśli β(j) = n i τ1 , τ2 , ..., τn ∈ TL , to Pj (τ1 , τ2 , ...τn ) ∈ FL
• jeśli ϕ, ψ ∈ FL , to ¬ϕ, (ϕ∧ψ), (ϕ∨ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ), (∀xn )ϕ, (∃xn )ϕ ∈ FL
Przykłady formuł języka teorii ciał uporządkowanych:
(∃x)(x + y = 1 + 0)
(∀x)(∃y)(x + y ¬ y −1 )
1.4
Model języka L
Jest to M = (M, {fiM }i∈I , {PjM }j∈J , {cM
k }k∈K ), gdzie:
• M to niepusty zbiór (M nazywamy uniwersum struktury)
• fiM : M α(i) 7→ M
• Pj ⊆ M β(j)
• cM
k ∈M
2
1.5
Interpretacja termów (bez zmiennych) w modelu M
Konwencja: τ ∈ TL → τ M ∈ M
(τ M : interpretacja termu τ )
• (ck )M = cM
k
• (fi (τ1 , τ2 , ..., τn ))M = fiM (τ1 , τ2 , ..., τn )
Przykład
τ = ·(+(1, 1), 1), struktura R = (R, ...)
τ R = ((1 + 1)R · 1)R = 2 · 1 = 2
CEL: mając ϕ ∈ FL pokazać M |= ϕ
Załóżmy, że ϕ jest zdaniem, tzn. w ϕ nie wystepują zmienne wolne.
W formułach (∀x)ψ, (∃x)ψ zmienna x występująca w ψ jest związana.
Przykład
(∃y)((∀x)(x ¬ y) ∧ x = y) W formule x=y w powyższej formule, x jest wolny
Rozszerzamy język L do L(M )
W L(M ) mamy dodatkowo stałe ca , dla a ∈ M
Owe stałe interpretujemy naturalnie, tzn. cM
a =a
Definicja: (M |= ϕ dla zdań ϕ w języku L(M ))
• M |= τ1 = τ2 wtedy i tylko wtedy, gdy τ1M = τ2M
• M |= Pj (τ1 , τ2 , ...τn ) wtedy i tylko wtedy, gdy
(τ1M , τ2M , ..., τnM ) ∈ PjM
• M |= ϕ ∨ ψ wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ lub M |= ψ
• M |= ¬ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawda, że M |= ϕ
• M |= (∃x)ϕ(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje a ∈ M takie, że M |= ϕ(ca )
(w ϕ(x) mogą występować zmienne wolne, ϕ(ca ) to formuła ϕ(x) po zastąpieniu wszystkich wystąpień x przez ca )
• M |= (∀x)ϕ(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a ∈ M M |= ϕ(ca )
1.6
Spełnianie formuł
Niech ϕ = ϕ(x1 , ..., xn ) będzie formułą języka L, w której występują zmienne
wolne x1 , ..., xn
Domknięcie uniwersalne tej formuły to:
ϕ = (∀x1 )(∀x2 )...(∀xn )ϕ(x1 , x2 , ..., xn )
3
Definiujemy:
M |= ϕ, wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ
Przykład
ϕ = (∀x)(x ­ 0 → (∃y)(y · y))
√
R |= ϕ, bo jeśli a ­ 0, to istnieje b = a, takie, że b · b = a
Ale Q |= ¬ϕ, bo nie istnieje b ∈ Q, takie że b · b = 2
1.7
Teoria
Definicja: Ustalmy język L. Teorią nazywamy zbiór T ⊆ FL
Definicja: M jest modelem teorii T , jeśli (∀ϕ ∈ T ) M |= ϕ
(Piszemy w skrócie M |= T )
Przykład
Niech L będzie językiem teorii grup, tzn. jego sygnatura L = ({·,−1 }, ∅, e)
· jest binarna, −1 jest unarna
GT = {(x · y) · z = x · (y · z), x · x−1 = x−1 · x = e, x · e = e · x = x}
Jeśli M |= GT , to M jest grupą.
Wiemy, że grupy istnieją, np. (R, {+, −}, ∅, 0), (Sn , {◦,−1 }, ∅, {id})
1.8
Dowodzenie w teorii T
Co to znaczy, że T |= ϕ? (czytamy: teoria T dowodzi ϕ)
Istnieje dowód, czyli ciąg formuł ϕ1 , ..., ϕn ∈ FL
• ϕi ∈ T (ϕi jest aksjomatem)
lub
• ϕi jest tautologią Klasycznego Rachunku Logicznego, np.
ϕi = (∀x)(γ(x) ∧ δ(x)) → (∀x)(γ(x)) ∧ (∀x)(δ(x))
lub
• ϕi powstaje z ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕi−1 przy pomocy reguł dowodzenia
Wyjaśnienie
ψ ∈ FL jest tautologią KRL ⇐⇒ dla dowolnego L-modelu M, mamy M |= ψ
4
1.9
Reguły dowodzenia
α1 , α2 , ..., αk
oznacza, że z przesłanek α1 , ..., αk można wnioskować α
α
Poprawna reguła dowodzenia ma własność:
dla dowolnego modelu M: jeśli M |= α1 , M |= α2 , ..., M |= αk , to M |= α
Wystarczą dwie reguły dowodzenia:
α, α → β
Modus Ponens:
β
ϕ
Zasada generalizacji:
(∀x)ϕ
1.10
Sprzeczność, niesprzeczność, zupełność
Definicja: Teoria T jest sprzeczna jeśli istnieje ϕ ∈ FL , dla której T |= ϕ i
T |= ¬ϕ
Uwaga: Każdy program wyborczy jest sprzeczny. Dobry program wyborczy to
taki, którego dowód sprzeczności jest długi i nieoczywisty.
Definicja: Teoria T jest niesprzeczna ⇐⇒ T nie jest teorią sprzeczną.
Twierdzenie
Teoria T jest niesprzeczna ⇐⇒ (∀T0 ⊆ T )(T0 skończona → T0 niesprzeczna)
Dowód:
→ oczywiste
← niewprost
Załóżmy, że T sprzeczna. Wtedy istnieje ϕ, takie że T |= ϕ i T |= ¬ϕ. W
dowodach wykorzystujemy skończony zbiór aksjomatów T0 , zatem T0 |= ϕ
i T0 |= ¬ϕ 2
Twierdzenie (Gödel)
T jest niesprzeczna ⇐⇒ T ma model ((∃M)(M |= T ))
Komentarz: Aby pokazać ←, zauważmy, że T |= ϕ implikuje M |= ϕ
Wniosek: Jeśli dowolny skończony T0 ⊆ T ma model, to T niesprzeczna.
Definicja: Teoria T jest zupełna (T ⊆ FL ), jeśli dla każdego ϕ ∈ FL :
T |= ϕ lub T |= ¬ϕ
Uwaga: Jeśli T nie jest zupełna, to istnieje ϕ, dla którego:
¬(T |= ϕ) ∧ ¬(T |= ¬ϕ)
5
Mówimy wtedy, że ϕ jest niezalezne od T
Fakt: Jeśli ¬T |= ϕ to T ∪ {¬ϕ} jest niesprzeczna.
Oczywiście, jeśli T ∪ {¬ϕ} jest niesprzeczna, to ¬T |= ϕ
Wniosek: Aby pokazać, że T nie jest zupełna wystarczy znaleźć ϕ ∈ FL , takie, że T ∪ {ϕ} jest niesprzeczna i T ∪ {¬ϕ} niesprzeczna.
Przykład: CH jest niezależna od ZFC.
Przykład 2: GT jest niesprzeczna i nie jest zupełna
Niech ϕ =“jest n!+1 elementów”
V
ϕn = (∃x1 )(∃x2 )...(∃xn! )(∃xn!+1 )( i6=j xi 6= xj )
R |= ϕ, Sn |= ¬ϕ
Przykład 3: Rozważmy teorię GT∞ (teoria nieskończonych grup)
GT∞ = GT ∪{ϕn : n ∈ N}, gdzie ϕn zdefiniowana jak w poprzednim przykładzie.
GT∞ jest niesprzeczna i nie jest zupełna:
Niech ψ = (∀x, y)(x · y = y · x)
R |= ψ, S∞ |= ¬ψ (S∞ - grupa permutacji liczb naturalnych)
Dowód dla S∞ :
Używając twierdzenia Gódla wystarczy stwierdzić, że Sn |= ¬ψ, dla n ­ 3.
Zatem GT∞ ∪ {¬ψ} jest niesprzeczna 2
1.11
Teoria modelu, podstruktury
Definicja: Niech M będzie modelem dla języka L (L−strukturą).
Teorią modelu M nazywamy zbiór Th(M) = {ϕ ∈ FL : M |= ϕ}
Fakt: Th(M) jest niesprzeczną, zupełną teorią.
Dowód:
M |= Th(M), więc Th(M) jest teorią niesprzeczną.
Weźmy dowolne ϕ ∈ FL
Załóżmy, że ϕ ∈
/ Th(M) (w przeciwnym wypadku Th(M) |= ϕ)
Wtedy nieprawda, że M |= ϕ. Z definicji spełniania wtedy M |= ¬ϕ
2
Definicja: Niech M, N będą L−strukturami
1. M jest izomorficzne z N (M ∼
= N) jeśli istnieje izomorfizm ϕ : M → N ,
taki że:
• ϕ jest bijekcją
6
• ϕ zachowuje strukturę, tzn.
(∀i)(∀a1 , a2 , ..., an , b ∈ M )(fiM (a1 , a2 , ..., an ) = b ⇐⇒ fiN (ϕ(a1 ), ϕ(a2 ), ..., ϕ(an )) = ϕ(b))
(∀j)(∀a1 , a2 , ..., an )(PjM (a1 , a2 , ..., an ) ⇐⇒ PjN (ϕ(a1 ), ϕ(a2 ), ..., ϕ(an )))
N
(∀k)(ϕ(cM
k ) = ck )
2. M jest elementarnie równoważne N, jeśli Th(M) ∼
= Th(N)
Fakt: Jeśli M ∼
= N to M ≡ N
1.12
Elementarne podstruktury
Definicja: M 4 N (M jest elementarną podstrukturą (podmodelem) N) oznacza, że M ⊆ N oraz dla dowolnego ϕ(x1 , ..., xn ) ∈ FL oraz a1 , ...an ∈ M
mamy M |= ϕ(ca1 , ..., can ) ⇐⇒ N |= ϕ(ca1 , ..., can )
Fakt: Jeśli M 4 N to M ≡ N
Dowód:
Weźmy dowolne zdanie ϕ ∈ FL . Wtedy z definicji elementarnej podstruktury:
M |= ϕ ⇐⇒ N |= ϕ, czyli ϕ ∈ Th(M) ⇐⇒ ϕ ∈ Th(N)
Zatem Th(M) = Th(N), czyli M ≡ N 2
Twierdzenie (test Tarskiego-Vaughta)
Niech M będzie L-strukturą oraz A ⊆ M .
Wtedy A jest uniwersum elementarnej podstruktury M wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdej formuły ϕ(x1 , y1 , ..., yn ) ∈ FL oraz elementów a1 , ..., an ∈ A:
M |= (∃x)ϕ(x, ca1 , ..., can ) ⇐⇒ istnieje a ∈ A, że M |= ϕ(ca , ca1 , ..., can )
Dowód:
→ Weźmy dowolne ϕ ∈ FL , a1 , ..., an ∈ A
M |= (∃x)ϕ(x, ca1 , ..., can ) ⇐⇒ (z elementarności)
A |= (∃x)ϕ(x, ca1 , ..., can ) ⇐⇒ (z definicji spełniania)
istnieje a ∈ A A |= ϕ(ca , ca1 , ..., can ) ⇐⇒ (z elementarności)
istnieje a ∈ A M |= ϕ(ca , ca1 , ..., can ) 2
← A jest uniwersum podstruktury
1. Relacje
Pj - relacja β(j)-arna
PjA = PjM ∩ Aβ(j)
2. Funkcje
Trzeba sprawdzić, że fiM Aα(i) : Aα(i) 7→ A
Niech a1 , ..., an ∈ A
Wtedy M |= (∃x)(x = fi (ca1 , ..., can ))
Z założenia, istnieje a ∈ A, M |= (ca = fi (ca1 , ..., can ))
A zatem fiM (ca1 , ..., can ) = a
7
3. Stałe
M |= (∃x)(ck = x)
Z założenia, istnieje a ∈ A M |= (ca = ck ), co oznacza, że a = cM
k
Pokażemy, że A 4 M
(dowód przez indukcję względem skomplikowania formuły ψ)
1. ψ – formuła atomowa
A |= ψ ⇐⇒ M |= ψ (wynika z A ⊆ M)
2. ψ = ϕ1 ∨ ϕ2
A |= ϕ1 ∨ ϕ2 ⇐⇒ (z założenia indukcyjnego)
M |= ϕ1 lub M |= ϕ2 ⇐⇒ M |= ϕ1 ∨ ϕ2
3. ψ = ¬ϕ itp. analogicznie ...
4. ψ = (∃x)ϕ(x, ca1 , ..., can ), a1 , ..., an ∈ A M |= (∃x)ϕ(x, ca1 , ..., can ) ⇐⇒
(z założenia)
istnieje a ∈ A M |= ϕ(ca , ca1 , ..., can ) ⇐⇒
istnieje a ∈ A A |= ϕ(ca , ca1 , ..., can ) ⇐⇒
A |= (∃x)ϕ(x, ca1 , ..., can ) 2
Twierdzenie: (dolne Löwenheima–Skolema)
Niech M będzie L-strukturą, L przeliczalny. Niech A ⊆ M , A przeliczalny.
Wtedy istnieje M0 4 M, taki, że A ⊆ M 0
Dowód:
Niech A0 = A
Niech Φ0 = {ϕ(x, ca1 , ..., can ) : M |= (∃x)ϕ(x, ca1 , ..., can )}
(ϕ(x, ca1 , ..., can ) ∈ FL∪{ca :a∈A0 } )
|Φ0 | ¬ ℵ0
Niech aϕ ∈ M , że M |= ϕ(caϕ , ca1 , ..., can ), dla ϕ ∈ Φ0
A1 = {aϕ : ϕ ∈ Φ0 }, |A1 | ¬ ℵ0
Φ1 = {ϕ(x, ca1 , ..., can ) : M |= (∃x)ϕ(x, ca1 , ..., can )
(ϕ(x, ca1 , ..., can ) ∈ FL∪{ca :a∈A1 } )
S
Kontynuujemy, kładziemy M 0 = n∈N An
M 0 jest przeliczalny, A ⊆ M 0
M 0 spełnia test Tarskiego-Vaughta! 2
Twierdzenie: (górne Löwenheima–Skolema)
Niech M będzie L-strukturą. Niech κ > |M |, M nieskończony.
Wtedy istnieje N < M, |N | ­ κ
Dowód:
Niech T = Th(M, {ca , a ∈ M })
(teoria modelu M w języku wzbogaconym o stałe ca (dla a ∈ M ))
Wzbogaćmy język o kolejne dodatkowe stałe : {cα : α ∈ κ}
Niech T 0 = T ∪ {cα 6= cβ : α 6= β}
8
T 0 jest niesprzeczny, bo dowolny skończony fragment T0 ⊆ T 0 ma model.
W M interpretujemy stałe cα (występujące w T0 ), tak aby były parami różne.
0
Z twierdzenia Gödla istnieje N0 |= T 0 , |N 0 | ­ κ, bo N 0 ⊇ {cN
α : α ∈ κ} W
N0 istnieje izomorficzna kopia modelu M
0
0
M 0 = {cN
α : α ∈ M } (M to “zielony” model M)
Fakt: DLO0 jest zupełna (teoria gęstych liniowych porządków bez końców)
Dowód: (lista 9)
Wiemy, że jeśli M |= DLO0 i N |= DLO0 oraz |M | = |N | = ℵ0 , to M ∼
=N
Przypuśćmy, że DLO0 nie jest zupełna.
Wtedy istnieje ϕ, takie że T = DLO0 ∪{ϕ} i S = DLO0 ∪{¬ϕ} są niesprzeczne.
Niech M |= S, N |= T
Z dolnego twierdzenia Löwenheima–Skolema istnieją przeliczalne M0 , N0 , że
M0 4 M, N0 4 N
Wtedy M0 ∼
= N. Zatem Th(M0 ) = Th(N0 ).
Ale ϕ ∈ Th(M0 ), a ¬ϕ ∈ Th(N0 )
co jest sprzecznością z definicją teorii modelu.
9
2